第四章有限元分析中的若干问题
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
有限元中的一些问题
有限元中的一些问题1.有限元软件中常用的单元的拓扑类型有哪些？分别用于什么场合？单元的拓扑类型：有限元软件中常用的拓扑结构单元：一维单元：杆与梁管单元；二维单元：平面三角形单元、平面四边形单元、膜单元、等参单元、壳单元等；三维单元：三维实体单元。
使用场合：工程中常把平面应变单元用于模拟厚结构，平面应力单元用于模拟薄结构，膜壳单元用于包含自由空间曲面的薄壁结构。
由于三角形单元的刚度比四变形单元略大，因此相对三节点三角形单元，优先选择四边形四节点单元。
如果网格质量较高且不发生变形，可使用一阶假定应变四边形或六面体单元，六面体单元优先四面体单元和五面体锲形单元。
十节点四面体单元与八节点六面体单元具有相同的精度。
网格较粗的情况下使用二阶缩减积分四边形或四面体单元，对于橡胶类体积不可压缩材料使用Herrmann单元，避免体积自锁。
2.有限元软件中常用的单元的几何类型有哪些？分别用于什么场合？(1)按形状分类：点单元：MASS；线单元：LINK、BEAM、COMBIN；面单元：PLANE、SHELL。
(2)按单元阶次分类：线性单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按线性变化，因而每个单元内的应力状态是保持不变的；二次单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按二次函数变化，因此每个单元内的应力状态是线性变化的；P单元：对于结构分析问题，单元内的位移数值按二阶到八阶函数变化，而且具有求解收敛自动控制功能，自动确定各位置上应采用的函数阶数。
使用场合：①点单元几何形状为点型的结构，可用以下单元模拟MASS单元主要用于动力学分析质量块结构的模拟。
②线单元几何形状为线型的结构，可以用以下单元模拟。
Link单元用于桁架、螺栓、螺杆等连接件的模拟。
Beam单元用于梁、螺栓、螺杆、连接件等的模拟。
Pipe单元用于管道、管件等结构的模拟。
Combin单元用于弹簧，细长构件等的模拟。
③面单元几何形状为面型的结构，可用以下单元模拟。
有限元第四章 一些数学概念和结论
a b a b cos a a b
Euclid空间的三角不等式
5. 收敛性与完备性 （1）收敛性
点列xn E
（赋范线性空间），若存在
lim xn x0 0
则，称 x 0 为点列x 的强极限，读作：x 强收敛于 n n 义不同。
n
x0
，模的定义不同收敛的涵
例２ 由于可以找出任意多个线性无 关的连续函数（1、x、x 2 x n ） 所以Ｃ空间为无限维线性空间。Ｌ2 空 间也是无限维线性空间。
u u i i , v vi i
i 1 i 1
的位移场则组成 2n 维线性空间。
3. 线性空间的模（范数）
（１）模的定义 当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作‖x‖ （表示“大小”或“长度”）称为E 空间为模线性空间或赋范线性空间，实数‖x‖ 称为模或范数。模的性质如下：
b
２. 内积模
在内积空间，可以直接利用内积来定义元素的模
u
u, u
在内积空间Ｅ中，u 与 v 之间的距离可用内积模表示
u v
u v, u v
3. 正交性
内积空间与一般线性空间的不同之处是可以用内积来定义两个元素之间的正交关 系，函数之间的“正交”。 若（ u、v）＝０
b
1 2
L2 模 定义为：
u
L2
b 2 u dx a
按一致模收敛是一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛。
§4-2 内积空间（酉空间）
１. 内积 对于线性空间Ｅ 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称
为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:
第4章 空间问题有限元分析-轴对称
Re N T f p
FL e 2 r0 N T 62 f p 21
圆环 2 r0 Ni f pr Ni f pz N j f pr
N j f pz
Nm f pr
T
Nm f pz
r0 -- 集中力作用点的径向坐标。
2019/10/18
第4章 空间问题有限元分析 空间轴对称问题
曹国华
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
1
主要内容
§ 4.1位移模式 § 4.2几何方程 § 4.3单元刚度 § 4.4等效载荷
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空间有限元分析-轴对称
3
1、研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如 活塞，压力容器等 。
空间有限元分析-轴对称
12
几何方程与物理方程
PA线应变
0，（略去高阶小量）.
