逻辑连接词且或
逻辑联结词“或”、“且”、“非”-高中数学知识点讲解
逻辑联结词“或”、“且”、“非”1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命题．例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是pⅤq 的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或q 表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p 真q 假②q 真p 假③p 真q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q 或r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p 和命题q 连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p 且q”．规定：当p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且q 表示两个简单命题两个都成立，就是p 真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定．规定：若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p ￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p 或q”、“p 且q”的否定分别是“非p 且非q”和“非p 或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p 与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．。
考点03 逻辑联结词及数学归纳法(解析版)
考点48 逻辑联结词及数学归纳法一．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三．数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．知识理解考向一 命题的否定【例1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（ ）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤ B ．0x ∀≤，210x x ++≤ C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．【举一反三】1．（2021·全国高三月考（理））命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2ln 0x x+≥ B ．x R ∀∈，2ln 0x x+> C ．0x R ∃∈，002ln 0x x +≥ D ．0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2ln 0x x+>”. 故选：B.2．（2021·湖南岳阳市）命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”的否定是（ ） A ．()1,x ∃∈+∞，21x e x ≥+ B ．()1,x ∀∈+∞，21x e x <+ C ．()1,x ∃∈+∞，21x e x <+ D ．()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”为全称命题，该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞，21x e x <+”. 故选：C.考向分析3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≤，10x e x --＞ B ．0x ∀>，10x e x --> C ．0x ∃>，10x e x --≥ D ．0x ∃≤，10x e x --＞【答案】B【解析】命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为0x ∀>，10x e x -->. 故选：B考向二 逻辑连接词求参数【例2】（2021·全国高三专题练习）若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（ ） A ．2a > B ．2a C ．2a >- D ．2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题， 当0x =时，()2max22x -+=，所以2a >.故选：A. 【举一反三】1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-. 故选：A.2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞) B ．[0，+∞)C ．(-∞，1)D ．(-∞，0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈，2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选：A.3．（2020·江西高三期中（文））存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥，可化为23x m x≤-，设()[]2,1,13x f x x x=∈--，则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--，当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,1]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()11(1),142f f -==，所以函数()f x 的最大值为()112f =， 要使得存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则12m ≤，则m 的最大值为12. 故选：C.考向三 数学归纳法【例3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∴N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（ ） A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1【答案】C【解析】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项， 故选：C.【例3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-+. 【解析】（1）由题意，等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-， 可得21345a a =-= ，323427a a =-⨯=，，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+，证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立； ∴ 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈， 由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立，综上（1）（2），数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.（2）令2(21)2n nn n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-， 化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时，从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是（ ） A ．22k + B ．[]2(1)1k ++ C ．[(22)(23)]k k +++ D ．[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时，左边123(21)k =+++++，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选：C.2．（2021·全国高三专题练习）设集合T n ＝{1，2，3，…，n }（其中n ≥3，n ∴N *），将T n 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n ． （1）求S 3，S 4，S 5的值； （2）试求S n 的表达式．【答案】（1）S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15；（2）41n C + .【解析】（1）当n ＝3时，T 3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S 3＝1；当n ＝4时，T 4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S 4＝1×3+2＝5；当n ＝5时，T 5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=．（2）由S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15，S 6＝35…归纳猜想出41n n S C +=（n ≥3）．下面用数学归纳法证明猜想：∴当n ＝3时，S 3＝1＝44C ，结论成立；∴假设n ＝k （k ≥3，k ∴N *）时，结论成立，即S k ＝41k C +，则当n ＝k +1时，T k +1＝{1，2，3，4，…，k ，k +1}，()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n ＝k +1时，结论成立． 综上：由∴∴可得()413n n S C n +=≥．1．（2021·涡阳县育萃高级中学）已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B2．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））下列说法正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项，若p q ∨为真命题，可能p 真q 假，则p q ∧为假，故A 选项错误.对于B 选项，命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y =”，故B 选项错误. 对于C 选项，当2x =时，20x x ->，所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件，C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知，D 选项正确. 故选：D3．（2021·全国高三专题练习）下列关于命题的说法中正确的是（ ）∴对于命题P ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题，则p ､q 均为假命题 A ．∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴∴∴ D ．∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++，故∴正确；∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”，反之由“2320x x -+=”可能推出2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故∴正确；∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故∴正确； ∴若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故∴错误． 则正确的命题的有∴∴∴． 故选：A4．（2021·河南高三其他模拟（文））命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为（ ）A ．0,2sin 0x x x ∀≥-<B ．0,2sin 0x x x ∀<-<C ．0000,2sin 0xx x ∃≥-< D ．0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀≥，2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选：C.5．（2021·山东菏泽市·高三一模）命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（ ）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C6．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））设命题:0p x ∀≤x =-，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀≤x ≠- B ．00x ∃≤0x =- C ．0x ∀>x =- D ．00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题，该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选：D.7．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件， 故选：B.8．（2021·全国高三专题练习）若命题“∀[]1,4x ∈时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围（ ） A ．[4,3]-- B ．()-∞,-4 C ．[4,)-+∞ D ．[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题， 则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--， 当14x 时，4()0f x -,则40m -. 故选：D ．9．（2020·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ， 故选:D .10．（2021·全国高三专题练习）已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立．因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A11．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k到1k +”左端需增乘的代数式为（ ） A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++， 所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选：B.12．