高中数学解析几何常考题型整理归纳

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高考复习中解析几何题型分析及解法梳理

一、解析几何题型分析：
1. 直线问题：主要考察直线的性质及其特征，如平行、垂直、中心弦定理等。

2. 圆形问题：主要考察圆形的性质及其特征，如圆心角定理、外切内接定理等。

3. 正多面体问题：主要考察正多面体的性质及其特征，如三角形内心定理、四面体最大最小化原理等。

4. 三角形问题：主要考察三角形的性质及其特征，如勾股定理、海伦-泰勒斯定理等。

5. 几何评价法问题: 主要是透过几何图型来评价各部分之间的大小或者数量上的差异,例如由于不同图彩之间存在一些明显差异,所以能够根据这些差异来作出正确判断或者作出正确估测。

二、解法收拾:
1. 第一步应该是将所有信息数字化,即将所有信息由文字表述方式数字化;
2. 第二步应该是根据所数字化后的信息来选用适合的几何方法;
3. 第三步应该是根据前两部中所使用方法来进行相应的代数或者几何运算;
4. 最后一步应该是核对并汇总前三部中所得到的信息,然后作出最合适书写样子上呈上。

高考数学：解析几何常考题型及解题方法汇总（含详解），

相信很多同学都知道，解析几何其实并不难，解题思路也相对简单，但是它却折磨着大多数的考生们！
为什么？因为它的计算量实在是太大了，想找个简单快捷的方法去做都是很不容易的一件事。

在高考数学中，解析几何属于必考题，而且其所占的分值和函数也相差不大，都是在3 0分左右，但是它并没有像函数压轴题一样，让人看了就想放弃。

但是只要找对方法，你会发现其实解析几何也没有想象中的那么折磨人，而且出乎意料的简单。

今天，学长就为同学们整理了高考数学中解析几何的热点常考题和解题方法的汇总，希望同学们好好把握，在高考中取得一个更好的成绩！
需要电子打印版的同学可以私信发送，解析几何，就可以打印出来了！用起来超方便！！！。

高中数学解析几何总结(非常全)

高中数学解析几何第一局部:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k〔1〕.倾斜角为︒90的直线没有斜率。

〔2〕.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率〔直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否那么会产生漏解。

〔3〕设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，那么当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o90=α；斜率不存在；二、直线的方程 1.点斜式：直线上一点P 〔x 0,y 0〕及直线的斜率k 〔倾斜角α〕求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：假设直线在y 轴上的截距〔直线与y 轴焦点的纵坐标〕为b ，斜率为k ，那么直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距〞这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离〞有区别。

3.两点式：假设直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且〔2121,y y x x ≠≠那么直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：假设直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b 〔0,0≠≠b a 〕那么直线方程：1=+bya x ；注意：1〕.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法

高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。

平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。

下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。

一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。

常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。

这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。

例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。

解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。

解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。

3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。

通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。

二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。

常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。

这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。

例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。

解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。

当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。

当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。

解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。

2.求解二次方程，得到x的值。

高考解析几何大题题型归纳

高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题主要分为以下几类：
1. 平面向量问题：涉及向量加减、点积（数量积）、叉积（向量积）及其性质，例如线段长度、平行四边形面积、点到直线距离等等。

2. 空间几何问题：涉及空间中点、线、面的位置关系、相交情况、垂直或平行关系、大小关系等问题，例如两平面夹角、直线与平面的交点、平面方程等。

3. 三角形问题：涉及三角形内部、外部、垂心、垂足、中线、中心、外心、内心等概念，例如三角形的外接圆、内切圆、垂心定理等。

4. 圆锥曲线问题：涉及圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的定义、性质、焦点、方程、参数等问题，例如椭圆离心率、抛物线焦点、双曲线渐近线等。

5. 空间向量问题：涉及空间中平行六面体、四面体的体积、重心、外接球、内切球等问题。

以上是高考解析几何大题的主要题型归纳，但具体涉及哪些内容还是要根据题目的情况来确定的。

解析几何题型及解题方法总结

解析几何题型及解题方法总结
题型：1、求曲线方程(类型确定、类型未定)；2、直线与圆锥曲线的
交点题目(含切线题目)；3、与曲线有关的最(极)值题目；4、与曲线有关
的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；5、探求曲线方程中几
何量及参数间的数目特征。

解题方法：
1、紧密结合代数知识解题：“求到两定点的距离之比等于常数的点
的轨迹”问题的求解过程中，取平面直角坐标系，使两定点的连线为x轴，且连线段的中点为原点，并设两定点的距离为2b，则两定点分别为M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是轨迹上任意一点，常数为n，最终得到轨迹
方程（n2-1）（x2+y2）+2b（n2+1））x+b2（n2-1）=0。

2、充分利用几何图形性质简化解题过程：在对曲线轨迹方程求解的
过程中，通过几何条件，可以对轨迹的曲线类型进行判断，然后通过待定
系数法来求解。

3、用函数（变量）的观点来解决问题：对于解析几何问题而言，由
于线或点发生改变，从而导致图形中其他量的改变，这样类型的题目，往
往可以使用函数的观点来求解。

例如，在次全国高中数学竞赛题中，已知
抛物线y2=6x上的2个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且
1+2=4。

线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求AABC面积的最大值。

高考专题：解析几何常规题型及方法

高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考察的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察。

选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：〔1〕解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的容之一〔2〕解析几何的计算量相对偏大〔3〕在大家的"拿可拿之分〞的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题〔有时20题〕就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。

鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几容弹性很大。

有容易题，有中难题。

因此在复习中基调为狠抓根底。

不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在稳固根底、对付"跳一跳便可够得到〞的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。

三、高考核心考点1、准确理解根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等〕2、熟练掌握根本公式〔如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等〕3、熟练掌握求直线方程的方法〔如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等〕4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法〔如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等〕8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

高考解析几何题型归纳总结

高考解析几何题型归纳总结随着高考的逼近，几何题成为了考生备考中不可忽视的一部分。

几何题在高考中占据了相当大的比重，解析几何题更是考生普遍认为难度较高的题型之一。

为了帮助考生更好地备考解析几何题，本文将对高考解析几何题型进行归纳总结，从而帮助考生更好地应对高考几何题。

1. 二维几何题目二维几何题目主要涉及平面图形的性质、面积、周长以及平行线、垂直线的性质等。

在解答二维几何题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 论证步骤的完整性：解答二维几何题目时，应充分体现论证的完整性，即从已知条件出发，一步一步进行推导，最终得出结论。

(2) 图形的准确画法：在画图时应确保图形的准确性，边长、角度等应与给定条件一致，以避免答案误差。

(3) 重点关注特殊性质：几何题中常涉及到平行线、垂直线以及等边等特殊性质，考生应注意识别和运用这些特殊性质来解答题目。

2. 三角形相关题目三角形相关的题目主要涉及三角形的面积、周长、角度等性质。

在解答三角形题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 利用相似三角形性质：在解答三角形的题目时，经常会用到相似三角形的性质。

考生应注意观察题目中是否存在相似三角形，以便能够灵活地运用相似三角形性质来解题。

(2) 角度关系的应用：三角形中的角度关系常常是解题的关键，考生应深入理解角的概念，并能够巧妙利用角度关系解答题目。

(3) 三角形的分类：根据不同的三角形分类，可以利用其特定性质解答题目。

例如，等边三角形具有所有边相等的性质，而等腰三角形具有两边相等的性质。

考生应注意灵活运用不同种类三角形的性质。

3. 圆相关题目圆相关的题目主要涉及圆的性质、弧长、面积等。

在解答圆相关题目时，考生应注意以下几个方面：(1) 圆的性质的应用：圆的性质是解答圆相关题目的基础，考生应深刻理解圆的定义、圆心角、弧长等基本概念，并能够合理运用这些性质。

