易错汇总-上海市七宝中学高一上学期数学期中试卷带答案

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上海市七宝中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题(含解析) (1)

祝您成绩进步，生活愉快！12018-2019学年上海市七宝中学高一上学期数学期中考试注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是A ．B ．C ．D ．2．下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．与B ．与C ．与D ．（）与（）3．已知，则“”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题5．函数的定义域为________6．已知集合，，则________7．不等式的解集是________8．“若且，则”的否命题是__________________． 9．已知，则的取值范围是________10．若，，且，则的取值范围是_11．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____12．若函数，则________此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号13．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__14．已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________15．当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________16．已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）三、解答题17．设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.18．练习册第21页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），∴.学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.20．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.21．已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.2祝您成绩进步，生活愉快！2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期数学期中考试数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S ，属于集合S的补集,即是C U S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C．【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．2．D【解析】【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A选项， f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故选D.【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属于基础题．3．A【解析】【分析】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．【详解】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b ）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想．4．D【解析】试题分析：对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.5．【解析】【分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域. 【详解】由题意得，即定义域为【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.6．【解析】【分析】求出集合A,B，即可得到.【详解】由题集合集合故.故答案为.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题7．【解析】【详解】不等式，则故答案为.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．8．若或，则【解析】【分析】根据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题.9．【解析】【分析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．10．【解析】【分析】祝您成绩进步，生活愉快！对a进行分类讨论，根据A与B 的交集为空集确定出a 的范围即可．【详解】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11．【解析】略12．【解析】【分析】设,求出的解析式，再将代入即可.【详解】设,则则即即答案为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，涉及换元和函数的性质，属中档题．13．【解析】【分析】关于的不等式在上恒成立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得的最小值．【详解】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a 的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．14．【解析】【分析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a 的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．15．【解析】【分析】本题考查归纳推理，要先考查前几个不等式，总结出规律再研究推广后的式子中的p值【详解】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p 位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向16．②③④【解析】【分析】利用a i +a j 与a j-a i两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．【详解】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a 4=2a3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由“”是“”的必要条件，得B⊆A，然后分，m＞三种情况讨论求解实数m的取值范围；祝您成绩进步，生活愉快！（2）把中只有一个整数，分，m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m 的取值范围．【详解】(1)若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若(∁R A)∩B 中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m 当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是.【点睛】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．18．(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比可得证明；（2）根据题设例题证明过程，类比可得证明；【详解】（1），∴，当且仅当时等号成立；（2）故.当且仅当时等号成立；【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．19．（1），；（2）.【解析】【分析】（1）列出f（x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，；（2）因为定义域中函数在上单调递减，故.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20．(1) ，;(2)见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．【详解】（1）证明：若x ∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．21．（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）代入利用基本不等式即可得出；（2），若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得对x＞0恒成立，结合即可得出．【详解】（1）。

2014-2015年上海市七宝中学高一上学期数学期中试卷带答案

2014-2015学年上海市七宝中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题3分）1．（3分）已知M={x|x≤1，x∈R}，N={x|p＜x，x∈R}，要使M∩N≠∅，则p 所满足的条件为．2．（3分）集合M={x||x﹣3|≤4}，N={y|y=}，则M∩N=．3．（3分）M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是．4．（3分）“x＞2”是“”的（填“必要不充分”、“充分不必要”或“充要”）条件．5．（3分）若不得式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0均不成立，则a的取值范围是．6．（3分）含有三个实数的集合既可表示为也可表示为{a2，a+b，0}，则a2014+b2014=．7．（3分）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是．8．（3分）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为．9．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．10．（3分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），则等于．11．（3分）x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则x+y的取值范围为．二、选择题（每小题4分）12．（4分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根13．（4分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆C”，C是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（4分）函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（）①若P∩M=∅，则f（P）∩f（M）=∅；②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（4分）函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（满分51分）16．（7分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x||x|=y+2，y∈A}，求∁B，A∩（∁U B）U17．（8分）已知三个不等式：①|2x﹣4|＜5﹣x；②≥1；③2x2+mx﹣1＜0．（1）若同时满足①②的x值也满足③，求m的取值范围；（2）若满足③的x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围．18．（10分）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．19．（12分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．20．（14分）已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，则∈S．（1）已知2∈S，试求出S中的其它所有元素；（2）若{3，﹣3}⊆S，求使元素个数最少的集合S；（3）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．第二卷（一）选择题（4分）21．（4分）由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）在R上是（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数（二）填空题（4分）22．（4分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为．（三）解答题12分23．（12分）已知函数y=g（x）=x3﹣3x，定义域D：﹣1≤x≤1．（1）判断y=g（x）在D上的单调性；（2）对于函数y=f（x），如果存在一个正常数a，使得定义域D内任意两个不相等的值x1、x2都有|f（x1）﹣f（x2）|＜a|x1﹣x2|成立，则称y=f（x）是D上的“菜普利茨函数”．证明：y=g（x）是D上的菜普利茨函数（3）对于函数y=f（x），对定义域D内任意两个值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|＜1则称y=f（x）为“西瓦”函数，否则为非“西瓦”函数，判断y=g（x）是否是D 上的西瓦函数？是则给出证明；如不是，说明理由并找出D的一个子集M，使得y=g（x）是M上的西瓦函数，并给出证明．2014-2015学年上海市七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分）1．（3分）已知M={x|x≤1，x∈R}，N={x|p＜x，x∈R}，要使M∩N≠∅，则p 所满足的条件为p＜1．【解答】解：M={x|x≤1，x∈R}，N={x|p＜x，x∈R}，当p≥1时，M∩N=∅，若M∩N≠∅，则p＜1．故答案为：p＜1．2．（3分）集合M={x||x﹣3|≤4}，N={y|y=}，则M∩N={0} ．【解答】解：由|x﹣3|≤4，得﹣4≤x﹣3≤4，即﹣1≤x≤7．∴M={x||x﹣3|≤4}={x|﹣1≤x≤7}，由，得x=2．∴N={y|y=}={0}，∴M∩N={x|﹣1≤x≤7}∩{0}={0}．故答案为：{0}．3．（3分）M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是{0，﹣2，} ．【解答】解：解：∵M={x|2x2﹣5x﹣3=0}={﹣，3}又∵N⊆M，若N=∅，则m=0；若N≠∅，则N={﹣}，或N={3}，即m=﹣2或m=故满足条件的实数m∈{0，﹣2，}．故答案为：{0，﹣2，}．4．（3分）“x＞2”是“”的充分不必要（填“必要不充分”、“充分不必要”或“充要”）条件．【解答】解：等价于﹣＜0，即0，即x（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜0，故“x＞2”⇒“”，但由“”推不出“x＞2”，故x＞2”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．5．（3分）若不得式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0均不成立，则a的取值范围是（﹣2，﹣] ．【解答】解：根据题意，关于x的不等式x2﹣ax+1≤0，ax2+x﹣1＞0均不成立，则不等式x2﹣ax+1＞0，ax2+x﹣1≤0都恒成立．若不等式x2﹣ax+1＞0恒成立，则△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；即当﹣2＜a＜2时，不等式x2﹣ax+1＞0恒成立；若不等式ax2+x﹣1≤0恒成立，a=0时不满足题意，应舍去；当a≠0时，a满足a＜0，△=1+4a≤0，解可得a≤﹣，即当a≤﹣时，不等式ax2+x﹣1≤0恒成立；综上可得：当﹣2＜a≤﹣时，不得式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0均不成立，即a的取值范围是（﹣2，﹣]；故答案为：（﹣2，﹣]．6．（3分）含有三个实数的集合既可表示为也可表示为{a2，a+b，0}，则a2014+b2014=1．【解答】解：∵集合A可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，∴b=0，a2=1，a+b≠1，∴a=﹣1，b=0，∴a2014+b2014=1，故答案为：17．（3分）一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a＜﹣1．【解答】解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是解得a＜0．∴一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．8．（3分）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为2．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2可得（am+bn）（bm+an）≥（+）2=mn（a+b）2=2×1=2，当且仅当即m=n时，取得最小值2．故答案为：2．9．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）10．（3分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若f（x1）=f（x2）（其中x1≠x2），则等于．【解答】解：若f（x 1）=f（x2），则对称轴为直线，故=故答案：．11．（3分）x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则x+y的取值范围为[0，2] ．【解答】解：根据绝对值的意义可得|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．再根据|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤x≤1，0≤y≤1，∴0≤x+y≤2，故答案为：[0，2]．二、选择题（每小题4分）12．（4分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．13．（4分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆C”，C是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：A∩B=∅，取C=A∪B，可得：存在集合C使得A⊆C，B⊆C．反之不成立．取A={1，2}，B={2，3}，C=A∪B．∴C是“A∩B=∅”的必要不充分条件．故选：B．14．（4分）函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（）①若P∩M=∅，则f（P）∩f（M）=∅；②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意知函数f（P）、f（M）的图象如图所示．设P=[x2，+∞），M=（﹣∞，x1]，∵|x2|＜|x1|，f（P）=[f（x2），+∞），f（M）=[f（x1），+∞），则P∩M=∅．而f（P）∩f（M）=[f（x1），+∞）≠∅，故①错误．同理可知②正确．设P=[x1，+∞），M=（﹣∞，x2]，∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R．f（P）=[f（x1），+∞），f（M）=[f（x2），+∞），f（P）∪f（M）=[f（x1），+∞）≠R，故③错误．④由③的判断知，当P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R是正确的．故④对故选：B．15．（4分）函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．三、解答题（满分51分）16．（7分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x||x|=y+2，y∈A}，求∁B，A∩（∁U B）U【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}=（﹣2，3），B={x||x|=y+2，y∈A}=（﹣5，0）∪（0，5），∴∁U B=（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）∪{0}，∴A∩（∁U B）={0}．17．（8分）已知三个不等式：①|2x﹣4|＜5﹣x；②≥1；③2x2+mx﹣1＜0．（1）若同时满足①②的x值也满足③，求m的取值范围；（2）若满足③的x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围．【解答】解：由|2x﹣4|＜5﹣x解得，﹣1＜x＜3，解≥1得，0≤x＜1或2＜x≤4；（1）故同时满足①②的x值的区间为[0，1）∪（2，3）；则2x2+mx﹣1＜0的解集包含区间[0，1）∪（2，3）；故，解得，m≤﹣；（2）由题意得，或，解得，﹣17≤m≤1或m＜﹣．18．（10分）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．19．（12分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．20．（14分）已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，则∈S．（1）已知2∈S，试求出S中的其它所有元素；（2）若{3，﹣3}⊆S，求使元素个数最少的集合S；（3）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．【解答】解：（1）∵2∈S，∴=﹣1∈S，=∈S，∈S．∴S中的其它所有元素为﹣1，．（2）3∈S，=﹣∈S，，=3∈S，﹣3∈S，=，=，=﹣3∈S，∴使{3，﹣3}⊂S的元素个数最少的集合S为{﹣3，﹣，，，，3}．（3）设a∈S，则a≠0，1且a∈S，∈S，=∈S，=a∈S（*）由于a=，即a2﹣a+1=0（a≠1），但a2﹣a+1=0无实数根故a≠，同理，，∴{a，，}⊂S，若存在b∈S，而b∉{a，，}，则{b，，}⊂S，且{a，，}∩{b，，}=∅，若b，，中有元素∈{a，，}，则利用前述的（*）式可知b∈{a，，}于是{a，，，b，，}⊂S，上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止∴S的元素个数为3的倍数．第二卷（一）选择题（4分）21．（4分）由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）在R上是（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【解答】解：①当x≥0且y≥0时，x2+y2=1，②当x＞0且y＜0时，x2﹣y2=1，③当x＜0且y＞0时，y2﹣x2=1，④当x＜0且y＜0时，无意义．由以上讨论作图如右，易知是减函数．故选：D．（二）填空题（4分）22．（4分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为﹣2．【解答】解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有∴∴﹣+===，当b=时，取得最小值为﹣2．故答案为：﹣2（三）解答题12分23．（12分）已知函数y=g（x）=x3﹣3x，定义域D：﹣1≤x≤1．（1）判断y=g（x）在D上的单调性；（2）对于函数y=f（x），如果存在一个正常数a，使得定义域D内任意两个不相等的值x1、x2都有|f（x1）﹣f（x2）|＜a|x1﹣x2|成立，则称y=f（x）是D上的“菜普利茨函数”．证明：y=g（x）是D上的菜普利茨函数（3）对于函数y=f（x），对定义域D内任意两个值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|＜1则称y=f（x）为“西瓦”函数，否则为非“西瓦”函数，判断y=g（x）是否是D 上的西瓦函数？是则给出证明；如不是，说明理由并找出D的一个子集M，使得y=g（x）是M上的西瓦函数，并给出证明．【解答】解：（1）取﹣1≤x1＜x2≤1，则＜3，g（x1）﹣g（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）（﹣3）＞0，∴g（x1）＞g（x2），∴y=g（x）在D上单调递减．证明：（2）在[﹣1，1]上任取x1，x2，且x1≠x2，|g（x1）﹣g（x2）|=|（）﹣（）|=|（x1﹣x2）（﹣3）|＜|x1﹣x2|•||≤6|x1﹣x2|，∴存在常数a=6满足条件，∴y=g（x）是D上的菜普利茨函数．解：（3）取x1=1，x2=﹣1，|g（x1）﹣g（x2）|=4＞1，∴g（x）不是D上的“西瓦”函数．取M=[0，]，M⊂D，则g（x）是M上的“西瓦”函数．证明如下：∵y=g（x）是单调递减函数，在M上，g（x）max=g（0）=0，，∴对M内任意两个值x 1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤0﹣（﹣）=＜1，∴g（x）是M上的“西瓦”函数．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

