第三章-单元和插值函数的构造
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
只有角节点
二次单元
三次或高次单元
3.1 引言
2、 C0型和C1型单元
因为幂函数多项式具有便于运算和易于满足收敛性要求的优 点,有限元方法中几乎全部采用不同阶次幂函数的多项式。
对于单元交界面上只要求函数值保持连续,即只满足C0连续 性要求,节点参数只包含场函数的节点值,这类单元称C0型 单元。
对于单元交界面上场函数的一阶导数也需要保持连续,即满 足C1连续性要求,节点参数必须同时包含场函数及其一阶导 数的节点值,这类单元称C1型单元。
2 1 (������ 3 2
������ =
− 2������ 4 + ������ 5 ) ������������ ������4 = ������������ ������ 2 ������ ������5 = ������������ 2 ������ 2 ������ ������6 = ������������ 2
������������ ������1 = ������1 ������2 = ������2 ������3 = ������������
1
2
1
2
3.3 二维单元
1、三角形单元
(1) 三角形域的自然坐标—面积坐标 ������������ , ������������ , ������������ 为面积坐标 ������(������������ , ������������ , ������������ )
������������ ������1 = ������1 ������2 = ������2 ������3 = ������������
1
2
3.2 一维单元
2、Hermite单元
若节点上保持2阶导数连续
2 2 2
ϕ ξ =
������=1
������������ (������)������������ +
若n=2,������1 = −1,������2 = 1,有 1 (1) ������1 = 1 − ������ 2 1 (1) ������2 = 1 + ������ 2 若n=3,且������2 = 0,则有 1 (2) ������1 = ������ ������ − 1 2 (2) ������2 = 1 − ������ 2 1 (2) ������3 = ������ ������ + 1 2
x2 ������2 = 1
引入无量纲的局部坐标 ������ − ������1 ������ = ������������ − ������1 ������ − ������1 = 0 ≤ ������ ≤ 1 ������ ������ :单元长度 ������ ������ − ������������ ������−1 ������������ ������ = ������������ − ������������
0
������ ������ ������ ������
= 1 − 3������ 2 + 2������ 3 = 3������ 2 − 2������ 3 = ������ − 2������ 2 + ������ 3 = ������ 3 − ������ 2
������������ ������4 = ������������
������1 = ������1 0 ������2 = ������2 1 ������3 = ������1 1 ������4 = ������2 2 ������5 = ������1 ������6 =
2 ������2
0
������ ������ ������ ������ ������
节点值
������������
0
节点导数值
d������������ (������) d������ ������, ������ = 1,2
������������ 1
������������ = ������������������ ������������
1
������������ = 0
= ������������������
3.2 一维单元
1、拉格朗日单元(C0单元)
(3)拉格朗日插值函数的广义表达式
������
������������ =
(������−1) ������������
=
������=1,������≠������
������������ ������ ������������ ������������
同济大学土木工程学院研究生课程 《有限单元法》
第三章
单元和插值函数的构造
授课教师:吴明儿教授 2015年春
3.1 引言
1、单元
单元的几何形状:一维、二维和三维单元 场函数次数:场函数的线性变化,只需设角节点;二次变化,角节点
之间的边界上配置一个边内节点;三次变化:配置两个边内节点,有时还 需单元内部配置节点。
图3.6 三角形单元的面积坐标
三角形中任一点P与其3个角点相连形成3个子三角形, ������������ ,������������ ,������������ 。P点的位置可由3个比值来确定。
三角形内与结点������ 的对边������ − ������平行的直线上的诸点有相同的������������ 坐标。 三角形3个角点的面积坐标为������ 1,0,0 ,j(0,1,0),������(0,0,1)。 三角形3条边的边方程是:在������ − ������边, ������������ =0;在������ − ������ 边, ������������ =0;在 ������ − ������边, ������������ =0。 3个面积坐标并不相互独立,由于(3.3.2)式,3个面积坐标间必然满足 ������������ + ������������ + ������������ = 1
4
=
������ ������=1
������������ (������)������������
采用0 ≤ ������ ≤ 1的局部无量纲坐标时, ������1 =0, ������2 =1。这时
������1 ������2 ������3 ������4
= ������1 0 = ������2 1 = ������1 1 = ������2
d������������ (������) d������
