广义平稳随机过程ppt课件
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随机过程及其平稳性PPT课件
coefficient）。
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偏相关系数
X •
设 两
个
、
1
随机
变和X量2的是影三响个X。相3在互这之种间情都况有下关，系两的个随随机机变变量量，的每相个关随系机数变反量映都的包其含实有不另是
这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水
平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序
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从上图样本自相关函数的值分析
• Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， • 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 • 下面分析DY的平稳性。
• 1983 615.0000
• 1984 726.0000
• 1985 992.0000
• 1986 1170.000
• 1987 1282.000
• 1988 1648.000
• 1989 1812.000
• 1990 1936.000
29
• 1991 2167.000
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感谢您的观看！
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偏相关系数
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设 两
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随机
变和X量2的是影三响个X。相3在互这之种间情都况有下关，系两的个随随机机变变量量，的每相个关随系机数变反量映都的包其含实有不另是
这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水
平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序
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从上图样本自相关函数的值分析
• Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， • 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 • 下面分析DY的平稳性。
• 1983 615.0000
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随机过程精品课件 (22)
Ex.3 {W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程, 有
1) 维纳过程非宽平稳过程;
2) 维纳过程是增量宽平稳过程，即
X(t)=W(t + a)－W(t), t≥0, (a>0)
是宽平稳过程.
证 1) 因 E[W(t)]=0,
RW(s, t)=σ2min(s, t), s,t≥0
与起点
故 {W(t), t≥0} 非宽平稳过程.
平稳随机过程
§6.1 平稳随机过程的概念 §6.2 平稳过程的自相关函数 §6.3 平稳过程的各态历经性 §6.4 平稳过程的谱分析简介
§6.1 平稳随机过程的概念
上一章对于二阶矩过程,主要是针对过 程的均值函数和相关函数两个数字特征, 进 行概率性质的讨论.
平稳过程是一类其概率特征不随时间推 移的随机过程，在过程理论和应用中有特 殊地位和作用。
0，当
0 0
故 X (t) 是一个平稳时间序列。
注 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪 声”，它是实际中最常用的噪声模型。
Ex.2 设随机序列{ X (t ) sin 2t ， t T }，
其中T={1，2，…} 是在[0，1]上服从均匀分布的随
机变量，
试讨论随机序列 X(t) 的平稳性。
也是实宽平稳过程.
证 因二阶矩过程的导数过程也是二阶矩 过程, 有
E[Y 2(t)] E[ X (t) 2 ] , t T
{Y(t), t∈T}是二阶矩过程.
E[Y(t)] E[X(t)] dE[X(t)] 0 dt
RY
(t1, t2 )
E[ X (t1 ) X (t2 )]
2）实际问题中常需确定随机过程的数学 期望和方差、相关函数；
平稳随机过程及其遍历性 ppt课件
实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间 平稳就行了。
《随机信号分析》教学组
3
f X ( x 1 , , x n , t 1 t , , t n t ) f X ( x 1 , , x n , t 1 , , t n )
2(t)E[X2(t) ] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
《随机信号分析》教学组
11
为什么要研究宽平稳随机过程?
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实际应用 中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平稳信号 分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分析的基 础。
分类严格平稳宽平稳广义平稳随机过程可分为平稳和非平稳两大类严格地说所有信号都是非平稳的但是平稳信号的分析要容易得多而且在电子系统中如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变或变化极小可以忽略则此信号可以认为是平稳的
1.3 平稳随机过程及其遍历性
平稳性：若一个函数 f(x,y,，z,t当) x，xx
E[XY]cost1 sint2 E[YX]sint1 cost2
2cost1 cost2 2sint1 sint2
2cos(t1 t2)
2cos
t1 t2
RZ(0)2
Z(t)是广义平稳的。
《随机信号分析》教学组
16
E [Z3(t)]E {[XcostYsint]3} E [X 3cos3tY3sin3t3X 2 Ycos2tsint3 Y2Xcostsint]
随机过程课件chapter8平稳过程.pptx
称 X t S t 为随机相位周期信号，讨论其平稳性.
解 由假设， 的概率密度为
f
1 T
,
0＜＜T ,
0, 其它,
于是，均值函数
E［X
t ］
1 T
T
0
S
t
d
1 T
t T
t
S
d
1 T
T
0
S
d
常数
上面的第三个等号用到 S t 的周期性.