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d φ)
u
ρdφ
1 uφ ; ρ φ
PA转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
空间有限元分析-轴对称
28
等效载荷
r Niri N j rj Nmrm
2、体积力移置
FFGee 2 [N] f rdrdz
若体积力为重，则单位体积 的力为
f
＝－0
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
有限元分析建模及若干问题PPT课件
a、线弹性支座：当支承结构或基础受外载产生较大的弹 性变形时，这种支座称为弹性支座。根据支反力的不同， 弹性支承可分为弹性线支座和弹性铰支座，它们分别产生 弹性线位移/支反力、线性角位移/反力矩。如图
b、非线性支座
c、斜支座
u
C）装配应力和温度应力 D）油缸/软绳问题（不可拉/压）
φ v
第17页/共37页
0.5
0.5
P
0.5
P
P
0.5
P
P
=
+
原结构
对称载荷
反对称载荷
第12页/共37页
9-6 模型简化
4）小特征删除 由于实际机械零件设计中很多结构的变化是因加工、装配、
调试等功能所需的并非或强度、刚度设计所重点关注的。 因而在对其进行力学分析计算时，可将这类细小的结构忽 略不计。如机械结构中常有的小孔、倒角、凸台、凹槽等。 这些结构通常尺寸较小，如不省略，反而会导致网格划分 困难，节点单元增加，如图所示为一经细节删除操作后有 限元网格模型。 几何模型简化操作实例
9-1 有限元分析的基本方
法 研究分析对象结构对象
有限元前处理(建模)
形成计算模型
选择计算分析程序
修改模型
上机试算
计算模型合理？
修改方案
优化设计
正式试算，结果分析 结构设计方案？
计算结果输出
有限元计算及后处理
设计方案输出 第1页/共37页
9-1 有限元分析的基本方法
1)建立实际工程问题的计算模型 利用几何、载荷的对称性简化模型， 建立等效模型
第15页/共37页
9-6 模型简化
• b、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移 动，但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。
有限元指导答疑
有限元指导答疑问：有限元分析中，如何选择合适的网格大小？答：网格的大小在有限元分析中非常关键，过大或者过小的网格都会导致计算结果的不准确。
一般而言，网格的大小应该适中，既能满足准确性的要求，又能保证计算效率。
选择合适的网格大小可以从以下几个方面考虑：1. 几何形状：根据模型的几何形状选择网格大小。
当模型的几何形状有很大差异时，需要在有界限的情况下，合理划分网格，以平衡计算精度和计算成本。
2. 材料特性：不同材料的性质可能会在不同尺寸和形状的网格上产生不同的响应。
在有限元分析中，需要对不同材料选择合适的网格大小以确保计算结果的准确性。
3. 变形和位移要求：如果模型中存在大位移或者大变形的情况，需要选择更小的网格大小，以便更好地捕捉这些变形和位移的细节特征。
选择合适的网格大小需要综合考虑模型的几何形状、材料特性以及需要准确表示的变形和位移。
在进行有限元分析时，可以根据经验和实践逐渐调整网格大小，以达到计算结果的准确性和计算效率的平衡。
问：如何处理有限元分析中的奇异性问题？答：有限元分析中的奇异性问题是指在某些特定情况下，有限元模型的刚度矩阵会变得特别大或者特别小，导致计算结果不准确或者无法得出解。
处理奇异性问题可以从以下几个方面考虑：1. 网格调整：尝试调整模型的网格，特别是在模型的奇异点处，可以通过增加或者减少网格的密度改善结果的准确性。
2. 改进模型：对于存在奇异性问题的模型，可以考虑通过改善其几何形状或者材料特性来解决奇异性问题。
通过添加约束条件、修复模型的几何缺陷等方式，可以减少奇异性问题对计算结果的影响。
3. 使用高阶元素：在一些情况下，奇异性问题可以通过使用高阶元素进行分析来解决。
高阶元素可以有效地处理模型的奇异性，提供更准确的计算结果。
需要注意的是，奇异性问题是一个较为复杂的问题，解决奇异性问题需要结合实际情况进行分析和探索。
在有限元分析中，不同的问题可能存在不同的奇异性，因此需要根据具体情况选择合适的方法进行处理。
(仅供参考)《ABAQUS-有限元分析常见问题解答》常见问题汇总
第1章关于 Abaqus 基本知识的常见问题第一篇基础篇第1章关于 Abaqus 基本知识的常见问题第1章关于 Abaqus 基本知识的常见问题1.1 Abaqus 的基本约定1.1.1 自由度的定义【常见问题1-1】Abaqus 中的自由度是如何定义的？1.1.2 选取各个量的单位【常见问题1-2】在 Abaqus 中建模时，各个量的单位应该如何选取？1.1.3 Abaqus 中的时间【常见问题1-3】怎样理解 Abaqus 中的时间概念？第1章关于 Abaqus 基本知识的常见问题1.1.4 Abaqus 中的重要物理常数【常见问题1-4】Abaqus 中有哪些常用的物理常数？1.1.5 Abaqus 中的坐标系【常见问题1-5】如何在 Abaqus 中定义局部坐标系？1.2 Abaqus 中的文件类型及功能【常见问题1-6】Abaqus 建模和分析过程中会生成多种类型的文件，它们各自有什么作用？ 【常见问题1-7】提交分析后，应该查看 Abaqus 所生成的哪些文件？1.3 Abaqus 的帮助文档1.3.1 在帮助文档中查找信息【常见问题1-8】如何打开 Abaqus 帮助文档？第1章关于 Abaqus 基本知识的常见问题【常见问题1-9】Abaqus 帮助文档的内容非常丰富，如何在其中快速准确地找到所需要的信息？1.3.2 在 Abaqus/CAE 中使用帮助【常见问题1-10】Abaqus/CAE 的操作界面上有哪些实时帮助功能？【常见问题1-11】Abaqus/CAE 的 Help 菜单提供了哪些帮助功能？1.4 更改工作路径【常见问题1-12】Abaqus 读写各种文件的默认工作路径是什么？如何修改此工作路径？1.5 Abaqus 的常用 DOS 命令【常见问题1-13】Abaqus 有哪些常用的 DOS 命令？第1章关于 Abaqus 基本知识的常见问题1.6 设置 Abaqus 的环境文件1.6.1 磁盘空间不足【常见问题1-14】提交分析作业时出现如下错误信息，应该如何解决？