22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第一课时课件
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22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
3.把抛物线 y=ax2+bx+c，先向右平移 3 个单位，再向下平 移 2 个 单 位 ， 所 得 图 象 的 解 析 式 为 y=x2-3x+5, 则 a+b+c=__ ___.
4 ． 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ 2x ＋ c 的 顶 点 是 (－ 1 ， 2)， 则 a= ____________ ，c= ____________．
课堂练习
1．将下列二次函数写成顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并
写出其开口方向，顶点坐标，对称轴．最值
(1)y＝3x2＋2x；
(2)y＝－2x2＋8x－8.
当堂检测 1．已知二次函数 y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且 ac＝4， 则二次函数的顶点在第________象限．
2 抛物线 y＝ax2＋bx＋c，与 y 轴交点的坐标是________，当 ________ 时 ， 抛 物 线 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 (即 抛 物 线 的 ________)，交点坐标是________；当________时，抛物线与 x 轴有两个交点，交点坐标是________________________； 若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的两个交点坐标为(x1，0)， (x2，0)，则 y＝ax2＋bx＋c＝a(x－________)(x－________)．
y= ax2+ bx+ c（a≠0）的平移规律； 3.会用公式确定二次函数 y= ax2+ bx+ c（a≠0）的对称轴和顶
点.
探索新知
用配方法将 y＝ax2＋bx＋c 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，则 h ＝________，k＝________.则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象 的顶点坐标是________________，对称轴是________，当 x ＝________时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有最大(最小)值，当 a________时，函数 y 有最________值，当 a________时，函 数 y 有最________值．
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系课件
最有价值的知识是关于方法的知识
例1：根本符号的判断
快速答复：
y
抛物线y=ax2+bx+c如下图，
试确定a、b、c、△的符号：
o
x
问题是数学的心脏
快速答复：
1.抛物线y=ax2+bx+c如下图， 试确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
第一是数学，第二是数学，第三是数学。
快速答复：
抛物线y=ax2+bx+c如下图， 试确定a、b、c、△的符号：
3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是__直__线__x_=__- 2_ba_.
4.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是_〔___0_,_c_〕.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 a＞0 a＜0 b=0
a、b同号 a、b异号
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征
开口____向__上_______________ 开口____向__下_______________ 对称轴为___y__轴 对称轴在y轴的_左___侧 对称轴在y轴的_右___侧 经过原点 与y轴交于__正___半轴 与y轴交于__负___半轴
由数定形
14
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴 上方的条件是什么？
a＞0
x
b
2
4ac＜
0
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条 件是什么？
x
变式：不管x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕 的值永远是正值的 练条一件练是：什不么管？x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕的值永远是非负数 的条件是什么？
22.1.4二次函数Y=ax2+bx+C(1)
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
最新人教版初中数学九年级上册《22.1.4(第1课时)》精品教学课件
次函数的性质填空：
x=0时， y=c.
x b1
2a1 y
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0
c2_＝__ 0
对称轴在y轴 左侧，x＜0
O
x 开口向上，a＞0
x b1 ＜0 2a1
x b2 ＞0
2a2 对称轴在y轴 右侧，x＞0
探究新知 【思考4】 如何画二次函数y 1 x2 6x 21的图象？
2
x
…3 4 5 6 7 8
y 1 (x 6)2 +3 …
2
7.5
5
3.5
3
3.5 5
y
方法一：描点法
10
1. 利用图象的对称性列表
9… 7.5 …
2.然后描点画图，得到 图象如右图.
5
y
1 2
x2
-
6x
21
O
5
10 x
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
探究新知
y 1 x2 6x 21 2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。 2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
方法一：平移法
y
8
6
y 1 x2
4
2
y=ax2+bx+c (a≠0)
a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x-h)2+k情势.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
O
x
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件
2
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x
2
2a
4a
2
b
4
ac
b
a x
.