2023-2024学年上海市高一上册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年上海市高一上册期中数学试题一、填空题1．设全集{|1},{|3}U x x A x x =≥=>，则A =__．【正确答案】[1,3]【分析】根据集合的运算求解.【详解】因为{|1},{|3}U x x A x x =≥=>，所以A =[]{|13}1,3x x ≤≤=，故答案为:[1,3].2．满足{1,2}{1,2,3,4,5}A ⊆⊂的集合A 有__个．【正确答案】7【分析】根据非空子集的定义求解.【详解】由题意可知{1,2}A =与{3,4,5}的非空子集的并集，而{3,4,5}的非空子集有有3217-=个，所以满足条件的A 有7个，故7.3．用列举法表示集合6|Z,2M x x x ⎧⎫=∈=⎨⎬-⎩⎭N __．【正确答案】{4,1,0,1}--【分析】根据题意可得21,2,3,6x -=，求出x 的值即可求解.【详解】由题意得21,2,3,6x -=，所以1,0,1,4x =--，所以{4,1,0,1}M =--.故答案为:{4,1,0,1}--.40)a >化成有理数指数幂的形式为__________.【正确答案】13a 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答.【详解】0a >114111113333444()()()a a a a a +=⋅===.故13a 5．若{}2|560A x x x =-+=，{|30}B x ax =-=，且A B A ⋃=，则实数a 的值为__．【正确答案】0，1，32【分析】由A B A ⋃=得B A ⊆，讨论B =∅，3a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，根据元素与集合的关系，即可得满足条件的所有实数a 的值.【详解】解：集合{2,3}A =，若A B A ⋃=，则B A ⊆，则当0a =时，B =∅；当0a ≠时，3a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以32a =或33a =，所以32a =或1a =，综上，a 的值是0，1，32.故0，1，32.6．已知2x >，则42y x x =+-的最小值为________.【正确答案】6【分析】将函数解析式变形为()442222y x x x x =+=-++--，利用基本不等式可求得该函数的最小值.【详解】因为2x >，所以20x ->，所以()44222622y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当422x x -=-时，即当4x =时，等号成立，因此，当2x >时，函数42y x x =+-的最小值为6.故答案为.6本题考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.7．命题{}2:|1,R A y y x x α==-∈，命题:{|}B x x a β=>，若命题α是命题β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__．【正确答案】[)1,-+∞【分析】求函数21,R y x x =-∈的值域，化简命题，根据必要不充分的定义列不等式求a 的取值范围.【详解】因为函数21,R y x x =-∈的值域为[)1,-+∞，所以命题:[1,)A α=-+∞，又命题:{|}B x x a β=>，命题α是命题β的必要不充分条件，所以B A ，所以1a ≥-，故实数a 的取值范围是[)1,-+∞.故答案为.[)1,-+∞8．已知18log 9a =，185b =，用,a b 表示36log 45为__．【正确答案】2a ba+-【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解.【详解】因为18log 9a =，18log 5b =，所以18181818log 9log 5log (95)log 45a b +=+=⨯=，181818181818log 36log (218)1log 21log 2log 929a =⨯=+=+=-=-；所以183618log 45log 45log 362ab a +==-．故答案为:2a b a+-.9．若关于x 的不等式210mx mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围为__．【正确答案】[0,4)【分析】根据0m =和0m ≠分类讨论即可求解.【详解】当0m =时，10>，满足题意；当0m ≠时，20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩，所以04m <<，综上，实数m 的取值范围为[0,4).故答案为:[0,4).10．设x ∈R ，定义x 〈〉为不小于x的最小整数，如2, 1.21=〈-〉=-等，若23x =，则x的取值范围为__．【正确答案】[ 【分析】根据新定义可得223x <≤，解一元二次不等式即可求解.【详解】若23x =，则223x <≤，解得x ≤<x <≤所以x 的取值范围为[ .故答案为:[ .11．已知不等式组220{21x x a a x a -+-<+>的整数解恰好有两个，求a 的取值范围是_______【正确答案】(]12，【详解】试题分析：不等式组220{21x x a a x a -+-<+>，即()()10{12x a x a x a⎡⎤---<⎣⎦>-，①当a=1-a 时，即a=12时，x 无解．②当a ＞1-a 时，即a ＞12时，不等式组的解集为（1-a ，a ），再根据此解集包含2个整数解，可得1-a ＜0，且a≤2，解得1＜a≤2．③当a ＜1-a 时，即a ＜12时，若0≤a ＜12，不等式组的解集为（1-2a ，1-a ），无整数解，不满足题意．若a ＜0，不等式组的解集为∅，不满足题意．综上可得，1＜a≤2，不等式的解法12．已知222x y +=，且6x y a a x y +-++--有最小值6，则实数a 的取值范围为______.【正确答案】[]4,2--【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件列不等式，结合三角函数的值域求得a 的取值范围.【详解】666x y a a x y x y a a x y +-++--≥+-++--=，当且仅当()()60x y a a x y +-+--≥时等号成立，()()60x y a x y a +-+-+≤⎡⎤⎣⎦，解得6a x y a ≤+≤+，由于222x y +=，故可设,,02πx y θθθ==≤<，所以[]π2sin 2,24x y θθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，所以262a a ≤-⎧⎨+≥⎩，解得42a -≤≤-，所以a 的取值范围是[]4,2--.故[]4,2--二、单选题13．“||2x <”是“260x x --<”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】A【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式即可判断求解.【详解】||222x x <⇔-<<，26023x x x --<⇔-<<，因为22x -<<是23x -<<的充分不必要条件，所以“||2x <”是“260x x --<”的充分不必要条件．故选:A ．14．若0a >，1a ≠，则下列命题中正确的是（）A ．若m n =，则log log a a m n=B ．若m n =，则22log log a a m n =C ．22log log a a m n =，则m n =D ．若log log a a m n =，则m n=【正确答案】D【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】对于A,若0m n =<时，则log ,log a a m n 无意义，故A 错误，对于B,若=0m n =时，22log log a a m n ，无意义，故B 错误，对于C,若22log log a a m n =，则22m n m n =Þ=或m n =-，故C 错误，对于D,若log log a a m n =，则m n =，故正确，故选：D15．现有下列4个命题：（1）若a b >，则11a b <；（2）若a b >，则22a b >；（3）若22a b >且0ab >，则11a b <；（4）若13,01a b <<<<，则03a b <-<.其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】对于（1）（2）（3）通过举反例即可判断，对（4）利用不等式的性质即可证明.【详解】对（1），若1,1a b ==-，则11a b >，故（1）错误，对（2），若1,1a b ==-，则22a b =，故（2）错误，对（3），若2,1a b =-=-，则11a b>，故（3）错误，对（4），13,01a b <<<<，则10b -<-<，则03a b <-<，故（4）正确，故真命题的个数为1个，故选：B.16．设Q 所示有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①{}2x x X ∈；②X ⎫∈⎬⎭；③1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；④{}2x x X ∈；与X 相同的集合有（）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③【正确答案】D 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合{}2x x X ∈，则2(a p +=+解得2,2p a q b ==，即,22p q a b ==，是一一对于，所以与X 集合相同.对于②：集合X ⎫∈⎬⎭b =+X 集合相同.对于③：集合1x Xx ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭2222a b a b a b ⎛=+- --⎝，一一对应，，所以与X 集合相同.对于④：1X -，但方程21x -=无解，则2{|y y x =，}x X ∈与X 不相同．故选：D17．已知,a b 都是正实数，比较22a b b a+与a b +的大小．【正确答案】当a b =时，22a b a b b a +=+，当a b ¹时，22a b a b b a+>+.【分析】将22a b b a+与a b +相减并化简，再进行分类讨论判断差的符号，由此确定两者大小关系.【详解】()223322a b a b ab a b a b b a ab ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭，()()()()()()22222a b a b a a b b b a a b a b ab ab ab---+--+===，因为0,0a b >>，所以()20,0,0ab a b a b >+>-≥当a b =时，22a b a b b a+=+，当a b ¹时，22a b a b b a +>+.18．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【正确答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围.（2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A∈因为命题p 为真命题所以210m -≥解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩所以112m ≤<所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题则12m <或m 1≥所以实数m 的范围为12m <或m 1≥本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.19．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3米，AD ＝2米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？（2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.【正确答案】（1）2(0,(6,)3⋃+∞；（2）当DN 的长度为2米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为24平方米.【分析】（1）设DN 的长为x (0x >)米，则|AN |＝(x ＋2)米,根据比值相等可得||AM ，再由矩形面积公式得矩形面积，然后解不等式可得结果；（2）利用基本不等式可求得最值.【详解】（1）设DN 的长为x (0x >)米，则|AN |＝(x ＋2)米.因为||||||||DN DC AN AM =，所以3(2)||x AM x+=，所以矩形AMPN 的面积为||||AN AM ⋅23(2)x x+=,由23(2)32x x+>，得2320120x x -+>，解得203x <<或6x >，所以DN 的长的取值范围是2(0,)(6,)3⋃+∞(单位：米)，（2）矩形花坛的面积为y ＝223(2)31212x x x x x +++=12312x x =++121224≥+==，当且仅当123x x =，即2x =时，等号成立，所以当DN 的长度为2米时，矩形花坛AMPN 的面积最小，最小值为24平方米.本题考查了基本不等式的实际应用，属于中档题.20．已知集合A 是不等式204x x +≤-的解集，集合B 是不等式|1|5x -<的解集，集合C 是不等式22320x ax a -+<的解集.(1)求A B ⋂；(2)若A C A ⋃=，求实数a 的取值范围；(3)若B C =∅ ，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()[)4,24,6-- ；(2)12a -≤≤；(3)4a ≤-或0a =或6a ≥.【分析】（1）分别解分式不等式、含绝对值符号的不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）根据给定条件，利用集合的包含关系，再分类求解作答.（3）分类解出一元二次不等式，再结合已知求解作答.【详解】（1）解不等式204x x +≤-得：24x -≤<，即[)2,4A =-，则()[),24,A =-∞-+∞ ，解不等式|1|5x -<得：46x -<<，即()4,6B =-，所以()[)4,24,6A B =-- .（2）由A C A ⋃=得：C A ⊆，不等式22320x ax a -+<化为：()()20x a x a --<，当0a >时，(),2C a a =，由（1）知224a a -≤<≤，解得02a <≤，则02a <≤，当0a =时，C =∅，满足C A ⊆，则0a =，当a<0时，()2,C a a =，由（1）知224a a -≤<≤，解得10a -≤<，则10a -≤<，综上得：12a -≤≤，所以实数a 的取值范围是12a -≤≤.（3）当0a >时，(),2C a a =，而()4,6B =-，由B C =∅ 得6a ≥，则6a ≥；当0a =时，C =∅，满足B C =∅ ，则0a =；当a<0时，()2,C a a =，由B C =∅ 得4a ≤-，则4a ≤-，所以实数a 的取值范围是4a ≤-或0a =或6a ≥.21．已知代数式|2|x +和||ax b -．(1)若3,3a b ==，求不等式|2|||6x ax b ++-<的解集；(2)若1,1a b ==，证明：|2|x +、||ax b -中至少有一个数不小于32；(3)若0a >，不等式3|2|||12x ax b x ++-≥+对任意实数x 恒成立，试确定实数a 、b 满足的条件．【正确答案】(1)17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)1220a ab ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩【分析】(1)分类讨论解绝对值不等式；(2)利用反证法即可证明；(3)根据2,2x x <-≥-分类讨论去掉|2|x +的绝对值，从而只用讨论含一个绝对值的不等式恒成立问题，再进行分类即可求解.【详解】（1）2336x x ++-<，当2x ≤-时，2336x x --+-<，所以54x >-，所以x 不存在；当2<<1x -时，2336x x ++-<，所以12x >-，所以112x -<<；当1x ≥时，2336x x ++-<，所以74x <，所以714x ≤<；综上，解集为17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）当1a b ==时，假设2,1x x +-都小于32，即322312x x ⎧+<⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩71221522x x ⎧-<<-⎪⎪⇒⎨⎪-<<⎪⎩，此不等式无解，因此假设不成立，所以|2|x +、||ax b -中至少有一个数不小于32.（3）若0a >，不等式3212x ax b x ++-≥+对于任意实数x 恒成立.①当2x <-时，3212x ax b x --+-≥+，即532ax b x -≥+，而5322x +<-，故,R a b ∈时，3212x ax b x ++-≥+恒成立,②当2x ≥-时，3212x ax b x ++-≥+，即112ax b x -≥-，而112ax b x -≥-在22x -≤≤时恒成立，故只需讨论当2x ≥时，112ax b x -≥-恒成立，实数,a b 满足的条件.（i ）当0ax b -≥时，112ax b x -≥-，即112a x b ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，若102a <<，要使112a x b ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭在2x ≥上恒成立，不满足，舍去；若12a =，要使112a x b ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭在2x ≥上恒成立，则12a =且1b ≤；若12a >，要使112a x b ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭在2x ≥上恒成立，则1212b a -≤-，即1220a ab ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩；（ii ）当0ax b -<时，112b ax x -≥-，即112a x b ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由于0a >，得102a +>，要使112a xb ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭在2x ≥上恒成立，不满足，舍去；综上，121a b ⎧=⎪⎨⎪≤⎩或1220a a b ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即1220a a b ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩.关键点睛：第3小问解决问题的关键是根据2x <-和2x ≥分类讨论，将不等式中两个绝对值化简为一个绝对值，再对剩余绝对值式子根据绝对值中式子的符号再进行讨论即可求解.。