***ERROR: UNABLE TO COMPLETE FILE WRITE. CHECK THAT SUFFICIENT DISKSPACE IS AVAILABLE. FILE IN USE AT F AILURE IS shell3.stt.（磁盘空间不足）或者***ERROR:SEQUENTIAL I/O ERROR ON UNIT 23, OUT OF DISK SPACE OR DISK QUOTAEXCEEDED.（磁盘空间不足）1.6.2 设置内存参数【常见问题1-15】提交分析作业时出现如下错误信息，应该如何解决？***ERROR: THE SETTING FOR PRE_MEMORY REQUIRES THAT 3 GIGABYTES OR MOREBE ALLOCATED BUT THE HARDWARE IN USE SUPPORTS ALLOCATION OF AT MOST 3GIGABYTES OF MEMORY. EITHER PRE_MEMORY MUST BE DECREASED OR THE JOBMUST BE RUN ON HARDWARE THAT SUPPORTS 64-BIT ADDRESSING.（所设置的pre_memory 参数值超过3G，超出了计算机硬件所能分配的内存上限）或者***ERROR: THE REQUESTED MEMORY CANNOT BE ALLOCATED. PLEASE CHECK THESETTING FOR PRE_MEMORY. THIS ERROR IS CAUSED BY PRE_MEMORY BEINGGREATER THAN THE MEMORY AVAILABLE TO THIS PROCESS. POSSIBLE CAUSES AREINSUFFICIENT MEMORY ON THE MACHINE, OTHER PROCESSES COMPETING FORMEMORY, OR A LIMIT ON THE AMOUNT OF MEMORY A PROCESS CAN ALLOCATE.（所设置的 pre_memory 参数值超出了计算机的可用内存大小）第1章关于 Abaqus 基本知识的常见问题或者***ERROR: INSUFFICIENT MEMORY. PRE_MEMORY IS CURRENTLY SET TO 10.00MBYTES. IT IS NOT POSSIBLE TO ESTIMATE THE TOTAL AMOUNT OF MEMORY THATWILL BE REQUIRED. PLEASE INCREASE THE VALUE OF PRE_MEMORY.（请增大pre_memory 参数值）或者***ERROR: THE VALUE OF 256 MB THAT HAS BEEN SPECIFIED FORSTANDARD_MEMORY IS TOO SMALL TO RUN THE ANALYSIS AND MUST BEINCREASED. THE MINIMUM POSSIBLE VALUE FOR STANDARD_MEMORY IS 560 MB.（默认的standard_memory 参数值为256 M，而运行分析所需要的standard_memory 参数值至少为560 M）1.7 影响分析时间的因素【常见问题1-16】使用 Abaqus 软件进行有限元分析时，如何缩短计算时间？【常见问题1-17】提交分析作业后，在 Windows 任务管理器中看到分析作业正在运行，但 CPU 的使用率很低，好像没有在执行任何工作任务，而硬盘的使用率却很高，这是什么原因？1.8 Abaqus 6.7新增功能【常见问题1-18】Abaqus 6.7 版本新增了哪些主要功能？第1章关于 Abaqus 基本知识的常见问题1.9 Abaqus 和其它有限元软件的比较【常见问题1-19】Abaqus 与其他有限元软件有何异同？第2章关于 Abaqus/CAE 操作界面的常见问题第2章关于Abaqus/CAE 操作界面的常见问题2.1 用鼠标选取对象【常见问题2-1】在 Abaqus/CAE 中进行操作时，如何更方便快捷地用鼠标选取所希望选择的对象（如顶点、线、面等）？2.2 Tools 菜单下的常用工具2.2.1 参考点【常见问题2-2】在哪些情况下需要使用参考点？2.2.2 面【常见问题2-3】面（surface）有哪些类型？在哪些情况下应该定义面？第2章关于 Abaqus/CAE 操作界面的常见问题2.2.3 集合【常见问题2-4】集合（set）有哪些种类？在哪些情况下应该定义集合？2.2.4 基准【常见问题2-5】基准（datum）的主要用途是什么？使用过程中需要注意哪些问题？2.2.5 定制界面【常见问题2-6】如何定制 Abaqus/CAE 的操作界面？【常见问题2-7】6.7版本的 Abaqus/CAE 操作界面上没有了以前版本中的视图工具条（见图2-6），操作很不方便，能否恢复此工具条？图2-6 Abaqus/CAE 6.5版本中的视图工具条第3章Part 功能模块中的常见问题第3章Part 功能模块中的常见问题3.1 创建、导入和修补部件3.1.1 创建部件【常见问题3-1】在 Abaqus/CAE 中创建部件有哪些方法？其各自的适用范围和优缺点怎样？ 3.1.2 导入和导出几何模型【常见问题3-2】在 Abaqus/CAE 中导入或导出几何模型时，有哪些可供选择的格式？【常见问题3-3】将 STEP 格式的三维 CAD 模型文件（*.stp）导入到 Abaqus/CAE 中时，在窗口底部的信息区中看到如下提示信息：A total of 236 parts have been created.（创建了236个部件）此信息表明 CAD 模型已经被成功导入，但是在 Abaqus/CAE 的视图区中却只显示出一条白线，看不到导入的几何部件，这是什么原因？第3章Part 功能模块中的常见问题3.1.3 修补几何部件【常见问题3-4】Abaqus/CAE 提供了多种几何修补工具，使用时应注意哪些问题？【常见问题3-5】将一个三维 CAD 模型导入 Abaqus/CAE 来生成几何部件，在为其划分网格时，出现如图3-2所示的错误信息，应如何解决？