（多选）（2021·恩施市第一中学）下列命题正确的有（ ） A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角． 【答案】AB【解析】对A ，根据全称命题的否定性质，A 为正确的； 对B ，()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=；对C ，函数零点是数而不是点，故C 错误；对D ，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D 错误； 故选：AB.13．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A ：当0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以23x x <恒成立，故选项A 不正确；对于选项B ：当(0,1)x ∈时，23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>，且3log 0x <，所以23log log x x <，故选项B 正确；对于选项C ：当12x =时，1211()()222x ==，11221log log 12x ==，则121log ()2x x >，故选项C 不正确； 对于选项D ：当13x =时，131log 13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0,)3x ∈时，131()1log 2x x <<，故选项D 正确； 故选：BD14．（多选）（2021·全国高三专题练习）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ） A ．32B．C ．3 D ．92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题， 即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >16．（2021·全国高三专题练习）若“存在x ∴[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解， 设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-， 易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数， 所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤， 即92a -<，所以92a >-， 故答案为：9(,)2-+∞．17．（2020·江西高三其他模拟（文））若命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，则m 的取值范围是______． 【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，p ∴⌝：x R ∀∈，210x mx -+≥为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 18．（2020·北京密云区·高三期中）若“01x ∃>，使得11x a x +<-.”为假命题，则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1，使得11x a x +<-.”为假命题，可知，“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题， 11a x x ∴≤+-恒成立，由11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当2x =时取等号， 即a 的最大值为3. 故答案为：3.19．（2021·湖南永州市·高三二模）若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20．（2020·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2020·凌海市第二高级中学高三月考）命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，且20x ≥，10t ∴+<，则1t <-，故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.22．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5【解析】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++， 比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：523．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时，应当验证的第一个式子是11122-=，从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24．（2021·全国高三专题练习）设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--. （1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明； （2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=， 由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即21n a n =-， 证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立； 假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，∴∴-∴得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（1）2343,7,15a a a ===，21n n a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（2）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.26．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知数列{}n a 满足1a m =，2n a ≠，11210n n n a a a ++-⋅-=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）212a m =-，3232m a m -=-，43243ma m-=-；（2）()()()121n n n m a n n m ---=--；证明见解析.【解析】1）因为11210n n n a a a ++-⋅-=，2n a ≠，所以112n na a +=-，又因为1a m = 211122a a m ==--，3212232m a a m -==--，43132243ma a m-==-- （2）()()()121n n n ma n n m---=--证明：1n =时，()1011ma m --==，结论成立 假设n k =时，结论成立，即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时：()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上，数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由11a =，23a =， 所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立；假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-， 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立，综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+， 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.。
一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)
一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x)x0∈M，p(x0)x0∈M，p(x0)x∈M，p(x)1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)(2)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(3)已知命题p：n0∈N,2n0＞1 000，则p：n0∈N，2n0≤1 000.(×)(4)命题“x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2＜0”．(×)2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧qD ．p ∧q 解析 由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故q 为真命题，所以p ∧q 为真命题．答案 A3．(2014·湖南卷)设命题p ：x ∈R ，x 2＋1＞0，则p 为( ) A ．x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．x ∈R ，x 2＋1≤0解析 “x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B4．若命题“x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0. 答案 [－8,0]5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则以上命题的否定中，真命题的序号为________． 答案 ①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(p)∧(q) D．p∨(q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q) B．p∨(q)C．(p)∧(q) D．p∨q解析(1)由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(p)∧(q)，p∨(q)都是假命题．(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选 A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.答案(1)A(2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．【训练1】 (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为假命题，q为真命题，故选D.(2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．答案(1)D(2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．x∈R，|x|＋x2＜0 B．x∈R，|x|＋x2≤0C．x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．x0∈R，|x0|＋x20≥0(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是()A．x∈R，x2＞0 B．x∈R，－1＜sin x＜1C．x0∈R,2x0＜0 D．x0∈R，tan x0＝2解析 (1)全称命题的否定是特称命题，即命题“x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定为“x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”．故选C.(2)x ∈R ，x 2≥0，故A 错；x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；x ∈R,2x ＞0，故C 错，故选D.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】 命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1解析 “存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案 C考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】 已知p ：x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 A规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．【训练3】已知命题p：“x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“x∈R，使得x2＋4x＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案[e,4]微型专题利用逻辑关系判断命题真假2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．点拨找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一点评在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与?p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p 的结论．2．命题的否定包括：(1)对“若p，则q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是一定是不一定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有任意的某一个且或或且至多有一个至少有两个基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是()A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x 解析原命题的否定为“?x∈R，x2＝x”．答案D2．(2014·天津卷)已知命题p：?x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则?p为()A．?x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．?x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．?x≤0，总有(x＋1)e x≤1解析命题p为全称命题，所以?p：?