高等数学(一)
高等数学一(1)完整答案
（6）令 ，则
原式=
（7）令 ，则
原式=
（8）令 ，则
原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）令 ，则 ，
原式=
（15）令 ，则
原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
2、（1）原式=
（2）原式=0（因为 在 上为奇函数）
（3）原式=0（因为 在 上为奇函数）
原式= 发散
，而事实上 矛盾
方程 只有正根。
5.解： 为一元三次方程， 为一元二次方程，
故只有两个实根。
又
由罗尔定理知，两实根区间分别为 。
习题3-2
1.（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
（7）原式
（8）原式
（9）原式
（10）原式
（11）原式
（12）原式
2.解：
3.解：
若用洛必达法则，则无限循环，即
（4）原式=
3、（1）证明：令 ，则
所以
（2）证明：令 ，则 ，
所以
（3）证明：令 ，则 ，
所以
6、（1）原式=
（4）原式=
（6）原式=
（8）令 ，则原式=
（9）原式=
（10）原式=
习题5—4
1、（1）
（3） ，发散
2、（1） 为函数 的无穷间断点，所以原式= 发散
（3） 为函数 的无穷间断点，所以
故 ，
，得唯一驻点： 。
当 ， 时，圆柱体积最大。
15.解：设生产 台，利润最大。
则目标函数为
高数(一)第一章练习题
高等数学（一）（第一章练习题）一、 单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）A.x 2+2xB.x 2-2xC.-x 2+2xD.-x 2-2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2xC.x 2xD.22x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）A.x 2-6x+5B.x 2-5x+6C.x 2-5x+2D.x 2-x 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（ ）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）A.t 2+1B.t 4+2C.t 4+t 2+1D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。
高等数学 (一)
高等数学= = = = = = = = = = = = 骨头= = = = = = = = = = = = 对象：函数方法：极限思想：以不变代替变消除误差取极限内容：微积分（1）一元函数微积分||空无穷级数|间他们的应用|解|析常微分方程|（2）多元函数微积分（一）一元函数微积分：（1）微分学：函数、极限、连续；导数、微分----中值定理（4个；证明题）----（导数与微分的应用）（2）积分学：不定积分；定积分；定积分的应用↓维数↓增加↓（二）多元函数微积分（1）微分学：函数、极限、连续；偏导、全微分；应用（极值）（2）积分学：****；重积分（二重积分；3重积分、线积分和面积分<数一>）；应用注意：一元函数微积分与多元函数微积分之间的联系和差别肉一、函数1.概念X↔I→→f→→y↔Rf(x)注意：（1）定义域（3点：0不能做除数、负数不能开平方、0和负数不能有对数）（2）函数的表达式与自变量的表示符号无关：y=f（x）与y=f（t）相同（函数关系不变）（3）由实际问题所建立的函数（极限的定义域；导函数的定义域；幂级数的和函数的表达式与定义区间）需要自己建立函数关系确定函数的定义域，根据实际问题<后面加>2.函数的特性（1）奇偶性（从定义来理解和证明应用）f(-x)=f(x)，偶图形关于y轴对称[（y，-x ）>>（y，x）；y1=y2时候x1+x2=0且x1+x2=0时候y1=y2]f（-x）=-f（x），奇图形关于原点对称 [（y，-x ）>>（-y，x）；y1+y2=0时x1+x2=0且x1+x2=0时y1+y2=0] 注意：①奇偶函数运算：两个偶函数的和、差、积为偶函数奇函数与偶函数的积为奇函数两个奇函数的积为偶函数任何一个函数都可以写成一个奇函数和偶函数的和f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]奇偶性在求导积分中的应用（后讲）②周期性f(x+T)=f(x),f(x)以T为周期注意：周期性在求导、函数特性、积分中的应用（画图中的应用）周期性与奇偶性都只能通过定义证明③增减性若x1，x2↔I，x1<x2有f（x1）<f（x2）或者f（x1）>f（x2）则f（x）在I区间内严格单调增或者减注意：（1）在证明不等式的时候常遇到<=或>=，称为不减或者不增，考点也属于增减性（2）函数的增减性与讨论的区间有关（题型：确定函数的增减区间；例如y=x^2）增减区间的交换点，极值（导数值为零）（3）增减性由导数的符号判定（微分学的应用之一）（4）增减性是证明不等式的一个重要工具（后讲）④有界性假定y=f(x)，x↔I,存在M>0，对所有|f(x)|<=M成立则称f（x）有界图形-有界：有上下界注意：（1）有上界（单调减 , f（x）<=M有下界（单调增 , f（x）>=-M（2）有界性与讨论的区间有关（3）有界的讨论与极值有关（后讲）3.