图3-2 错误信息：invalid geometry（几何部件无效），无法划分网格3.2 特征之间的相互关系【常见问题3-6】在 Part 功能模块中经常用到三个基本概念：基本特征（base feature）、父特征（parent feature）和子特征（children feature），它们之间的关系是怎样的？第3章Part 功能模块中的常见问题3.3 刚体和显示体3.3.1 刚体部件的定义【常见问题3-7】什么是刚体部件（rigid part）？它有何优点？在 Part 功能模块中可以创建哪些类型的刚体部件？3.3.2 刚体部件、刚体约束和显示体约束【常见问题3-8】刚体部件（rigid part）、刚体约束（rigid body constraint）和显示体约束（display body constraint）都可以用来定义刚体，它们之间有何区别与联系？3.4 建模实例【常见问题3-9】一个边长 100 mm 的立方体，在其中心位置挖掉半径为20 mm 的球，应如何建模？ 『实现方法1』『实现方法2』第4章Property 功能模块中的常见问题第4章 Property 功能模块中的常见问题4.1 超弹性材料【常见问题4-1】如何在 Abaqus/CAE 中定义橡胶的超弹性（hyperelasticity）材料数据？4.2 梁截面形状、截面属性和梁横截面方位4.2.1 梁截面形状【常见问题4-2】如何定义梁截面的几何形状和尺寸?【常见问题4-3】如何在 Abaqus/CAE 中显示梁截面形状？4.2.2 截面属性【常见问题4-4】截面属性（section）和梁截面形状（profile）有何区别?第4章Property 功能模块中的常见问题【常见问题4-5】提交分析作业时，为何在 DAT 文件中出现错误提示信息“elements have missing property definitions（没有定义材料特性）”？『实 例』出错的 INP 文件如下：*NODE1, 0.0 , 0.0 , 0.02, 20.0 , 0.0 , 0.0*ELEMENT, TYPE=T3D2, ELSET=link1, 1, 2*BEAM SECTION, ELSET=link, MATERIAL= steel, SECTION=CIRC15.0,提交分析作业时，在 DAT 文件中出现下列错误信息：***ERROR:.80 elements have missing property definitions The elements have been identified inelement set ErrElemMissingSection.4.2.3 梁横截面方位【常见问题4-6】梁横截面方位（beam orientation）是如何定义的？它有什么作用？【常见问题4-7】如何在 Abaqus 中定义梁横截面方位？【常见问题4-8】使用梁单元分析问题时，为何出现下列错误信息：***ERROR: ELEMENT 16 IS CLOSE TO PARALLEL WITH ITS BEAM SECTION AXIS.第4章Property 功能模块中的常见问题DIRECTION COSINES OF ELEMENT AXIS 2.93224E-04 -8.20047E-05 1.0000. DIRECTIONCOSINES OF FIRST SECTION AXIS 0.0000 0.0000 1.0000。
机械设计中有限元分析的几个关键问题
机械设计中有限元分析的几个关键问题【摘要】有限元分析在机械设计中扮演着至关重要的角色，能够帮助工程师们评估和改进其设计方案。
本文将讨论有限元分析的基本原理，常见的有限元分析软件，材料特性在分析中的重要性，边界条件的设置以及模型的网格划分。
这些内容都是机械工程师在进行有限元分析时需要掌握的关键问题。
我们还将探讨有限元分析在机械设计中的应用以及未来发展，以及在面对挑战时可能带来的机遇。
通过深入理解并掌握这些关键问题，工程师们可以更好地利用有限元分析技术来提高产品的性能和质量，从而为机械设计领域的发展做出更大的贡献。
【关键词】机械设计、有限元分析、重要性、应用、软件、基本原理、材料特性、边界条件、模型、网格划分、未来发展、挑战、机遇1. 引言1.1 机械设计中有限元分析的重要性在机械设计中，有限元分析是一种非常重要的工具。
通过有限元分析，工程师们可以模拟和分析机械结构在不同工况下的应力、变形和疲劳等情况，从而优化设计方案，提高产品的性能和可靠性。
有限元分析可以帮助工程师们更好地理解机械结构的工作原理，预测和解决潜在的设计问题，提高设计效率和减少成本。
在现代机械设计中，由于产品设计复杂度和工作环境的多样性不断增加，有限元分析的重要性也日益凸显。
通过有限元分析，工程师们可以在设计阶段就对产品进行多方面的性能评估，避免在实际制造和使用过程中出现意外问题。
在激烈的市场竞争中，产品的性能和质量往往决定了企业的竞争力，而有限元分析可以帮助企业更好地把握市场需求，提升产品品质，实现可持续发展。
有限元分析在机械设计中扮演着至关重要的角色，是现代工程设计不可或缺的一部分。
通过深入研究和应用有限元分析技术，我们可以提高产品的性能和可靠性，降低设计风险，为企业创造更大的经济效益和社会价值。
1.2 有限元分析在机械设计中的应用有限元分析在机械设计中的应用非常广泛，可以帮助工程师解决各种复杂的结构力学问题。
其中包括但不限于以下几个方面：1. 结构强度分析：有限元分析可以用来评估结构的强度和刚度，帮助工程师设计出更加安全可靠的机械结构。
11-有限元若干问题讨论-2
(5-109)
(5-110)
有限元分析中的若干问题讨论
一、有限元分析结果的下限性质
有限 元分 析结 果的 性质 与节 点应 力的 平均 处理
(5-111)
(5-112)
(5-113)
有限元分析中的若干问题讨论
一、有限元分析结果的下限性质
1、有限元位移结果的下限性质
有限 元分 析结 果的 性质 与节 点应 力的 平均 处理
3、小结
由于位移函数的收敛性准则包含完备性和协调性这两个方 面的要求，而完备性要求(刚体位移及常应变)比较容易得到满足，
而协调性要求(位移的连续性)则较难满足，因此，人们研究单元
的收敛性问题时，往往只集中讨论单元的协调性问题；以上有 关位移解的下限性质是基于协调单元单调收敛的前提得到的，
在有些情况下，使用非协调单元也可以得到工程上满意的解答，
还要包括使得位移函数及对应于应变的导数都为常数的项，即常 位移项和常应变项。
要保证单元的收敛性，还要考虑单元之间的位移协调。不仅