(2) 弧长和扇形面积的计算：在解答涉及弧长和扇形面积的题目时，考生应熟记相应的计算公式，并注意计算过程中的单位换算。

解析几何常用知识点总结

“解析几何”一网打尽（一）直线1.[)⎪⎭⎫⎝⎛≠≠--==∈2112122tan 0x x x x y y k l ，，，直线的倾斜角πααπα2.直线的方程（1）点斜式11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).特别的：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =；已知直线横截距0x，常设其方程为x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =.知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或x x =(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等 ⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 ⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等 ⇔直线的斜率为1±或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 3、几个距离公式（1）两点间距离公式：1122(,)(,)A x y B x y AB =点点 (2)00(,)x y P 到直线0Ax By C ++=的距离为d =特别地，当直线L: 0x x =时，点P (00,x y )到L 的距离0d x x =-；当直线L: 0y y =时，点P (00,x y )到L 的距离0d y y =-.(3).两平行线间的距离公式：设1122:0,:0,l Ax By C l Ax By C d ++=++==则4.两直线的位置关系：12121212121()0l l k k k k A A B B ⊥⇔=-⇔+=、都存在时；{{1212211212121221//()k k A B A B l l k k b b AC A C ==⇔⇔≠≠、都存在时；重合5.三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.（二）圆1. 圆的三种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ) 注意：（1）.圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点；辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。

高中文科数学解析几何部分整理例题详解

高中文科数学解析几何部分整理考点：平面直角坐标系，直线方程与圆的方程，两点间距离公式与点到直线的距离公式一、知识点 1.直线的方程1）倾斜角：范围0≤α＜180，0l x l x α=︒ 若轴或与轴重合时，。

90l x α⊥=︒若轴时，。

2）tan k α=斜率： ()()2111122221,,,y y P x y P x y k x x -=⇒=-已知平面上两点1290,x x k α==︒当时，不存在，0;0k k αα><为锐角时，为钝角时， 3）直线方程的几种形式斜截式：y=kx+b 不含y 轴和平行于y 轴的直线点斜式：()11y y k x x -=- 不含y 轴和平行于y 轴的直线两点式：121121x x x x y y y y --=--不含坐标轴，平行于坐标轴的直线截距式：1=+by ax 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式：Ax+By+C=0 A 、B 不同时为0几种特殊位置的直线：①x 轴：y=0②y 轴：x=0③平行于x 轴：y=b ④平行于y 轴：x=a 原点：y=kx 或x=04）直线系：（待定系数法的应用）（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k 为参数y-y0=k （x-x0）特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴）注意：运用斜率法时注意斜率不存在的情形。

（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。

②Ax+By+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 Bx-Ay+入=0表示与Ax+By+C 垂直的直线系2.两直线的位置关系L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0 L2：A2X+B2Y+C2=0L1与L2组成的方程组平行⇔k1=k2且b1≠b2212121C C B B A A ≠=无解重合⇔k1=k2且b1=b2212121C C B B A A == 有无数多解相交⇔k1≠k22121B B A A ≠有唯一解垂直⇔ k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0有唯一解3.几个距离公式：1）点到直线距离：2200B A cBy Ax d +++=（已知点（p0(x0,y0)，L ：Ax+By+C=0）注：若直线为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=2）点(),a b 到直线的距离为0021ka b y kx d k -+-=+（这是斜率法经常用到的）3）两行平线间距离：L1=Ax+By+C1=0 L2：Ax+By+C2=0⇒2221B A c c d +-=4)点间的距离公式()()22121212PP x x y y =-+-4.圆 1)圆的方程一般式：22x y a y 0x b c ++++=配方得：22224(x+)(y+)224aba b c+-+=圆心为：（2a，2b），半径为2242a b c+- 标准式：22200(x-x )(y )y r +-=，圆心为（x ，y ），r 为该圆半径。

高考解析几何大题题型归纳

高考解析几何大题题型归纳高考解析几何大题题型归纳一、三角形的性质与判定在高中数学中，三角形是一个重要的图形。

学生在高考中常常会遇到与三角形性质与判定相关的大题。

在这一题型中，常见的题目包括用三角形的边长、角度或者特殊性质来判断三角形的形状、大小或者其他性质。

二、直线与线段的相交问题直线和线段是解析几何题目中常见的图形。

学生在高考中常常会遇到关于直线和线段相交问题的大题。

在这一题型中，学生需要根据已知条件求解未知的角度、线段长度或者其他相关问题。

三、圆的性质与判定圆是解析几何题目中一个重要的图形。

学生在高考中经常会遇到与圆的性质与判定相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断圆的位置，或者通过已知条件求解未知物品与圆的关系。

四、平行线与垂直线的判定平行线与垂线也是高考解析几何题目中常见的考点。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判定两条线是否平行或者垂直，或者根据已知条件求解未知的线段长度或者角度。

五、多边形的性质与判定在解析几何题中，多边形也是一个重要的图形。

学生在高考中常常会遇到与多边形的性质与判定相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来判断多边形的形状、大小或者其他性质，或者求解未知的角度或者线段长度。

六、空间几何问题空间几何问题在高考中也是一个重要的考点。

在这一题型中，学生需要利用已知条件来求解空间中的角度、线段长度或者其他相关问题。

这类题目常常需要学生运用立体几何知识和空间想像力来进行推理和求解。

七、向量的应用在解析几何题目中，向量是一个重要的工具。

学生在高考中常常会遇到与向量的应用相关的大题。

在这一题型中，学生需要利用向量的性质来求解角度、线段长度或者其他相关问题。

总结：解析几何题目涉及到的题型很多，常见的包括三角形的性质与判定、直线与线段相交问题、圆的性质与判定、平行线与垂直线的判定、多边形的性质与判定、空间几何问题以及向量的应用等。

针对这些题型，学生在备考中应该重点复习相关知识，并且多进行一些练习题，以加深对题型的理解和应用能力。

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。

数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。

为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。

1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。

1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。

2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。

其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。

2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。

掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。

3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。

3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。

4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。

通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。

4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。

对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。

高中数学解析几何题型

高中数学解析几何题型概述解析几何是高中数学的一个重要组成部分，也是高考的重点和难点之一。

解析几何涉及到直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的性质和应用，以及立体几何中的解析几何应用等方面。

下面将对高中数学解析几何的主要题型进行概述。

1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中最基本的问题之一。

主要涉及到直线与圆的相交、相切、相离等位置关系，以及相关的应用问题。

例如，直线与圆的位置关系可以用来解决与圆相关的问题，如圆与圆的位置关系、圆的切线等问题。

2. 椭圆、双曲线与抛物线的性质椭圆、双曲线与抛物线是高中数学解析几何中最重要的三种曲线。

这三种曲线的性质和应用是高考的重点和难点之一。

例如，椭圆的性质可以用来解决与椭圆相关的问题，如椭圆的焦点、离心率等问题；双曲线的性质可以用来解决与双曲线相关的问题，如双曲线的渐近线、离心率等问题；抛物线的性质可以用来解决与抛物线相关的问题，如抛物线的焦点、准线等问题。

3. 立体几何中解析几何的应用立体几何是高中数学的一个重要组成部分，而解析几何在立体几何中的应用也是高考的重点和难点之一。

例如，利用解析几何的方法可以解决立体几何中的距离、角度等问题；利用解析几何的方法还可以解决立体几何中的面积、体积等问题。

4. 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中比较复杂的问题之一。

主要涉及到直线与椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的相交、相切、相离等位置关系，以及相关的应用问题。

例如，利用直线与圆锥曲线的位置关系可以解决与圆锥曲线相关的问题，如圆锥曲线的焦点、离心率等问题。

5. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程是解析几何中比较特殊的问题之一。

主要涉及到圆锥曲线的一种特殊的方程形式，以及相关的应用问题。

例如，利用圆锥曲线的参数方程可以解决一些与圆锥曲线相关的问题，如圆锥曲线的极坐标方程等问题。

6. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系是解析几何中比较重要的问题之一。

高中数学解析几何总结(非常全)