2a
4a
2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac
b
y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2
2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
人教版数学九年级上册课件22.1.4二次函数的图像和性质
2 2
16
14
12
10
8
6
4
2
15
10
5
5
10
15
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
2
y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”
16
14
12
10
8
6
4
2
15
10
5
5
10
15
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
2
y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”
22.1.4二次函数的图像与性质ppt课件
2
列表、描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3 图像.
y
1 2
x2
2 6x
21
问题：
1.怎样平移抛物线 y 1 x2
2
可以得到抛物线
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
y 1 x2 6x 21 ？ 2
2.看图像说说抛物线 y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
x
12
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x2 - 4x +1 的 图象和性质吗？
2
9
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21 （配方）
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质（一）
y
o
x
1
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
• （3）2x2 4x 2 （4） 2x2 3x 1
7
问题1 如何研究二次函数
y
1 x2
6x
列表、描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3 图像.
y
1 2
x2
2 6x
21
问题：
1.怎样平移抛物线 y 1 x2
2
可以得到抛物线
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
y 1 x2 6x 21 ？ 2
2.看图像说说抛物线 y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
x
12
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x2 - 4x +1 的 图象和性质吗？
2
9
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21 （配方）
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质（一）
y
o
x
1
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
• （3）2x2 4x 2 （4） 2x2 3x 1
7
问题1 如何研究二次函数
y
1 x2
6x
22.1.4二次函数的图像和性质 1
课题22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1主备人签字课型新授授课人学案编号授课日期核心素养通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.2.通过学生共同观察和讨论,培养合作交流意识.重点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.难点二次函数y=ax2+bx+c的性质.学习过程及内容备注一、复习回顾1.完全平方公式是什么?2.利用完全平方公式将下列代数式配方.(1)x2+2x+=()2;(2)x2-x+=()2;(3)2x2-4x+=()2.二．共同探究1二次函数y=x2-6x+21的图象和性质1.思考回答下列问题(1)你能说出二次函数y=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性吗?(2)二次函数y=(x-6)2+3的图象与二次函数y=x2的图象有什么位置关系?(3)不画图象,你能直接说出二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?万全区第三初级中学2018—2019学年第二学期初二数学导学案2.利用描点法画出图像(1)画出二次函数y=x2-6x+21的图象.(2)通过观察函数图象,这个函数具有哪些性质?三、合作交流你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗?(1)如何把一个二次三项式配方?(2)你能将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方吗?y=ax2+bx+c=a +c=a +c=a +c=a.(3)你能说出抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(当a>0时,抛物线的开口 ,当a<0时,抛物线的开口.对称轴是直线x= ,顶点坐标是.（4）你能说二次函数图像的增减性吗？四、拓展延伸已知二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1.如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1的图象的顶点P,求m的值.源:学科五、展示帮扶1.二次函数y=-x2-4x-3图象的顶点坐标是()A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象上,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-13.已知抛物线y=-x2+4x-4,则下列说法正确的是()A.当x=-2时,y有最大值B.当x=2时,y有最大值C.当x=-2时,y有最小值D.当x=2时,y有最小值3.将二次函数y=x2+2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为()A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2+4D.y=(x-1)2+24.二次函数y=-x2+2x的图象可能是下列选项中的()5.二次函数y=x2+bx+c的图象上有(3,4)和(-5,4)两点,则此拋物线的对称轴是直。
22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
【例 1】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(1)》名师课件
43;1的图象的对称轴是x=1， 在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上 两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴， 再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性 质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质 活动 师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜ 时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时， 简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！ 归纳： 一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上 两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴， 再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性 质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质 活动 师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜ 时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时， 简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！ 归纳： 一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
22.1 二次函数的图象和性质 公开课课件.ppt 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 公开课课件
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