节点处的位移应协调，沿整个单元边界上的位移都应当是协调的 （或相容的）
有限元分析中的若干问题讨论
二、关于收敛性问题
单 元 位 移 函 数 构 造 与 收 敛 性 要 求
收敛性准则1：完备性要求(针对单元内部） 如果在（势能）泛函中所出现位移函数的最高阶导数是m阶， 则有限元解答收敛的条件之一是选取单元内的位移场函数至少是 m阶完全多项式。
有限元分析中的若干问题讨论
三、平面单元位移函数选取的要求
单 元 位 移 函 数 构 造 与 收 敛 性 要 求
例：平面3节点三角形单元的二次位移函数的选择与分析 对于平面3节点三角形单元，若选取位移模式（单元内）如下，用收敛准则 讨论该单元，并分析这时该单元的描述能力
有限元分析中的若干问题考虑
6.1 单元结点编号和带宽
计算机在进行有限元分析时，需要存储所有的单元 和结点信息，即将所有单元和结点进行编号，按顺 序存储在数据库中，然后再按单元和结点编号所对 应的位置，对所形成的单元刚度矩阵装配在整体刚 度矩阵中，随着所求解问题自由度(DOF)的增大， 整体刚度矩阵的规模非常巨大，但大部分的数据为 零，为节省存储空间，一般只需存储非零数据，那 么单元和结点的编号将直接影响到非零数据在整体 刚度矩阵中的位置，我们希望非零数据越集中越好， 反映非零数据集中程度的一个指标就是带宽。
6.2 边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情形下有两类： 第一类：零位移边界，即
第二类：给定具体数值的位移边界，即
设所建立的总体刚度矩阵（将其进行分块）为
其中：
为已知， （未知结.1 直接法处理边界条件
（1） 由于 得到
的情形 ，对上页公式的对应位置划行划列后，
可求出未知结点位移 为
（2）
的情形
将总刚方程写成两组方程
将
代入下面的方程，可得到
则可求出未知结点位移 为
（3） “直接法”的特点
6.2.2 对角元素置“1”法
对于边界条件
，可置对应位置的 ，则
这时方程应等价于原方程加上边界条件
，
下面考察这种等价性，就上式中的第j行，有
即为所需要的边界条件。而除第j行外，其它各行
会计入
的影响，但其余各项的影响不变；
这恰好就是原方程加上边界条件
的影响。
6.2.3 对角元素乘大数法
对于边界条件
情形，可将对于位置的krr乘
一个大数 ，对于的pr置为
，即
这时方程应等价于原方程加上边界条件
有限元模型修正中若干重要问题
ters ,and this is one reason why the direct methods of model updating are not favored. ” (2 ) 基 于 灵 敏 度 的 模 态 修 正 ( Sensitivity-Based Model Updating) : 这种方法利用行为参数关于模型参数的导
阶 ,参数化和正则化 ,以及有限元模型修正中的贝叶斯概率方法 。 关键词 : 映射 ,降阶 ,参数化和正则化 ,概率方法 中图分类号 : TH113. 1
0 引 言
就一般的的动力系统而言 ,根据所建立的数学模 型 ( 如有限元模型 ) , 由模型参数 ( 如材料常数和几何 参数) 来求行为参数 ( 模型的频率和模态形状 、 脉冲响 应或频率响应函数等) ,称为结构动力学正问题 ( Direct Problem) ; 而由行为参数反推模型参数 , 称为逆问题
可划归成 Hadamard 意义下的适定问题 。他们在理论 和方法上的研究成果 , 已成为今天反问题研究的数学 基础 。 对非适定问题及其数值解法的研究工作很多 ,最 [19 ] 有影响的当推 Tikhonov 的著作 《不适定问题解法》 , 书中提出了不适定问题的正则化思想 , 并且给出了具 体算法 ,它为求解不适定问题提供有力手段 , 使得许 多不适定问题在正则化下迎刃而解 。与正则化类似 的另一种解决不适定问题的方法是 Phillips 光滑化方 法 ; 现已证明 , 这种引入光滑矩阵来改善解的光滑性 质的方法是 Tikhonov 正则化在某些条件下的特殊情 况 [21 ] 。 可以在各种算法之中引入约束 , 比如选择法 , 截 断奇异值法 ,截断 QR 法 ,迭代法以及特征函数展开法 等。 病态的噪声方程组的处理 ,是对有限元模型修正 极为重要的问题 。正则化集中围绕如下线性方程组 θ= b J ( 20) 式中 θ( = △ p) n 维参数变更向量 , 它是需要确定的未 知量 ; 而 b 是 m 维残数向量 , 它是从实测数据和模型 的现时估计得出的 ; 一般 , J m ×n 是灵敏度矩阵 , 数学上 称为 Jacobi 阵 , 在模型修正中测量输出 ( 诸如 , 固有频 率 ,模态形状和频率响应函数 ) 间的关系一般是非线 性的 ,方程 ( 20 ) 是借助一阶泰勒展开的线性方程 , 用 迭代法求解直到收敛 , 详情细节可参看文献 [ 8 ,9 ] 。 当 b 被附加的 , 具有零均值的独立随机噪声污染时 , 众所周知 , 只要 rank ( J) = n , 那么最小二乘解 θ LS 时唯 一的而且无偏 。当 J 接近秩亏时 , 那时小的噪声水准 会导致估计参数离它们的精确值的巨大偏差 。这种 解叫做不稳定的 , 同时方程( 20) 是病态的 。 不同的问题发生在 n > m 之时 , 那时 ( 20) 是欠定 的 , 它有无穷多个解 , 形式为 θLS = J + b ( 21) 的解给出最小范数解 , 式中 J + 是 Moore- Penrose 逆 。对 于 rank ( J) = r < min ( n , m ) 场合 , 奇异值分解 ( Singularvalue Decomposition) 给出最小范数解 。这是业已在模 型修正中广泛应用的一种正则化形式 。不幸的是 , 最 小范数解很少导致有物理意义的修正参数[17 ] 。 模型修正经常导致病态的参数估计问题 。一种 卓有成效的正则化形式是放约束到参数上 , 一种可能 的约束 ,是使原模型和修正的模型的参数之间的偏差 达到极小 。比如 ,在框架结构中可以有若干个名义上 等同的 T - 连接点 。由于制造公差 , 这些连接点的参 数将稍有差异 , 虽然这些差异很小 。因此 , 可以对在 这些参数加上侧边约束 ( Side Constraint ) 使得残数和名 义等同的参数间的差异达到极小 。因此 ,如果 ( 20) 生
有限元分析中的一些问题