BUPT
8
1 平稳过程的概念
解：（续）同样，利用 S S 关于 的周期性，可得
BUPT
14
2.2自相关函数的性质
(4) 若平稳过程 X t 满足条件 X t X t l ，则称它
为周期过程，其中 l 为过程的周期. 周期平稳过程的自相关函 数必是以 l 为周期的周期函数. 因为:
RX l E［X t X t l］ E［X t X t ］ RX .
(5 ) RX 是非负定的，即对任意的 t1,t2 ,tn T 及任意
无关而只与 有关，则称X t,t T为宽(弱、广义)平稳过
程，并称 X 为它的均值， RX 为它的自相关函数.特别地.
一般来说，宽平稳过程不一定是严平稳过程.反过来，严 平稳过程一般也未必是宽平稳过程，因为它的二阶矩不一定 存在.
BUPT
6
1 平稳过程的概念
例 1.2 如果 Xn, n 0, 1, 2, 为互不相关的随机变
(3) RXY 2 RX 0 RY 0 .
这是由于
RXY 2 E［X t Y t ］2 E［X 2 t ］E［Y 2 t ］ RX 0 RY (0)
(4) | RXY( )| 12［RX (0) RY(0)］.
第六章平稳随机过程.ppt
6.1 平稳随机过程的概念
• 宽平稳过程
严平稳过程
• 严平稳过程 二阶矩存在宽平稳过程
正态过程
• 严平稳过程
宽平稳过程
6.1 平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。
RX (t, t h) RX (t h, t) RX (t, t)
定理6.4（均方连续准则） 二阶矩过程{X(t),tT}，在t点均方连续的 充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处 连续。
推论 若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT} 上连续，则它在TT上连续。
6.3 随机分析简介
则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。
6.2 联合平稳随机过程
命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。 事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，
E[W (t)W (t )] E[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )] E[ X (t) X (t ) X (t)Y (t )
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),tT}
在区间[a,b]上均方可微，有Y(t)=X(t)。
推论 设X(t)均方可微，且X(t)均方连续，
则
t
X (t) X (a) a X ( )d
特别地有X (b) X (a)
b
X ( )d
a
6.3 随机分析简介
• 例6.5 设 {X(t), tT} 是实均方可微过程，
所以{Xn,n=0, 1, 2,}是平稳随机序列。
《平稳随机过程》课件
3
随机过程的度量
一些常用的计算方法，如二阶矩、自相关函数、谱密度等会在这个部分中讲述。
平稳性
严平稳
解释严平稳的定义，以及一些判 别方法。
宽平稳
介绍宽平稳的特点和判别方法， 形象化地展示。
平稳性的判别
详细介绍如何判断一个随机过程 是否为平稳随机过程。
自相关函数与谱密度
自相关函数
探讨自相关函数的定义以及在平稳随机过程中的应用。
小波分析与平稳随机过程
1
基本概念
介绍小波分析的基本概念，如小波包、小波函数、小波系数等。
2
小波变换
我们在这里介绍离散小波变换和连续小波变换。讲解原理和实例。
3
平稳性分析
这一部分主要是介绍如何用小波分析方法分析平稳随机过程的平稳性。
应用
信号处理
介绍平稳随机过程在信号处理中 的应用，如去噪、信号模拟等。
展望未来
展望未来平稳随机过程将会在 哪些领域得到更广泛的应用。
谱密度
解析谱密度的定义和具体应用。
Wiener-Hopf因子分解
进一步探讨在平稳随机过程中的应用，展示威纳-霍普夫因子分解方法。
平稳随机过程的线性组合
Hale Waihona Puke 系数• 线性组合中每个随机变 量对应一个系数
• 系数的大小和正负决定 了线性组合的具体形式
协方差
线性组合的协方差公式，以及 应用。
平稳性
这一部分主要是探究如何保持 线性组合的平稳性质。通过实 例来分析。
《平稳随机过程》PPT课 件
欢迎大家来了解平稳随机过程。这是一门数学上比较深奥的课程，但它也是 很有趣和有用的。在这个PPT课件中，我们会通过丰富的图例和实例讲解这门 课程的各个方面。
《随机过程》PPT课件
2
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
6
§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
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§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