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案B3．(2015·海淀区模拟)已知命题p：?x∈R，x2＋x－1＜0，则?p为()A．?x∈R，x2＋x－1＞0 B．?x∈R，x2＋x －1≥0C．?x?R，x2＋x－1≥0D．?x?R，x2＋x －1＞0解析含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即?p：?x∈R，x2＋x－1≥0.答案B4．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．?p∨q B．p∧qC．?p∧?q D．?p∨?q解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有?p∨?q为真命题．答案D5．(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p：?x∈R，cos x＝54；命题q：?x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(?p)∧(?q)是真命题D．命题(?p)∨(?q)是真命题解析易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．答案D6．下列命题中的假命题是()A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝3C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0解析当x＝1时，lg x＝0，故命题“?x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝π3时，tan x＝3，故命题“?x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“?x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对?x∈R,2x＞0，故命题“?x∈R,2x＞0”是真命题．答案C7．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．?q为假C．p∧q为假D．p∨q为真解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．答案C8．(2015·武汉调研测试)已知命题p ：?φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：?x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(?p )∨qC ．p ∨(?q )D ．(?p )∧(?q )解析 利用排除法求解．?φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，所以p 是真命题，?p 是假命题；?x ＝π2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，?q 是真命题．所以p ∧q ，(?p )∨q ，(?p )∧(?q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(?q )是真命题，故选C.答案 C二、填空题9．(2014·合肥质量检测)命题p ：?x ≥0，都有x 3－1≥0，则?p 是________． 答案 ?x 0≥0，有x 30－1＜0.10．命题“?x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________． 答案 ?x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“?p ”、“?q ”中，是真命题的有________．解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“?p ”为真、“?q ”为真．答案 ?p 、?q12．下列结论：①若命题p ：?x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧?q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：若“x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧?q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案 ①③能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2014·衡水中学调研)给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数．下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题B ．(?p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(?p )∨q 是真命题解析 对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题，∴(?p )∧q 是假命题，故选B. 答案 B14．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )A ．?α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．?φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．?m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．?a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点解析 对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3＝x －1＝1x ，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，?a ＞0，对于方程t 2＋t －a＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案 B15．(2014·北京海淀区测试)若命题“?x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 由已知得“?x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.答案 [2,6]16．已知命题p ：“?x ∈R ，?m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题?p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．解析 若?p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案 (－∞，1]17．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c的取值范围是________．解析 由命题p 为真知，0＜c ＜1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。
逻辑词表
逻辑连接词
追加说法：还有、并且、再加上、以及、不仅如此、不只、理所当然、另外、除了、同时、特别是、而且、除此之外、尤其、甚至
用来对比：
（1）并列：另外、另一方面、相对地
（2）时间系列：同时、以来、以后、以前
用来解说：
（1）延伸：总而官之、也就是说、具体地说、例如、其实、原本、顺带一提
（2）总结：像这样、总而言之、总的来说、综合来说、简言之
（3）换句：换句话说、讲白了、换言之
需要条件：如果、假设、假如……的话、如果不是……的话、根据、只要、至少、有……的话、而且
选择：或者、或是、或如、不如、还是
理由：为什么、所谓的、理由是、原因是、因为、由于
归纳总结：因此、正因为、由于、基于、结果、综合……的观点、所以、于是
手段：借由、借着
目的：为了、为此
反转：可是、但是、虽然、不过
限制：要注意的是、虽说如此、……没错但、相反地
让步：当然、确实、没错
转换：对了、那么、接下来
就、用、故、和、要、以、同、即、使、而、如、像、然、管、并、诚、及、脱、却、且、跟、则、与、但、设、继、虽、既、便、或、饶、况、致、固、若、凭、乃、抑、焉、爰、譬如、诚然、不图、致使、尽管、不独、假使、怎奈、向使、好比、而况、再者、以免、莫如、就算、连同、慢道、无奈、岂但、甚或、总之、不论、以致、偏偏、相反、纵使、不只、不及、可见、足见、鉴于、如同、余外、以便、故此、结果、借以、设使、以期、同时、不拘、况且、非但、不然、不仅、设或、加以、尚且、设若、何况、纵然、不谓、一般、再说、既而、故而、惟其、倘使、要不、既是、非独、不意、至于、莫若、是故、加之、唯有、别说、要不然、以至于、要不是、乃至于、。
表并列的连接词
表并列的连接词在中文写作中，表达并列关系时需要用到连接词。
连接词是连接语法成分，体现逻辑关系的虚词。
下面是一些常见的表并列的连接词：1.和（hé）-表示两个事物的并列关系，语气比较平和。
例如：我喜欢听音乐和看电影。
2.又（yòu）-表示另外一个与之前已有的事物相同或类似的事物。
例如：这家店的食物量足又味道好。
3.而且（ér qiě）-表示前后两件事物的关系紧密。
例如：今年的天气不仅温暖，而且下雨次数也很少。
4.或者（huò zhě）-表示两个事物之间有选择的关系。
例如：我们可以去看电影或者去逛街。
5.并且（bìng qiě）-表示两个事物相互连接或相互依存。
例如：他学习努力，并且成绩优异。
6.而（ér）-表示两个事物之间有一定的对立关系，语气比较强。
例如：他虽然在团队中拥有一定的地位，而却不是太受欢迎。
7.以及（yǐ jí）-表示多个事物的并列关系。
例如：我的周末通常都是在家里做家务、看书以及休息。
8.同时（tóng shí）-表示两个或多个事物在时间或空间上的重叠关系。
例如：他一边上英语课，一边做着自己的笔记，同时还看了看手机上的信息。
9.不仅...而且...（bù jǐn... ér qiě...）-表示多种因素的并列关系。
例如：他不仅学习好，而且人缘也很好。
10.既...又...（jì...yòu...）-表示两个或多个事物的并列关系。
例如：他既会唱歌，又会跳舞。
以上是常见的表并列的连接词。
在写作中，正确使用连接词不仅可以表达句子之间的逻辑关系，还可以增强文本的流畅性和连贯性。
因此，在写作中要注意使用适合语境的连接词，以便更好地表达自己的意思。
[整理版]逻辑连接词与量词
![[整理版]逻辑连接词与量词](https://img.taocdn.com/s3/m/653025750a1c59eef8c75fbfc77da26925c59665.png)
逻辑连接词与量词【考点导读】1.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．2.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】1、简单的逻辑联结词逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．2、量词（1）短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
（2）短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。
3、真值表p q p 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4、全称命题及存在性命题的真假判定【基础题回顾】1.判断下列命题是全称命题：存在性命题:1)任何实数的平方都是非负数; 2)任何数与0相乘,都等于0; 3)任何一个实数都有相反数;4)△ABC的内角中有锐角.2.判断下列命题是真命题的是：:1)中国的所有的江河都流入太平洋2)有的四边形既是矩形,又是菱形;3)实系数方程都有实数解; 4)有的数比它的倒数小;3.写出命题“中学生的年龄都在15以上”的否定: ;4.写出命题” x∈R,x2>x”的否定:5. 写出命题” 6是2的倍数也是4的倍数”的否命题：【典型例题】例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．（1）相似三角形周长相等或对应角相等；（2）9的算术平方根不是3；（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．变式训练1.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数； （2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.例2. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练;(2) ∀ x ∈R,x 2+x+1>0; (3)平行四边形的对边相等;(4) ∃x ∈R,x 2-x+1=0变式训练2.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p ：有的四边形没有外接圆；（5）p ：某些梯形的对角线互相平分.例 3. p:关于x 的不等式{},0|1<>x x a x的解集是q ：函数2l g ()y a x x a =-+的定义域为R ,P Q a 如果和有且只有一个正确，求的取值范围。
1.3.1逻辑联结词“且”或“‘非’
分析：
因为p 和 q都是假命题， 所以p ∨ q一定是假命题， 而 A 的表述明显是真命题， 因此正确答案是 B .
课堂小结
“或”的概念 ： 逻辑联结词 “或” : p ∨ q 读作：p或 q
“或”的判断方法 ：
当p，q 两个命题中有一个 命题是真命题时 p ∨ q 是真命题;
•当p，q 两个命题中都是 命题是假命题时， p ∨ q是假命题.
1．分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空： 命题“非空集A∪B中的元素是A中的 元素或B中的元素” 是__p_或__q___的形式．
2. p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分 p或q形式的复合命题是
菱__形__的__对__角__线__互__相__垂__直__或__互__相__平__分__.
例1
判断下列命题的真假： (1) 2≤2; (2) 集合A是 A∩B的子集或A∪B
的子集; (3) 周长相等的两个三角形全等或
面积相等的两个三角形全等.
(1) 2≤2;
解：
（1）命题“2≤2”是由命题：
p：2=2；q：2 < 2
用“或”联结后构成的新命题，即 p∨q. 因为p是真命题，所以p ∨ q 是真
这句话中p为真，q为真， 就说明这句话是对的.
下列三个命题间有什么关系?
(1) 12能被3整除; (2) 12能被4整除; (3) 12能被3整除且能被4整除.
可以看出… 命题（3）是由 命题（1）和（2）用 联结词“且”连接起来的.
一般地,用逻辑联结词 “且” 把命题 p 和命题 q 联结起来.就得到 一个新命题,记作：
命题，所以原命题为真命题.