有限元分析的一些基本考虑-----单元形状对于计算精度的影响笔者发现;在分析复杂问题时;我们所可能出现的错误;竟然是一些很根本的错误;这些根本错误是由于对有限元的基本理论理解不清晰而造成的..鉴于这个原因;笔者决定对一些基本问题例如单元形状问题;单元大小问题;应力集中问题等展开调查;从而形成了一系列文章;本篇文章是这些系列文章中的第一篇..本篇文章先考虑有限元分析中的第一个基本问题：单元形状问题..我们知道;单元形状对于有限元分析的结果精度有着重要影响;而对单元形状的衡量又有着诸多指标;为便于探讨;这里首先只讨论第一个最基本的指标：长宽比四边形单元的最长尺度与最短尺度之比;而且仅考虑平面单元的长宽比对于计算精度的影响..为此;我们给出一个成熟的算例..该算例是一根悬臂梁;在其端面施加竖直向下的抛物线分布载荷;我们现在考察用不同尺度的单元划分该梁时;对于A点位移的影响..这五种不同的划分方式;都使用矩形单元;只不过各单元的长宽比不同..例如第一种1AR=1.1;就是长宽比接近1；第二种2AR=1.5;就是长宽比是1.5.其它类推..第五种5AR=24;此时单元的长度是宽度的24倍..现在我们看看按照这五种单元划分方式对于A点位移的影响;顺便我们也算出了B点的位移;结果见下表..我们现在仔细查看一下上表;并分析其含义..我们先考虑第一行;它是第一种单元划分情况;此时每个单元的长宽比是1.1;由此我们计算出A点;B点的垂直位移;可以看到;A点的竖直位移是-1.093英寸;而B点的竖直位移是-0.346英寸..而这两点我们都是可以用弹性力学的方式得到精确解的;其精确解分别是-1.152以及-0.360.这样;我们可以得到此时A点位移误差的百分比是-1.093--1.152/1.152 = 5.2%.对于其它情况;也采用类似的方式得到A点位移误差的百分比..从上表可以看出来;随着长宽比的增加;位移误差越来越大;竟然大到56%..因此;如果我们是用长宽比为24的单元进行划分的话;那么我们的结果可以说是完全错误的..下面按照上表绘制出一张图;该图从形象的角度表达了上表的含义..由此可见;长宽比越接近于1;那么结算结果越精确;越远离1;则误差越大..因此我们在进行有限元分析时;应该尽量保证划分的单元长宽比接近1;这意味着;如果我们使用了四边形单元;则最好是正方形单元；如果使用了三角形单元;则最好是等边三角形..当然;对于一个复杂的零件而言;我们很难保证每个单元都满足这些要求;但是;我们一定要确保;在我们所关注的地方;例如应力最大的地方;单元形状要接近这一点;否则;我们得到的解就是不可相信的..但是上述结果也告诉我们;即便是最好形状的单元情况1;长宽比为1.1;结果的计算精度也不容乐观;其误差达到5.2%;那么;我们可以得到更高精度的解答吗可以..这需要单元的细分;下一篇博文中将会详细说明这一点..有限元分析的一些基本考虑---单元大小对于计算精度的影响有限元分析一定可以得到问题的精确解吗理论上可以证明;如果插值函数使用了“协调和完整的位移函数”;则当网格尺寸逐渐减小而单元数量增加时;解就会单调收敛..而且;当单元数目增加时;得到的刚度会降低;并收敛于真实刚度；这就意味着;当单元增加时;得到的位移增加;而收敛于精确位移解..其图形如下：这里所说的“协调和完整位移函数”;是指：1.近似函数式一般是多项式..2.近似函数在单元内要保持连续..3.近似函数应提供单元间的连续性;包括离散单元每一个节点所有自由度都应该是连续的;二维单元和三维单元沿着公共边界线和公共面必须是连续的..既能够保证单元内的连续;又能够保证单元间的连续的形函数称为协调函数..4.近似函数应考虑刚体位移和单元内的常应变状态..即有常数项保证刚体运动无应变的运动;而有一次项保证有常应变状态发生..这是形函数的完整性问题..例如;对于一维单元而言;若取形函数则同时满足上面四个条件;称为协调且完整的位移函数..一般来说;我们所用的单元使用的位移函数都满足上述四个条件;所以从理论上来说;只要网格加密;就可以收敛于真实解..为了验证上述理论的真实性;我们选用了一个材料力学中的例子来做仿真..该例子如下使用材料力学的理论进行求解;简要过程如下使用ANSYS进行分析;使用BEAM188单元;首先创建如图所示的几何模型然后分别对各段直线加密网格划分;得到的结果如下上表中;第一列是划分的单元数;第二列是最大的压应力;第三列是最大的拉应力..可以看到;随着单元数目的增加;最大拉伸;压缩应力的绝对值都在增加..从材料力学得到的精确解;最大的压应力是-46.2MPa; 最大的拉应力是28.8MPa..这样;当单元数增加到64个时;压应力的误差是46.2-45.7/46.2 =1.1%; 拉应力的精度是28.8-28.6/28.8=0.7%.此时精度已经相当高了..可以明显的看出;随着单元数目的增加;应力解的确是在逐渐逼近真实解..从这个方面来说;加密网格的确是提高计算精度的有效方法..这也意味着;我们在有限元仿真中;如果要得到精确的结果;必须不断细分网格;直到结果收敛..否则;我们的得到结果就是不可信的..那么;对于任何问题;只要网格无限细分;一定可以收敛于真实解吗未必..下一篇文章将阐述此问题..有限元分析中的一些问题--应力集中结果的可信性对于任意的几何模型;网格细分就一定能够得到真实解吗这是每一个CAE分析工程师都关注的问题..如果结构中没有应力集中;答案是肯定的..如果结构中存在应力集中;则结果未必会收敛..为了说明这一点;我们选取了一个平面应力问题..它是一个角支座;其图形及尺寸如下..在角支座上钻了两个孔;现在我们固定左上边的孔;而在右下方孔的第四象限半圆上施加压力..并通过不断的加密网格来考虑计算结果的可信性..生成的有限元模型如下固定左上边的孔;并对右下方孔施加右下方向的压力;当单元尺寸取5mm时候;应力云图如下可见;此时最大应力发生在拐角处;是34.383MPa.单元尺寸全局细分到3mm;结果是最大应力是44.44MPa.单元尺寸全局细分到1mm;结果是最大应力是74.004MPa.单元尺寸全局细分到0.4mm;结果是最大应力是112.873MPa.可见;结果并没有收敛的趋势..如果我们进一步细分网格;会发现数据无限增大;不会收敛..实际上;理论证明;在该拐角处如果是直角;而没有倒圆角的话;应力集中系数会趋向无穷大;所以在实践设计中绝对禁止出现这种直角..这也意味着;如果我们在有限元分析前进行模型简化时;绝不可轻易将一些倒角随便删除;否则会出现奇怪的结果..。
杆梁结构有限元分析(第四章)