函数的分类（1）反函数y=f(x)→x=f^-1(y)条件：单调注意：y=f（x），x=f^-1(y) 代表同一条曲线（图形相同）y=f（x）与y=f ^-1（x）关于一三象限对称（2）基本初等函数①幂函数②指数函数（双曲函数）③对数函数④三角函数⑤反三角函数要求：对这五类基本函数的定义域、值域、特性要非常清楚（1-2，28Min-32Min）(3)复合函数y=f(u),u=w(x)y=f[w(x)]u的值域↔y的定义域注意：①并非所有函数都可以复合②考研：一拆多（4）初等函数经过有限次的四则运算或复合得基本初等函数（5）参数方程{X=x（t）Y=y（t）}得到y=y（x）（6）隐函数F（x，y）=0（易于理解函数，或者难用x表现y或者y表示x<求解函数时使用>）实际上是复合函数(7)分段函数①y=f(x)={f(x),x<=0-f(x),x>0} ②y=|f(x)|③ y=max[f(x),g(x)] x ↔(a,b)真正讨论时需要转化为①类讨论（1-2,41Min-43Min ） ④y=[f(x)]取整函数（1-2，44Min-45Min ）二、极限 1.定义：数列的极限（ε-N 语言）0X Xon lim ()()U Xo ()lim ()()123lim(....)1/2*(1)/^21/2^2^2^2^2lim ()lim ()11sin lim ()()x x f x A f x f x f x f xo n n n n n n n n f x g x x xf xg x →→→∞=∃∞++++=+=⇒若存在，则（）使其内，有界与无关函数的极限（ε-δ语言）lim 00,|f(X)-A|<X XoXn A εδδε→=⇔∀>∃>使0<|X-Xo|<时注意：ε是任给的，N 、δ是存在的但不唯一 δ=δ（a ），N= N （ε）lim 00,n>N |Xn-A|>=x Xn A N εε→∞≠⇔∃>∀>使时（1）极限的结构极限{变化过程，对自变量来讲（自变量的变化过程，δ、N ）； 变化趋势，对函数而言，ε}（1-3，13Min-19Min ） （2）单边极限（分段函数；函数极限） 左极限0(0)lim ()X Xof f x x -→-=右极限0(0)lim ()X Xof f x x+→+=000lim ()(0)(0)X X f x A f f A x x →=⇔-=+=lim ()()lim ()()lim ()()()()()X X X f x f f x f f x f f A f f A→-∞→+∞→∞=-∞=+∞=∞∞=⇔+∞=-∞=2.极限的性质（1）唯一性（2）局部保号性（极限大于零则函数大于零<局部内>；1-3，30Min-35Min ） 注意：0X Xo()()0(0),lim ()A>=0f x f x f x A x x →><=若在=及其附近有定义，且存在，则（3）局部有界性（有极限的函数必有界<局部内>）lim ()U Xo ()x x f x A f x →=∃若存在，则（）使其内，有界注意：上述性质对x →∞也成立，U （Xo ）→|X|充分大3.极限的判别准则（1）单调有界数列必有极限（1-4，8-10MIN ） 注意：单调增有上界 ⇒ 极限存在 单调减油下界 ⇒ 极限存在数列的极限与前有限项无关 X Xolim ()()f x f xo →与无关4.极限的四则运算和差积商的极限与极限的和差积商相等 注意：（1）参加运算的极限只有有限次，且每一项的极限都存在n 123lim(....)1/2*(1)/^21/2^2^2^2^2n n n n n n n n →∞++++=+= （2）极限的和差①lim ()f x 存在，lim ()g x 不存在⇒lim(()())f x g x ±不存在 ②lim ()f x 不存在，lim ()g x 不存在⇒lim(()())f x g x ±有可能存在 ③lim ()f x 存在，lim(()())f x g x ±也存在⇒lim ()g x 存在注意：上述三条在反常积分、无穷级数中的应用 （2）极限的乘积若lim ()f x 存在，lim ()g x 不存在(其中一个极限为0)或lim ()f x 不存在，lim ()g x 也不存在（ 101010101…与010*******…） 但lim ()()f x g x 都有可能存在5.无穷大，无穷小lim ()f x =0 ，()f x 无穷小 lim ()g x =∞，()g x 无穷大注意：① 无穷大于无穷小与过程有关② 同一过程下，无穷大与无穷互为倒数，0除外③ 无穷大属于极限不存在的情况下（也就是说极限的四则运算不适用于无穷大）④ 无穷大一定是无界的，无界不一定是无穷大（如y=11sin x x）(1-4,31-36Min ） 6.无穷小的比较不同的函数趋向于0的速度不一样 （1）假设lim α（x ）=0；lim β（x ）=0 若lim α（x ）/ β（x ）=∂∂≠0的常数，则α（x ）与β（x ）同介 ∂=1，则α（x ）与β（x ）等价表示为则α（x ）～β（x ） （2）反身性；传递性① α（x ）～α（x ）② α（x ）～β（x ）⇔β（x ）～α（x ）③ α（x ）～β（x ），β（x ）～λ（x ）⇔α（x ）～λ（x ） （3）若limf （x ）/g （x ）=a a=0，f （x ）比g （x ）高阶 表示为f （x ）=0（g （x ））（4）∂=∞，f （x ）比g （x ）低阶注意：①若lim f （x ）/ g （x ）=a ≠0 则称f （x ）是 g （x ）的K 阶无穷小 ②limf （x ）=A ⇔f （x ）=A+α 其中lim α（x ）=0③常利用无穷小的等价函数求极限7.