1 ． 由 解 析 式 画 函 数 图 象 的 步 骤 是 __列__表___ 、 __描__点____ 、 ___连__线_____．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一__条__直__线___． 3．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛__物__线____，其对称轴为 ____y____轴，顶点坐标为___(_0_，__0_) ___． 4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_____x__轴对称．抛物线y＝ax2， 当a＞0时，开口向________上，顶点是它的最________低点；当a＜0时， 开口向________，下顶点是它的最________点高，随着|a|的增大，开口 越来越________． 小
增大而减小；当x＝0时，函数y有___最__大____(填“最大”或“最小”)
值是___0_____．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y_＝__12_x_2____，当x ＝___0_____时，函数图象的最低点为__(_0_，__0_)__．
9．已知二次函数y＝mxm2－2. (1)求m的值； (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x 取何值时，y随x的增大而减小； (3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并 指出x取何值时，y随x的增大而增大． 解：(1)m＝±2 (2)m＝2，y最小＝0；x＜0 (3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0
10．二次函数y＝
1 5
x2和y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向
上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x＞0
时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一
22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
1 ． 由 解 析 式 画 函 数 图 象 的 步 骤 是 __列__表___ 、 __描__点____ 、 ___连__线_____．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一__条__直__线___． 3．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛__物__线____，其对称轴为 ____y____轴，顶点坐标为___(_0_，__0_) ___． 4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_____x__轴对称．抛物线y＝ax2， 当a＞0时，开口向________上，顶点是它的最________低点；当a＜0时， 开口向________，下顶点是它的最________点高，随着|a|的增大，开口 越来越________． 小
增大而减小；当x＝0时，函数y有___最__大____(填“最大”或“最小”)
值是___0_____．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y_＝__12_x_2____，当x ＝___0_____时，函数图象的最低点为__(_0_，__0_)__．
9．已知二次函数y＝mxm2－2. (1)求m的值； (2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x 取何值时，y随x的增大而减小； (3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并 指出x取何值时，y随x的增大而增大． 解：(1)m＝±2 (2)m＝2，y最小＝0；x＜0 (3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0
10．二次函数y＝
1 5
x2和y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向
上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x＞0
时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一
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2
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对
2
称轴是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
··· 3
4
7.5 5 y 1 x2 6x 21 ··· 2
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax 2 bx c 的顶点是最
5
顶点坐标为 4,5
对称轴x 4
当 x 4时 ， y最小值＝ -5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
利用表格归纳各种形式二次函数的性质：
二次函数
y ax2
开口 顶点坐标 方向
对称轴
最大（小）值 增减性
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k
配方法转化
y ax2 bx c
P41习题22.1：6，7
y ax2 bx c a x b 2 4ac b2
y
2a 4a
y ax2 bx c
如果a>0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而减小，
a>0
当x> b 时，y随x的增大而增大；
2a
O
x
x b 2a
如果a<0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大，
y
y 1 x2 6x 21
10
2
5
O
5
10 x
5
6
7
8
9 ···
3.5 3 3.5 5 7.5 ···
先画出二次函数
y
1 2
x2
的
图像，然后把这个图像向
右平移6个单位长度，再向
上平移3个单位长度，得到
二次函数 y 1 x2 6x 21 2
观察归纳
从二次函数 y 1 x2 6x 21 的图像可以看出：
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k y ax2 bx c
各种形式二次函数图像的位置关系：
K>0，向上平移k个单位 K<0，向下平移-k个单位
h>0，向右平移h个单位 h<0，向左平移-h个单位
y ax2
先左右平移， 再上下平移
或者先上下平移， 再左右平移
探究
我们来画 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般地怎样
2
画二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象．
我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数的图像和性
质，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函 数 y 1 x2 6x 21 也能化成这样的形式吗？
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
另 b h, 4ac b2 ＝k 所以，有y=a(x－h)2+k
2a
4a
因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移
得到.
当h>0时，向左平移h个单位，当h<0时，向右平移|h| 个单位，
当k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移|k| 个单位，
2
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
例如，y=2x2－8x＋12,通过配方得y=2(x－2)2＋4就 可以通过平移y=2x2得到，如演示所示
把抛物线y=2x2先向右平移2个单位， 再向上平移4个单位就得到抛物线 y=2x2－8x＋12.
8
6
4
2
－4 －2
24
从二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像可以看出：
低（高）点，所以当 x b 时，二次函数y ax 2 bx c
2a
有最小（大）值 4ac b2
4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x
为何值时y的值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为 2,0
对称轴x 2
当 x 2时 ， y最 大 值＝0
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
y ax2 bx c
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
y
当x> b 时，y随x的增大而减小.