高中数学解析几何总结(非常全)高中数学解析几何第一部分：直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角α，其范围为0≤α<180度。

2.斜率直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，表示为k=tanα。

1）倾斜角为90度的直线没有斜率。

2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率。

当直线垂直于x轴时，其斜率不存在，因此在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

3）设经过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线的斜率为k，则当x1≠x2时，k=(y1-y2)/(x1-x2)；当x1=x2时，斜率不存在。

二、直线的方程1.点斜式已知直线上一点P(x,y)及直线的斜率k（倾斜角α），求直线的方程，可以用点斜式表示为y-y1=k(x-x1)。

需要注意的是，当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x1.2.斜截式若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程为y=kx+b。

特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为y=kx。

需要正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式若已知直线经过(x1,y1)和(x2,y2)两点，且(x1≠x2,y1≠y2)，则直线的方程为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。

需要注意的是，不能表示与x轴和y轴垂直的直线。

4.截距式若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（a≠0，b≠0），则直线方程为xy/a + y/b = 1.需要注意的是，截距式方程不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

5.一般式任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为零）。

反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

首先，我们需要指出直线方程的特殊形式可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定能化为特殊形式，这取决于系数A、B、C是否为零。

高考解析几何压轴题型归类总结

几何题是高考数学中的重要题型，占比较大且常常作为压轴题出现。

解析几何是几何题中的一大重点，需要掌握的知识点较多且难度较高。

下面对高考解析几何常见的压轴题型进行归类总结。

1. 平面几何1.1 直线方程直线方程的求解是解析几何中的基础内容，常常作为考查点。

包括一般式、斜截式、点斜式等形式的直线方程。

总结如下：1.直线一般式方程：Ax + By + C = 0；2.直线斜截式方程：y = kx + b；3.直线点斜式方程：y - y₁ = k(x - x₁)。

1.2 平面方程平面方程是通过点法式方程和一般式方程进行求解。

常见的平面方程有以下几种：1.点法式方程：A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0；2.一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0。

1.3 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系主要有平行、垂直以及相交三种情况。

常见的题型包括：1.求直线的交点；2.判断两直线是否平行/垂直；3.确定两直线的夹角。

1.4 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系常常涉及到直线在平面上的投影、直线与平面的交点等问题。

常见的题型如下：1.直线在平面上的投影；2.直线与平面的交点；3.判断直线与平面的位置关系。

1.5 圆的方程圆的方程是解析几何中的重要内容。

常见的圆的方程有以下几种形式：1.圆心半径式方程：(x−a)2+(y−b)2=r2；2.一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0。

1.6 圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系涉及到切线的斜率、交点的确定等问题。

常见的题型包括：1.确定直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）；2.求直线与圆的交点；3.求直线在圆上的切点。

2. 空间几何2.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系同平面几何中的情况类似，常见的题型包括：1.直线是否平行/垂直；2.直线的交点；3.两直线的夹角。

2.2 空间曲线空间曲线主要涉及到直线、平面和曲线的方程及其位置关系。

专题-解析几何知识点汇总(全)

直线的方程1、直线的方程：类型直线方程方向向量d法向量n斜率k截距x轴/y轴/两点式x x1y y1x2x1y2y1(x2x1,y2y1)(y2y1,x1x2)y2y1x2x1点方向式点法向式点斜式截距式斜截式x xy yu va(x x) b(y y) 0(u,v)(v, u)vuab//(b, a)(1,k)( m,n)(1,k)(B, A)(a,b)(k, 1)(n,m)(k, 1)(A,B)//y yk(x x)x y1m ny kx bAx By C 0knm//m/nbCBkAB一般式C A注意：（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；（2）两点式方程和点方向式方程不能表示垂直于x轴或垂直于y轴的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x轴正半轴的夹角．取值范围： [0, )；（2）直线的斜率：tan , [0,) (, )22k不存在，2；k 0 0k 2 0 0k tan 在[0, )和 k 不存在 = 2(2, )上单调递增．2k 0 2 y 2 y 1（3）若直线过点(x x ,x 1 x 21,y 1)，(x 2,y 2)，则该直线的斜率k 2 x 1，k R ．不存在，x 1 x 23、两条直线的位置关系：已知l 1:a 1x b 1y c 1 0，l 2:a 2x b 2y c 2 0，则（1）系数法：①l 1 l 2 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l 1与l 2相交 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2重合 a 1:b 1:c 1 a 2:b 2:c 2；④l 与l a 1:b 1 a 2:b 212平行 a ．1:c 1 a 2:c 2或b 1:c 1 b 2:c 2（2）向量法：已知l 的法向量为 n11 (a 1,b 1)，l 2的法向量为n 2 (a 2,b 2)，则①l l12 n 1 n 20 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l l1与2相交 n 1与n 2不平行 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2平行或重合 n 1与n 2平行 a 1b 2 a 2b 1．（3）行列式法：已知Da 1b 1a ，Db 1xc 12b 2c 2b ，D y a 1c 12a 2c ，则21l 1与l2相交 D 0；②l1与l2重合 D D x D y 0；则③1与2平行 l l D 0．D x、D y 不全为零4、两条相交直线l 1:a 1x b 1y c 1 0和l 2:a 2x b 2y c 2 0的夹角：（1）若l 1、l 2的法向量分别为n 1 (a 1,b 2)、n 2 (a 2,b 2)，且l 1、l 2的方向向量分别为d 1、d 2，则n n 2cos 1n 1 n 2a 1a 2b 1b 2a 12 b 12 a 22 b 22d 1 d 2 或cos， [0,]；2d 1 d 2（2）若l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，且l 1到l 2的角为 1，l 2到l 1的角为 2，则tank k 1k k 2k 1 k 2, [0,)；tan 1 2，tan 2 1．1 k 1k 21 k 1k 21 k 1k 225、点到直线的距离公式：（1）点P (x 0,y 0)到直线l :Ax By C 0的距离为dAx 0 By 0 CA B22；（2）直线l 1:Ax By C 1 0与直线l 2:Ax By C 2 0的距离为dC 1 C 2A B22．6、直线l :Ax By C 0同侧/异侧：（1）Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的右侧；Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的左侧．（2）点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 同侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0；点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 异侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0．7、点关于直线的对称问题：点直线P (x 0,y 0)x 轴P (x 0, y 0)y 轴P ( x 0,y 0)y xP (y 0,x 0)y xP ( y 0, x 0)x mP (2m x 0,y 0)y n P (x 0,2n y 0)对称点补充：①点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (yb,xb)；②点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (b y,b x)；A(n y) B(m x)③点P(x0,y)关于直线Ax By C 0的对称点P (m,n)满足 m x．n yA B C 022或者P (m,n)，其中 8、三线共点问题：三条互不平行的直线l1:a1x b1y c10，直线l2:a2x b2y c20，直线l3:a3x b3y c30共m x0 2AD Ax By C,D 022．A Bn y0 2BDa1点的充要条件是a2b1b2b3c1c20．c3a39、直线系方程：具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系．（1）平行直线系：①斜率为k0（常数）的直线系：，例：y 2x b；y kx b（b为参数）②平行于直线A0x By 0的直线系：Ax By C 0(C为参数)．（2）过已知点的直线系：①以斜率k作为参数的直线系：y y0 k(x x)，直线过定点(x,y)；②以斜率k作为参数的直线系：y kx b0，直线过定点(0,b)．③过两条直线l1:A1x B1y C10，l2:A2x B2y C20的交点的直线系：A 1x B1y C1(A2x B2y C2) 0( 为参数)．注意：对于①②，过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内；对于③，其中直线l2不在直线系内．10、定直线上动点与两定点距离和差问题：（1）定直线上动点与两定点距离和：问题已知定直线l上动点P，两个定点A、B，求PA PB的取值范围．取值范围A、B在l的解答步骤同侧 A B,AB, ①作点A关于l的对称点A ；②联结A B，交l于M；③点M为最小值状态点．①联结AB交l于M；②点M为最小值状态点．异侧（2）定直线上动点与两定点距离差：已知定直线l上动点P，两个定点A、B，点A、B到l的距离分别为d1、d2，问题直线AB与直线l的夹角为，求PA PB的取值范围．A、B在l的d1与d2的大小关系d1d2取值范围解答步骤①联结AB并延长交l于M；②点M为最大值状态点．/①联结BA并延长交l于M；②点M为最小值状态点．①作点A关于l的对称点A ；②联结A B并延长交l于M；③点M为最大值状态点．/①作点A关于l的对称点A ；②联结BA 并延长交l于M；2AB cos ,ABAB,ABAB,AB cos同侧d1 d2d 1 d2d 1 d2A B cos ,A BA B,A BA B,AB cos异侧d1d2d1d2点M为最小值状态点．曲线的方程（一）曲线的方程概论1、轴对称的两个曲线：曲线对称轴曲线F(x,y) 0x轴F(x, y) 0y轴y x y x x m y n F( x,y) 0F(y,x) 0F( y, x) 0F(2m x,y) 0F(x,2n y) 0补充：①曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (y b ,x b ) 0；②曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (b y ,b x ) 0．2、中心对称的两个曲线：曲线对称中心曲线F (x ,y ) 03、轴对称的曲线：曲线对称轴条件(m ,n )F (2m x ,2n y ) 0F (x ,y ) 0y x F (y ,x ) F (x ,y )补充：y x F ( y , x ) F (x ,y )x mF (2m x ,y ) F (x ,y )y nF (x ,2n y ) F (x ,y )a b对称。