两个重要的极限（1）0sin lim 1x x x →=（通过图形证明）002(sin )^21cos 12lim lim .1/2^24()^22x x x x x x →→-==2222111cos 112.lim cos 12000n lim(lim lim ()()lim ()lim ()()lim 0y lim lim (0)!lim n cos )(1cos 1)x x x x x x x x x x nn n n x xx f x f f x Xo Xo Xo f x f XnYn a n x x x x a y αβλ→----→→→→→→∞→∞→∞→∞∂℘∈∃∀====⇔====>+- （1）f(Xo)有定义（2）存在（3）求222111( (12)n n n +++++推广型-（第一种重要极限的求极限法：配分母）： lim （*）=0则lim[sin （*）/（*）]=1如002(sin )^21cos 12lim lim .1/2^24()^22x x x x x x →→-==（2-1,18-19Min ） 注意：x →0时，sinx ～x 1-cox ～1/2x^2 tanx ～x （2）10limlim 1(1)(1)xxx x x x→→∞==++推广型-（第二种重要极限的求极限法：拆底数-配指数）:lim （*）=0lim （1+*）^1/*=0 例：2222111cos 112.lim cos 120lim(lim cos )(1cos 1)x x x x x x x x x x x →----→→===+- (2-1，24-25Min)极限的计算方法：四则运算，等价无穷小代换，求极限的两个方法三、连续1.定义 等价定义定义1：设f （x ）在Xo 及其附近有定义△X →y 的增量△y=f （Xo+△X ）- f （Xo ）若00lim ,f x x x x y o ∆→∆=则称（）在=点连续定义2：0lim ()(),()x x x x f x f f x x →=若则称在=点连续（极限值等于函数值）注意：①0lim ()(),()x x x f x f f x Xox -→=若则称在=点左连续若f （Xo+0）=f （Xo ）0()x x f x 则称在=点右连续② 若f （x ）在（a ，b ）内点点都连续，则称f （x ）在（a ，b ）内连续③ 若f （x ）在（a ，b ）内连续，在x=a 点右连续，在x=b 左连续，则称f （x ）在[a ，b]上连续2.连续函数的运算（连续是由极限定义的，因此极限的运算法则可以用在连续上）（2-1,38Min ）注意：基本初等函数在定义域内连续 初等函数在定义区间内连续例：y=arcsin （x^2+1）在x=0点不连续但有定义，因为x=0点附件没有定义 3.间断点00lim ()()lim ()lim ()()x x x f x f f x f x f Xo Xo Xox x →→→=⇔=（1）f(Xo)有定义（2）存在（3）存在定义：若f （x ）在Xo 点，上述三条至少有一条不成立，则称x=Xo 为f （x ）的间断点 注意：间断点的分类 （1）若f （Xo-0），f （Xo+0）都存在则称Xo 为第一类间断点 特例：f （Xo-0）=f （Xo+0）则称Xo 为可去间断点 f （Xo-0）≠f （Xo+0）则称Xo 为跳跃间断点 例1：y=f （x ）={sinx/x,x ≠0;2,x=0} 则x=0为可去间断点（若x=0时y=1，则函数连续） 例2：y=f （x ）={x+1,x<0;x-1,x>0}（x=0处无定义，函数不连续）则x=0为跳跃间断点（2）若f （Xo-0），f （Xo+0）至少有一类不存在则称Xo 为第二类间断点 例1：y=1/x 在x=0处为第二类间断点（无穷间断点）例2：y=sin （1/x ）在x=0点为第二类间断点（震荡型，图形） 注意：无穷间断点与求渐近线；反常积分中的应用例：y =1个，x=-1）（2-2,9-11Min ）4.闭区间上连续函数的性质设y=f （x ）在[a,b]上连续，则（1）y=f （x ）在[a,b]上必有最大值与最小值，即∃X1，X2∈ [a,b],∀x ∈ [a,b]有 f （x ）<=f （X2）（区间上的最大值）f （x ）>=f （X1）（去见上的最小值） 最大值最小值是唯一一个数，但是取得最大值最小值的点可以不止一个；最大值与最小值可以是同一个值，此时函数为常数 （2）介值定理f （x ）必取得最大值和最小值之间的一切值 注意：①闭区间上的连续函数一定是有界的②f （x ）在[a ，b]上连续，f （a ）f （b ）<0，则至少∃℘∈（a ，b ）使得f （℘）=0 例1：设Xn ，Yn 满足lim 0x XnYn →∞=则成立的是A 若Xn 发散，则Yn 必发散 Xn （010203…） Yn(000000…)B 若Xn 无界，则Yn 必有界 Xn （010203…） Yn(102030…)C 若Xn 有界，则Yn 必为无穷小 Yn （010203…） Xn (000000…)D 若1/ Xn 无穷小，则Yn 必为无穷小乘积的极限等于极限的乘积（2-2,31-34Min ） 例2：证明：limlim (0)!nn n n a n a y→∞→∞=>存在（2-2，36-41Min ）证明极限存在：单调有界（有递推关系的首先想到），加别定理(放大一下缩小一下，但是放大缩小后的极限要相同)例3：222n 111lim n(...)12nnnn→∞+++++求（2-2,43-44Min ）例4： 求极限 （1）limx （2-2,47-48Min ）注意：四则运算要求参与运算的极限都存在，因此本题的原型不能使用积商的极限等于极限的积商方法：遇到根号通常进行有理化 （2）3113lim()11x x x →---（2-2, 48-50Min ） 方法：无穷大减无穷大通常进行通分，然后再进行补充（化简） （3）练习x →例5：等价无穷小(2-3，5-7Min)A 1-()ln(1()10B C D +→-当x （）常用的三个等价无穷小1,,ln(1)(1)xx x x x x eαα-++答案：B 例6：已知极限求表达式里的一个常数（2-3，9-12Min ）011lim[()]1a A B C D xx a x xe →--=已知则为（）0（）1（）2（）3答案：C 例7：Xlim 8ax 2a x-ax →∞=+已知求（）现象-分析-方法：1的无穷次大，拆底数配指数 答案：a=ln2 注意：10011111 (i)...a a a a nn n n mm x n nxxx xb x b x b x b x ---→∞-++++++++要看其最高次={00a b,n=m ；∞,n>m;0,n<m} 例8：（2-3,18-23Min ）x sin 0(,0)a+ba xb a b --=>证明方程至少有一正根，且不大于现象-分析-方法：作左方看做函数→函数有零值→介值定理→零值定理 初等函数→连续不大于→≦→分类讨论 例9：（2-3,26-30Min ）()()lim ()()()x f x f x f x →∞-∞+∞-∞+∞设在，连续，且存在，证明在，有界闭区间上连续必有界，有极限的函数必有界（局部有界）导数与微分一、导数1、定义两个实际问题：一曲线在一点的切线，方法----利用割线逼近一点的切线，二是物理上的瞬时速度，先求平均速度然后用时间间隔趋向于零近似的得到瞬时速度 但是他们都有误差，因此要取极限（哲学上讲：是质变），由割线上升到导数，由平均数上升到瞬时速。
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单选题1.A.AB.BC.CD.D答案:A2.A.AB.BC.CD.D答案:B3.A.AB.BC.CD.D答案:B4.A.AB.BC.CD.D答案:C5.A.AB.BC.CD.D答案:A6.A.AB.BC.CD.D答案:D7.A.AB.BC.CD.D答案:B8.A.AB.BC.CD.D答案:B9.A.AB.BC.CD.D答案:B10.A.AB.BC.CD.D答案:C11.A.AB.BC.CD.D答案:B12.A.AB.BC.CD.D答案:C13.A.AB.BC.CD.D答案:C14.A.AB.BC.CD.D答案:B15.A.AB.BC.CD.D答案:A16.A.AB.BC.CD.D答案:A17.A.AB.BC.CD.D答案:A18.A.AB.BC.CD.D答案:C计算题1.求。
答案:2.设,求。
答案:因为所以。
3.求。
答案:利用洛必达法则,有.4.设,求常数。
答案:因为时分子趋于零,而极限存在,故必有分母的极限也趋于零,即有,于是,代回原极限,得.最后两式左边的极限可以算出为,它应该等于,便解得,代入前一表达式,知.5.设函数在点处连续,试确定常数的值。
答案:因为函数在点处连续,故有。
由于上述极限存在,而分母的极限为零,必有,代回原极限式,有,从而得到。
6.设函数,求。
答案:因为,故得。
7.求曲线在点(1,)处切线方程.答案:因为,所以曲线在点(1,)处的切线方程为.8.求极限答案:. 9.若当时,与是等价无穷小,求。
答案:因为当时,与是等价无穷小,则有,因此有。
但是无穷小,故知。
高等数学第一章.
记作A
B,即A
B
x
xA或xB.
交集(Intersection): 设A和B是两个集合,由既属
于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A
和集合B的交集, 空集:如果A和B没有公共元素，则称集合A和集合B
集合的表示方法：列举法和描述法。
1.列举法：就是把所有元素都列出来，用大括号括
起来。
s 例如：如果令 表示由2、3、4三个数组成的集合，
用列举法将其写成：s ={2,3,4}
2. 描述法：用语言描述出所有元素的共有特征。
若令 I 表示所有正整数集合,列举便很困难,则我们
可以简单地描述其元素,
写成：
称A是有限集,否则称为无限集(Infinite Set). 我们用N表示全体自然数的集合，即N{1,2,3,L }， 如果存在从A到自然数集合N的双射,则称A是可数无 限集(Countable Infinite Set). 1.2 实数 用Z表示全体整数的集合， 用Q表示全体有理数的集合。
有理数和无理数统称为实数, 用R表示. 把数轴叫做实直线。 上界(Upper Bound):令X是R的一个子集。若存在一 个实数u(不一定属于X), 满足对X中的任意x都有xu, 则称u是X的上界(Upper Bound). 这时称X是有上界的(Bounded Above).类似地，可以
定义下界(Lower Bound).