(2) 集合A是 A∩B的子集或A∪B的子
高中数学：1.4逻辑联结词“且,或,非” 教案 (北师大选修1-1)
第一章常用逻辑用语第4.1节逻辑联结词“且”第4.2节逻辑联结词“或”第4.3节逻辑联结词“非”一、创设情境前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。
本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。
问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式①11>5 ②3是15的约数吗？③0.7是整数④x>8二、活动尝试①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为3是15的约数，则为真；③是假命题④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。
改为x2≥0，则为真；例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。
我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。
三、师生探究问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。
命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.命题（3否定而得出的新命题.四、数学理论1.逻辑连接词命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2. 复合命题的构成简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题3.复合命题构成形式的表示常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.即：p或q 记作p∨q p且q 记作p∧q 非p (命题的否定) 记作⌝p释义：“p 或q ”是指p,q 中的任何一个或两者.例如，“x ∈A 或x ∈B ”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即x ∈A ∪B ）；又如在“p 真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能p,q 都为真.“p 且q ”是指p,q 中的两者.例如，“x ∈A 且x ∈B ”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即x ∈A I B ）. “非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“x ∈A ”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈U A ð）.五、巩固运用例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p 且q 的形式，其中p ：24是8的倍数；q ：24是6的倍数.（2）的命题是p 或q 的形式，其中p ：李强是篮球运动员；q ：李强是跳高运动员.（3）命题是非p 的形式，其中p ：平行线相交。
逻辑连接词 或、且
1.3简单的逻辑联结词1.3.1且1.3.2或(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）掌握逻辑联结词“或、且”的含义（２）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题（３）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．(二)教学重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．（三）教学过程学生探究过程：1、引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
（注意与上节学习命题的条件p 与结论q的区别）2、思考、分析问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
句子之间的关系有哪些
句子之间的关系有哪些句子之间的关系是构成文章和段落结构的重要组成部分，它们可以帮助我们更清晰地表达观点，使文章逻辑更加严密，让读者更容易理解和接受我们的观点。
在写作中，我们可以利用各种句子之间的关系来丰富文章表达，提高文章质量。
下面将介绍一些常见的句子之间的关系，希望可以帮助大家更好地运用它们。
首先，我们来看一下并列关系。
在文章中，并列关系的句子通常是平行的，它们之间并不存在主次之分，常用的连接词有“而且”、“或者”、“并且”等。
例如，“他喜欢唱歌，而且还喜欢跳舞。
”这种句子之间的关系表明了两个并列的动作或者状态，使得文章更加连贯。
其次，递进关系也是写作中常用的句子之间的关系之一。
递进关系的句子之间存在着逐渐加强的关系，常用的连接词有“而且”、“更加”、“甚至”等。
例如，“她不仅聪明，而且更加勤奋。
”这种句子之间的关系表明了前后两个句子之间的逐渐加强的关系，使得文章内容更加丰富。
另外，因果关系也是写作中常用的句子之间的关系之一。
因果关系的句子之间存在着因果联系，常用的连接词有“因为”、“所以”、“由于”等。
例如，“由于下雨，所以比赛取消了。
”这种句子之间的关系表明了前后两个句子之间的因果联系，使得文章更加严谨。
此外，转折关系也是写作中常用的句子之间的关系之一。
转折关系的句子之间存在着转折的关系，常用的连接词有“但是”、“然而”、“虽然”等。
例如，“他虽然努力学习，但是成绩并不理想。
”这种句子之间的关系表明了前后两个句子之间的转折关系，使得文章更加生动。
最后，比较关系也是写作中常用的句子之间的关系之一。
比较关系的句子之间存在着对比的关系，常用的连接词有“像……一样”、“与……相比”、“不如”等。
例如，“她的成绩不如他好。
”这种句子之间的关系表明了前后两个句子之间的对比关系，使得文章更加鲜明。
总之，句子之间的关系是构成文章结构的重要组成部分，它们可以帮助我们更好地表达观点，使得文章更加连贯、严谨、生动。
新人教A版：1.3简单的逻辑连接词且或非
授课主题简单的逻辑连接词且、或、非教学目标1．理解“且”、“或”、“非”的含义．2．会用“且”、“或”联结两个命题并判断命题的真假．3．能够判断含有逻辑联结词的命题的真假．4．掌握逻辑连接词“且”、“或”、“非”的简单应用．教学内容1.“且”“或”的概念（1）且①定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∧，读作“p且q”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}A B x x A x B=∈∧∈．②判断命题p q∧的真假当p q、都为真命题，p q∧就为真命题；当p q、两个命题中只要有一个命题为假命题，p q∧就为假命题．（2）或：①定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p或q联结起来，就得到一个新命题，记作p q∨，读作“p或q”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}A B x x A x B=∈∨∈．②判断命题p q∨的真假当p q、两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p q∨为真命题；当p q、两个命题都为假命题，p q∨为假命题2.非：①定义：一般地，对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作p⌝，读作“非p”或“p的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．有()p p⌝⌝=成立．可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：{|()}{|}UA x U x A x U x A=∈⌝∈=∈∉．②判断p⌝命题的真假，p⌝和p不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假．3.复合命题不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．复合问题的真值表：复合命题的真假，主要利用真值表来判断，步骤为：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．题型一用“且”、“或”联结成新命题例1将下列命题用“且”、“或”联结成新命题．(1)p：三角形的三条中线相等；q：三角形的三条中线交于一点．(2)p：35是5的倍数；q：35是7的倍数．(3)p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－26x＋3＝0的两根不等．解析：(1)p∧q：三角形的三条中线相等且交于一点；p∨q：三角形的三条中线相等或交于一点．(2)p∧q：35是5的倍数且是7的倍数；p∨q：35是5的倍数或是7的倍数．(3)p∧q：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数且不相等；p∨q：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．巩固分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题．(1)p：π是无理数；q：e不是无理数．(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角解析：(1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数．(2)“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相p q p q∧p q∨p⌝真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真等的实数根且两根的绝对值相等．(3)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角题型二用“且”、“或”改写命题例2用“且”、“或”改写下列命题．(1)1不是质数也不是合数；(2)2既是偶数又是质数；(3)5和7都是质数；(4)x＝±3是方程|x|＝3的解．