高考数学解析几何题型归纳

高考数学解析几何题型归纳圆锥曲线的问题神奇的存在着，既需要学生的耐心也需要学生的细心，综合考察学生的数学计算能力，数学思考能力，综合分析解决问题能力，数形结合能力。

还真的是一个比较难的问题，而圆锥曲线的计算量，经常让学生们闻风丧胆，而且经常会出现计算半天，一个符号错误满盘皆输。

所以今天咱们梳理下圆锥曲线的问题。

问题归类后可以根据常用的方法来进行计算总结。

一、直线与圆锥曲线位置关系代数法求解几何法求解在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的位置关系。

二、中点弦问题可以用点差法中点弦问题求解思路：（1）设点：设出弦的两端点坐标；（2）代入：代入圆锥曲线方程；（3）作差：两式相减，再用平方差公式展开；（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解。

三、向量问题一般方法总结(1)焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式。

(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法。

(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。

四、弦长问题：五、面积问题三角形面积平行四边形面积：六、对称与中垂线问题七、定点定值问题定点问题(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

定值问题(1)可以从一般的情形进行论证，即用类似方程ax＋b＝0恒有解的思路来解决问题；(2)也可以运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对一般情形也成立。

九、存在性问题：(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题确定化。

其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在。

高中数学解析几何题型

解析几何题型考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,构造方程解之 .例 1．假设抛物线 y 22 px 的焦点与椭圆 x 2 y 2 p 的值为〔〕 6 1的右焦点重合，那么2A ． 2B ． 2C ． 4D ． 4考查意图 : 此题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的根本几何性质 .解答过程：椭圆 x 2y 21的右焦点为 (2,0)，所以抛物线 y 22 px 的焦点为 (2,0)，那么 p 4，62考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一 ,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标 ,利用距离公式解之 .例 2．抛物线 y-x 2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点 A 、B ，那么 |AB| 等于22考查意图 : 此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线 AB 的方程为 yx b ，由 yx 2 3 x 2 x b 3 0x 1 x 2 1，yx b进而可求出 AB 的中点 M ( 1 ,1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出22 2 2b 1 ，∴ x 2x2 0 ，由弦长公式可求出 AB1 12 12 4 ( 2)3 2 ．22例 3．如图，把椭圆x y1 的长轴25 16AB 分成 8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 1 23 45 67七个点， F 是椭圆的一个焦点，P ,P , P , P , P , P , P那么PF 1P 2 F P 3F P 4F P 5F P 6 F P 7 F ____________.考查意图 : 此题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆 x 2y 2 1 的方程知 a 2 25, a 5.25 16∴PF 1PF 2 P 3FP 4F P 5F P 6 F P 7 F 7 2a7 a 7 5 35.2考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用 :(1)椭圆的离心率 e＝c∈(0,1) (e 越大那么椭圆越扁 );a (2) 双曲线的离心率 e＝c∈(1, ＋∞ ) (e 越大那么双曲线开口越大). a例 4．双曲线的离心率为 2 ，焦点是 ( 4,0) ， (4,0) ，那么双曲线方程为A． x2 y2 1 B． x2 y 2 1 C． x2 y2 1 D． x2 y 2 14 12 12 4 10 6 6 10考查意图 :此题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等根本概念.解答过程：Q e c 2,c 4, 所以a 2, b2 12. 应选(A).a例 5．双曲线3x 2 y 2 9 ,那么双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于〔〕A. 2B. 2 3C. 2 3考查意图 : 此题主要考查双曲线的性质和离心率 e＝c∈ (1, ＋∞ ) 的有关知识的应用能力 . a解答过程：依题意可知 a 3, c a2 b 2 3 9 2 3．考点 4.求最大 (小 )值求最大 (小 )值 , 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 (小 )值 :特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例 6．抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，那么 y12+y22的最小值是.考查意图 : 此题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小 )值的方法 . 解: 设过点 P(4,0)的直线为y k x 4 , k 2 x2 8x 16 4x,k 2 x2 8k 2 4 x 16 k2 0,y 2 y 2 4 x1 x2 4 8k 2 4 16 2 1 32.1 2k2 k2故填 32.考点 5 圆锥曲线的根本概念和性质例 7．在平面直角坐标系xOy 中 ,圆心在第二象限、半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆x2 y2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.a2 9〔1〕求圆 C 的方程；〔2〕试探究圆 C 上是否存在异于原点的点Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段OF 的长.假设存在，请求出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.[解答过程 ] (1) 设圆 C 的圆心为(m, n)那么mn, 解得m2,n 2 2 2, n 2.所求的圆的方程为(x 2) 2 ( y 2) 2 8 (2) 由可得2a 10 ， a 5 ．椭圆的方程为x2 y2右焦点为F( 4, 0) ;251 ,9假设存在 Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使QF OF ,2 2 2 cos22 2 2 sin2．4 4整理得sin 3cos 2 2 ，代入 sin2 cos2 1 ．212 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2得:10cos 10 10 1．因此不存在符合题意的Q 点 .例 8．如图 ,曲线 G 的方程为y2 2 x( y 0) .以原点为圆心，以t (t 0)为半径的圆分别与曲线G 和 y 轴的正半轴相交于 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C.〔Ⅰ〕求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；〔Ⅱ〕设曲线G 上点 D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线CD的斜率为定值. [ 解答过程 ] 〔 I〕由题意知，A(a, 2a).因为 | OA | t,所以 a 2 2a t 2 .由于t 0,故有t a 2 2a . 〔1〕由点 B〔0， t 〕， C〔 c，0〕的坐标知，直线BC的方程为xy 1.c t又因点 A 在直线 BC上，故有a2a 1, c t将〔 1〕代入上式，得 a 2a 1,解得c a 2 2( a 2) .c a(a 2)（I I〕因为D(a 2 2(a 2) )，所以直线 CD 的斜率为kCD 2( a 2)2(a2)2(a 2)a 2 ca 2 ( a 22(a2) )2(a1，2)所以直线 CD 的斜率为定值 .22例 9．椭圆 E :x2y 21(ab 0) ，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦 AB 的中点，假设以ab点 M(2,1) 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线 AB 交于点 N(4, 1) ，假设椭圆离心率e 和双曲线离心率 e 1 之间满足 ee 1 1 ，求：〔1〕椭圆 E 的离心率；〔 2〕双曲线 C 的方程 .解答过程：〔 1〕设 A 、 B 坐标分别为 A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，那么x 12 y 121 ，x 22y 22 1 ，二式相减得：a2b2a 2b2ky 1 y 2 (x 1x 2 )b 2 2b 2 kMN1 ( 1)ABx 1 x 2(y 1y 2 )a 2a 21，2 4所以 a 22b 2 2(a 2 c 2 ) ， a 2 2c 2 ，那么ec2 ；a2〔2〕椭圆 E 的右准线为 xa 2 ( 2c) 22c ，双曲线的离心率 e 11 2 ，cce设 P(x, y) 是双曲线上任一点，那么：| PM | (x 2)2 (y 1)22，| x 2c || x 2c |两端平方且将 N(4, 1) 代入得： c 1或 c 3 ，当 c 1时，双曲线方程为： (x 2) 2 (y 1)20 ，不合题意，舍去；当 c 3时，双曲线方程为：(x 10)2 (y1) 2 32 ，即为所求 .