上确界(Supremum): 令X是R 的一个有上界的子集，
若s是X的一个上界，且对于任意的 y s 都存在一个 xX ,使得x y，则称s是X的上确界。 记为s=sup X; 类似地，可以定义X的下确界(Infimum)。 上确界是最小上界，下确界是最大下界 若X是R的一个有上界（下界）的子集，则X有上确界
(完整word版)《高等数学(1)》练习题库
华中师范大学网络教育 《高等数学（1）》练习测试题库一．选择题1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（ ）A 2x 2－2B 2－2x 2C 1＋x 2D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n1,1 D. {n n 212+}4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x xk)1(lim e 6 则k=( )A.1B.2C.6D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x2-1B. x3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （）A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x0必不连续B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续D、在点x0必不连续14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）A、B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logx相切，则（）aA、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、-8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A、-1B、0C、л/2D、232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x0可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x xx 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 xx x x sin 1sin lim20→=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）A 、2B 、1/2C 、1D 、042、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为（ ） A 、0 B 、1/2 C 、1 D 、2 43、若函数f(x)在（a,b ）内存在原函数，则原函数有（ ）A 、一个B 、两个C 、无穷多个D 、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（ ）A 、2e x/2B 、4 e x/2C 、e x/2 +CD 、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=（）A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、B、2 C、31/2D、21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（）A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56、设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１A.１－──B.１+ ──C. ────D.ｘｘｘ１－ｘ１57、ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘA.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.无界变量58、方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）A.平行于ｘｏｙ面的平面B.平行于ｏｚ轴的平面C.过ｏｚ轴的平面D.直线59、下列函数中为偶函数的是（）A.ｙ＝ｅ^xB.ｙ＝ｘ^3＋１C.ｙ＝ｘ^3ｃｏｓｘD.ｙ＝ｌｎ│ｘ│60、设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ_1〈ｘ_2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）A.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）B.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）C.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）D.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）61、设ｆ（X ）在 X ＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X ）在 X ＝Xo 可导的 （ ） A.充分必要的条件 B.必要非充分的条件 C.必要且充分的条件 D 既非必要又非充分的条件二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x =（ ）5、求极限0lim →x (1-x)1/x = （ ）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ） 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ） 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ） 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ） 13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ）16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ） 18、若∫f(x)dx=x 2e 2x +c ，则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt=（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx=（ ） 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ） 24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ） 25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（ ） 26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 30、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 31、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 32、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）33、满足不等式|x-2|＜1的X 所在区间为 ( ) 34、设f(x) = [x] +1，则f （л+10）=（ ） 35、函数Y=|sinx|的周期是 （ ）36、y=sinx,y=cosx 直线x=0,x=л/2所围成的面积是 （ ） 37、 y=3-2x-x 2与x 轴所围成图形的面积是 （ ）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46、函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ^2 ＋──────的定义域为_________√１－ｘ^2_______________。
高等数学《一》
定义2.若y=f (u)的定义域U. 而u=(x)的定义域 为X, 值域为U*.且U U* . 则 y 通过 中间变量u成为x的函数, 称它为由f (u)和
(x)构成的复合函数. 记作y=f [(x)].
注1：复合函数f [(x)]的定义域X包含在u=(x)
f
而函数式则可通过代入运算而得到: 将u=(x)代入到y =f (u)中. 得到y=f [(x)].
称它为由f (u)和(x)构成的复合函数.
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx. 则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), 而u=(x)=sinx. 代入后
2. 称由基本初等函数经有限次加, 减, 乘, 除运算 和有限次复合运算而构成的函数为初等函数.
如 y ln cos x
2
,y
sin
2
( x 1 )都是初等函数
.
但也有很多不是初等函数的函数.
例3. 符号函数
1 y sgn x 0 1
| x | x 0 x 0 x 0
称x为y在 f 下的原像, 称X为函数f 的定义域. 记作D(f ). X在f 下的像集f (X)={f (x)| xX}称为f 的值域. 记作R(f ). 显然有R(f )Y.
注1.定义1可改写为“若f 是从实数集X到
实数集Y的一个映射. 则称f 是一个一
元实值函数”.
注2. 在定义1中，f 是函数, 它是一个映射, 是一 个对应规则.而f (x)则是函数值, 是x在f下的 像.但在习惯上, 我们把f (x)也称作x的函数. 另外, 习惯上, 称x为自变量, y为因变量. 注3.本教材中用符号“”表示子集, 而不是用
《高等数学》（一）第一章同步辅导
难点：函数的复合。
典型例题分析与详解
一、单项选择题 1 下列集合中为空集的「」 A ｛ ｝B ｛0 ｝ C 0D ｛x ｜x2+1=0，x ∈R ｝ 「答案」选D 「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在 实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集 2 设A=｛x ｜x2-x-6>0 ｝，B=｛x ｜x-1 ≤1 ｝， 则A ∩B=「」 A ｛x ｜x >3 ｝B ｛x ｜x C ｛x ｜-2 「答案」选B 「解析」由x2-x-6>0 得x >3 或 x3 或x 3 设A 、B 是集合{1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}的子集，且A ∩B={1，3 ，7 ，9}，则A ∪B 是「」 A {2，4 ，5 ，6 ，8}B {1，3 ，7 ，9} C {1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}D {2，4 ，6 ，8} 「答案」选A 「解析」由A ∪B=A ∩B={1，3 ，7 ，9}，得A ∪B={2，4 ，5 ，6 ，8} 4 设M={0，1 ，2}，N={1，3 ，5}，R={2，4 ，6}，则下列式子中正确的是「」 A M ∪N={0，1} B M ∩N={0，1} C M ∪N ∪R={1，2 ，3 ，4 ，5 ，6} D M ∩N ∩R= （空集） 「答案」选D 「解析」由条件得M ∪N={0，1 ，2 ，3 ，5}，M ∩N={1} ，M ∪N ∪R={0，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6}，M ∩N ∩R= . 5 设A 、B 为非空集合，那么A ∩B=A 是A=B 的「」 A 充分但不是必要条件 B 必要但不是充分条件 C 充分必要条件
高等数学 第一章
数列中的每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称 为数列的一般项或通项．
（一）数列极限的概念
定义 2 对于数列 {xn} ，当 n 无限增大时，如果数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数
值
a，则称常数
a
是数列 {xn} 的极限，或称数列 {xn} 收敛，其收敛于
（二）指数函数
y ax (a 0 ，a 1) 为指数函数，它的定义域为 ( ， ) ，值域为 (0 ， ) ．当 a 1 时，y ax 单调增加；当 0 a 1 时， y ax 单调减少．指数函数的图形都经过点 (0 ，1) ，且均在 x 轴上方。
（三）对数函数
y loga x (a 0 ，a 1) 为对数函数，它是指数函数 y ax 的反函数，其定义域为 (0 ， ) ，值 域为 ( ， ) ．当 a 1 时， y loga x 单调增加；当 0 a 1 时， y loga x 单调减少．对数函数 的图形都经过点 (1，0) ，且均在 y 轴的右方.