2a
y ax2 bx
a<0
O
x
x b 2a
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的 变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地的周长是60m，一边长为l， s
则另一边长为 30 l m ，场地的面积
S＝l ( 30－l )
200
即 S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 ) 100
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线 的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图 O
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
x顶
2
2 1
1
22 y顶 4 1 1
顶 点 坐 标 为 1,1
对称轴x 1
当 x 1时 ， y最 大 值＝1
（3）y 2x2 8x 8
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
8
x顶 2 2 2
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶
点
坐
标
为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时
， y最小值＝ -
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
配方可得 y 1 x2 6x 21 1 x 62 3
2
2
由此可知，抛物线 y 1 x2 6x 21 的顶点是（6，3），对
2
称轴是直线 x = 6
接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
x
··· 3
4
7.5 5 y 1 x2 6x 21 ··· 2
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax 2 bx c 的顶点是最
5
顶点坐标为 4,5
对称轴x 4
当 x 4时 ， y最小值＝ -5
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最 大值是多少？
利用表格归纳各种形式二次函数的性质：
二次函数
y ax2
开口 顶点坐标 方向
对称轴
最大（小）值 增减性
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k
配方法转化
y ax2 bx c
P41习题22.1：6，7
y ax2 bx c a x b 2 4ac b2
y
2a 4a
y ax2 bx c
如果a>0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而减小，
a>0
当x> b 时，y随x的增大而增大；
2a
O
x
x b 2a
如果a<0，当x<
b 2a
时，y随x的增大而增大，
y
y 1 x2 6x 21
10
2
5
O
5
10 x
5
6
7
8
9 ···
3.5 3 3.5 5 7.5 ···
先画出二次函数
y
1 2
x2
的
图像，然后把这个图像向
右平移6个单位长度，再向
上平移3个单位长度，得到
二次函数 y 1 x2 6x 21 2
观察归纳
从二次函数 y 1 x2 6x 21 的图像可以看出：
y ax2 k
y a(x h)2
y a(x h)2 k y ax2 bx c
各种形式二次函数图像的位置关系：
K>0，向上平移k个单位 K<0，向下平移-k个单位
h>0，向右平移h个单位 h<0，向左平移-h个单位
y ax2
先左右平移， 再上下平移
或者先上下平移， 再左右平移
探究
我们来画 y 1 x2 6x 21 的图象，并讨论一般地怎样
2
画二次函数 y ax2 bx ca 0 的图象．
我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数的图像和性
质，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函 数 y 1 x2 6x 21 也能化成这样的形式吗？
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
另 b h, 4ac b2 ＝k 所以，有y=a(x－h)2+k
2a
4a
因此，任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移
得到.
当h>0时，向左平移h个单位，当h<0时，向右平移|h| 个单位，
当k>0时，向上平移k个单位，当k<0时，向下平移|k| 个单位，
2
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．
例如，y=2x2－8x＋12,通过配方得y=2(x－2)2＋4就 可以通过平移y=2x2得到，如演示所示
把抛物线y=2x2先向右平移2个单位， 再向上平移4个单位就得到抛物线 y=2x2－8x＋12.
8
6
4
2
－4 －2
24
从二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像可以看出：
低（高）点，所以当 x b 时，二次函数y ax 2 bx c
2a
有最小（大）值 4ac b2
4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x
为何值时y的值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
4 2 8 82
y顶
4 2
0
顶点坐标为 2,0
对称轴x 2
当 x 2时 ， y最 大 值＝0
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
x顶
4 2 0.5
4
4 0.5 3 42
y顶
4 0.5
y ax2 bx c
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
y
当x> b 时，y随x的增大而减小.
2a
y ax2 bx
a<0
O
x
x b 2a
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的 变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值．
矩形场地的周长是60m，一边长为l， s
则另一边长为 30 l m ，场地的面积
S＝l ( 30－l )
200
即 S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 ) 100
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线 的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图 O
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
x顶
2
2 1
1
22 y顶 4 1 1
顶 点 坐 标 为 1,1
对称轴x 1
当 x 1时 ， y最 大 值＝1
（3）y 2x2 8x 8
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
8
x顶 2 2 2
（4）
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶
点
坐
标
为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时
， y最小值＝ -
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下