考点 6利用向量求曲线方程和解决相关问题例 10．双曲线 C 与椭圆x 2y 21有相同的焦点，直线 y=3x 为 C 的一条渐近线 .8 4(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P(0,4)的直线 l ，交双曲线C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点〔 Q 点与 C 的顶点不重合〕 .uuuruuuruuur8时，求 Q 点的坐标 .当PQ1QA2 QB，且123考查意图 : 此题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 ,以及运用数形结合思想 ,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：〔Ⅰ〕设双曲线方程为x 2 y 2 1 ,a2b 2由椭圆 x2y 2 1,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ，8 4对于双曲线 C : c 2 ，又 y3x 为双曲线 C 的一条渐近线b 3 解得 a 21,b 23 ，a双曲线 C 的方程为 x 2 y 2 13〔Ⅱ〕解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 .设 l 的方程： y kx 4, A( x , y ) ， B( x 2 , y 2 ) ,那么Q( 4,0) .11kuuuruuur 4 4Q PQ1 QA, ( 1( x 1, 4) , y 1).k k 44 )x 14 41 (x 1 k k1kk 44 1y 1 y 11Q A( x 1 , y 1) 在双曲线 C 上，162 (11 )216 10 .k1116 32 1 16 1216 k2k220.(16 k 2) 1232 11616k 2 0.33同理有： (16 k 2)2232 216 16 k 2 0.3假设16k 20, 那么直线l过顶点，不合题意 .16 k 20,1, 2 是二次方程(16k 2 )x 2 32x 16 16 k 2 0.的两根 .8 , 31232k 4 ，此时 0, k 2 .2k 2 163所求 Q 的坐标为 ( 2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程， y kx 4, A( x , y ), B(x 2, y ) ，那么Q( 4,0) .112kuuuruuurQ uur1 . Q PQ1QA，分 PA 的比为由定比分点坐标公式得4 1x 1 x 14(1 1 ) k 1 1k 14 1y 14y 1111下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程： y kx4, A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，那么Q(4,0) .kuuuruuuruuur( 4, 4)1( x 1 4, y 1)4, y 2 ) .Q PQ1 QA2QB ，2(x 2k kk41y1 2 y 2，14，24 ，y 1y 2又 128 ， 1 1 2,即 3( y 1 y 2 ) 2 y 1 y 2 .3y 1 y 23将 y kx 4 代入 x2y 2 1得 (3 k 2 )y 224 y 48 3k 20 .3Q 3 k 20 ，否那么l与渐近线平行 .y 1 y 23 24 , y 1y 2 48 3k 2 .k 2 3 k 22448 3k 2 . k 2 3 3 k 2 23 k 2Q( 2,0) .解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设 l 的方程： y kx 4 ， A( x 1 , y 1 ), B( x 2, y 2 ) ,那么Q(4 k ,0)uuuvuuuv(x 14, y 1 ) .Q PQ1 QA, ( 4, 4)1kk4 441k.同理1.4 kx 1 4kx 2 4x 1k12 44 8 .kx 1 4kx 2 43即2k 2 x x25k( xx ) 8.〔 * 〕1 1 2y kx 4又x2y 213消去 y 得 (3k 2 ) x 2 8kx 190 .当 3 k 20 时，那么直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3 k 20 .x 1x 28kk 2由韦达定理有：319x 1 x 23 k 2代入〔 * 〕式得k 2 4, k2 .所求 Q 点的坐标为 ( 2,0) .例 11．设动点 P 到点 A(－ l ，0)和 B(1， 0)的距离分别为 d 1 和 d 2，∠APB ＝ 2θ,且存在常数λ (0＜λ＜ 1＝ ,使得 d 1 d 2 sin 2θ＝λ．（ 1〕证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；（ 2〕过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M 、 N 两点 ,试确定λ的范围 ,使 OM · ON ＝ 0,其中点 O 为坐标原点．[解答过程 ] 解法 1：〔 1〕在 △PAB 中， AB2 ，即 22d 12 d 22 2d 1d 2 cos 2 ，4 (d 1 d 2 ) 2 4d 1d 2 sin 2，即d 1 d 244d 1d 2 sin 22 12 〔常数〕，点 P 的轨迹 C 是以 A ，B 为焦点，实轴长 2a2 1 的双曲线．方程为： x 2y 211．（2〕设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)①当 MN 垂直于 x 轴时， MN 的方程为 x 1 ， M (11)，， N (1， 1) 在双曲线上．即11 1115，因为 01 ，所以5 1 ．2122②当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 y k( x1) ．x 2 y 21 得：(1 )k 2 x22(1 )k 2x (1)( k2)，由1yk( x 1)由题意知：(1)k 2，所以x 1x 2 2k 2 (1) ，x 1x 2(1 )( k 2) ．(1 )k 2(1 )k 2于是：y 1 y 2k 2 (x 1 1)(x 2 1)k 2 2．(1) k 2因为 OM ON0，且 M ，N 在双曲线右支上，所以x 1x 2x 1x 1x 2y 1y 2 0 k 22(1 )(1 )5 1 2．x 2 012 1 12223k1 01由①②知，5 12 ．2≤3解法 2：〔 1〕同解法 1（2〕M ( x1，y1)，N( x2，y2)，MN的中点E(x0，y0)．①当 x1 x22121 0，1，MB 1因 0 1 ，所以 5 1 ；2x 2 y 21 1 1②当 x1 x2， 1 x0 ．kMNx22 y22 1 y011又k MN kBE y0 ．所以(1 ) y02 x02 x 0；x0 1MN 2MN2 2由∠ MON 得x02 y02 ，由第二定得e(x1 x2 ) 2a22 2 2121x0 1 x02 (1 ) 2x0．1 1所以 (1 ) y02 x02 2(1 ) x0 (1 ) 2．于是由(1 ) y02 x02 x0, 得x (1 ) 2 .(1 ) y02 x02 2(1 )x0 (1 ) 2, 0 2 3因 x0 1，所以(1)2 1，又0 1，2 3解得： 5 1 2．由①②知 5 1 ≤ 2 ．2 3 2 3 考点 7 利用向量理曲中的最例 12． E 的中心在坐原点O，焦点在 x 上，离心率3，点 C( 1,0) 的直3uuur uuurAOB 的面到达最大直和 E 的方交 E 于 A、 B 两点，且 CA 2BC ，求当程.解答程：因的离心率3，故可方程2x 2 3y 2 t(t 0) ，直方程3my x 1，由2x2 3y2 t得： (2m 2 3)y 2 4my 2 t 0 ，A(x1, y1), B(x2, y2)，my x 1y4my1 y2 ⋯⋯⋯⋯① A 2m 2 3CoxBuuur uuury 2) ，即 y 1 2y 2 ⋯⋯⋯⋯②又 CA2BC ，故 (x 1 1,y 1)2( 1 x 2,由①②得： y 18m，y 24m ，2m 22m 233S AOB1| y 1 y 2 | 6 | m 3 |＝66 ，22m 2322| m || m |当 m 23，即m6，AOB 面取最大，22此y 1y 22 t32m 2 ，即 t 10 ，2m 2 3(2m 2 3)2所以，直方程 x6 y 1 0 ，方程 2x23y 210 .2uuur(xuuur(xuuuruuur6 ，求| 2x 3y 12 |的最大例 13． PA 5, y) ， PB5, y) ，且 | PA | | PB |和最小 .解答程：P(x, y) ，A( 5,0) ， B( 5, 0) ， uuur uuur6 ，且 | AB | 2 5 6 ，因 | PA | | PB |所以，点 P 的迹是以 A 、 B 焦点，6 的，方程 x 2y 2 1，令 x3cos , y 2sin，94| 2x3y 12 |＝ | 6 2 cos(4) 12 |，当cos() 1 ， | 2x3y 12 |取最大4当cos() 1 ， | 2x 3y 12 |取最小412 6 2 ，12 6 2 .考点 8 利用向量理曲中的取范例 14．〔 2006 年福建卷〕x 2y 21的左焦点 F ，2O 坐原点 .y〔I 〕求点 O 、 F ，并且与的左准l 相切的的方程；B〔II 〕点 F 且不与坐垂直的直交于 A 、 B 两点，FGOx段 AB 的垂直平分与x 交于点 G ，求点 G 横坐的取范.lA考意 :本小主要考直、、和不等式等根本知，考平面解析几何的根本方法，考运算能力和合解能力.解答程：〔I 〕Q a 2 2,b 2 1, c 1,F ( 1,0), l : x2.Q 圆过点 O 、 F ，圆心 M 在直线 x1上 .2设M (1,t), 那么圆半径 r (1 ) ( 2)3 .222由OMr,得( 1 )2 t 2 3 ,2 2 解得 t2.所求圆的方程为 (x1)2 (y2) 2 9 .24 〔II 〕设直线 AB 的方程为 y k( x 1)(k 0),代入 x 2y 21,整理得(1 2k 2 )x 2 4k 2 x 2k 2 2 0.2Q 直线 AB 过椭圆的左焦点 F ，方程有两个不等实根 .记A( x 1, y 1), B( x 2, y 2), AB 中点 N (x 0, y 0),那么x 1x 24 k 2,2k 21AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y y 01(x x 0 ).k令 y 0,得x G x 0ky 02k 2 k 2k 2 1 1.1 2k 212k 212 4k22k 22Q k 0,1 0,x G2点 G 横坐标的取值范围为 (1,0).222例 15．