其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
（三）函数的定义
当 x 取定义域 D 内的某一定值 x0 时，按照对应法则 f ，所得的对应值 y0 称为函数 y f (x) 在
x0 处的函数值，记作
y0
y x x0
f (x0 ) ，
当 x 取遍定义域 D 中的所有数值时，按照对应法则 f ，所得的所有对应值 y 构成的集合称为函 数的值域，记作 M {y | y f (x) ，x D}．
则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的，区间 I 称为单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两 点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，
高等数学(一)学习笔记
π ,n ∈ Z)},为奇函数， π 为周期, 2
周期内单
π ， 2
π ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加 2 反余弦函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2 π 为周期。若限制值域为[0， + π ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减 反正切函数：y=Arctgx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数， π 为周期。若限制值域为[-
x → x0
定理一：如果 lim
x → x0
f ( x) = A ，而且 A>0(或 A<0),那幺就存在着点 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻 f ( x ) = A , 那幺 A ≥ 0(或 A ≤ 0).
域时，就有 f(x)>0(或 f(x)<0). 定理二：如果在点 x0 的某一去心邻域内 f(x) ≥ 0(或 f(x ≤ 0), 而且 lim 可证明：f( x0 -0)=f( x0 +0)为 lim
x →∞
7、无穷小和无穷大 (1)、无穷小，极限为 0，则称函数为无穷小(当 x →
x0 或 x → ∞ ). x0 或 x → ∞ )，具有极限
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x →
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数 即为这函数的极限。 B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷 小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小) C、无穷小的比较：
高等数学一
高等数学一
高等数学一是大学数学课程的一部分，它主要包括以下内容：
1. 函数与极限：研究函数的性质、变化规律以及极限的存
在与计算方法。
2. 导数与微分：学习导数的概念、性质和计算方法，以及
微分的应用。
3. 积分与定积分：学习积分的概念、性质和计算方法，以
及定积分的应用。
4. 微分方程：学习一阶和二阶微分方程的基本概念和解法。
5. 多元函数微分学：学习多变量函数的概念、偏导数、全
微分和方向导数，以及多元函数的极值问题。
6. 无穷级数与幂级数：学习无穷级数和幂级数的概念、性
质和收敛条件。
7. 空间解析几何：学习空间中直线、平面等基本几何元素的性质和相互关系。
高等数学一是大学数学的入门课程，主要用于培养学生对数学的思维能力和分析问题的能力，并为后续更深入的数学学习打下基础。
高等数学(一)1课程教学大纲
第一章矢量与坐标
【目的要求】能正确理解矢量的概念，并且能灵活运用这些概念解决一些具体问题；掌握矢量的线性关系及矢量的分解；熟练掌握矢量各种运算的定义、性质、法则以及矢量的各种位置关系及其对应的代数表示式，在此基础上能进行正确的证明、计算；能正确理解矢量的坐标与点的坐标的内在联系和区别，掌握矢量运算的坐标表示及其各种位置关系的坐标表示，并且能熟练地进行运算和论证。
三、泰勒公式
四、函数单调性的判别法
五、函数的极值及其求法
六、函数的最大值和最小值
七、函数的凹凸性与拐点
八、函数图形的描绘
九、曲率
●实践教学内容与安排（4学时）
一、第一章习题
二、描绘函数图形
【作业与思考】第一章部分习题
思考：函数一阶导、二阶导数与函数极值点和拐点有哪些联系？
第六章定积分
【目的要求】掌握积分概念，性质，换元积分法和分部积分法、有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。
【作业与思考】第三章部分习题
思考：微分与积分的联系。
学时分配表
课程内容
学时
理论
第一章中值定理与导数应用
16
第二章不定积分
10
第三章定积分
10
实践
一各章节习题
19
二描绘函数图形
2
三讨论：定积分与不定积分换元法的区别
1
考核
1．第一、二章内容
2
合计
60
教学策略与方法建议：以讲授法为主，辅以练习法、谈话法、讨论法、引导发现法。教学策略上宜以问题的呈现引发学生思考，帮助学生建立数学模型，找出解决问题的一般方法，从而建立概念，掌握有关数学思想方法，巩固定理和法则。
【重点与难点】重点是求导公式及法则。难点是导数与微分概念。
高数(一)试题(2)
高等数学（一）（第三章练习题）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在2.设函数f(x)在点a 可导，且1h 2)h 5a (f )h 5a (f lim 0h =--+→，则=')a (f （ ）A.51B.5C.2D.21 3.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（ ） A.0B.1C.-0.5D.-44.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性=EPEQ（ ）A.bp a b --B. bp a b- C. bp a bp -- D. bp a bp -5．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件又非必要条件 6.设函数f(x)在x=a 处可导，则f(x)在x=a 处（ ） A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 7.设函数(x)(x),a)-(x f (x)ϕϕ=在x=a 处可导，则（ ） A.)x ()x (f ϕ=' B.)a ()a (f ϕ'=' C.)a ()a (f ϕ=' D.)a x ()x ()x (f -+ϕ=' 8.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx9.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x （ ）A.0B.1C.lnaD.(lna)n10.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） A.x )x (C B.0x x x )x (C = C.dx )x (dC D.0x x dx )x (dC =11.设函数y=f(x)在点x 0可导，且,a )x (f 0='则 =∆-∆-→∆x)x (f )x 2x (f lim 000x （ ）A.aB.2aC.-2aD.-2a 12.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（ ） A.4B.8C.0.5D.0.12513.