2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷

2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．“ ”是“”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若实数a 、b 满足条件，则下列不等式一定成立的是 A ．B ．C ．D ．3．设集合，对任意恒成立，则P 与Q 的关系是 A ．B ．C ．D ．4．已知集合 2，3，，集合是集合A 的子集，若且 2，，，满足集合B 的个数记为，则 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12二、填空题6.集合{},a b 的真子集的个数为_________5.设集合{}21,A x x x R =-<?，集合B Z =，则A B ?__________ 7.“2x <”是“24x <”的__________8.命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹.”是__________命题.（填“真”或“假”）9.函数()f x =__________. 10.已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________.11.集合(){}(){}2,|1,,23A x y y ax B x y y x ==+==+，A B Ç的元素只有1个，则a 的取值范围是__________.12.若函数()()2225f x x a x =+-+在区间()4,+?上是增函数，则实数a Î__________.13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()2f x x x =--，则()2f =__________.14.已知函数()2x g x =，且()()2g a g b ?，则ab 的最大值是__________.15.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-.则关于x 的不等式0cx a +<的解集为__________.16.设3,0a b b +=>，则当a =__________时，13aa b+取得最小值三、解答题17．已知x ，y 是实数，求证：．18．已知全集，集合，，求，．19．已知命题p ：关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q ：关于x 的一元二次方程对于任意实数a 都没有实数根．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 20．已知集合，集合当时，求集合和集合B ；若集合为单元素集，求实数m 的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m 的取值集合 21．已知集合P 的元素个数为个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即，，，，其中，，若集合A 、B 、C 中的元素满足，，，2，，则称集合P 为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．“”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题意得“”，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．【考点】充分不必要条件的判定．2．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、，时，有成立，故A错误；对于B、，时，有成立，故B错误；对于C、，时，有成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．3．设集合，对任意恒成立，则P与Q的关系是A．B．C．D．【答案】C【解析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．【详解】集合，对任意恒成立，当m=0时，-1<0,满足题意，当时，结合二次函数的性质得到．与Q的关系是．故选：C．【点睛】本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若且2，，，满足集合B的个数记为，则A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】根据和，可得，，，集合2，3，4，5，6，；集合，满足集合B的个数列罗列出来，可得答案．【详解】由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗列出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故选：B．【点睛】本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．二、填空题5.集合{},a b 的真子集的个数为_________ 【答案】3 【解析】【分析】由真子集的定义，将集合{},a b 的真子集列举出来即可. 【详解】集合{},A a b =的真子集有{}{},,a b f ，共3个，故答案为3.【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集.6.设集合{}21,A x x x R =-<?，集合B Z =，则A B ?__________ 【答案】{}2 【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合A ，由交集的定义可得结果. 【详解】21x -<，即121x -<-<，解得13x <<，即()1,3A =，集合B Z =，则{}2A B?，故答案为{}2.【点睛】本题考查交集的求法以及绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题，解题时要认真审题. 7.“2x <”是“24x <”的__________ 【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法化简不等式24x <，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由24x <得22x -<<,则“2x <”是“24x <”的的必要不充分条件，故答案为必要不充分.【点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将一元二次不等式的解法、充分条件、必要条件相关的问题联系起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.8.命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹.”是__________命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹” 的逆否命题为“已知,x y R Î，如果0x =且2y =，那么2x y +=” 为真命題，故命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹” 是真命题，故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.9.函数()f x =__________. 【答案】11,2纟ç-úçú棼【解析】【分析】根据分式的分母不为零，且二次根式的被开方数大于或等于零，由此建立关于x 的不等式组，解之即得函数()f x 的定义域.【详解】要使函数()f x = 则121xx -+0³，等价于()()211011210x x x x ì-+?ï?<?í+?ïî，函数()f x =11,2纟ç-úçú棼，故答案为11,2纟ç-úçú棼. 【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ＃求出.10.已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________. 【答案】()223f x x x =-- 【解析】【分析】令1x t +=，则1x t =-，求出()f t 223t t =--,从而可得结果. 【详解】因为()214f x x +=-，\令1x t +=，则1x t =-，()()()2114f x f t t \+==-- 223t t =--，\函数()f x 的解析式为()223f x x x =--.，故答案为()223f x x x =--.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.11.集合(){}(){}2,|1,,23A x y y ax B x y y x ==+==+，A B Ç的元素只有1个，则a 的取值范围是__________.【答案】10,2禳镲-睚镲铪【解析】【分析】由A B Ç中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出a 的范围.【详解】联立2123y ax y x ì=+ïí=+ïî 即2220ax x --=，A B Ç是单元素集，\分两种情况考虑:0a ¹，方程有两个相等的实数根，即0D=，可得()2280a -+=,解得12a =- 0a =，方程220x --=只有一个根，符合题意，综上,a 的范围为10,2禳镲-睚镲铪故答案为10,2禳镲-睚镲铪. 【点睛】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 12.若函数()()2225f x x a x =+-+在区间()4,+?上是增函数，则实数a Î__________. 【答案】[)2,-+?【解析】【分析】根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以2x a =-为对称轴的抛物线，利用[)4,+?为[)2,a -+?的子集可构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围.【详解】函数()()2225f x x a x =+-+的图象是开口方向朝上，以2x a =-为对称轴的抛物线，若函数()()2225f x x a x =+-+在区间[)4,+?上是增函数，所以[)4,+?为[)2,a -+?的子集，则24a -?，解得2a ?，故答案为[)2,-+?.【点睛】本题考査的知识点是函数单调性及二次函数的性质，属于简单题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x £或()'0f x ³恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()2f x x x =--，则()2f =__________. 【答案】2 【解析】【分析】由()f x 为R 上的奇函数即可得出()()22f f =--，并且0x £时，()2f x xx =--，从而将2x =-代入()2f x x x =--的解析式即可求出()2f -，从而求出()2f . 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，并且0x £时，()2f x x x =--，()()()()222222f f 轾\=--=-----=犏臌，故答案为2 . 【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 14.已知函数()2x g x =，且()()2g a g b ?，则ab 的最大值是__________.【答案】14【解析】【分析】由()()2g a g b ?可得1a b +=，由基本不等式可得2124a bab 骣+琪?琪桫,注意等号成立的条件即可.【详解】函数()2x g x =，且有()()2g a g b =，2222,1a ba b a b +\=?\+=，0a >且210,24a bb ab 骣+琪>\?琪桫，当且即当12a b ==时，ab 取最大值14,故答案为14.【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用³或£时等号能否同时成立）.15.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-.则关于x 的不等式0cx a +<的解集为__________.【答案】10,9轹÷ê÷ê滕【解析】【分析】构造解集和20ax bx c ++>是同解()2,3-的不等式，然后可得出,,a b c ，再代入求0cx a +<求解即可. 【详解】()()230x x +-<的解集为()2,3-，则260x x -++>与20ax bx c ++>是同解不等式，1,1,6a b c \=-==，则关于x 的不等式0cx a +<的解集即为610x <的解集，2610\<，即()()110<，解得109x?，故关于x 的不等式0cx a +<的解集为10,9轹÷ê÷ê滕，故答案为10,9轹÷ê÷ê滕.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解题中的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.设3,0a b b +=>，则当a =__________时，13aa b+取得最小值【答案】32- 【解析】【分析】需要分类讨论，当03a <<和当0a <,分别化简13aa b+，利用基本不等式即可得到结论.【详解】3,0a b b +=>,30b a \=->，即3a <，当03a <<时，11112739999939a ab a b a a b a b a b ++=+=++?+=，当且仅当34a =取等号故当34a =时，13a a b+取得最小值79，当0a <时,11112539999939a ab a b a a b a b a b ++=--=---?+-+=，当且仅当32a =-取等号，故当32a =-时，13a a b+取得最小值59，综上所述a 的值为32-时， 13a a b+取得最小值，故答案为32-. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于难题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题17．已知x，y是实数，求证：．【答案】见解析【解析】利用综合法，证明不等式即可．【详解】因为，可得，，可得，所以．【点睛】本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查.18．已知全集，集合，，求，．【答案】，【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【详解】；；；；，；．【点睛】考查描述法表示集合的定义，，以及交集、并集和补集的运算．19．已知命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】由题意可得判别式大于0，由绝对值不等式的解法可得m的范围；考虑命题q真，运用绝对值不等式的性质和判别式小于0，解不等式可得m的范围，由p，q一真一假，解不等式即可得到所求范围．【详解】命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解得；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根，可得，由，可得无实数解，可得，即，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或或或，即有或．【点睛】本题考查二次方程和二次不等式的解法，注意运用判别式和绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于基础题．20．已知集合，集合当时，求集合和集合B；若集合为单元素集，求实数m的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m的取值集合【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】（1）m＝2时，化简集合A，B，即可得集合∁R A和集合B；（2）集合B∩Z为单元素集，所以集合B中有且只有一个整数，而0∈B，所以抛物线y＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1的开口向上，且与x轴的两个交点都在[﹣1，1]内，据此列式可得m＝0；（3）因为A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A ∩B）∩Z中由n个元素，所以1﹣m2＞0，即﹣1＜m＜1；A∩B中至少有3或﹣2中的一个，由此列式可得．【详解】集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|﹣1＜x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N）个，A∩B中至少有3或﹣2中的一个，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有或，解得﹣1＜m＜﹣或＜m＜1∴【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算属难题．21．已知集合P的元素个数为个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即，，，，其中，，若集合A、B、C中的元素满足，，，2，，则称集合P为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据ak +bk=ck,可依次判断集合P与Q是否为完美集合；（2）讨论集合AB,根据完美集合的定义，建立等式求x的值.【详解】（1）集合P＝2，为“完美集合”，令A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}．则集合A、B、C中的元素满足a k+b k＝c k，集合Q＝2，3，4，5，不是“完美集合”，若集合Q为“完美集合”，则C中元素最小为3，若C的最小元素为3，则a1+b1＝1+2＝3，a+b2＝4+5＝c2＝6不可能成立，2若C的最小元素为4，则a1+b1＝1+3＝4，a+b2＝2+5＝c2＝6不可能成立，2若C的最小元素为5，则a1+b1＝1+4＝5，a+b2＝2+3＝c2＝6不可能成立，2综上可得集合Q＝{1,2，3，4，5，6}不是“完美集合”（2）由（1）可得x≠2，若A＝{1，3}，4∈B，则5∈C，6∈B，x＝3+6＝9∈C满足“完美集合”的定义；若A＝{1，3}，5∈B，则6∈C，5∈B，x＝3+5＝8∈C满足“完美集合”的定义；【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，按照题目所给的定义求解.。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 对于α：a−1a+1>0，β：关于x 的方程x 2−ax +1=0有实数根，则α是β成立的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合P ={0,1}，Q ={−1,0，1}，则( ) A. P ∈QB. P ⊆QC. P ⊇QD. Q ∈P 3. 若实数a <b <0，则下列不等式中正确的是( ) A. 1a <1bB. |b |>|a |C. a b +b a >2D. ab <b 2 4. 若函数f(x)=x−1x ，则方程f(4x)=x 的根为( ) A. −2 B. −12 C. 12 D. 2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x|1≤x ≤2}，集合B ={x|x ≥a}.若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是______．6. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．7. 命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是__________．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b =ab +2a +b ，则关于实数x 的不等式：x ⊙(x −2)<0的解集为______ ．9. 已知函数f(x)={2x ,x >0x,x ≤0，则f(1)+f(−1)为________． 10. 若f(x)=√x(x +1)，g(x)=√x ，则f(x)⋅g(x)= ______ ．11. 不等式|2x −1|<x 的解集为______ ．12. 已知不等式x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围为______ ．13. 设函数f(x)=√1−lgx 的定义域为______．14. 函数y =x +1x−3(x >3)的最小值为________.15. 如果|x −1|+|x −9|>a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是______ ．16. 若集合M ={0,1，2}，N ={(x,y)|x −2y +1≥0，且x −2y −1≤0，y ∈M}，则集合N 中元素的个数为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−2x −8=0}，B ={x|x 2+ax +a 2−12=0}，且A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．18.设f(x)=|x|+|x+10|．(Ⅰ)求f(x)≤x+15的解集M；(Ⅱ)当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚(0≤x≤10) 6万元，且每年的能源消耗费用H(万元)与隔热层厚度x(毫米)满足关系H(x)=403x+5设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)请解释H(0)的实际意义，并求f(x)的表达式；(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f(x)最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．21.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】>0得a>1或a<−1，解：α：a−1a+1β：关于x的方程x2−ax+1=0有实数根，则判别式△=a2−4≥0，得a≥2或a≤−2，∵{a|a≥2或a≤−2}⫋{a|a>1或a<−1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．2.答案：B解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查集合与集合的关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合P={0,1}，Q={−1,0，1}，∴P⊆Q．故选：B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．根据不等式的性质取特殊值验证即可．【解答】令b=−1，a=−2，则C正确，A，B，D错误，故选：C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．【解答】解：因为函数f(x)=x−1，x=x，所以f(4x)=x即为4x−14x即4x2−4x+1=0，，解得x=12故选C．5.答案：a≤1解析：因为A∪B=B，所以A⊆B，由集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≥a}．所以a≤1.故填a≤1．根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．此题考查了子集及其运算，属于简单题．6.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M ∩N ={0,1}．故答案为：{0,1}．7.答案：若x 2−x <0，则x ≤2．解析：【分析】本题考查否命题的概念，属于基础题．注意否命题需要对条件和结论都否定．【解答】解：命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2−x <0，则x ≤2”.故答案为：若x 2−x <0，则x ≤2．8.答案：(−2,1)解析：解：由题意知：原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0⇔x 2+x −2<0⇔(x +2)(x −1)<0⇔−2<x <1．故答案为：(−2,1)．原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0，解之得−2<x <1．本题借助新定义题考查了一元二次不等式的解法，根据定义把不等式转化为一元二次不等式是关键． 9.答案：1解析：【分析】本题考查了分段函数，将x 的值代入函数的解析式即可得答案．【解答】解：由函数f(x)={2x ,x >0x,x ⩽0可得f(1)+f(−1)=2−1=1，故答案为1．10.答案：√x +1(x >0)．解析：解：由题意f(x)的定义域为{x|x ≤−1或x ≥0}，g(x)的定义域为{x|x >0}，∴f(x)g(x)的定义域为{x|x >0}，f(x)g(x)=√x +1，故答案为√x +1(x >0)．确定函数的定义域，再求出函数的解析式即可．本题考查函数解析式的求解，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：(13,1)解析：解：由不等式|2x −1|<x 可得−x <2x −1<x ，解得13<x <1，故不等式||2x −1|<x 的解集是(13,1)．故答案为：(13,1)．原不等式等价于−x <2x −1<x ，由此求得不等式|2x −1|<x 的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 12.答案：(−∞,−13)∪(1,+∞)解析：【分析】不等式恒成立，需△<0，解出即可．本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法，考查转化思想、考查学生解决问题的能力．【解答】解：∵x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，∴△=(m +1)2−4m 2<0，解得：m <−13或m >1．故答案为：(−∞,−13)∪(1,+∞)． 13.答案：(0,10]解析：解：函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0，解得：0<x ≤10．∴函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：(0,10]．故答案为：(0,10]．由函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0，解不等式组即可求出答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查不等式的解法，是基础题．14.答案：5解析：解：∵x >3，∴y =x +1x−3=x −3+1x−3+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3=2+3=5，当且仅当x −3=1时，即x =4时取等号，故答案为：5．根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．15.答案：a<8解析：解：由于|x−1|+|x−9|表示数轴上的点x到1和9对应点的距离之和，其最小值等于8，故由题意可得a<8，故答案为：a<8利用|x+1|+|x+9|表示数轴上的点x到−1和−9对应点的距离之和，其最小值等于8，从而求得a 的取值范围．本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，判断|x−1|+|x−9|的最小值等于8，是解题的关键．16.答案：4解析：【分析】本题考查元素和集合的关系的应用，属于基础题目．【解答】解：因为集合M={0,1，2}，N={(x,y)|x−2y+1≥0，且x−2y−1≤0，x，y∈M}，所以N={(0,0)，(1,1)，(1,0)，(2,1)}，所以集合N中元素个数为4．故答案为4．17.答案：解：集合A={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，B={x|x2+ax+a2−12=0}，若A∪B=A，则B⊆A，可分为以下几种情况，(1)B=A，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2或x=4，解得a=−2；(2)B={−2}，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2，(−2)2−2a+a2−12=0，解得：a=−2(舍)或a=4；(3)B ={4}，即方程x 2+ax +a 2−12=0的解为x =4，a 2+4a +4=0，解得a =−2，此时B ={−2,4}≠{4}，故需舍弃；(4)B 为空集，即方程x 2+ax +a 2−12=0无解，a 2−4(a 2−12)<0，解得a >4或a <−4．综上可知，若B ∪A =A ，a =−2或a ≥4，或a <−4．解析：化简集合A ，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，分类讨论，即可求实数a 的取值集合，本题考查实数的取值范围的求法，正确分类讨论是关键，是基础题．18.答案：解：( I)由f(x)=|x|+|x +10|≤x +15得：{x <−10−x −x −10≤x +15 ①，或{−10≤x ≤0−x +x +10≤x +15 ②，或{x >0x +x +10≤x +15③．解①求得x ∈⌀，解②求得−5≤x ≤0，解③求得5≥x >0，故原不等式的解集为M ={x|−5≤x ≤5 }．( II)当a ，b ∈M 时，−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，不等式5|a +b||≤|ab +25|，等价于25(a +b)2≤(ab +25)2，即25(a 2+b 2+2ab)≤a 2⋅b 2+50ab +625，即25a 2+25b 2−a 2⋅b 2−625≤0，等价于(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0．而由−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，可得a 2≤25，b 2≤25，∴a 2−25≤0，25−b 2≥0，∴(a 2−25)⋅(25−b 2)≤成立，故要证的不等式5|a +b|≤|ab +25|成立．解析：( I)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a ，b ∈M 时，等价转化不等式5|a +b|≤|ab +25|为(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0，结合题意可得(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0成立，从而得出结论．本题主要考查绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于中档题．19.答案：解：(1)H(0)=405=8，H(0)的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f(x)的解析式为：f(x)=8003x+5+6x(0≤x ≤10)．(2)f(x)=8003x+5+6x =8003x+5+2(3x +5)−10≥2√1600−10=70．当且仅当8003x+5=2(3x +5)即x =5时取等号．∴厚度为5mm 时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：(1)将建造费用和能源消耗费用相加得出f(x)的解析式；(2)利用基本不等式得出f(x)的最小值及对应的x 的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2，所以实数m 的最大值M =2；( 2)由(1)知a 2+b 2=2，又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号，又∵√ab a+b ≤12，∴ab a+b ≤√ab 2 ②，当且仅当a =b 时取等号，由①②得ab a+b ≤12，所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．21.答案：5解析：【分析】本题考查集合的新定义，属于基础题型，理解题意是关键．【解答】解：∵A ={1,2，3}，B ={1,2}，定义集合间的运算A +B ={x|x =x 1+x 2,x 1∈A,x 2∈B}， ∴A +B ={2,3，4，5}故集合A +B 中元素的最大值是5；故答案为5．。