解析：(1)p：1不是质数，q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(2)p：2是偶数，q：2是质数，p∧q：2 是偶数且2是质数．(3)p：5是质数，q：7是质数，p∧q：5是质数且7是质数．(4)p：x＝3是方程|x|＝3的解，q：x＝－3是方程|x|＝3的解，p∨q：x＝3或x＝－3是方程|x|＝3的解.点评：(1)当一个复合命题不是用“且”或“或”连接时，可以将其改为用“且”或“或”连接的复合命题，改写时要注意不能改变原命题的意思，这就要仔细考虑到底是用“且”还是用“或”．(2)在用“且”、“或”联结两个命题p、q时，在不引起歧义的情况下，可将p、q中的条件或结论合并，使叙述更通顺．巩固用“且”、“或”改写下列命题：(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边，也垂直底边；(2)45既能被5整除又能被9整除；(3) x2－2＝0的根是±2；(4)3≥3.解析：(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直底边；(2)45能被5整除且能被9整除；(3)x2－2＝0的根是2或－2；(4)3大于3或等于3.题型三p∨q、p∧q真假的判断例3指出下列各题中的“p或q”、“p且q”形式的复合命题的真假．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：5是17的约数，q：5是15的约数．解析：(1)p是真命题，q是假命题，∴p或q是真命题，p且q是假命题．(2)p是假命题，q是真命题，∴p或q是真命题，p且q是假命题．点评：有些命题表面上不含逻辑联结词，可以通过改写化为“p∨q”或“p∧q”形式的命题，然后通过p、q的真假判断命题的真假．或命题“p∨q”的真假特点是“一真即真，要假全假”，且命题“p∧q”的真假特点是“一假即假，要真全真”．巩固指出下列“p∨q”，“p∧q”命题的真假．(1)p: 当x∈R时，x2＋1≥2x，q：当x∈R时，|x|≥0；(2)p: 相似三角形的面积相等，q：相似三角形的对应角相等；(3)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数.解析：(1)因为p是真命题，q是真命题，所以“ p∨q”和“ p∧q”都是真命题．(2)因为p是假命题，q是真命题，所以“p∨q”是真命题，“ p∧q”是假命题．(3)因为p是真命题，q是假命题，所以“ p∨q”是真命题，“ p∧q”是假命题.题型四“﹁p”命题真假性的判断例4写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：是有理数；(2)p：5不是75的约数；(3)p：7＜8；(4)p：5＋6≠11；(5)p：空集是任何非空集合的真子集．解析：(1) ﹁p：不是有理数．命题p是假命题，﹁p是真命题；(2) ﹁p：5是75的约数．命题p是假命题，﹁p是真命题；(3) ﹁p：7≥8.命题p是真命题，﹁p是假命题；(4) ﹁p：5＋6＝11，命题p是假命题，﹁p是真命题；(5) ﹁p：空集不是任何非空集合的真子集．命题p是真命题，﹁p是假命题．巩固写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：函数y＝tan x是奇函数；(2)q：4∈{1,2,4}．解析：(1) ﹁p：函数y＝tan x不是奇函数，是假命题．(2) ﹁q：4 {1,2,4}，是假命题．题型五命题的否定与否命题的辨析例5写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解析：命题的否定是：(1)若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题；原命题的否命题是：(1)若x 、y 不都是奇数，则x ＋y 不是偶数，是假命题； (2)若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0，是真命题．点评：1.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．2．常用词语及其否定： 原词语 等于 大于(＞) 小于(＜) 是 都是 否定词语 不等于 不大于(≤)不小于(≥)不是 不都是原词语 至多有一个 至少有一个 至多有n 个 否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有n ＋1个 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 否定词语某个某两个某些不能 巩 固 写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若abc ＝0，则a 、b 、c 中至少有一个为零； (2)若a ＝b 且b ＝c ，则a ＝c .解析：(1)否定形式：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为零． 否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为零． (2)否定形式：若a ＝b 且b ＝c ，则a ≠c . 否命题：若a ≠b 或b ≠c ，则a ≠c . 题型六 逻辑联结词的简单运用例6 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，所以－2<a <2，所以命题p ：－2<a <2.又函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a >1，即a <2.所以命题q ：a <2. 由p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1) 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <2，所以a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是 (－∞，－2]．点评：(1)利用逻辑联结词“且”、“或”可以将简单命题变为复合命题，利用“非”可以否定一个命题. 在解决问题时，正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是关键，有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定．(2)对于复合命题中的参数问题，可以根据复合命题的真假，列出方程或不等式，求出参数的值或范围．巩 固 已知a >0，a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1) 在(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围．解析：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减．当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p 真时0<a <1.q 真等价于(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.又a >0，所以0<a <12或a >52.因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p ，q 中必定是一个为真一个为假．(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)若p 假，且q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52⇒a >52，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.（且、或）一、选择题1．下列命题中，是“ p ∨q ”形式的命题的是( )A ．∅{0}B ．－3＜0C ．平行四边形的对角线相等且互相平分D ．能被5整除的整数的末位数不是0就是5 解析：“∅{0}”和“－3＜0”是简单命题；“平行四边形的对角线相等且互相平分”是“p ∧q ”形式的命题．“能被5整除的整数的末位数不是0就是5” 是“ p ∨q ”形式的命题．故选D. 答案：D2．已知命题p ：5≤5，q ：5＞6.则下列说法正确的是( )A ．“p ∧q ”为真，“p ∨q ”为真B．“p∧q”为假，“p∨q”为假C．“p∧q”为假，“p∨q”为真D．“p∧q”为真，“p∨q”为假答案：C3．下列语句中，符合命题“p∧q”的个数是()①方程x2＋5＝0没有实数根；②y＝sin x是周期函数也是R 上的减函数；③9是144和81的公约数；④(A∩B)⊆AA．0个B．1个C．2个D．3个解析：②、③符合命题“p∧q”的形式．故选C.答案：C4．“x不大于y”是指()A．x≠y B．x< y或x＝y C．x< y D．x< y且x＝y解析：“不大于”是指“小于或等于”．故选B.答案：B5．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，命题q：∅＝{0}则下列判断正确的是()A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真解析：因为{x|(x＋2)(x－3)＜0}＝{x|－2＜x＜3}，所以1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，所以p真．因为∅≠{0}，所以q 假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.答案：B6．已知命题p：点P在直线y＝2x－1上；命题q：点P在直线y＝－x＋3上，则使命题“p或q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3) B．(3,2) C．(1，－1) D．(5，－2)解析：命题“p或q”为真命题的含义是这两个命题至少有一个是真命题，即点P在直线y＝2x－3上，或在直线y ＝－3x＋2上，即点P至少在其中一条直线上．检验知选项D满足条件．故选D.答案：D7．已知命题p，q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真p∧q为真．故选B.答案：B8．若xy ＝0，则x ＝0________y ＝0；若xy ≠0，则x ≠0________y ≠0(填“且”或“或”)．