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验 结果，或许还得不到精确的解析解)，仅有计算分析的一些结果， 因此，一种进行计算结果校核或验证的可能方法，就是对所分析 对象分别建立1D、2D、3D模型，来进行它们之间的相互验证和核 对；图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
c F EA
1D问题的最小势能原理求解
先介绍最小势能原理的基本表达式。设有满足位移边界条件BC(u)的许 可位移场，计算该系统的势能为
(u) U W
其中U为应变能，W为外力功，对于如图4-2所示的算例，有
U
1 2
x (u(x)) x (u(x))d
W Pu(x l)
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
4.1 杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
4.2 杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理 杆件是最常用的承力构件，它的特点是连接它的两端一般都是铰
接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，因两个连接的构件在 铰接接头处可以转动，则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l， 横截面积为A，弹性模量为E，如图4-2所示，这是一个一维问题，下 面讨论该问题的力学描述与求解。
K T eT K eT e
节点力阵
e
p T eT pe
刚度方程
ee
e
有限元指导答疑
有限元指导答疑有限元分析是一种常用的工程计算方法，通过将实际结构离散成有限数量的元素，并基于相应的数学模型进行求解，可以得到结构的力学行为和响应。
然而，在进行有限元分析时，我们常常会遇到一些疑问和问题。
本文将围绕有限元指导答疑展开讨论，帮助读者解决一些常见的疑难问题。
我们来看一些关于有限元网格划分的问题。
在进行有限元分析时，网格划分是一个非常重要的步骤。
合理的网格划分可以保证分析结果的准确性和可靠性。
然而，如何划分网格是一个需要考虑多方面因素的问题。
一方面，我们需要根据结构的几何形状和复杂程度来选择适当的网格划分方法。
另一方面，我们还需要考虑网格密度的选择，以保证在有限元分析中既能满足计算的精度要求，又能保证计算效率。
总之，在进行有限元网格划分时，需要综合考虑多方面因素，灵活选择合适的方法和参数。
我们来讨论一些与材料性质有关的问题。
在进行有限元分析时，材料的性质是一个非常重要的输入参数。
不同的材料具有不同的力学性质，这些性质直接影响结构的力学行为和响应。
因此，在进行有限元分析时，需要准确地输入材料的性质参数。
例如，对于弹性材料，需要输入杨氏模量和泊松比等参数；对于塑性材料，需要输入屈服强度和硬化指数等参数。
此外，在进行有限元分析时，还需要考虑材料的非线性行为，如超弹性、弹塑性等。
因此，对于材料性质的理解和输入是进行有限元分析的关键。
接下来，我们来讨论一些与边界条件有关的问题。
在进行有限元分析时，边界条件的设定也是一个非常重要的步骤。
边界条件直接影响结构的约束和加载情况，从而影响计算结果的准确性。
在设定边界条件时，我们需要考虑结构的实际工作状态和加载方式，合理地选择约束和加载点。
例如，对于悬臂梁的分析，我们需要考虑悬臂端的支承约束；对于受力板的分析，我们需要考虑加载点的位置和大小。
总之，在设定边界条件时，需要充分考虑结构的实际工作情况和加载方式，以保证分析结果的准确性。
我们来讨论一些与求解方法有关的问题。
有限元法应用中的若干问题
3.4有限元位移解的下限性质
❖ 在用有限元位移法求解弹性力学问题时,要应用最 小位能原理。根据最小位能原理求得的位移近似解， 其值将小于精确解。这种位移近似解称为下限解。
❖ 位移解的下限性质可以解释为：单元原是连续体的一部分， 具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度 限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单 元的变形进行了约束的限制，使单元的刚度较实际连续体加 大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实 际刚度大，求得的位移近似解总体上（而不是每一点）将小 于精确解。
有限元的收敛条件（续）
❖ 3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下， 单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变 位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体 位移只改变物体的位置，不改变物体的形状和体积，即刚体 位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移 和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。
4.1应力近似解的性质
❖ 我们已知最小位能原理求得的位移解具有下限性质。由于近 似解的总位能一般总是大于精确解的总位能，而近似解的应 变能一般地总是小于精确解的应变能。因此，得到的位移解 总体上偏小。
❖ 分析得出，应变解或应力解的重要特点是：应变近似解和应 力近似解必然在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正 好是精确解，亦即在单元内存在最佳应力点。应力解的这个 特点将有助于处理应力计算的结果，改善应力解的精度。
❖
ε=Bae σ=Dε=D Bae
❖ ae为节点位移矩阵
❖ 应变矩阵B是插值函数N对坐标进行求导后得到的矩阵。求导 一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得 到的应变ε和应力σ精度较位移u降低了，即利用以上两式 得到的ε和σ的解答可能具有较大的误差。
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2n d
d
半带存储
2n
2n
4.2.7