上海市七宝中学高一数学上学期期中试题(含解析)

一.填空题1. 函数的定义域为________【答案】【分析】【剖析】依据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域.【详解】由题意得，即定义域为【点睛】本题考察函数定义域，考察基本求解能力.2. 已知会合，，则________【答案】【分析】【剖析】求出会合A,B，即可获取.【详解】由题会合会合故.故答案为.【点睛】本题考察会合的交集运算，属基础题3. 不等式的解集是________【答案】【分析】【详解】不等式，则故答案为.【点睛】本题主要考察分式不等式的解法，表现了转变的数学思想，属于中档题．4. “若且，则”的否命题是__________________．【答案】若或，则【分析】【剖析】依据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考察依据原命题写出否命题，属基础题.5. 已知，则的取值范围是________【答案】【分析】【剖析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为 b=a-z ，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即（如图暗影），目标函数z=a-b 可化为 b=a-z ，可看作斜率为 1 的直线，平移直线可知，当直线经过点A（ 1， -1 ）时， z 取最小值 -2 ，当直线经过点O（0， 0）时， z 取最大值0，∴a-b 的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考察线性规划，正确作图是解决问题的重点，属中档题．6. 若，，且，则的取值范围是_【答案】【分析】【剖析】对 a 进行分类议论，依据 A 与B 的交集为空集确立出 a 的范围即可．【详解】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【点睛】本题考察了交集及其运算，娴熟掌握交集的定义是解本题的重点．7. 若对于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____【答案】【分析】略8. 若函数，则________【答案】【分析】【剖析】设, 求出的分析式，再将代入即可.【详解】设,则则即即答案为.【点睛】本题考察函数分析式的求解，波及换元和函数的性质，属中档题．9. 若对于的不等式在上恒建立，则实数的最小值是__【答案】【分析】【剖析】对于的不等式在上恒建立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，从而求得的最小值．【详解】∵对于的不等式在上恒建立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数 a 的最小值为．故答案为．【点睛】本题考察函数的恒建立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒建立问题，一般采用参变量分别的方法进行办理，转变成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．10. 已知函数，（），若不存在实数使得和同时建立，则的取值范围是________【答案】【分析】【剖析】经过 f （x）＞ 1 和 g（ x）＜ 0，求出会合A、B，利用 A∩B=?，求出 a 的范围即可．【详解】由f（ x）＞ 1，得＞ 1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜ x＜-1或 2＜ x＜ 3} ．由 g（ x）＜ 0 得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜ x＜a，a＜ 0} ．由题意 A∩B=?，所以 a≤ -2 或 - 1≤2a＜ 0，故 a 的取值范围是 {a|a ≤ -2 或 - ≤a＜ 0} ．即答案为.【点睛】本题考察分式不等式的解法，二次不等式的解法，会合的交集运算，考察剖析问题解决问题的能力．11. 当时，能够获取不等式，，，由此能够推行为，则________【答案】【分析】【剖析】本考推理，要先考前几个不等式，出律再研究推行后的式子中的p 【解】∵ x∈R+可获取不等式，∴在 p 地点出的数恰巧是分母的指数的指数次方即答案.【点睛】本考推理，解的关是理解推理的律-- 从所的特例中出律来，以之解决，推理是一个很重要的思方式，熟用推理猜想，能够大大提升新的效率，解善用推理，能够一多解指明研究的方向12. 已知数集（，）拥有性：随意、（集），拥有性与两数中起码有一个属于会合，出以下四个命：①数集；②数集拥有性；③若数集拥有性，；④若数（）拥有性，；此中真命有________（填写序号）【答案】②③④【分析】【剖析】利用a i +a j与 a j -a i两数中起码有一个属于A．即可判断出．【解】①数集中，②数集足随意、（），，故数集与不拥有性；两数中起码有一个属于会合，故数集拥有性；③若数列 A 拥有性P， a n+a n=2a n与 a n-a n=0 两数中起码有一个是数列中的一，∵0≤a1＜a2＜⋯＜ a n，n≥3，而 2a n不是数列中的，∴ 0 是数列中的，∴a1=0；故③正确；④当 n=5 ，取 j=5 ，当 i ≥2 ， a i +a5＞ a5，由 A 拥有性 P，a5-a i∈A，又 i=1 ， a5-a 1∈A，∴a5-a i ∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜ a2＜ a3＜ a4＜ a5，∴a5-a 1＞ a5-a 2＞ a5-a 3＞ a5-a 4＞ a5-a 5=0，a5-a 1=a5，a5-a 2=a4， a5-a 3=a3，从而可得 a2+a4=a5， a5=2a3，故 a2+a4=2a3，即答案为②③④.【点睛】本题考察数列的综合应用，本题能很好的考察学生的应用知识剖析、解决问题的能力，重视于对能力的考察，属中档题．二.选择题13. 如图，为全集，、、是的三个子集，则暗影部分所表示的会合是（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】先依据图中的暗影部分是M∩P的子集，但不属于会合S，属于会合S 的补集，而后用关系式表示出来即可．【详解】图中的暗影部分是：M∩P的子集，不属于会合S，属于会合S 的补集 , 即是 C U S 的子集则暗影部分所表示的会合是（M∩P）∩( ?U S).应选： C．【点睛】本题主要考察了Venn 图表达会合的关系及运算，同时考察了识图能力，属于基础题．14. 以下各组函数中，表示同一函数的是（）A.与B.与C.与D.（）与（）【答案】 D【分析】【剖析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得同样，所以只需逐个判断每个选项中定义域和对应关系能否都同样即可．【详解】对于对于 B选项A 选项，f （ x）的定义域为的定义域为R，g（x）的定义域为[0 ，+∞），∴不是同一函数；的定义域为∴不是同一函数；对于 C选项， f （0） =-1 ，g（ 0） =1， f （ 0）≠ g（ 0），∴不是同一函数．对于 B 选项， f （ x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数分析式化简后为同一分析式，∴是同一函数.应选 D.【点睛】本题主要考察了函数三因素的判断，只有三因素都同样，两函数才为同一函数，属于基础题．15.已知，则“”是“”的（）A.充足非必需条件B.必需非充足条件C.充要条件D.既非充足又非必需条件【答案】 A【分析】【剖析】本题考察的是必需条件、充足条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．而后联合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看能否正确即可获取问题解答．【详解】由题意可知：+22a，b∈R，若“ a +b ＜1”则 a2+2ab+b2＜ 1+2ab+a2?b2，∴（ a+b）2＜（ 1+ab）2∴a b+1＞ a+b．若 ab+1＞ a+b，当 a=b=2 时， ab+1＞a+b 建立，但 a2+b2＜1 不建立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ ab+1＞ a+b”的充足不用要条件．应选： A．【点睛】本题考察的是必需条件、充足条件与充要条件的判断问题．在解答的过程中间充足表现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转变的思想．16.汽车的“燃油效率”是指汽车每耗费 1 升汽油行驶的里程，以下图描绘了甲、乙、丙三辆汽车在不一样速度下的燃油效率状况 . 以下表达中正确的选项是（）A. 耗费 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B.以同样速度行驶同样行程，三辆车中，甲车耗费汽油最多C.甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时，耗费 10 升汽油D.某城市灵活车最高限速 80 千米 / 小时 . 同样条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D【分析】试题剖析：对于A，耗费升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B,以同样速度行驶同样行程，三辆车中甲车耗费汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，耗费升汽油,故错；对于D, 车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.应选 D.考点： 1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.【此处有视频，请去附件查察】三.解答题17. 设会合，会合.（ 1）若“”是“”的必需条件，务实数的取值范围；（ 2）若中只有一个整数，务实数的取值范围.【答案】（ 1）；（2）.【分析】【剖析】（ 1）由“”是“”的必需条件，得B? A，而后分，m＞三种状况议论求解实数m的取值范围；（ 2）把中只有一个整数，分，m＞时三种状况借助于两会合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．【详解】 (1) 若“”是“”，则B? A，∵A={x| - 1≤x≤2} ，①当时， B={x|2m ＜x＜ 1} ，此时 - 1≤2m＜ 1?；②当时， B=?，有 B? A 建立；③当时 B=?，有 B? A 建立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x| - 1≤x≤2} ，∴ ?R A={x|x ＜ -1 或 x＞ 2} ，①当时， B={x|2m ＜x＜ 1} ，若 ( ?R A)∩B中只有一个整数，则 - 3≤2m＜ -2 ，得②当 m当时，不切合题意；③当时，不切合题意；综上知， m的取值范围是.【点睛】在会合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再联合数轴进行会合的运算，若端点地点不准时，要注意对端点的地点进行议论求解，本题是中档题．18. 练习册第21 页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还能够有以下证法：（当且仅当时等号建立），∴.学习以上解题过程，试试解决以下问题：（ 1）证明：若，，，则，并指出等号建立的条件；（ 2）试将上述不等式推行到（）个正数、、、、的情况，并证明.【答案】 (1) 看法析；（ 2）看法析 .【分析】【剖析】（ 1）依据题设例题证明过程，类比可得证明；（ 2）依据题设例题证明过程，类比可得证明；【详解】（ 1），∴，当且仅当时等号建立；（2）故. 当且仅当时等号建立；【点睛】本题考察基本不等式的运用，考察不等式的证明，考察求函数的最值，属于中档题．19.某企业有价值 10 万元的一条流水线，要提升该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提升产品附带值，假定附带值万元与技术改造投入万元之间的关系知足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，此中为常数，且.（ 1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（ 2）求出附带值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（ 1），；（2）.【分析】【剖析】（1）列出 f （ x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，联合二次函数的图象及单一性解决，注意分类议论．【详解】（ 1）设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t 为常数，；（ 2）因为定义域中函数在上单一递减，故.【点睛】本题考察函数的应用问题，函数的分析式、二次函数的最值及分类议论思想，牵涉字母太多，简单犯错．20. 设数集由实数组成，且知足：若（且），则.（ 1）若，试证明中还有此外两个元素；（ 2）会合能否为双元素会合，并说明原因；（ 3）若中元素个数不超出 8 个，全部元素的和为，且中有一个元素的平方等于全部元素的积，求会合 .【答案】 (1)， ;(2) 看法析；（ 3）.【分析】【剖析】（ 1）依据会合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把 2 代入进行考证；（ 2）能够假定A为单元素会合，求出其等价条件，从而进行判断；（ 3）先求出会合 A 中元素的个数，=1，求出 x 的值，从而求出会合 A．【详解】（ 1）证明：若x∈A，则又∵ 2∈A，∴∵- 1∈A，∴∴A中此外两个元素为，；（2），，，且，，，故会合中起码有 3 个元素，∴不是双元素会合；（ 3）由，，可得，全部元素积为1，∴，、、，∴.【点睛】本题考察了元素和会合的关系，考察会合的含义，分类议论思想，是一道中档题．21. 已知，设，，（，为常数） .（ 1）求的最小值及相应的的值；（ 2）设，若，求的取值范围；（ 3）若对随意，以、、为三边长总能组成三角形，求的取值范围.【答案】（ 1），；（2）；（3）.【分析】【剖析】（ 1）代入利用基本不等式即可得出；（ 2），若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；（ 3）因为 b＞ a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得对 x＞ 0 恒建立，联合即可得出．【详解】（ 1）。