答案：或，且9．给出命题p ：ax ＋b >0的解为x >－ba，命题q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p ∧q 是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p 与q 都是假命题，所以p ∧q 是假命题． 答案：假10．若命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题，则下列结论中正确的个数是______________．①命题q 一定是真命题；②命题q 不一定是真命题；③命题p 不一定是真命题；④命题p 与q 的真值相同． 解析：因为命题“p 或q ”与命题“p 且q ”都是真命题，所以p 、q 同真．所以①④正确． 答案：211．设命题p ：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 的最小正周期是π，q ：32∉[23，＋∞)，则复合命题“ p ∨q ”、“p ∧q ”中真命题的是________．解析：由三角函数的性质知p 是真命题，而32∈[23，＋∞)，所以q 是假命题，故“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题．答案： p ∨q 三、解答题12．指出下列各题中的“p 或q ”、“p 且q ”形式命题的真假．(1)p ：a ∈{a ，b ，c }；q ：{a }⊆{a ，b ，c }；(2)p ：x ≠y ，则sin x ≠sin y ．q ：如果α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β.解析：(1)p 或q 是真命题，p 且q 是真命题；(2)p 或q 是假命题，p 且q 是假命题．13．已知p ：不等式mx 2＋1>0的解集是 R ；q ：f (x )＝log m x 是减函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．解析：因为不等式mx 2＋1>0的解集是R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0或m ＝0，解得m ≥0，即p ：m ≥0.又f (x )＝log m x 是减函数， 所以0<m <1，即q ：0<m <1，又 p ∨q 为真， p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假．即p 为真，q 为假；或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，0<m <1，得m ≥1. 所以m 的取值范围是m ≥1.（非）1．如果命题p或q为假命题，则()A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q中至多有一个为真命题D．p、q均为假命题答案：D2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“非q”为假B．“p或q”为真，“非q”为假C．“p且q”为假，“非p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假解析：显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.答案：B3．若命题p：x＝2且y＝3，则命题﹁p是()A．x≠2或y＝3B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y≠3答案：D4．如果命题“p∨q”与命题“﹁p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同答案：B5．若命题p：x∈(A∩B)，则﹁p为()A．x∈A且x∉BB．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉BD．x∈(A∪B)解析：“x∈(A∩B)”是指“x∈A，且x∈B”，故﹁p：x∉A或x∉B.故选B.答案：B6．对于下述两个命题：p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”中真命题的个数为()A．0个B．1个C ．2个D ．3个解析：命题 p 是假命题，命题 q 是假命题，所以“﹁p ”是真命题，命题p ∨q 和命题p ∧q 都是假命题．故选B. 答案：B7．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(﹁p )∨(﹁q )B ．p ∨(﹁q )C ．(﹁p )∧(﹁q )D ．p ∨q解析：“至少有一位学生没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(﹁p )∨(﹁q )．故选A.答案：A8．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A 二、填空题9．命题“若a <b ，则2a < 2b ”的否命题为__________，命题的否定为____________．解析：命题“若a <b ，则 2a ＜2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”． 答案：若 a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b10．命题“对任意实数x ，ax 2－2ax －3≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：当a ＝0时，－3≤0成立，当a ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0.答案：[－3,0]11．分别用“p 或q ”“p 且q ”“非p ”填空．(1)命题“15能被3和5整除”是________形式；(2)命题“16的平方根是4或16的平方根是－4”是________形式； (3)命题“π不是有理数”是________形式． 答案：p 且q p 或q 非p 三、解答题12. 已知命题p: 1∈{x |x 2＜a }，命题q ：2∈{x |x 2＜a }．(1)若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：若p 为真，则由1∈{x |x 2＜a }，得12<a ，即a ＞1； 若q 为真，则由 2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.11 (1)若“p 或q ”为真，则a ＞1或 a ＞4，即a ＞1.故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p 且q ”为真，则 a ＞1且 a ＞4，即 a ＞4.故实数a 的取值范围是(4，＋∞)．13．已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a >0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解析：﹁p ：|4－x |>6，x >10，或x <－2，x ∈A ＝{x |x >10，或x <－2}，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，x ≥1＋a ，或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a ，或x ≤1－a }．而﹁p ⇒q ，q ﹁p ，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≥－2，1＋a ≤10，a >0，∴0<a ≤3.∴a 的取值范围是(0,3]．。
简单逻辑连接词或、且、非
目录
• “或”的逻辑 • “且”的逻辑 • “非”的逻辑 • “或”、“且”、“非”的组合逻辑 • 逻辑连接词在计算机科学中的应用
01 “或”的逻辑
“或”的定义
01
“或”表示两个命题中至少有一 个为真，则该复合命题为真。
02ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“或”可以用于连接两个命题， 表示它们之间的逻辑关系。
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且（AND）
逻辑且在人工智能中用于表示多个条件必须同时满足时，才触发某个事件或行为。例如， 在自然语言处理中，可以使用逻辑且来构建规则，要求多个语法规则同时满足时，才能识 别出某个短语或句子。
非（NOT）
逻辑非在人工智能中用于否定某个条件或规则。例如，在知识表示中，可以使用逻辑非来 否定某个事实或规则。
例如，“明天去游泳且看电影。”表 示两个活动同时进行。
03 “非”的逻辑
“非”的定义
“非”是逻辑中的基本否定词，表示 对某一命题的否定。
“非”通常用符号“¬”表示，置于 命题之前，表示该命题的否定。
“非”的逻辑性质
01
“非”具有传递性
如果命题A的否定是B，命题B的 否定是C，那么命题A和C是等价 的。
条件判断
在制定条件语句时，“或”用于表示满足任一条件即可。
02 “且”的逻辑
“且”的定义
1
“且”逻辑连接词表示两个或多个命题同时成立 。
2
在逻辑学中，“且”通常用符号“∧”表示。
3
在自然语言中，“且”通常用“和”或“并且” 来表示。
“且”的逻辑性质
01
02
03
结合律
p∧(q∧r)=(p∧q)∧r，即 “且”具有结合律，可以 任意组合。
1.3.1简单的逻辑联结词——或、且、非
q：x＝－3是方程|x|＝3的解，
p∨q：x＝3或x＝－3是方程|x|＝3的解． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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跟踪训练 3．分别指出下列命题的形式以及构成它的简单命
题．
(1)李明是老师，赵山也是老师； (2)1是合数或质数； (3)他是运动员兼教练员；
(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上也
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跟踪训练 4．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)5≥4； (3)A A∪B.