双曲线 C ： x2y 21(a 0,b0) ， B 是右顶点， F 是右焦点，点A 在 x 轴正半abuuuruuur uuur轴上，且满足 | OA |,| OB |,| OF | 成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P ，uuur uuuruuur uur〔1〕求证： PA OP PA FP ；〔2〕假设 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .uuur uuuruuuruuur uuura2a2解答过程：〔 1〕因| OB |2,0) ，| OA |,| OB |,| OF |成等比数列，故| OA |uuur，即 A(|OF |cc直线 l ： ya(x c) ，ybDO PE FBx A由y a(x c) a2 abbP(，b x, )y c cauuur(0,ab uuur a2,ab uur b2 ab，故：PAc),OP ( ), FP (c, )c c c uuur uuur a2 b2 uuur uur uuur uuur uuur uur那么： PA OP c2 PA FP ，即PA OP PA FP ；uuur uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur 〔或 PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0 ，即PA OP PA FP 〕y a c) 4 4 4 2(x (b 2 a )x 2 2 a cx (a c a2 b2 ) 0 ，〔2〕由 bb2x 2 a2 y 2 a2 b2 b2 b2 b2( a4 c2 a2b2 )b2由 x1 x 22 a4bb2〔或由k DF k DO a br r 例 16．a (x,0) ， b0 得： b4 a4 b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2.b b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2 〕ar r r r(1,y) ， (a 3b) (a 3b) ，〔 1〕求点P(x, y) 的轨迹C的方程；〔 2〕假设直线y kx m(m 0) 与曲线 C 交于 A、 B 两点，D(0, 1) ，且 | AD | | BD | ，试求 m 的取值范围 .r r ，解答过程：〔〕 a 3b ＝(x,0) 3(1,y) (x 3, 3y)1r r(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y)a 3b ＝，r r r r r r r r0 ，因 (a 3b) (a 3b) ，故 (a 3b) (a 3b)即 (x 3, 3y) (x 3, 3y) x 2 3y 2 3 0 ，故 P 点的轨迹方程为x2 y 2 1.3y kx m得： (1 3k 2 )x 2 6kmx 3m2 3 0 ，〔2〕由3y2 3x 2设 A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2 ) ， A 、 B 的中点为 M(x 0 , y 0 )那么 (6km)24(1 3k 2 )( 3m 2 3) 12(m 2 1 3k 2 ) 0 ，x 1 x 26km ， x 0 x 1 x 2 3km ， y 0 kx 0 mm ，1 3k 22 1 3k 21 3k 2即 A 、 B 的中点为 (3km2 ,m 2 ) ，1 3k 1 3k m1)(x3km2 ) ，那么线段 AB 的垂直平分线为： y1 2(3kk 1 3k将 D(0, 1) 的坐标代入，化简得： 4m 3k 2 1 ，那么由m 2 1 3k 2得：m24m 0 ，解之得 m0 或 m 4 ，4m 3k 2 1又 4m3k 21 1，所以 m1 ，14 故 m 的取值范围是 () .,0) U (4,4考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题例 17． A,B,C 是长轴长为4 的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点， BC 过椭圆的中uuur uuur uuur uuur心 O ，且 AC BC 0 ， | BC | 2 | AC |，〔1〕求椭圆的方程；〔 2 〕如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ 的平分线垂直于 OA ，是否总存在实数，使得λuuur uuurPQ λAB ？请说明理由；yC解答过程：〔 1〕以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，那么A(2,0) ，OAxx 2 y 2 BQ设椭圆方程为1，不妨设 C 在 x 轴上方，P4b2uuur uuur uuur uuur uuur由椭圆的对称性， | BC | 2 | AC | 2 | OC | | AC | | OC | ，uuur uuur AC OC ，即 OCA 为等腰直角三角形，又 AC BC 0由 A(2,0) 得： C(1,1) ，代入椭圆方程得：b 24，3即，椭圆方程为x 23y 241；42λuuuruuurAB// PQ〕假设总存在实数λAB ，即，〔，使得 PQ由 C(1,1) 得 B( 1, 1) ，那么 kAB0 ( 1) 1 ，2 ( 1) 3假设设 CP ： y k(x 1) 1，那么 CQ ：yk(x 1) 1 ，x 23y 21(1 3k 2 )x 2 3k 2 由 44 6k(k 1)x 6k 10 ，y k(x 1) 1由 C(1,1)得 x1 是方程 (1 3k2 )x 2 6k(k 1)x 3k 2 6k 1 0 的一个根，由韦达定理得： x Px P 1 3k 2 6k 1 ，以 k 代 k 得 x Q 3k26k 1 ，1 3k2 1 3k 2故k PQ y P y Qk(x Px Q ) 2k1，故 AB// PQ ，x P x Qx Px Q3uuur uuur即总存在实数 λ，使得 PQ λAB .考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题例 18．设 G 、M 分别是 ABC 的重心和外心， A(0, a) ， B(0,a)(auuuur uuur0) ，且 GM AB ，〔 1〕求点 C 的轨迹方程；uuur uuur？〔 2〕是否存在直线 m ，使 m 过点 (a,0) 并且与点 C 的轨迹交于 P 、Q 两点，且 OP OQ 假设存在，求出直线 m 的方程；假设不存在，请说明理由. 解答过程：〔 1〕设 C(x, y) ，那么 G( x,y) ，uuuuruuur3 3因为 GMAB ，所以 GM// AB ，那么 M( x,0) ，3由 M 为 ABC 的外心，那么 |MA| | MC | ，即( x )2a2(xx) 2 y 2 ，33整理得：x 2 y 2 1(x0) ；3a2a2〔2〕假设直线 m 存在，设方程为y k(x a) ，y k(x a)由 x 2y 2 1(x得： (1 3k 2 )x 2 6k 2 ax 3a 2 (k 2 1)0 ，3a 2 a 20)设 P(x 1, y 1 ),Q(x 2 , y 2 ) ，那么x 1x 26k 2 a ，x 1x 23a 2 (k 2 1) ，1 3k2 1 3k 2y 1 y 2 k 2 (x 1 a)(x 2 a) k 2[x 1 x 2a(x 1 x 2 ) a 2] ＝2k 2a 2，1 3k 2uuur uuur0 得： x 1x 2 y 1y 2 0 ，由 OP OQ3a 2 (k 2 1)2k 2a 2 0 ，解之得 k3 ，即1 3k21 3k2又点 (a,0) 在椭圆的内部，直线 m 过点 (a,0) ，故存在直线 m ，其方程为 y 3(xa) . 【专题训练与高考预测】一、选择题1．如果双曲线经过点 (6, 3) ，且它的两条渐近线方程是y1x ，那么双曲线方程是〔〕3A ． x 2y 2 1B ． x 2y 21C ． x 2y 2 1D ． x 2y 2 136 981 9918 32．椭圆x 2y 2 1 和双曲线 x 2 y 21 有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方 5n 22m 2 3n 23m 2程为〔〕A. x15 yB. y15 x C. x3 yD. y3 x42243．F, F为椭圆x 2 y 2的焦点， M 为椭圆上一点，MF12 a 2 b 2 1(a b 0)1 垂直于 x 轴，且 FMF 1 2 60 ，那么椭圆的离心率为〔〕A.1B.2 C. 3D. 322324．二次曲线x 2y 2 1，当 m [ 2, 1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是〔〕4mA. [ 2 , 3]B. [ 3 , 5]C.[ 5 , 6]D. [ 3 , 6 ]2 222 2 2 2 25．直线 m 的方程为 y kx1 ，双曲线 C 的方程为2 y 2 1，假设直线 m 与双曲线 C 的右支 x相交于不重合的两点，那么实数 k 的取值范围是〔〕A. ( 2, 2)B. (1, 2)C.[ 2, 2)D.[1, 2)6．圆的方程为x 2 y 2 4 ，假设抛物线过点 A( 1,0) ， B(1,0) ，且以圆的切线为准线，那么抛物线的焦点的轨迹方程为〔〕A. x 2 y 21(y0)B. x 2y 2 1(y 0)3 44 3C. x 2 y 2 1(x0)D. x 2y 2 1(x 0)344 3二、填空题7 ．已知 P 是以 F 1 、 F 2 为焦点的椭圆x 2y 21(a b 0) 上一点，假设 PF 1 PF 2a 2b 2tan PF 1 F 21，那么椭圆的离心率为______________ .28．椭圆 x 2 +2y 2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，假设过点 A ，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为4 13，点 A 的坐标是 ______________ .39．P 是椭圆x 2y 21 上的点， F 1, F2 是椭圆的左右焦点，设 | PF | | PF | k ，那么 k 的最大值4 3 1 2与最小值之差是 ______________ . 10．