2023-2024学年上海市高一上册期中数学试题1(含解析)

2023-2024学年上海市高一上册期中数学试题一、填空题1．已知x y <=_____．【正确答案】y x-【分析】根据根式与指数幂的互化即可求出结果.【详解】x y < ，y x =-．故y x -．2．满足{}{},,,a M a b c d ⊆⊂≠的集合M 有_________个【正确答案】7【分析】由{}a M ⊆，可知集合M 中必有元素a ，由{},,,M a b c d ⊂≠，可知M 中还有元素b ，c ，d ，中的0个，1个，或2个，进而分析集合M 的个数.【详解】由{}{},,,a M a b c d ⊆⊂≠，知集合M 中必有元素a ，且M 中还有元素b ，c ，d ，中的0个，1个，或2个，当M 中有一个元素时，M 有{}a 1个，当M 中有两个元素时，M 有{},a b ，{},a c ，{},a d 3个，当M 中有三个元素时，M 有{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d 3个，综上，集合M 个数有1337++=.故73．设全集为U ，集合,A B 是U 的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为_________．【正确答案】()U A B ð【分析】根据Venn 图，得到集合关系即可.【详解】由Venn 图可知元素属于A 但不属于B ，即阴影部分对应的集合为()U A B ð，故()U A B ð4．函数121y x =---的图像不经过第_________象限【正确答案】二【分析】根据反比例函数的图象变换，作图判断即可.【详解】解：该函数图像由1y x =-向右平移1个单位，向下平移一个单位所得，如下图：所以不经过第二象限．故二.5．设,R,x y ∈①0,0;x y ≠≠②220;x y +>220;x y +=④0;xy ≠⑤220;x y +≠上述各式中“,x y 都不为零”的充分条件是_________．【正确答案】①④【分析】根据给定条件，利用充分条件的定义直接判断作答.【详解】0,0x y ≠≠，则,x y 都不为零，①是；220x y +>，取1,0x y ==，不等式220x y +>成立，即220x y +>不是,x y 都不为零的充分条件，②不是；0=，则0x y ==0=不是,x y 都不为零的充分条件，③不是；0xy ≠，则0,0x y ≠≠，即0xy ≠是,x y 都不为零的充分条件，④是；220x y +≠，取1,0x y ==，不等式220x y +≠成立，即220x y +≠不是,x y 都不为零的充分条件，⑤不是，所以,x y 都不为零的充分条件是①④.故①④6．已知,,a b a b a b m n a b a b-+≠==-+，则,m n 的大小关系为_________．【正确答案】m n ≤##n m≥【分析】利用绝对值三角不等式变形，再借助媒介数比较大小作答.【详解】||||a b ≠，则1a b a b m a b a b --=≤=--，当且仅当0a b <≤或0a b >≥时取等号，1a b a b n a b a b++=≥=++，当且仅当0ab >或,a b 仅只一个为0时取等号，显然当0a b <≤或0a b >≥时，1m n ==，所以,m n 的大小关系为m n ≤．故m n≤7．若lg a 、lg b 是方程22410x x -+=的两个根，则2(lg )a b=__________.【正确答案】2【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得lg lg 2a b +=，1lg lg 2a b ⋅=，再由()()222lg lg lg lg lg 4lg lg a a b a b a b b ⎛⎫=-=+-⋅ ⎪⎝⎭，运算求得结果．【详解】lg a 、lg b 是方程22410x x -+=的两个根，1680∆=->，lg lg 2a b ∴+=，1lg lg 2a b ⋅=，()()2221lg lg lg lg lg 4lg lg 4422a a b a b a b b ⎛⎫∴=-=+-⋅=-⨯= ⎪⎝⎭，故2.8．集合(){}(){},|1,,|A x y y ax B x y y x==+==，且A B ⋂为单元素集，则实数a 的取值范围是_________．【正确答案】1a ≥或1a ≤-【分析】由A B ⋂为单元素集可知集合,A B 表示的图像仅有一个交点，由此求解实数a 的取值范围即可.【详解】由1y ax =+可知集合A 表示经过定点()0,1的直线，由y x =可知集合B 表示表示第一、二象限的角平分线（含原点），因为A B ⋂为单元素集，所以1y ax =+与y x =的图像仅有一个交点，即直线1y ax =+与y x =两条射线中的一条相交或经过原点，所以1a ≥或1a ≤-，故1a ≥或1a ≤-9．设关于x 的不等式244x x m x -+≤+的解集为A ，且0,2A A ∈∉，则实数m 的取值范围是____．【正确答案】[)4,2--【分析】根据0,2A A ∈∉列不等式，由此求得m 的取值范围.【详解】由于关于x 的不等式244x x m x -+≤+的解集为A ，且0,2A A ∈∉，所以446m m ⎧≤⎪⎨->⎪⎩①，其中444m m ≤⇔-≤≤；46m ->⇔46m -<-或46m ->，即2m <-或10m >.所以①的解集为[)4,2--，也即m 的取值范围是[)4,2--.故[)4,2--10．已知全集为R ，集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,N B y y x x y *==-++∈，集合|Z C x y x ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足,R D B D C ≠∅= ，则实数a 的值是_________．【正确答案】2-【分析】根据集合交集、并集、补集的性质，结合列举法、二次函数的性质、分式不等式的解法进行求解即可.【详解】因为()222213y x x x =-++=--+所以集合{}{}2|22,N 1,2,3B y y x x y *==-++∈=，由20121x x x -≥⇒-<≤+所以集合{}|Z =0,1,2C x y x ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，集合{}22|190,D x x ax a =-+-=且集合D 满足,R D B D C ≠∅= ，所以3D ∈，所以293190a a -+-=解得5a =或2a =-，经检验，5a =不符合R D C = ，舍去，2a =-满足题意，即2a =-．故2-11．已知a >0，b >0，若不等式3m a b +－3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为____________．【正确答案】16【分析】问题转化为31(3)m a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭恒成立，利用基本不等式求得31(3)a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的最小值，故【详解】 3131(3)3mm a b a b a b a b ⎛⎫+⇒+⋅+ ⎪+⎝⎭对0,0a b >>恒成立，3133(3)1010616b a a b a b a b ⎛⎫+⋅+=++= ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当a b =，∴16m ≤，故1612．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且,,AC a BC b O ==为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结,,OD AD BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为_________．（填写序号）①)0,02a b a b +≥＞＞；②()22+20,0;a b ab a b ≥＞＞()20,011a b a b ≥+＞＞()0,02a b a b +≥＞＞【正确答案】①③【分析】先明确2a b +得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于22a b +在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项.【详解】由题意可知,2+=+===a b AB a b OA OB OD ，由Rt Rt ACD DCB ∽ 可知CD AC BC CD=，即2CD AC BC ab =⋅=，所以CD =；在Rt OCD △中，OD CD >，即0,0)2a b a b +>>当OD AB ⊥时，,O C 点重合，a b =，此时0,0)2a b a b +=>>，所以①正确；在Rt OCD △中，Rt Rt DEC DCO ∽ 可得CD DE DO CD=即2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b ====+++，由于CD DE >111a b>+，当a b =时，CD DE =,111a b =+，所以③正确；由于22a b +在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故①③．二、单选题13．下列说法中，真命题的个数是（）①“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要非充分条件；②“A B A ⋃=”的充要条件是“B A ⊆”；③空集是任何集合的真子集A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①②，利用空集的意义判断③作答.【详解】①当a b >且c d >时，由不等式性质得a c b d +>+，但是当a c b d +>+成立时，a b >且c d >不一定成立，如4,5,3,1a b c d ====，满足a c b d +>+，所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要非充分条件，①正确；②因为A B A B A =⇔⊆ ，所以“A B A ⋃=”的充要条件是“B A ⊆”，②正确；③因为空集是任何非空集合的真子集，所以③错误，所以真命题的个数是2．故选：C14．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【正确答案】D 【分析】根据幂函数y x α=在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值．【详解】由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>，结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32-．故选：D.15．设,,a b c 都是正数，且82025a b c ==，则下列等式正确的是（）A ．1243c b a =-B ．111c a b =+C ．121a c b=-D ．122b c a =+【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用指数式、对数式互化，再利用对数换底公式及对数运算求解作答.【详解】因为,,a b c 都是正数，设820251a b c M ===>，则82025log ,log ,log a M b M c M ===，即有111log 8,log 20,log 25M M M a b c ===，显然4log 25log 82log 203M M M +=，所以1423c a b +=，即1243c b a=-，A 正确；11132log 8log 20log 25log 05M M M M a b c +-=+-=≠，B 不正确；12132()log 8log 202log 25log 0125M M M M a c b --=+-=≠，C 不正确；2212log 252log 8log 20log 20000M M M M c a b+-=+-=≠，D 不正确.故选：A16．已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a c x b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（）A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=【正确答案】D【分析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，即220x bx a x bx a c x ⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃，则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤，设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<，所以0c n -=，n c =，1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，则11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+，又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-，所以m 是2x bx a c x ++=-的一根，所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=．故选：D ．关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．三、解答题17．已知21,0,abc a b c =++=且0c >(1)求证：a b +≤-(2)求c 的最小值，并求此时a 与b 的值.【正确答案】(1)证明见解析(2)ca b ==【分析】（1）将已知等式变形可得210ab c =>，0a b c +=-<，即可判断a<0，0b <，利用基本不等式即可证得结论．（2）由（1）中结论及21ab c =可得12c c-- ，计算可得c 的取值范围，从而得解．【详解】（1）证明：因为21abc =，0a b c ++=，0c >，所以210ab c =>，0a b c +=-<，所以a<0，0b <，所以()()a b -+-，当且仅当a b =时等号成立，所以a b +-（2）解：由（1）得12c c-- ，因为0c >，所以c当且仅当a b a b -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，即2a b ==时等号成立，所以c 2a b ==-．18．本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2 m a 的老房子进行平坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等.若改造到面积的一半时，所用时间需10年.已知道今年为止，平改坡剩余面积为原来的2.（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？【正确答案】（1）6.70%；（2）工程已经进行了5年【分析】（1）设出每年平改坡的百分比，根据改造到面积的一半时，所用时间需10年列方程，解方程求得每年平改坡的百分比.（2）根据今年为止，平改坡剩余面积为原来的2列方程，解方程求得该平改坡工程已进行的时间.【详解】（1）设每年平改坡的百分比为()01x x <<，则()10112a x a -=，即110112x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得110112x ⎛⎫=-≈ ⎪⎝⎭0.0670 6.70%=（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则()1na x a -，即11021122n ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5n =所以.到今年为止，该工程已经进行了5年.本小题主要考查实际生活中的数学应用问题，考查指数方程的解法，属于基础题.19．（1）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，求证：,,A B C 中至少有一个角大于或等于60︒；（2）已知为不全相等的正数，且1abc =，求,,a b c111a b c++＜．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据已知条件，结合反证法，即可求解．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【详解】证明：（1）假设结论不成立，即060A <<︒，060B <<︒，060C <<︒，则180A B C ++<︒，这与=180A B C ++︒相矛盾，所以假设不成立，所以,,A B C 中至少有一个角大于或等于60︒；（2）因为,,a b c 都是正数，且1abc =，所以111111,,a b b c a c +≥=+≥=+≥=以上三个不等式相加，得11122a b c ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，又因为,,a b c 为不全相等的正数，所以取不到等号，111a b c++．20．已知函数f （x ）＝（m +1）x 2﹣mx +m ﹣1（m ∈R ）．(1)若不等式()0f x <的解集是空集，求m 的取值范围；(2)当m ＞﹣2时，解不等式f （x ）≥m ；(3)若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[﹣1，1]⊆D ，求m 的取值范围．【正确答案】(1)m 的取值范围为3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)当1m =-，不等式的解集为[1,)+∞，当1m >-时，不等式的解集为1,[1,)1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦，当21m -<<-时，不等式的解集为11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦；(3)3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭．【分析】（1）分10m +=和10m +≠两种情况求解即可，（2）分1,1,21m m m =->--<<-三种情况解不等式，（3）由条件知对任意的[1,1]x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即2211x m x x -+≥-+恒成立，然后求出2211x y x x -+=-+的最大值即可【详解】（1）当10m +=时，即1m =-，则由()20f x x =-<，得2x <，不合题意，当10m +≠，即1m ≠-时，由不等式()0f x <的解集为∅得210Δ4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩，解得3m ≥，所以m 的取值范围为23,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）因为()f x m ≥，所以()2110m x mx +--≥，即[(1)1](1)0m x x ++-≥，当10m +=，即1m =-时，解得1x ≥，所以不等式的解集为[1,)+∞，当10m +>，即1m >-时，1()(1)01x x m +-≥+，因为101m -<+，所以不等式的解集为1,[1,)1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦，当10+<m ，即21m -<<-时，1(1)01x x m +-≤+，因为21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+，所以不等式的解集为11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦，综上，当1m =-，不等式的解集为[1,)+∞，当1m >-时，不等式的解集为1,[1,)1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦ ，当21m -<<-时，不等式的解集为11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦；（3）因为不等式()0f x ≥的解集为D ，且[]1,1D -⊆，所以对任意的[1,1]x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即22(1)1m x x x -+≥-+，因为22131(024x x x -+=-+>所以22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立，令2t x =-，则[1,3]t ∈，2x t =-，所以2222131(2)(2)1333x t t x x t t t t t t-===-+---+-++-，由基本不等式可得3y t t =+≥=3t t =，即t =所以当2x =221x x x --+取最大值，最大值为13-+，所以m的取值范围为3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.21．已知集合{}()*1,2,3,,2N A n n =∈ ，对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P ．(1)当10n =时，试判断集合{}|9B x A x =∈>和{}|31,N*C x A x k k =∈=-∈是否具有性质P 并说明理由；(2)当时1000n =，若集合S 具有性质P ，①判断集合{}2021|T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②求集合中S 元素个数的最大值．【正确答案】(1)B 不具有性质P ，C 具有性质P ，理由见解析(2)①T 具有性质P ，理由见解析；②1333【分析】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈= ＞，根据性质P 的定义可知其不具有性质P ；{}|31,N*C x A x k k =∈=-∈，令110m =<，利用性质P 的定义可验证；（2）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A = ，①根据{}2021|T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义即可验证；②设集合S 有个q 元素，由①得，任取一个元素,12000x S x ∈≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000，从而得到集合S 与集合T 中必有一个至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析即可求出20002q q q r +≤+≤，即20002q q +≤，解此不等式即可得出答案.【详解】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈= ＞不具有性质P ，因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中的两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立，集合{}|31,N*C x A x k k =∈=-∈具有性质P ，因为可取110,m =<，对于该集合中任一元素()11221231,31,N*c k c k k k =-=-∈，都有121231c c k k -=-≠；（2）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A = ，①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2021|T x x S =-∈一定具有性质P ，首先因为{}2021|T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,2000x ∈ ，从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以T A ⊆，由S 具有性质P ，可得存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，对于上述正整数m ，从集合{}2021|T x x S =-∈中任取一对元素11222001,2001t x t x =-=-，其中12,x x S ∈，则有1212t t s s m -=-≠，所以集合{}2021|T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有个q 元素，由①得，若S 集合具有性质P ，那么集合{}2021|T x x S =-∈一定具有性质P ，任取一个元素,12000x S x ∈≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000，所以集合S 与集合T 中必有一个至少存在一半元素不超过1000，不妨设S 中有,N *2q r r r ⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭个元素不超过1000，分别记为12,,,r b b b ，由集合S 具有性质P ，得存在正整数1000m ≤，使得对S 中任意两个元素12,s s ，都有12s s m -≠，所以12,,,r b m b m b m +++ 都不是S 中的元素，又100010002000r b m +≤+=，故12,,,r b m b m b m +++ 都是A 中的元素，即集合A 中至少有r 个元素不在子集S 中，因此20002q q q r +≤+≤，所以20002q q +≤，解得1333q ≤，当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S = 时，取667m =，易得集合S 中的任意两个元素12,s s ，都有12667s s -≠，即集合S 具有性质P ，此时集合S 中有1333个元素，因此集合S 中元素个数的最大值为1333．本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析.。