分析：先确定复合命题的构成形式以及构成它的简单
命题，然后研究各简单命题的真假，最后再根据相应的真
值表判定复合命题的真假．
金品质•高追求
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1．“或”、“且”、“非”贯穿于集合与简易逻辑 之中．正确理解“或”、“且”、“非”的含义是十分重 要的． 2．在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时， 要注意“非或即且，非且即或”． 3．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全 假”． 4．“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全 真”． 金品质•高追求 我们让你更放心！
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自测自评 ( 1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是 C ) A．简单命题 B．p或q形式命题
C ． p且q形式命题 D．非p形式命题 2 ． 已知命题 p： 5≤5， q： 5＞6.则下列说法正确的是 (C )
A．“p∧q”为真，“p∨q”为真，“綈 p”为真
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高中数学 选修2-1 1.4简单逻辑连接词且或非
命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得 到的新命题.
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起 来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”
2.问题2 思考：命题 p∧q的真假如何确定？
观察下列各组命题，命题p∧q的真假与p、q 的真假有什么联系？
逻辑联结词“或”“且”“非”的含义
且：就是两者都有的意思 或：就是两者至少有一个的意思
（可兼容） 非：就是否定的意思
复合命题的真值表
p
q
p˅q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
有真即真， 全假即假
全真为真， 有假即假
p˄q
¬p
真
假
假
假
假
真
假
真
真假相反
含有逻辑联结词“且”、“或”、“非”的命题称为复合命题
且 ≠ ≤ 不 不都 至少 没有 某 某 是 是 有两 一个 个 些 个
真
有真即真, 全假为假. 真
假
假
q p∨q 真真 假真 真真 假假
★★ 非 (not)
1.问题1
思考：
下列两组命题间有什么关系？ （1）35能被5整除； （2）35不能被5整除. （3）方程 x2+x+1=0有实数根； （4）方程 x2+x+1=0无实数根
命题(2)是命题(1)的否定，命题（4）是命题 （3）的否定.
一般地，对一个命题p否定，就得到一个新命 题，记作¬ p，读作“非p”或“p的否定”.
思考：命题P与┐p的真假关系如何？
简单逻辑连接词或且
在逻辑运算中，“非”遵循德摩根定律，即 ¬(P∧Q)=¬P∨¬Q和¬(P∨Q)=¬P∧¬Q，表 示否定一个合取命题等价于对两个简单命题
的否定进行析取。
“或且”与“非”的组合应用
在逻辑推理中，“或且”与“非”可以组合使用，以构建更复杂的逻辑 表达式。
通过将“非”与其他逻辑连接词结合使用，可以实现逻辑表达式的转换 和化简，例如利用德摩根定律将表达式转换为标准形式，或者消除多余
日常语言中的含义
在日常语言中，“或且”通常用于表示两个条 件都必须满足的情况。
例如，“请提供A或且B的信息”，意味着必须 同时提供A和B的信息。
“或且”在日常语言中具有明确的含义，是逻 辑运算中常用的连接词之一。
04
“或且”在推理中的应用
简单推理
总结词
在简单推理中，“或且”连接词用于表示两个条件同时满足的情况。
05
“或且”与“非”的关系
“非”的含义
“非”表示否定，是对某个命题的真 实性进行否认。
VS
“非”通常用符号“¬”表示，用于 逻辑表达式中，表示对某个命题的否 定。
“非”的逻辑运算规则
“非”的运算规则是：如果一个命题是真的 ，那么它的“非”就是假的；如果一个命题 是假的，那么它的“非”就是真的。
“且”在日常生活中广泛应用于表示两个或多个条件同时满足的情况，如“明天天气晴朗且气温适宜”，意味着明天天气晴朗并 且气温适宜。
“且”还常用于表示两个或多个条件缺一不可的情况，如“参加比赛者需年满18周岁且身体健康”，意味着参加比赛的人必须同 时满足年满18周岁和身体健康两个条件。
03
“或且”的逻辑含义
定义
逻辑“或且”表示两个条件同 时满足的情况。
在逻辑运算中，“或且”表 示两个条件都必须满足，缺
论文浅谈逻辑连接词“或与且”
浅谈逻辑连接词“或与且”高中数学课本中的许多知识是存在内在联系的，我们老师在常规教学中,需要把这些存在于不同章节中的本质串联起来一起应用融会贯通。
可使学生对数学的内涵加深认识,有利于学生对高中数学基本思想加深理解。
下面我就简单来谈谈我在教学中对逻辑连接词“或与且”的理解，以及它们在不同章节中的应用。
“或与且”在逻辑学中的定义：其实在高一数学的第一章中我们便学习了逻辑连接词“或与且”。
其中“或”是指若干事件中至少有一个发生；“且”是指若干事件同时发生。
它们在本章节中的应用主要是连结简单命题合成复合命题并判断真假。
其中复合命题“p或q”为真的内涵是：简单命题p、q中至少一个为真（包含p真q假，p假q真，p真q真，三种情况）。
复合命题“p且q”为真的内涵式是：简单命题p、q两个都为真（仅仅是p真q真，一种情况）。
有了逻辑连接词“或与且”，我们就可以对复合命题进行分解，分拆成由“或与且”连结起来的若干个简单命题，再由对各个简单命题的真假判断汇总判断出原复合命题的真假。
突出的优势在于对复杂问题的细化分拆，然后各个击破，再汇总。
其实我们数学中很多复杂的大题也不过是由若干个小难点组成，我们也称之为综合题。
而一旦我们能运用分解的思想把问题先分拆，就可以使问题细化、单一化，更快捷的解决问题。
实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
而在这里起到关键的分拆与合成的连结作用的就是“或与且”。
所以我们在解这类型综合题时应多采用“或与且”进行分析。
“或与且”在集合运算中的应用：其实我们发现“或与且”就直接出现在集合运算的定义当中。
A 并B 的定义是：由A 中的元素或B 中的元素组成的集合。
A 交B 的定义是：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合。
可以看到并集运算中的关键词“或”（A 交B 也可理解为包含A 发生B 不发生，A 不发生B 发生，A 发生B 也发生，三种情况）；交集运算中的关键词“公共”（可理解为满足A 同时也满足B ，体现“且”的内涵）。
逻辑连接词
逻辑连接词逻辑连接词，也被称为连词、连接词或连接词汇，是用来连接两个句子、短语或单词的词语。
它们在句子中起到连接和衔接关系的作用，使得文章更加连贯和通顺。