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EPES（ ） A.bpa bp+B.bp a b+ C.bpa bp +- D.bpa b+- 14．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（ ） A ．)p ('D p D - B ．)p ('D D p - C ．)D ('p pD-D ．)D ('p Dp-15．设△y=f(x 0+△x)-f(x 0)且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（ ） A ．0x lim →∆△y=0 B ．△y=0 C ．dy=0 D ．△y=dy16．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（ ） A ．00x )x (L B ．dx)x (dL C ．0x x dx )x (dL =D ．)dx)x (L (dx d 17．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14!D ．018.设f (x )为可微函数，且n 为自然数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)n x (f )x (f 1lim n =（ ）A.0B.)x (f 'C.-)x (f 'D.不存在19.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y '=（ ） A.)x (f ' B.)x (f -' C.-)x (f 'D.-)x (f -'20.设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ） A.0.25 B.-0.25 C.100D.-10021已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（ ） A ．5 B ．3 C ．3.5D ．1.522.设f(x)=⎩⎨⎧<≥+0x ,x 0x ),x 1ln(, 则=')0(f （ ）A.0B.1C.-1D.不存在23.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ）A.)p (S S p '-B. )p (S S p 'C. )p (S p 'D. )p (S S 1'24.设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.不存在25.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5p，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p p B.p p -250 C.51pp -250D.51250-p p 26.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012x 2++，则生产6个单位产品时的边际成本是（ ）A.6B.20C.21D.2227．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数ExEy=（ ） A ．221504x - B ．221504x x- C ．150242-x xD ．1502422-x x28.设f (x )=2x,则f ″(x )=（ ）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·429．设f (x )=arccos(x 2)，则f ＇(x )=（ ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.2.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 3.函数f(x)在点x 0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x 0可导的___________条件.4．设某商品的市场需求函数为D=1-7P，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 .5．设y=2x 2e x ，则y ''(0)= .6. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160q 2(百元)，则q=500件时的边际成本为___________.7.设f(x)在x=a 处可导，则=--→h)a (f )h 2a (f lim 0h ___________.8.曲线y=sinx 在点π=32x 处的切线方程为___________. 9．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h)h 5x (f )x (f lim0000h ==+-→则10. 设f(x)=⎩⎨⎧≥<-1|x |,01|x |,x 12,则'-f (1)=_____.11.设y=cos 2x 1+，则'y =_____.12.已知某产品的产量为g 时，总成本是C(g)=9+800g 2，则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.13.设⎩⎨⎧>≤-=0x ,x 0x ,e 1)x (f 2x ，则-'f (0)=___________。
《高等数学(一)》期末复习题(答案)
《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。
高等数学一是哪本教材
高等数学一是哪本教材高等数学一是大学数学课程中的一门必修课程，主要介绍了数学分析的基本理论和方法。
对于大部分大学来说，高等数学一是通过教材来进行教学的，下面将介绍几种常用的高等数学一教材：一、《高等数学（第七版）》（同济大学出版社）该教材由同济大学数学系编写，是广泛使用的教材之一。
此教材内容丰富全面，结构严谨，逻辑性强。
它以实例为基础，循序渐进地讲解数学的基本概念和定理，配有大量的习题和例题以巩固学生的理解与运用能力。
该教材语言通俗易懂，对于初学者来说较易接受。
二、《高等数学（第八版）》（人民教育出版社）这是一本经典的教材，深受学生和教师的喜爱。
该教材对数学的概念、原理和应用进行了详细的介绍和推导，形式上条理清晰，内容上丰富全面。
同时，该教材除了提供基本的教学内容外，还附有丰富的习题和例题，方便学生巩固知识和练习技能。
三、《高等数学（第三版）》（清华大学出版社）该教材是由清华大学数学系编写的，内容体系完整、严谨，优点是理论与实践相结合。
该教材着眼于培养学生的分析和解决问题的能力，注重数学的应用和发展，为学生提供了很好的思考框架和解决问题的方法。
可通过习题的练习来巩固学生的基本知识和技能。
四、《高等数学（第五版）》（高等教育出版社）该教材是一本经典的高等数学教材，广泛应用于中国的高校教育。
它以数学分析理论为基础，介绍了微积分、导数与微分、积分和微积分基本定理等主要内容。
该教材具有较好的阅读性，并提供了大量的例题和习题供学生练习和巩固知识。
综上所述，高等数学一教材有很多种选择，每种教材都有其独特的特点和优势。
选择适合自己的教材，关键在于学生对教材内容的理解和接受程度，以及教材编写人员的教学理念和风格。
无论选择哪种教材，在学习过程中，都需要注重理论与实践相结合、理解与应用并重，培养自己的数学思维能力和解决问题的能力，才能更好地掌握高等数学一的知识。
高等数学 (1)
1 x2 0 ，即 1 x 1
所以函数 f (x) 1 x2 的定义域为 1,1 .