给出以下命题：①圆 (x2) 2 (y 1)2 1关于点 M(1,2) 对称的圆的方程是 (x 3) 2(y3)2 1 ；②双曲线 x2y 2 1 右支上一点 P 到左准线的距离为 18，那么该点到右焦点的距离为29 ；16 92③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只能是y29x ；4④ P 、 Q 是椭圆 x 2 4y 216 上的两个动点， O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为1，那么4|OP |2 | OQ|2 等于定值 20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上 _________________ .三、解答题11．两点 A( 2,0)， B(2, 0) ，动点 P 在 y 轴上的射影为uuur uuur uuuur，Q ， PA PB2PQ 2〔 1〕求动点 P 的轨迹 E 的方程；〔 2〕设直线 m 过点 A ，斜率为 k ，当 0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为2 ，试求 k 的值及此时点 C 的坐标 .12．如图， F ( 3,0) ，F2 (3,0) 是双曲线 C 的两焦点，直线x 4是双曲线 C的右准线，A1, A21 3是双曲线 C 的两个顶点，点P 是双曲线 C 右支上异于A2 的一动点，直线 A 1 P 、 A 2P 交双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点，y〔1〕求双曲线 C 的方程；MP〔2〕求证：uuuur uuuur是定值 .F1 F 2 FM F N A 1 o A 2x1 2N13．uuur uuurOFQ 的面积为 S，且OF FQ 1 ，建立如下图坐标系，y〔1〕假设S 1 ，uuur2 ，求直线FQ的方程；Q | OF |2uuur，S 3c，假设以 O 为中心， F 为焦点的椭圆过点uuurF〔2〕设| OF | c(c 2) Q，求当| OQ |取ox4得最小值时的椭圆方程 .14．点H( 3,0) ，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M 在直线 PQ 上，且满足uuur uuur uuur 3 uuuurHP PM 0 ， PM MQ ，2〔1〕当点 P 在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹 C；y〔2〕过点T( 1,0)作直线 m 与轨迹 C 交于 A、 B 两点，假设在 x 轴上存在一点PE(x 0 ,0) ，使得ABE 为等边三角形，求x0的值.o Q EHT M xAB15．椭圆x2 y 21(a b 0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴a 2 b2作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量．〔 1〕求椭圆的离心率e；〔 2〕设 Q 是椭圆上任意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1 QF2的取值范围；16．两点M〔 -1，0〕， N〔 1， 0〕且点 P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列，〔Ⅰ〕点 P 的轨迹是什么曲线？〔Ⅱ〕假设点P 坐标为 ( x 0 , y 0 ) ，为 PM 与 PN 的夹角，求tan θ ．【参考答案】一. 1． C .提示，设双曲线方程为 ( 1 1x y)，将点 (6, 3) 代入求出即可 .x y)( 3 32 ． D . 因为双曲线的焦点在 x 轴上，故椭圆焦点为 ( 3m 22，双曲线焦点为5n ,0) ( 2m 23n 2 ,0) ，由 3m 25n 2 2m 2 3n 2 得 | m | 2 2 | n | ，所以，双曲线的渐近线为y6 | n | 3x .2 | m |43．C .设 | MF 1 | d ，那么 | MF 2 |2d ，1 2|3d ，| FFe c 2c| FF 12 | d 3d 3 .a 2a |MF 1 | | MF 2 |2d3曲线为双曲线，且 51，应选 C ；或用 a 2 4 ， b 2m 来计算.4.C .25．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义 .二.7．解：设 c 为为椭圆半焦距，∵PFPF 0 ，∴ PFPF.12122PF 2221 PF 1(2c) ∴又tan PF 1 F 2PF 2 2a2PF 1PF 2 1PF 12c 2 5c 5解得： ( a)9 ,ea3 ．选 D ．8．解：设 A 〔x ， 0〕〔 x ＞ 0〕，那么直线 l 的方程为 y=x-x ，设直线l 与椭圆相交于 P 〔 x ，1y 〕， Q 〔 x 、y 〕，由 y=x-x可得 3x 2 -4x x+2x2，1220 0 0x 2+2y 2=12x 1x 24x 0，x 1x 22x 02 12 ，那么33| x 1 x 2 | ( x 1 x 2 ) 24x 1 x 2 16x 0 2 8x 0 2 48 22．9336 2 x 03∴ 4 141 x2 | x 1x 2 |，即4 142236 2 x 02 ．333∴ x 02=4，又 x 0 ＞ 0，∴ x 0=2，∴ A 〔2， 0〕．9．1； k | PF 1 | | PF 2 | (a ex)(a ex) a 2 e 2x 2.10．②④ .uuuruuur( 2 x,y) ，三. 11．解〔 1〕点 P 的坐 (x, y) ，点 Q(0, y) ， PQ (x,0) ，PAuuur (2 x,uuur uuurx 2 2y 2 ， PB y) ， PA PBuuur uuuruuuur2 y 22x 2 ，因 PA PB2PQ2，所以 x 2即点 P 的迹方程： y 2 x 22 ；〔 2〕直 m ： yk(x2)(0 k 1) ，依意，点 C 在与直 m 平行，且与m 之的距离2 的直上，此直 m : y kxb ，由|2k b | 2 ，即 b 22 2kb 2 ，⋯⋯①1k21把 ykx b 代入 y 2 x 22 ，整理得： (k 2 1)x 2 2kbx (b 22) 0 ，4k 2b 24(k 2 1)(b 2 2) 0 ，即 b 2 2k 22 ，⋯⋯⋯⋯②由①②得： k25， b10 ， 55此，由方程y2 5 x1010).5 5C(2 2,y 2 x 2 212．解：〔 1〕依意得： ca 24a 225 ，3 ，，所以， bc 3所求双曲C 的方程x 2 y 21 ；45〔2〕 P(x 0 , y 0 ) ， M(x 1 , y 1 ) ， N(x 2 , y 2 ) ， A 1 (2,0) ， A 2 (2,0) ，uuuur2,y uuuur(x2, y)， uuuur 10， uuuur2 ，A P (x) ，A P0 A 1M ( , y 1)A 2N ( , y 2 )1233uuuur uuuur(x 02)y 110y 0 ，y 110y 0，同理： y 22y 0 因 A 1P 与 A 1M 共，故3(x 03(x 0 ，32)2)uuuur 13 uuuur ( 5 2 )FM 1 ( , y 1 ) ，F 2 N , y ，3 3uuuuruuuur 656520y 0265 205(x 02 4)y 1y 2 ＝＝410.所以 FM 1F 2 N ＝9924) 99(x 0 9(x 024)uuuruuuruuur13．解：〔 1〕因 | OF | 2， F(2,0) ， OF (2,0)， Q(x 0 , y 0 ) ， FQ(x 0 2,y 0 ) ，uuur uuur 5 ， OF FQ 2(x 0 2) 1，解得 x 01 uuur12 151由 S|，得 y 0| OF | | y 0 | | y 02，故 Q( , ) ，22 2 2所以， PQ 所在直方程y x 2 或 yx2 ；uuuruuur〔 2〕 Q(x 0 , y 0 ) ，因 | OF |c(c2)， FQ(x 0 c,y 0 )，uuur uuur 1由 OF FQ c(x 0 c) 1 得： x 0 c ，c又 S1c | y 0 |3c ， y 03 ，242Q(c1 3 uuur2 (c1 2 9，,) ，| OQ |)4c2uuurc3) ，易知，当 c2， | OQ | 最小，此 Q( 5,22方程x22a 2b 2 4210 ，y 1,(a b 0) ，259 ，解得 aa2b 21 b 264a 24b 2所以，方程x 2y 2 1 .10614．解：〔 1〕 M(x,uuur3 uuuuryx，y) ，由 PMMQ 得： P(0,) ， Q(,0)uuur uuur223得： (3, y )(x, 3y ) 0 ，即 y 2 4x由 HP PM ，22由点 Q 在 x 的正半上，故 x 0 ，即点 M 的迹 C 是以 (0,0) 点，以 (1,0)焦点的抛物，除去原点；〔2〕 m : yk(x 1)(k0) ，代入 y 2 4x 得：k 2x 2 2(k 2 2)x k 20 ⋯⋯⋯⋯①A(x 1 , y 1) ， B(x 2 , y 2 ) ， x 1 , x 2 是方程①的两个根，x 1 x 22(k 22) ， x 1x 21，所以段AB 的中点 (2 k2 , 2) ， k 2k 2k线段 AB 的垂直平分线方程为y21 2 k 2k(xk 2)，k令 y0 ，x 02 1，得E( 2 1,0)，k 2k 2因为 ABE 为正三角形，那么点E 到直线 AB 的距离等于3| AB | ，2又| AB|(x 1 x 2 )2(y 1 y2 )2＝41 k 2k 2，k 21所以，23 1 k 421 k 2，解得： k3， x 011 .k 2| k |2315．解：〔 1〕∵ F ( c,0), 那么 xMc, yMb 2 ，∴ k OMb 2 .1a ac∵ k ABb,OM 与 AB 是共线向量，∴b 2b，∴ b=c,故 e2 .aaca2〔 2〕设 FQr 1, F 2Q r 2 , F 1 QF 2,1r 1 r 2 2a, F 1 F 2 2c,cosr 12 r 22 4c 2(r 1 r 2 )2 2r 1r 2 4c 2a 2 1a 21 02r 1r 22r 1r 2r 1r 2( r 1 r 2 ) 22当且仅当 r 1r 2 时， cos θ =0，∴θ [ 0, ] .216．解：〔Ⅰ〕记 P 〔 x,y 〕，由 M 〔 -1， 0〕N 〔1 ，0〕得uuuuruuur( 1 x, y), PN NP ( 1 x, y) ， MNNM (2,0) .PMMP 所以 MP MN2(1 x) . PM PN x 2 y 21， NM NP 2(1 x) .于是， MP MN , PM PN , NMNP 是公差小于零的等差数列等价于x 2 y 2 1 1 [2(1 x) 2(1 x)]即x 2y 23.2x 02(1 x) 2(1 x) 0所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的右半圆 .〔Ⅱ〕点 P 的坐标为 ( x , y ) 。