4 3 2 1 28 19 10 1 8 7 6 5 9
节点编号的优化
12 11 10 16 15 14 20 19 18 24 23 22 28 27 26 32 31 30 36 35 34
29
20 11 2
33 13 17 21 25 29 d=(5+1)×2=12 (a) 30 31 32 33 34 35 36 21 12 22 13 4 23 14 6 24 15 25 16 7 8 26 17 27 18
x y
wi w j , iz jz
梁 l j 梁
4.2
减小解题规模的
对称问题
D
对称条件 q 平面问题：AB：v=0 AD：u=0 板壳问题：AB：v=0，θx=0,θz=0 AD：u=0，θy=0,θz=0
C B q
x
A
4.2.1
对称性和反对称性
F
对称结构，反对称载荷 F 在反对称载荷作用下，结构的位移及应力都 将反对称于对称轴。 利用对称性和反对称性简化计算对称结构不对 称载荷问题
F/2
F/2
F/2
F/2
4.2.2
周期性条件
D’
B’
D
周期对称结构 ：绕着某一轴， 每隔一定角度结构和载荷具 有重复性。
C’ A’ C A
B
ui ui , vi vi
工程上对于一些呈微弱非线性的问题，则常将它当
成线性问题来处理，所得结果既能满足工程要求，又可
降低成本。例如许多混凝土结构（水坝、高层建筑、冷 却塔、桥梁、大型机电设备基地等）实际上都是非线性
结构，其非线性现象较弱，初步分析时，常看作线性结
构。只有当分析其破坏性态时，才按非线性考虑。
4.2.6
多工位载荷的合并处理
如何取一子结构示意 图
4.2.2
周期性条件
4.2.3
降维处理和几何简化
维数降低，计算量将降低几倍、几十倍。
齿轮、连杆、球轴承等许多零件都 可以近似作为平面问题。
4.2.3
降维处理和几何简化
小圆孔、小圆角、小凸台、浅沟槽
4.2.3
降维处理和几何简化
忽略细节可以减小所划分的单元节点数
4.2.4 子结构技术
第四章 有限元分析中的若干问题
第四章 有限元分析中的若干问题
有限元计算模型的建立
减小解题规模的常用措施
4.1
有限元计算模型的建立
有限元模型一要保证力学的完整性（承载完整的力 学信息）， 二要保证计算的有效性（保证计算机可以 快速计算） 力学信息：载荷性质、结构类型、材料行为、结构 对称性，而且预测响应情况。——问题类型：线性问题、 非线性问题；静力问题、动力问题；小变形问题、大变 形、大应变问题。 有限元建模过程包括选择单元类型，确定单元的尺 寸大小，保证网格划分质量，定义材料和单元特性，处 理载荷和边界条件，确定计算方法和控制参数，要求输 出结果等。
5) 认真选取单元,使之能很好的反映结构构件的传力特点, 尤其是主要受力构件应该做到尽可能的不失真. 6) 应根据结构特点,应力分布情况,单元的性质,精度要求 及其计算量的大小等仔细划分计算网格. 7) 在几何上要尽可能地逼近真实的结构体,其中特别要注 意曲线与曲面的逼近问题. 8) 仔细处理载荷模型,正确生成节点力,同时载荷的简化不 应该跨越主要的受力构件. 9) 质量的堆积应该满足质量质心,质心矩及其惯性矩等效 要求. 10) 超单元的划分尽可能单级化并使剩余结构最小.
当计算的结构比较复杂，整体刚度矩阵的阶数往往 会很大而超出计算机容量，这时可以考虑一小块一小块 地来计算，最后再将各子块边界节点归结在一起，这就 是子结构分析法。这种方法还可以用在需要局部精确分 析的场合，如应力集中处、局部发生塑性变形需要进行 非线性分析处、设计可能改变的局部等，可以只重复计 算部分结构，节约计算时间和计算成本。
4.2.6
多工位载荷的合并处理
比如要对一个建筑结构进行有限元静力分析，建筑结构 受有恒载如自重、一般不动的家具等重量，活载如行走的人、 装修施工等，建筑外面还可能受到风、雪的作用，这些力以 不同大小作用上去就构成了多种载荷工况。
4.2.7
节点编号的优化
半带宽d=相关节点号的最大差值+1）×节点自由度数
3
5 (b)
9 d=(10+1)×2=22
4.2.4 子结构技术
一 架 飞 机 可 以 分 成 几 块 子 结 构
4.2.4 子结构技术
福特公司一辆轿车侧边用子结构方案分析模型
4.2.4 子结构技术
小孔
切口 焊接
转角 集中力作用区域，点接触区域
载荷传递（固定连接，焊 接，锚固，加强棒，等）
厚度变化处
不同材料交界处
4.2.5
线形近似化
4.1.1
有限元建模的准则
有限元建模过程包括选择单元类型，确定单元的
尺寸大小，保证网格划分质量，定义材料和单元特性，
处理载荷和边界条件，确定计算方法和控制参数，要 求输出结果等。
1) 有限元模型应满足平衡条件.
2) 变形协调条件. 3) 必须满足边界条件. 4) 刚度等价原则.
4.1.1
有限元建模的准则
梁二 A
uA uA , v A v A
梁一
4.1.3
连接条件的处理
n i
B
两物体在i点滑动连接 两物体在 i点沿法线方向位移相同， 切向可以不同
A
板梁接合
ui u j l , i
y j x
x j y j
y z
i 板 梁 x
vi v j i l , i
4.1.2 边界条件的处理
(a)固定支撑 固定端所有自由度全约束
A A B
B
(b)固定铰支、可动铰支 uA=vA=0，vB=0
n
(c)斜支撑 垂直于支撑面方向位移为零
A
B
4.1.2 边界条件的处理
(d)指定位移 uC=Δ
B A C Δ
(e)弹性支撑 A B点与基础之间增加弹簧单元
(f)弹性支撑 取部分弹性基础作为分析对象
有时要对一个结构进行多种载荷工况的分析， 为了节约计算成本，一个较好的办法是将各种载荷 矢量{Ri}，合并成载荷矩阵[R]，一起进行求解。方 程系数只需进行一次三角分解，计算量将大大降低。 对于线性问题，还可以先解出某些标准载荷模 式{Ra}、{Rb}、{Rc}下的解{ua}、{ub}、{uc}，若其他 载荷模式可以写成这些载荷的线性组合， {Ra}=a{Ra}+b{Rb}+c{Rc}，则它对应的解为 {ua}=a{ua}+b{ub}+c{uc}，其中a、b、c为线性组合系 数。
B k
(g)受力平衡结构 适当选点约束，消除刚体位移
A
C B A q D C B q
4.1.3
连接条件的处理
平面单元与平面梁在i点固接
方法I
ui ui， , vi vi
j
m
um um , vm vm
方法II
i k
ui ui , vi vi , i
两平面梁在A点铰接
u j uk 2l