������������
0
=0
3.2 一维单元
2、Hermite单元
2 2
ϕ ξ =
������=1
������������ (������)������������ +
������=1
0
������������
1
������
������������ ������������
������
满足 ������������ ������������ = ������������������
������=1
������������ ������ = 1 含有常数项及x的一次项
插值函数完备性
3.2 一维单元
1、拉格朗日单元(C0单元)
(2)自然坐标内的位移插值函数 x1 ������1 = 0 若n=3,且������2 = ������
= 1 − 10������ 3 + 15������ 4 − 6������ 5 = 10������ 3 − 15������ 4 + 6������ 5 = ������ − 6������ 3 + 8������ 4 − ������ 5 = −4������ 3 + 7������ 4 − 3������ 5 1 = (������ 2 − 3������ 3 + 3������ 4 − ������ 5 )
3.3 二维单元
1、三角形单元
面积坐标与直角坐标的转换关系
1 ������ ������ 1 ������������ = 1 ������������ ������������ O 2 1 ������������ ������������ 1 = ������ ������ − ������������ ������������ + ������������ − ������������ ������ + ������������ − ������������ ������ 2 ������ ������ 1 = (������������ + ������������ ������ + ������������ ������)
3.2 一维单元
1、拉格朗日单元(C0单元)
(1)总体坐标内的位移插值函数 对于n个节点的一维单元,插值函数������������ ������ 为n-1次多项 (������−1) 式。若采用n-1次拉格朗日插值多项式������������ (������),则
������
������������ ������ =
1 2
若n=2,������1 = 0,������2 = 1,有 ������1 = 1 − ������ ������2 = ������
(1) (1)
3.2 一维单元
1、拉格朗日单元(C0单元)
(2)自然坐标内的位移插值函数
引入无量纲的局部坐标 ������ − ������������ ������ = 2 ������������ − ������1 2������ − (������1 +������������ ) = −1 ≤ ������ ≤ 1 ������������ − ������1 ������������ =(������1 +������������ )/2
������=1,������≠������
������1 = 0 ������2 =
(2) ������1 (2) ������2 (2) ������3
1 2
������1 +������3 时, 2
������3 = 1 时,则有
������ − 1
1 = 2 ������ − 2 = −4������(������ -1) = 2������ ������ −
������������ = ������������ /������ ������������ = ������������ /������ ������������ = ������������ /������
Lm =0 Am
i(1,0,0)
P
Aj
Lj=0
j (0,1,0)
Ai Li=0
Fra Baidu bibliotek
m(0,0,1)
������������ (������)= ������ − ������������ 表示任一点������至点������������ 的距离。
3.2 一维单元
2、Hermite单元
对于只有两个端节点的一维单元,要求场函数ϕ ξ 在节点 1、2处满足节点值以及节点一阶导数值,可采用Hermite多 0 1 项式������������ ������ 、������������ ������ 作为单元的插值函数。
(������−1) ������������ (������)
=
������=1,������≠������
������ − ������������ ������������ − ������������
������ − ������1 ������ − ������2 ∙∙∙ (������ − ������������−1 )(������ − ������������+1 ) ∙∙∙ (������ − ������������ ) = (������������ − ������1 )(������������ − ������2 ) ⋯ (������������ − ������������−1 )(������������ − ������������+1 ) ⋯ (������������ − ������������ ) 其中������1 ,������2 , ⋯ ������������ 是n个节点的坐标。
������=1
0
������������
1
������
������������ ������������
+
������ ������=1
������������
2
������
������ 2 ������ ������������ 2
������
6
=
������=1
������������ (������)������������
2 2
ϕ ξ =
������=1
������������ (������)������������ +
������=1
0
������������
1
������
������������ ������������
4
=
������ ������=1
������������ (������)������������