第五讲-平稳随机过程
(6) 相关函数具有非负定性 即对任意的 个复数 相关函数具有非负定性,即对任意的 即对任意的n个复数
α1 , α 2 ,..., α n
有
αi α*j RX (ti − t j ) ≥ 0 ∑∑
i =1 j =1
n
n
利用如下关系可证明
2 n E ∑ αi X (ti ) ≥ 0 i =1
2.3 平稳随机过程
X(t)=At， 例2.7、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的 2.7、 设随机过程X(t)=At 随机变量。 随机变量。 试问X(t)是否平稳？ 试问X(t)是否平稳？ X(t)是否平稳 解、
E{X (t )} = E{tA} = tE{A} = 0
RX (t1, t2 ) = E{X (t1 ) X (t2 )} = t1t2 E{A2} = t1t2
解、
1 x(t ) = lim T →∞ 2T
∫
T
−T
a cos(ωt + ϕ )dt = 0 = m X
1 x(t ) x(t + T ) = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
a 2 cos(ωt + ϕ ) cos(ωt + ωτ + ϕ )dt
= a 2 cos(ω0τ ) / 2 = RX (τ )
ˆ mX = 1 2T
∫
T
−T
x ( t ) dt
ˆ (τ ) = 1 RX 2T
∫
T
−T
x ( t + τ ) x ( t ) dt
随机序列： 随机序列：
ˆ mX
ˆ σ
2 X
1 = N
三.平稳随机过程ppt课件
10
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
13
5.1.3 循环平稳性
14
5.1.3 循环平稳性
15
5.1.3 循环平稳性
16
5.1.3 循环平稳性
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
t2 EAsin t EBcost
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X(t)不是平稳过程。
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(
)3
(
) 3 ( )E A3 2E B1 2 8 3 3 33
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2
E( AB) E(BA) E( A)E(B) 0
mX (t ) E[ X (t )] E[ A]cos t E[B]sin t 0
4
2. 计算举例
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
所以X(t)是广义平稳的
5
2. 计算举例
[ (3)] {[ cos sin ] }E X3 t E A t B t
[ cos
sin
cos2 sinE A t B t A B t
cos 2sin ]B A t t3
3
co3s sint
t
2
X(t) 不是严格平稳的
6
2. 计算举例 随机过程X(t)=Acost+Bsint 平稳的充分必要条件：
E{[ A cos t1 B sin t1 ][ A cos t2 B sin t2 ]}
2
2
E[ AB]cos t1 sin t2 E[ BA]sin t1 cos t2
2 cos t1 cos t2 2 sin t1 sin t2
2 cos(t1 t2 )
2 cos
t1 t2
i 1
11
E[X(t)]=E(A)cost+E(B)sint
E(A)=E(B)=0 是平稳的必要条件。
广义平稳的条件： 当且仅当随机变量A与B是零均值和不相关，且方差 相等时，即
E( AB) 0, E( A2 ) E(B2 ) 2
7
2. 计算举例 例2.3-4： 谐波过程
N
cos( n
i 1
i相互独立，且 i ~ U (, )
2.3-2 广义平稳 (Wide-Sense Stationary, WSS) 广义平稳随机过程的定义 计算举例
1
1. 广义平稳 的定义
如果
mX (t ) mX
RX (t1 , t2 ) RX ( ), t1 t2
严格平稳
一定 不一定
广义平稳
当随机过程是高斯分布时，两者等价。
随机相位信号是广义平稳随机过程
求均值、自相关函数，并判断平稳性。
8
解：
2. 计算举例
9
2. 计算举例
所以X(t)是平稳随 计算举例
例2.3-3: X (t ) A cos t B sin t
广义平稳的充要条件：A、B均值为零， 且不相关，方差相等。
例2.3-4:
N
X (n)
aicos( in i )
2
2. 计算举例
例2.3-3: 设随机过程定义为 X (t) A cos t B sin t
其中A和B是相互独立的随机变量,取-1的概率为2/3, 取2的概率为1/3,该过程是平稳过程吗?
解: A (B)
-1
2
P
2/3
1/3
21
33
2
2
2 2 1 24
3 333
3
A (B) P
2. 计算举例