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．函数f（x）＝的定义域为．2．已知集合，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝3．不等式＞2的解集是4．“若a＞1且b＞2，则a+b＞3”的否命题是5．已知﹣1＜a＜b＜1，则a﹣b的取值范围是6．若A＝{x||x|＜a}，B＝{x|x＜﹣2}，且A∩B＝∅，则a的取值范围是7．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x﹣2）＝x2﹣x+1，则f（2x+1）＝9．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为．10．已知函数，g（x）＝x2﹣3ax+2a2（a＜0），若不存在实数x使得f（x）＞1和g（x）＜0同时成立，则a的取值范围是11．当x∈R+时，可以得到不等式，，…，由此可以推广为，则P＝12．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i、j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个属于集合A，现给出以下四个命题：①数集{0，1，3，5，7}具有性质P；②数集{0，2，4，6，8}具有性质P；③若数集A具有性质P，则a1＝0；④若数集A＝{a1，a2，…，a5}（0≤a1＜a2＜…＜a5）具有性质P，则a1+a3＝2a2；其中真命题有（填写序号）二.选择题13．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁I S D．（M∩P）∪∁I S14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝x与B．与C．与D．f（x）＝2x（x∈{1}）与g（x）＝2x2（x∈{1}）15．已知a，b∈R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题17．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若B∩∁R A中只有一个整数，求实数m的取值范围．18．练习册第21页的题“a＞0，b＞0，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当a＝b时等号成立），∴．学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若a＞0，b＞0，c＞0，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到n（n≥2）个正数a1、a2、…、a n﹣1、a n的情形，并证明．19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：①y与10﹣x和x的乘积成正比；②当x＝5时，y＝100；③，其中t为常数，且．（1）设y＝f（x），求出f（x）的表达式，并求出y＝f（x）的定义域；（2）求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．20．设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由；21．已知x＞0，设a＝x2+2x+1，b＝x2+7x+1，c＝mx（m＞0，m为常数）．（1）求的最小值及相应的x的值；（2）设A＝{x|a﹣c＝0}，若A∩R+＝∅，求m的取值范围；（3）若对任意x＞0，以、、为三边长总能构成三角形，求m的取值范围．2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．【解答】解：由，解得0≤x≤2且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，2]．故答案为：[0，1）∪（1，2]．2．【解答】解：解1﹣x2≥0得，﹣1≤x≤1；∴A＝[﹣1，1]；又x2≥0；∴B＝[0，+∞）；∴A∩B＝[0，1]．故答案为：[0，1]．3．【解答】解：∵，∴＞0，即＜0，解得：﹣＜x＜0，故不等式的解集是（﹣，0），故答案为：（﹣，0）4．【解答】解：命题“若a＞1且b＞2，则a+b＞3”的否命题是“若a≤1或b≤2，则a+b≤3”，故答案为：若a≤1或b≤2，则a+b≤35．【解答】解：∵﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1∴﹣1＜﹣b＜1，∴﹣1﹣1＜a﹣b＜1+1∴﹣2＜a﹣b＜2，又a＜b，∴a﹣b＜0故答案为：（﹣2，0）6．【解答】解：根据题意得，A＝{x|﹣a＜x＜a}；B＝{x|x＜﹣2}，且A∩B＝∅，当A＝∅时，a≤0；当A≠∅时，有﹣a≥﹣2，∴a≤2，所以a的取值范围为（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．7．【解答】解：由题意，a＝2时，不等式为﹣4＜0恒成立，满足题意，所以a＝2成立；a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，等价于，解得﹣2＜a＜2；综上得到a的范围是（﹣2，2]；故答案为：（﹣2，2]．8．【解答】解：令x﹣2＝t，则x＝t+2，∴f（t）＝（t+2）2﹣（t+2）+1＝t2+3t+3，∴f（2x+1）＝（2x+1）2+3（2x+1）+3＝4x2+10x+7，故答案为：4x2+10x+7．9．【解答】解：∵x＞a，∴x﹣a＞0，∴2x+＝2（x﹣a）++2a≥2+2a＝2a+4，即2a+4≥7，所以a≥，即a的最小值为当且仅当x＝a+1时取等号．故答案为．10．【解答】解：由f（x）＞1，得＞1，化简整理得＜0，解得﹣2＜x＜﹣1或2＜x＜3，即f（x）＞1的解集为A＝{x|﹣2＜x＜﹣1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2﹣3ax+2a2＜0，即（x﹣a）（x﹣2a）＜0，g（x）＜0的解集为：B＝{x|2a＜x＜a，a＜0}，由题意A∩B＝∅，因此a≤﹣2或﹣1≤2a＜0，故a的取值范围是{a|a≤﹣2或﹣≤a＜0}，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣，0）．11．【解答】解：∵x∈R+时可得到不等式，，…，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方∴p＝n n故答案为：n n12．【解答】解：①数集A＝{0，1，3，5，7}，由于7﹣5＝2，7+5＝12，2，12∉A，故不具有性质P；②数集A＝{0，2，4，6，8}，由于0，2，4，6，8构成等差数列，首项为0，公差为2，具有性质P；③若数集A具有性质P，可令i＝j可得2a i与0两数中至少有一个属于集合A，当i＝n时，2a n∉A，即有0∈A则a1＝0正确；④若数集A＝{a1，a2，…，a5}（0≤a1＜a2＜…＜a5）具有性质P，由③可得a1＝0，令j＝n，i＞1，则∵“a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A”，∴a i+a j不属于A，∴a n﹣a i属于A．令i＝n﹣1，那么a n﹣a n﹣1是集合A中某项，a1不行，是0，a2可以．如果是a3或者a4，那么可知a n﹣a3＝a n﹣1，那么a n﹣a2＞a n﹣a3＝a n﹣1，只能是等于a n了，矛盾．所以令i＝n﹣1可以得到a n＝a2+a n﹣1，即有a3＝2a2，则a1+a3＝2a2，故④正确．故答案为：②③④．二.选择题13．【解答】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是∁I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故选：C．14．【解答】解：A．f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；B.的定义域为{x|x≤﹣2，或x≥2}，的定义域为{x|x≥2}，定义域不同，不是同一函数；C.，f（0）＝﹣1，，g（0）＝1；（0，﹣1）是f（x）图象上的点，不在g（x）的图象上，不是同一函数；D．f（x）＝2x（x∈{1}）表示点（1，2），g（x）＝2x2（x∈{1}）表示点（1，2），函数图象相同，是同一函数．故选：D．15．【解答】解：由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a＝b＝2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．16．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．三.解答题17．【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B“是“x∈A“的充分条件，所以B⊆A，所以或2m≥1，解得：﹣≤m或m≥，所以m；（2）因为A＝[﹣1，2]，所以∁R A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），又B∩∁R A中只有一个整数，所以这个整数必定是﹣2，故2m∈[﹣3，﹣2），所以m∈[﹣，﹣1）18．【解答】证明：（1）∵，∴，当且仅当a＝b＝c时等号成立；（2）∵+a2++a3+…++a1≥2a1+2a2+…+2a n﹣1+2a n，∴．当且仅当a1＝a2＝…＝a n﹣1＝a n时取等号19．【解答】解：（1）由题意可设y＝k（10﹣x）x，∵当x＝5时，y＝100，∴k（10﹣5）×5＝100，∴k＝4，∴y＝f（x）＝4x（10﹣x），∵，t∈[，1]，∴x∈[0，]，（2）由（1）可知y＝4x（10﹣x）＝﹣4（x﹣5）2+100，∵x∈[0，]，t∈[，1]，令f（t）＝，则f（t）＝10•＝10（）＝10（1﹣），显然f（t）在[，1]上是单调递增，∵f（）＝5，∴≥5，∴y＝﹣4（x﹣5）2+25，x∈（0，]，当x＝5时，y max＝25，因此售价y的最大值为25万元，此时的技术改造投入的资金为5万元20．【解答】证明：（1）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．2∈A，∴＝﹣1∈A，＝，∈A，∴A中还有另外两个元素﹣1，．解：（2）∵x∈A，，，，，，故集合A中至少有3个元素，∴集合A不是双元素集合．21．【解答】解：（1）由已知得＝＝（2x++9），∵x＞0，∴x+≥2，∴的最小值为，当x＝1时取等号；（2）A＝{x|a﹣c＝0}，即有A＝{x|x2+2x+1＝mx}，由m＞0，x2+2x+1＝（x+1）2≥0，可得x＞0，由m＝x++2≥2+2＝4，当且仅当x＝1时，取得等号，又A∩R+＝∅，可得m＜4，即m的范围是（0，4）；（3）∵b＞a＞0，∴＞＞0．∴，即对x＞0恒成立．∴对x＞0恒成立，∵+≥+＝5（x＝1取得等号），∴5＞，即m＜25．又∵﹣＝≤＝1，∴＞1，即m＞1．综上得1＜m＜25．。

上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期数学期中考试(解析版)

上海市2018-2019学年七宝中学高一上学期数学期中考试一. 填空题1.函数的定义域为________【答案】【解析】【分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域.【详解】由题意得，即定义域为【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.2.已知集合，，则________【答案】【解析】【分析】求出集合A,B，即可得到.【详解】由题集合集合故.故答案为.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题3.不等式的解集是________【答案】【解析】【详解】不等式，则故答案为.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．4.“若且，则”的否命题是__________________．【答案】若或，则【解析】【分析】根据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题.5.已知，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】作出可行域，目标函数z=a-b可化为b=a-z，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.若，，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对a进行分类讨论，根据A与B的交集为空集确定出a的范围即可．【详解】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____【答案】【解析】略8.若函数，则________【答案】【解析】【分析】设,求出的解析式，再将代入即可.【详解】设,则则即即答案为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，涉及换元和函数的性质，属中档题．9.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【解析】【分析】关于的不等式在上恒成立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得的最小值．【详解】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．10.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．11.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【解析】【分析】本题考查归纳推理，要先考查前几个不等式，总结出规律再研究推广后的式子中的p值【详解】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向12.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【解析】【分析】利用a i+a j与a j-a i两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．【详解】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．二. 选择题13.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是C U S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C．【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．14.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【解析】【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故选D.【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属于基础题．15.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．【详解】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想．16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】试题分析：对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.三. 解答题17.设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由“”是“”的必要条件，得B⊆A，然后分，m＞三种情况讨论求解实数m的取值范围；（2）把中只有一个整数，分，m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．【详解】(1)若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若(∁R A)∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是.【点睛】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．18.练习册第21页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），∴.学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比可得证明；（2）根据题设例题证明过程，类比可得证明；【详解】（1），∴，当且仅当时等号成立；（2）故.当且仅当时等号成立；【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：① 与和的乘积成正比；② 当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）列出f（x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，；（2）因为定义域中函数在上单调递减，故.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．【详解】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）代入利用基本不等式即可得出；（2），若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得对x＞0恒成立，结合即可得出．【详解】（1）。