同样，要想 g(r) 是实数，必须 r 2 1 0 ，即 r 1 或 r 1
所以函数 g(r)
2 r2 1
的定义域为 ,1 (1,)
1.1.3 区间和邻域
定义1.7 设函数 f(x) 的定义域 I 关于原点对称,(关于y轴对称） 对x I , 若恒有
f(–x)=–f(x) (f(–x)=f(x) )
则称函数f(x)为奇函数 (偶函数).
思考 奇、偶函数的图形有何特征?
1.1.7 反函数
定义1.9 设函数 f(x) 的定义域为D ,值域为S , 若对 yS , 有唯 一的 xD ,使 f(x) = y, 得到一个以y 为自变量x 为因变量的函数, 称 为函数 y = f(x) 的反函数.
同理 f (1) 2(1) 2 f (2) (2) 1 1 f (3) (3) 1 2
函数y = f(x)图形由抛物线 y x2 的 (0,) 段、直线y = 2x的(-2, 0]段 和直线y = -x-1的 (,2] 段组成，如图所示.
3.奇偶性
什么关系?
例9 已知 f (x) 4 x2 ，x 0 .画出函数 f 1(x) 的图形，并求出 f 1(x) 的表 达式.
解 :函数 y 4 x2 是顶点为(0, 4) ，开口向下，零点为2和 -2的抛物线，
因函数 f (x) 4 x2 的定义域为 x 0 ，故f(x)的曲线是该抛物线在顶点的右半支.
y f (x)
其中D称为函数的定义域，x称自变量，y称因变量(对于一个确定的x而言，也 称为函数值).所有函数值组成的集合S称为函数f(x)的值域，它满足
高等数学1
3、函数的奇偶性:
设D关于原点对称 若对于 x D, 有 - x Î D， ,
f ( x ) f ( x )
则称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
偶函数
设D关于原点对称 若对于 x D, 有 ,
f ( x ) f ( x )
(6) xy x y ;
x x ( 7 ) ( y 0). y y
一、概念
1、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b]
有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D } 称为函数的值域 .
注意：
(1)上述定义中, 法则 f 确定了变量x与变量y之间 的对应关系, 这种对应关系也称为函数关系. (2)函数的两要素:
(
定义域 D( f ) 与对应法则 f.
x
y
D
对应法则f
x0 )
自变量
(
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一.单选题（共14题）
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• A
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• B
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• C
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• D
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正确答案：B 我的答案：B 2
• A
•
• B
•
• C
•
• D
•
正确答案：D 我的答案：A 3
• A
单调增加
•
• B
单调减少
•
• C
图形上凹
•
• D
图形上凸
•
正确答案：A 我的答案：4
• A
4
•
• B
3
•
• C
2
•
• D
1
•
正确答案：D 我的答案：5
• A
•
• B
1
•
• C
2
•
• D
3
•
正确答案：C 我的答案：6
• A
•
• B
•
• C
•
• D
•
正确答案：B 我的答案：7
• A
•
• B
•
• C
•
• D
•
正确答案：D 我的答案：
8
• A
•
• B
•
• C
•
• D
•
正确答案：A 我的答案：9
• A
•
• B
•
• C
•
• D
•
正确答案：A 我的答案：10
• A
充分必要条件
•
• B
充分条件
•
• C
必要条件
•
• D
无关条件
•
正确答案：C 我的答案：11
• A
•
• B
•
• C
•
• D
•
正确答案：B 我的答案：12
• A
3
•
• B
2
•
• C
1
•
• D
•
正确答案：A 我的答案：13
• A
•
• B
•
• C
•
• D
•
正确答案：D 我的答案：14
• A
连续且可导
•
• B
不连续但可导
•
• C
连续但不可导
•
• D
不连续也不可导
•
正确答案：C 我的答案：
二.填空题（共15题）
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三.证明题（共3题）
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四.计算题（共15题）
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五.应用题（共4题）
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