在写作中，正确使用逻辑连接词非常重要，可以使句子之间的关系更加明确，使文章结构更加清晰。
下面我将介绍一些常用的逻辑连接词，并给出使用示例。
1. 并列连接词：并列连接词用来连接并列的句子、短语或单词，表示相同、相似或并列的关系。
例如：- 而且（用来连接两个或多个陈述意见或事实的句子）：我喜欢旅行，而且我认为旅行可以增长见识。
- 或者（用来表示选择）：你可以选择去看电影或者去逛商场。
- 并且（用来连接两个相似的陈述或动作）：她努力工作，并且她总是取得好成绩。
2. 递进连接词：递进连接词用来表示递进或增加的关系，表明后面的内容与前面的内容相比更进一步或更加详细。
例如：- 而且（用来表示进一步补充）：他不仅会弹钢琴，而且还会演奏吉他。
- 此外（用来表示另外增加的信息）：我喜欢旅行。
此外，我也喜欢尝试不同的美食。
- 而且还（用来进一步增加信息）：这座城市不仅风景优美，而且还有许多历史名胜古迹。
3. 转折连接词：转折连接词用来表示转折或对比的关系，表明后面的内容与前面的内容相比有所不同。
例如：- 但是（用来表示转折）：我很喜欢运动，但是我不太擅长游泳。
- 然而（用来表示转折或对比）：他刚开始很有信心，然而最后还是失败了。
- 尽管（用来表示让步）：尽管下雨了，但是我们还是决定去露营。
4. 因果连接词：因果连接词用来表示因果关系，表明前面的内容是后面内容的原因或结果。
例如：- 因为（用来表示原因）：我昨天没有上课，因为我生病了。
- 所以（用来表示结果）：她努力学习，所以她考试取得了好成绩。
- 由于（用来表示原因）：由于天气不好，比赛被取消了。
5. 条件连接词：条件连接词用来表示条件关系，表明后面的内容是前面内容的条件。
例如：- 如果（用来表示假设或条件）：如果你明天有时间，我们可以一起去看电影。
联言和选言命题转化
联言和选言命题转化1. 什么是联言和选言命题在逻辑学中，联言命题和选言命题是两种常见的命题形式。
联言命题由两个或多个简单命题通过逻辑连接词“且”（∧）组成，表示它们同时为真的情况。
选言命题由两个或多个简单命题通过逻辑连接词“或”（∨）组成，表示其中至少有一个为真的情况。
例如，假设简单命题A代表”今天下雨”，B代表”明天放假”，那么联言命题可以表示为”A且B”，选言命题可以表示为”A或B”。
2. 联言和选言的转化方式对于给定的联言或选言命题，我们可以将其转化成其他等价形式的逻辑表达式。
以下是一些常见的转化方式：2.1 联合律和分配律联合律指出，在任意给定的联合操作中，括号可以从左到右移动而不改变结果。
例如： - (A∧B)∧C = A∧(B∧C) - (A∨B)∨C = A∨(B∨C)分配律指出，在任意给定的连结操作中，一个操作符（如“且”）可以分配到另一个操作符（如“或”）上，或者一个操作符（如“或”）可以分配到另一个操作符（如“且”）上。
例如： - A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C) - A∨(B∧C) =(A∨B)∧(A∨C)利用联合律和分配律，我们可以将给定的联言或选言命题转化成其他等价形式。
2.2 否定的转化对于给定的联言或选言命题，我们可以通过否定运算将其转化成其他等价形式。
对于联言命题，我们有以下规则： - ¬(A∧B) = ¬A∨¬B - ¬(A1∧…An) = ¬A1 ∨ … ∨ ¬An对于选言命题，我们有以下规则： - ¬(A∨B) = ¬A∧¬B - ¬(A1∨…An) = ¬A1 ∧ … ∧ ¬An利用否定的转化规则，我们可以将给定的联言或选言命题进行否定操作，并得到其他等价形式。
2.3 条件和双条件命题的转化条件命题是一种特殊的联言命题，它由两个简单命题通过逻辑连接词“如果…那么…”组成。
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逻辑连接词且或
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2
1．４逻辑连接词“且”“或”“非”
【学习目标】
1、通过数学实例，了解逻辑连接词“且”“或”“非”的含义
2、通过本章学习，会用“且”“或”“非”改写有关命题，会写一个命题的否定，并会判断其真假
3、能举实例，体会“且”“或”“非”在数学中的意义，并注意与生活语言相区别，从而会正确使用逻辑连接词
【问题导学】自学课本P16-18，优化设计P7-9内容，思考下列问题
1、用逻辑连接词“且”“或”“非”连结两个命题p和q，分别构成什么形式的命题？
2、含有逻辑连接词的命题的真假与p、q真假有什么关系？
3、从集合角度如何理解“且”“或”“非”？
4、“p且q”的否定是什么？“p或q”的否定是什么？
【自学检测】
1、“a≥0”指_________
A、a＞0且a=0；
B、a＞0或a=0；
C、a＜0或a=0；
D、a＞0或a＜0
2、已知命题p：⊆
Φ{0}；q：{1,2}∈{1,2,3}，由p与q 构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题中，真命题的个数是_________
A、0
B、1
C、2
D、3
3、若命题“p且q”为假，“﹁p”为假，则__________
A、“p或q”为假
B、q真
C、q假
D、不能判断q的真假
4、已知命题p：x≥3或x≤-1；q：x∈Z，若p且q、﹁p都为假命题，则满足条件的x的
集合为____________
【典例分析】
例1、命题p：“不等式
1
≥
-
x
x
的解集为{x|x≥1或x≤0}”;命题q：“不等式4
2>
x
的解集为{x|x＞2 }”，则___________
A、p真q假
B、p假q真
C、p且q为真
D、p或q为假
例2、“p或q为真命题”是“非p真命题”的___________条件
(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)
3
【当堂训练】
1.如果命题“
()
p q
⌝或”是假命题，则正确的是（）
A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题 D．p、q中至多有一个为真命题
2.已知命题p：2210
x ax
++>恒成立，命题q：a Z
∈，若命题“p q
∧”是真命题，
则实数a的值可能是（）
A. -1
B. 1
C. 0
D. 1±
3.已知
p
3
2
x
q
6
x2，且
：。
：≤
-
≥
-x
p
∧
q与q
⌝同时为假命题，则实数x的取值范围
为________.
4.命题“全等三角形一定相似”的否命题是，命题的否定是．
5.设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是_____
6.已知命题p:
[]2
1,2,0
x x a
∀∈-≥
，命题q:
2
,220
x R x ax a
∃∈++-=，若命题“p
且q”是真命题，求实数a的取值范围
7. 已知p
：关于x的不等式
1(0,1)
x
a a a
>>≠
且
的解集是
{|0}
x x<
；
q
：任意实数x，不等式
2220
x ax a
++≥
恒成立；
求实数a的取值范围使p，q为命题，且p q
∨
为真命题，
p q
∧
为假命题，
4。