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）满足{a}⊂M⊂{a .b.c.d}的集合M 的个数是___ ．2.（填空题.4分）已知集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则 A =___ ．3.（填空题.4分）设a 是实数.集合M={x|x 2+x-6=0}.N={y|ay+2=0}.若N⊆M .则a 的取值集合是 ___ ．4.（填空题.4分）设α：1≤x ＜4.β：x ＜m.若α是β的充分条件.则m 的范围是___ ．5.（填空题.4分）已知关于x 的不等式x 2-ax-b ＜0的解集为{x|2＜x ＜3}.则不等式bx 2-ax-1＜0的解集为___ ．6.（填空题.4分）设a 2x =2.a ＞0.则a 3x +a −3xa x +a −x=___ ． 7.（填空题.5分）设实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y≤9.则 x 3y4 的最大值是___ ． 8.（填空题.5分）计算（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=___ ．9.（填空题.5分）已知实数a.b.c 满足a+b+c=0.且a ＞b ＞c.则 ca 的范围是___ ．10.（填空题.5分）若集合A={x|x 2-（a+2）x+2-a ＜0.x∈Z}中有且只有一个元素.则正实数a 的取值范围是___ ．11.（填空题.5分）已知a.b 为正实数.且a+b=2.则a 2+2a +b 2b+1的最小值为___ ． 12.（填空题.5分）集合M={6666.-11135.2333.10.99111.-1.-198.1000.0.π}有10个元素.设M 的所有非空子集为M i （i=1.2.….1023）.每一个M i 中所有元素乘积为m i （i=1.2.….1023）.则m 1+m 2+m 3+…+m 1023=___ ．13.（单选题.5分）设a ＞0．下列计算中正确的是（） A.a 23×a 32=a B.a 23 ÷a 32 =a C.a -4×a 4=0 D.（a 23） 32=a14.（单选题.5分）已知log 189=a.18b =5．则log 3645等于（） A. a+b2+a B. a+b 2−aC. a+b2aD. a+ba215.（单选题.5分）已知三个不等式：ab＞0.bc-ad＞0. ca - db＞0（其中a、b、c、d均为实数）.用其中两个不等式作为条件.余下的一个不等式作为结论组成一个命题.可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.316.（单选题.5分）设实数a1.a2.b1.b2均不为0.则“ a1a2=b1b2成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件17.（问答题.14分）解不等式（1）|2x-3|＞3x-2；（2）1|2x−3|＞1；（3）1x−4≤1- x4−x．18.（问答题.14分）证明不等式．（1）已知a.b.c是正数.求证：√(1−a)(1−b)≥1+ √ab；（2）已知a.b.c是非负实数.求证：a3+b3+c3≥3abc．19.（问答题.14分）某森林出现火灾.火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延.消防站接到警报立即派消防队员前去.在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2.所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元.另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元.而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火.用t分钟将火扑灭.试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火.才能使总损失最少？（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）20.（问答题.16分）已知集合A={a1.a2.….a k（k≥2）}.其中a i∈Z（i=1.2.….k）.由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a.b）|a∈A.b∈A.a+b∈A}.T={（a.b）|a∈A.b∈A.a-b∈A}．其中（a.b）是有序数对.集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A.总有-a∉A.则称集合A 具有性质P．（Ⅰ）检验集合{0.1.2.3}与{-1.2.3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合.写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A.证明：n≤k(k−1)2；（Ⅲ）判断m和n的大小关系.并证明你的结论．21.（问答题.18分）对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab ＞cd.那么称点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.同时点（c.d）是点（a.b）的“下位点”．（1）试写出点（3.5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.判断点P（a+c.b+d）是否既是点（c.d）的“上位点”.又是点（a.b）的“下位点”.并证明你的结论；（3）设正整数n满足以下条件：对任意元素m∈{t|0＜t＜2020.t∈Z}.总存在正整数k.使得点（n.k）既是点（2020.m）的“下位点”.又是点（2021.m+1）的“上位点”.求正整数n的最小值．2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）满足{a}⊂M⊂{a.b.c.d}的集合M的个数是___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：由题意利用子集、真子集的定义.求得满足条件的M的个数．【解答】：解：∵{a}⊂M⊂{a.b.c.d}.故M中至少含有2个元素.其中一个元素是a.至多含有3个元素.若M中含有2个元素.则M共有C31 =3个.若M中含有3个元素.则M共有C32 =3个.故满足条件的M共有3+3=6个.故答案为：6．【点评】：本题主要考查子集、真子集的定义.属于基础题．2.（填空题.4分）已知集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则A =___ ．【正确答案】：[1][-2.-1）∪{2}【解析】：根据题意.由补集的定义直接计算可得答案．【解答】：解：根据题意.集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则A =[-2.-1）∪{2}.故答案为：[-2.-1）∪{2}．【点评】：本题考查补集的计算.关键是掌握补集的定义.属于基础题．3.（填空题.4分）设a是实数.集合M={x|x2+x-6=0}.N={y|ay+2=0}.若N⊆M.则a的取值集合是 ___ ．}【正确答案】：[1]{0.-1. 23【解析】：可以求出M={-3.2}.根据N⊆M.然后讨论a是否为0：a=0显然满足题意；a≠0时.可得出- 2a=-3或2.然后解出a即可．【解答】：解：由题意解得M={-3.2}.∵N⊆M.① a=0时.N=∅.符合题意；② a≠0时.N={- 2a }.∴- 2a=-3或2.解得a= 23或-1.∴A={0.-1. 23}.∴A的取值集合为{0.-1. 23}．故答案为：{0.-1. 23}．【点评】：本题考查了集合的表示.子集的含义.分类讨论的思想方法.考查了计算能力.属于基础题．4.（填空题.4分）设α：1≤x＜4.β：x＜m.若α是β的充分条件.则m的范围是___ ．【正确答案】：[1][4.+∞）【解析】：根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可．【解答】：解：α：1≤x＜4.β：x＜m.若α是β的充分条件.则m≥4.故答案为：[4.+∞）．【点评】：本题考查了充分必要条件.考查集合的包含关系.是一道基础题．5.（填空题.4分）已知关于x的不等式x2-ax-b＜0的解集为{x|2＜x＜3}.则不等式bx2-ax-1＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]{x|x＜- 12 .或x＞- 13}【解析】：由已知中不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}.我们根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系.结合韦达定理.我们易构造关于a.b的方程.解方程求出a.b的值.解不等式即可求出答案．【解答】：解：∵不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}.∴2.3为方程x2-ax-b=0的两个根则2+3=a=52•3=-b=6.得b=-6则不等式bx 2-ax-1＜0可化为 -6x 2-5x-1＜0 解得x ＜- 12 .或x ＞- 13故不等式的解集为：{x|x ＜- 12 .或x ＞- 13 } 故答案为：{x|x ＜- 12 .或x ＞- 13 }【点评】：本题考查的知识点是一元二次不等式的应用.其中根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系.结合韦达定理.构造关于a.b 的方程.解方程求出a.b 的值.是解答本题的关键．6.（填空题.4分）设a 2x =2.a ＞0.则a 3x +a −3xa x +a −x=___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：根据立方和公式即可求出．【解答】：解：a 2x =2.a ＞0. 则a x =2 12 .原式=(a x +a −x )(a 2x −1+a −2x )a x +a −x =a 2x -1+a -2x =2-1+ 12 = 32 .故答案为： 32 ．【点评】：本题考查了指数幂的运算.考查了运算能力.属于基础题． 7.（填空题.5分）设实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9.则 x 3y 4 的最大值是___ ．【正确答案】：[1]27【解析】：首先分析题目由实数x.y 满足条件3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9．求 x 3y 4 的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到： (x 2y )2∈[16，81] . 1xy 2∈[18，13] .代入 x 3y 4 求解最大值即可得到答案．【解答】：解：因为实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9.则有： (x 2y )2∈[16，81] . 1xy 2∈[18，13] .再根据x 3y4=(x2y)2•1xy2∈[2，27] .即当且仅当x=3.y=1取得等号.即有x 3y4的最大值是27．故答案为：27．【点评】：此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想.等价转换思想在考试中应用不是很广泛.但是对于特殊题目能使解答更简便.也需要注意.属于中档题．8.（填空题.5分）计算（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：把中间项的真数的指数2拿到前面后构成完全平方式.进一步运用对数式的运算性质可求解；【解答】：解：（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=lg250+2lg2×lg50+lg22=（lg50+lg2）2=（lg100）2=22=4.故答案为：4．【点评】：本题考查了对数的运算性质.考查了运算能力.属于基础题．9.（填空题.5分）已知实数a.b.c满足a+b+c=0.且a＞b＞c.则ca的范围是___ ．【正确答案】：[1] (−2，−12)【解析】：根据条件可得a＞0，ca ＞−2和c＜0. −2＜ac＜0 .从而求出ca的范围．【解答】：解：∵a+b+c=0.且a＞b＞c. ∴a+a+c=2a+c＞0.∴ a＞0，ca＞−2 . 同理a+c+c=a+2c＜0.∴a＜-2c.∴ c＜0，−2＜ac ＜0，ca＜−12.∴ −2＜ca ＜−12．∴ c a 的范围为(−2，−12)．故答案为：(−2，−12)．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.属基础题．10.（填空题.5分）若集合A={x|x 2-（a+2）x+2-a ＜0.x∈Z}中有且只有一个元素.则正实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (12，23]【解析】：因为集合A 中的条件是含参数的一元二次不等式.首先想到的是十字相乘法.但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f （x ）＜g （x ）的形式.然后数形结合来解答.需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．【解答】：解：∵x 2-（a+2）x+2-a ＜0 且a ＞0 ∴x 2-2x+2＜a （x+1）令f （x ）=x 2-2x+2；g （x ）=a （x+1） ∴A={x|f （x ）＜g （x ）.x∈Z}∴y=f （x ）是一个二次函数.图象是确定的一条抛物线；而y=g （x ）一次函数.图象是过一定点（-1.0）的动直线．又∵x∈Z .a ＞0．数形结合.可得： 12＜a ≤23 ．故答案为：（ 12 . 23 ]【点评】：此题主要考查集合A 的几何意义的灵活运用.利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．11.（填空题.5分）已知a.b 为正实数.且a+b=2.则 a 2+2a + b 2b+1 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]6+2√23【解析】：由a.b为正实数.且a+b=2.变形为：a 2+2a+b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+ 1b+1+1= 13（a+b+1）（2a + 1b+1）+1.利用基本不等式的性质即可得出．另解：由a.b为正实数.且a+b=2.变形可得a 2+2a+b2b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+13−a+1=f（a）.0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】：解：∵a.b为正实数.且a+b=2.∴ a2+2a +b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+ 1b+1+1= 13（a+b+1）（2a+ 1b+1）+1= 13（3+ 2(b+1)a+ ab+1）+1≥ 13（3+2 √2）+1= 6+2√23．当且仅当a=6-3 √2 .b=3 √2 -4时取等号．另解：∵a.b为正实数.且a+b=2.∴ a2+2a +b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+13−a+1=f（a）.0＜a＜2．f′（a）= −2a2 + 1(a−3)2= −(a−6−3√2)(a−6+3√2)(a2−3a)2.令f′（a）＞0.解得6−3√2＜a＜2 .此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0.解得0＜a＜6−3√2 .此时函数f（a）单调递减．∴当且仅当a=6-3 √2时函数f（a）取得极小值即最小值.f(6−3√2) = 6+2√23．故答案为：6+2√23．【点评】：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．12.（填空题.5分）集合M={6666.-11135.2333.10.99111.-1.-198.1000.0.π}有10个元素.设M 的所有非空子集为M i（i=1.2.….1023）.每一个M i中所有元素乘积为m i（i=1.2.….1023）.则m1+m2+m3+…+m1023=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：这1023个子集分成以下几种情况：① 含0的子集有512个.这些子集均满足m i=0；② 不含0.含-1且还含有其它元素的子集有255个. ③ 不含0.不含-1但含有其它元素的子集有255个. ④ 只含-1的子集一个{-1}.满足m i=-1；根据② ③ 中的集合是一一对应的.且满足m i对应成相反数.可得答案．【解答】：解：∵M的所有非空子集为M i（i=1.2.….1023）.这1023个子集分成以下几种情况：① 含0的子集有512个.这些子集均满足m i=0；② 不含0.含-1且还含有其它元素的子集有255个.③ 不含0.不含-1但含有其它元素的子集有255个.④ 只含-1的子集一个{-1}.满足m i=-1；其中② ③ 中的集合是一一对应的.且满足m i对应成相反数.故m1+m2+m3+…+m1023=512×0+255×0-1=-1.故答案为：-1【点评】：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断.分类讨论思想.难度较大．13.（单选题.5分）设a＞0．下列计算中正确的是（）A.a 23 ×a 32 =aB.a 23 ÷a 32 =aC.a-4×a4=0D.（a 23）32 =a【正确答案】：D【解析】：由题意利用分数指数幂的运算法则计算各个式子.从而得出结论．【解答】：解：∵ a 23• a32 = a23+32 = a136 .故A错误；：∵ a 23 ÷ a32 = a23−32 = a−56 .故B错误；∵a-4×a4=a-4+4=a0=1.故C错误；∵（a 23）32 = a23•32 =a1=a.故D正确.故选：D．【点评】：本题主要考查分数指数幂的运算法则应用.属于基础题．14.（单选题.5分）已知log189=a.18b=5．则log3645等于（）A. a+b2+aB. a+b2−aC. a+b2aD. a+ba2【正确答案】：B【解析】：利用对数的换底公式即可得出 log 32 . log 35 ．对 log 3645 再利用对数的换底公式即可得出．【解答】：解：∵18b =5.∴ b =log 185 = log 352+log 32 .又 a =log 39log 318=22+log 32 .联立解得 {log 32=2−2a a log 35=2b a ． ∴ log 3645 = log 39×5log 34×9 = 2+log 352+2log 32 = 2+2b a 2+2×2−2a a = a+b 2−a．故选：B ．【点评】：熟练掌握对数的换底公式和对数的运算法则是解题的关键．15.（单选题.5分）已知三个不等式：ab ＞0.bc-ad ＞0. c a - d b ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件.余下的一个不等式作为结论组成一个命题.可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：D【解析】： ① 由ab ＞0.bc-ad ＞0可得出 c a - d b ＞0． ② bc -ad ＞0.两端同除以ab.得 c a - d b ＞0． ③ {bc −ad ＞0c a −d b ＞0⇒{bc −ad ＞0bc−ad ab＞0⇒ ab ＞0．这三个都是正确命题．【解答】：解：由ab ＞0.bc-ad ＞0可得出 c a - d b ＞0．bc-ad ＞0.两端同除以ab.得 c a - d b ＞0．同样由 c a - d b ＞0.ab ＞0可得bc-ad ＞0. {bc −ad ＞0c a −d b ＞0⇒{bc −ad ＞0bc−ad ab＞0⇒ ab ＞0．故选：D ．【点评】：本题考查基本不等式的性质和应用.解题时要认真审题.仔细求解．16.（单选题.5分）设实数a 1.a 2.b 1.b 2均不为0.则“ a 1a 2=b1b 2 成立”是“关于x 的不等式a 1x+b 1＞0与a 2x+b 2＞0的解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】：解：若a1a2=b1b2=m.（m≠0）.则a1=ma2.b1=mb2.∴不等式a1x+b1＞0等价为m（a2x+b2）＞0.若m＞0.则m（a2x+b2）＞0.等价为a2x+b2＞0.此时两个不等式的解集相同.若m＜0.m（a2x+b2）＞0.等价为a2x+b2＜0.此时两个不等式的解集不相同．即充分性不成立．若关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同.即a1a2＞0.∵a1.a2.b1.b2均不为0.∴若a1.a2＞0.则不等式的解为x＞−b1a1．x＞−b2a2.则−b1a1 = −b2a2.即a1a2=b1b2成立.若a1.a2＜0.则不等式的解为x＜−b1a1．x＜−b2a2.则−b1a1 = −b2a2.即a1a2=b1b2成立.即必要性成立.故“ a1a2=b1b2成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的必要不充分条件.故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用不等式的解法与系数之间的关系是解决本题的关键.比较基础．17.（问答题.14分）解不等式（1）|2x-3|＞3x-2；（2） 1|2x−3| ＞1；（3） 1x−4 ≤1- x 4−x ．【正确答案】：【解析】：（1）根据|2x-3|＞3x-2.直接去绝对值后.解不等式即可；（2）由 1|2x−3| ＞1.可得|2x-3|＜1且2x-3≠0.然后解不等式即可；（3）将 1x−4 ≤1- x 4−x .转化为 5−2x x−4≤0 .然后解不等式即可．【解答】：解：（1）∵|2x -3|＞3x-2.∴ {x ≥322x −3＞3x −2 或 {x ＜32−2x +3＞3x −2. ∴x∈∅或x ＜1.∴不等式的解集为{x|x ＜1}．（2）∵ 1|2x−3| ＞1.∴|2x -3|＜1且2x-3≠0.∴-1＜2x-3＜1且 x ≠32 .∴1＜x ＜2且 x ≠32 .∴不等式解集为{x|1＜x ＜2且 x ≠32 }．（3）∵ 1x−4 ≤1- x 4−x .∴ 1x−4≤4−2x 4−x . ∴ 5−2x x−4≤0 .∴ {(5−2x )(x −4)≤0x −4≠0. ∴x∈ (−∞，52]∪(4，+∞)∴不等式的解集为 (−∞，52]∪(4，+∞)【点评】：本题考查了绝对值不等式和分式不等式的解法.考查了转化思想.属基础题．18.（问答题.14分）证明不等式．（1）已知a.b.c 是正数.求证： √(1−a )(1−b ) ≥1+ √ab ；（2）已知a.b.c 是非负实数.求证：a 3+b 3+c 3≥3abc ．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得a+b ≥2√ab .得到1+ab+a+b≥1+2 √ab+ab .左边因式分解.右边化为完全平方式.开方得结论；（2）把a3+b3、a3+c3、b3+c3展开立方和公式.相加后再由基本不等式证明．【解答】：证明：（1）∵a.b是正数.∴a+b ≥2√ab .则1+ab+a+b≥1+2 √ab+ab .即（1+a）（1+b）≥1+ab+2 √ab .得√(1−a)(1−b)≥1+ √ab（当且仅当a=b时等号成立）；（2）∵a.b.c是非负实数.∴a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）≥（a+b）ab.a3+c3=（a+c）（a2-ac+c2）≥（a+c）ac.b3+c3=（b+c）（b2-bc+c2）≥（b+c）bc.当且仅当a=b=c时等号成立.三式相加得2（a3+b3+c3）≥a2b+bc2+ab2+ac2+b2c+a2c=（a2+c2）b+（b2+c2）a+（b2+a2）c≥2abc+2abc+2abc=6abc.∴a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时等号成立）．【点评】：本题考查不等式的证明.考查基本不等式的应用.考查逻辑思维能力与推理论证能力.是中档题．19.（问答题.14分）某森林出现火灾.火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延.消防站接到警报立即派消防队员前去.在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2.所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元.另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元.而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火.用t分钟将火扑灭.试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火.才能使总损失最少？（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）【正确答案】：【解析】：（1）设派x名消防员前去救火.用t分钟将火扑灭.总损失为y元.则t=5×10050x−100= 10x−2；（2）总损失为灭火材料、劳务津贴|车辆、器械、装备费与森林损失费的总和.利用基本不等式即可求出最值．【解答】：解：（1）由题意. t=5×10050x−100=10x−2．（2）设总损失为y.则y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械和装备费+森林损失费. y=125tx+100x+60×（500+100t）= 125•x•10x−2+100x+30000+60000x−2= 31450+100(x−2)+62500x−2≥31450+2√100×62500=36450．当且仅当100(x−2)=62500x−2.即x=27时.y有最小值36450．【点评】：本题考查阅读理解、建模、解模的能力、以及利用基本不等式求最值能力．20.（问答题.16分）已知集合A={a1.a2.….a k（k≥2）}.其中a i∈Z（i=1.2.….k）.由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a.b）|a∈A.b∈A.a+b∈A}.T={（a.b）|a∈A.b∈A.a-b∈A}．其中（a.b）是有序数对.集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A.总有-a∉A.则称集合A 具有性质P．（Ⅰ）检验集合{0.1.2.3}与{-1.2.3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合.写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A.证明：n≤k(k−1)2；（Ⅲ）判断m和n的大小关系.并证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合.利用集合S.T的定义写出S.T．（II）据具有性质P的集合满足a∈A.总有-a∉A.得到0∉A得到（a i.a i）∉T；当（a i.a j）∈T时.（a j.a i）∉T.求出T中的元素个数．（III）对应S中的元素据S.T的定义得到也是T中的元素.反之对于T中的元素也是s中的元素.得到两个集合中的元素相同．【解答】：（I）解：集合{0.1.2.3}不具有性质P．集合{-1.2.3}具有性质P.其相应的集合S和T是S={（-1.3）.（3.-1）}.T={（2.-1）.（2.3）}．（II）证明：首先.由A中元素构成的有序数对（a i.a j）共有k2个．因为0∉A.所以（a i.a i）∉T（i=1.2.k）；又因为当a∈A时.-a∉A时.-a∉A.所以当（a i.a j）∈T时.（a j.a i）∉T（i.j=1.2.k）．从而.集合T中元素的个数最多为12(k2−k)=k(k−1)2.即n≤k(k−1)2．（III）解：m=n.证明如下：（1）对于（a.b）∈S.根据定义.a∈A.b∈A.且a+b∈A.从而（a+b.b）∈T．如果（a.b）与（c.d）是S的不同元素.那么a=c与b=d中至少有一个不成立.从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．故（a+b.b）与（c+d.d）也是T的不同元素．可见.S中元素的个数不多于T中元素的个数.即m≤n.（2）对于（a.b）∈T.根据定义.a∈A.b∈A.且a-b∈A.从而（a-b.b）∈S．如果（a.b）与（c.d）是T的不同元素.那么a=c与b=d中至少有一个不成立.从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立.故（a-b.b）与（c-d.d）也是S的不同元素．可见.T中元素的个数不多于S中元素的个数.即n≤m.由（1）（2）可知.m=n．【点评】：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型.要重视．21.（问答题.18分）对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab ＞cd.那么称点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.同时点（c.d）是点（a.b）的“下位点”．（1）试写出点（3.5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a.b ）是点（c.d ）的“上位点”.判断点P （a+c.b+d ）是否既是点（c.d ）的“上位点”.又是点（a.b ）的“下位点”.并证明你的结论；（3）设正整数n 满足以下条件：对任意元素m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}.总存在正整数k.使得点（n.k ）既是点（2020.m ）的“下位点”.又是点（2021.m+1）的“上位点”.求正整数n 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由新定义“上位点”和“下位点”.可得其中一个满足条件的点；（2）P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”．由作差法和不等式的性质.即可得到结论；（3）由新定义“上位点”和“下位点”.可得2021m+1 ＜ n k ＜ 2020m 在m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}恒成立.推得n≥ 40412020−m 对任意m≤2019均成立.结合（2）中的结论.即可得到n 的最小值．【解答】：解：（1）（3.5）的一个“上位点”是（2.1）.一个“下位点”是（1.2）；（2）P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”．理由：因为 a b ＞ c d 可得ad-bc ＞0.a+c b+d - c d = ad+cd−bc−cd d (b+d ) = ad−bc d (b+d ) ＞0. a+c b+d - a b = ab+bc−ab−ad b (b+d ) = bc−ad b (b+d ) ＜0. 所以P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”；（3）若正整数n 满足条件： 2021m+1 ＜ n k ＜ 2020m 在m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}恒成立.由上式可得 {mn ＜2020k (m +1)n ＞2021k .因为m.n.k∈N*.所以 {0＜mn +1≤2020k 0＜2021k ≤(m +1)n −1. 所以2021（mn+1）≤2020（mn+n-1）.所以n≥ 40412020−m对任意m≤2019均成立. 所以n≥ 40412020−2019 =4041．由（2）中的结论：点（a.b ）是点（c.d ）的“上位点”.所以P （a+c.b+d ）既是点（c.d ）的“上位点”.又是点（a.b ）的“下位点”.可得当k=2m+1.n=4041时满足条件.n的最小值为4041．【点评】：本题考查新定义“上位点”和“下位点”的理解和运用.以及不等式的性质和恒成立问题解法.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．。