解析几何八大题型

解析几何八大题型
解析几何是高中数学中的一个重要内容，常常涉及到几何图形的性质、定理以及相关计算和推理问题。

在解析几何中，有八大常见的题型，它们分别是：
1. 直线方程与位置关系题型：这类题目通常要求确定直线的方程，或者求出直线与其他几何图形的位置关系，如与圆的切线、过点的垂线等。

2. 圆的性质与位置关系题型：这类题目主要考察圆的性质和位置关系，如判定两个圆是否相交、求出两个圆的公共切线等。

3. 角的性质与计算题型：这类题目主要考察角的性质和计算，如相邻角、对顶角、同旁内角等的计算和证明。

4. 三角形的性质与计算题型：这类题目主要考察三角形的性质和计算，如三角形的内角和、外角和、面积计算等。

5. 四边形的性质与计算题型：这类题目主要考察四边形的性质和计算，如平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质等。

6. 空间几何题型：这类题目通常考察空间几何图形的性质和计算，如棱柱、棱锥、球体的性质、体积计算等。

7. 合成图形题型：这类题目要求将几何图形进行合并或分解，再进行计算或推理，如将三角形拼接成平行四边形、将圆拆分成扇形等。

8. 坐标几何题型：这类题目通常利用坐标系进行计算和推理，如平面直角坐标系、极坐标系等。

以上八大题型覆盖了解析几何中的常见题目类型，掌握了这些题型的解题方法和技巧，对于解析几何的学习和应用都会有很大帮助。

同时，解析几何的学习也需要多做题、多练习，通过不断的实践来提高解题能力和理解能力。