2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

七宝中学高一期中数学卷一、填空题1.已知集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B = R ,则实数a 的取值范围是_______.2.若集合{1,3}M =-,2{3,21,2}N a a a =-++,若{3}M N =-I ,则实数a =_______.3.命题：“若ab 不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

4.科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对(,)a b 进入其中时，会得到一个新的实数：21a b +-，如把(3,2)-放入其中，就会得到23(2)13⨯+--=，现将实数对(,3)m m -放入其中，得到实数9-，则m =________.5.设函数211()211x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，若0()3f x =，则0x =________.6.已知函数()1f x x =+,()g x =，则()()f x g x ⋅=________.7.已知不等式|1|x m -<的解集中有且只有5个整数，则实数m 的取值范围是________.8.若关于x 的不等式224x x a -≤-在R 上的解集为∅,则实数a 的取值范围是________.9.已知函数()f x 的定义域为(1,1)-,则函数()()(2)2xg x f f x =+-的定义域为________.10.已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为.11.已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______.12.对于集合M ，定义函数1()1M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩，对于两个集合M 、N ，定义集合{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数,若{1,2,4,8}A =,{2,4,6,8,10}B =,则能使()()Card X A Card X B *+*取最小值的集合X 的个数为________.二、选择题13.设命题甲“1x =”,命题乙“21x =”，那么甲是乙的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（）A.P Q ⊆B.Q P⊆ C.P Q∈ D.P Q∉15.若实数a 、b 、c 满足a b c >>,则下列不等式正确的是（）A.a b c+> B.11a cb c<-- C.||||a cbc > D.222211ab a bc c <++16.已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（）A.若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B.若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C.若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D.若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为3三、解答题17.已知集合2{|0}3x A x x -=<-,函数的()f x =定义域为集合B ,且A B ⊆,求实数a 的取值范围.18.若实数x 、y 、m 满足||||x m y m -<-,则称x 比y 接近m .(1)若23x +比4接近1,求实数x 的取值集合M ；(2)若a 、b 均属于(1)中集合M ,求证：+a b 比1ab +接近0.19.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(020100kC x x k x =≥+，为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释(0)C 的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式；（2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？20.已知M 是满足下述条件的所有函数()f x 组成的集合：对于函数()f x 定义域内的任意两个自变量1x 、2x ,均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-成立.(1)已知定义域为R 的函数()f x kx b M =+∈,求实数k 、b 的取值范围；(2)设定义域为[1,1]-的函数2()g x ax x =+,且()g x M ∉,求正实数a 的取值范围；(3)已知函数()h x =的定义域为R ,求证：()h x M ∈.21.对于正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ,3n ≥）,如果去掉其中任意一个元素i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{1,2,3,4,5}是否为“和谐集”,并说明理由；(2)求证：集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”；(3)求证：若集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素个数为奇数.七宝中学高一期中数学卷一、填空题1.已知集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B = R ,则实数a 的取值范围是_______.【答案】(,2019]-∞【分析】利用数轴,根据集合并集的定义,结合已知A B = R ,可以求出实数a 的取值范围.【详解】因为集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B = R ,所以2019a ≤,因此实数a 的取值范围是(,2019]-∞.故答案为：(,2019]-∞【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数问题,利用数轴、理解掌握集合并集的定义是解题的关键.2.若集合{1,3}M =-,2{3,21,2}N a a a =-++,若{3}M N =-I ,则实数a =_______.【答案】2-【分析】根据{3}M N =-I ,可以确定3N -∈,运用分类讨论方法进行求解,求解过程中要再计算一下M N ⋂.【详解】因为{3}M N =-I ,所以3N -∈.当33a -=-时,解得0a =,此时{3,1,2}N =-,因此{3,1}M N =- ,这与{3}M N =-I 不符,故0a =舍去；当213a +=-时,解得2a =-,此时{5,3,6}N =--,所以{3}M N =-I 符合题意；当223a +=-时,方程无实根,综上所述实数2a =-.故答案为：2-【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题,分类讨论是解题的关键.3.命题：“若ab 不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。