傅里叶变换在信号与系统系统中的应用
极坐标 傅里叶变换
极坐标傅里叶变换极坐标傅里叶变换：揭开信号处理的奥秘在现代科学与工程领域中，信号处理是一个至关重要的概念。
无论是音频、图像还是视频，信号处理技术都扮演着不可或缺的角色。
而傅里叶变换作为信号处理中的一项基础工具，其极坐标形式——极坐标傅里叶变换，更是对信号进行分析与处理的重要方法之一。
让我们了解一下极坐标傅里叶变换的基本概念。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它将一个非周期性信号分解成一系列正弦和余弦函数的加权和，这些正弦和余弦函数具有不同的频率和振幅。
而极坐标傅里叶变换则是在极坐标下进行的一种变换方式，即将信号表示为振幅和相位的极坐标形式。
极坐标傅里叶变换的应用广泛而深入。
在音频处理中，极坐标傅里叶变换可以将声音信号分解为不同频率的分量，使我们能够更好地理解和处理声音。
在图像处理中，极坐标傅里叶变换可以将图像转换为频率域，使我们能够对图像进行滤波、增强和压缩等操作。
在通信系统中，极坐标傅里叶变换可以用于信号调制、信道估计和信号解调等方面。
除了应用之外，极坐标傅里叶变换的数学原理也非常重要。
它基于傅里叶级数和傅里叶变换的理论基础，通过将信号在频率域中进行分解，使我们能够更好地理解信号的频谱特性。
通过分析信号的频谱，我们可以得到信号的频率分量、频率分布以及相位信息等重要参数。
尽管极坐标傅里叶变换具有广泛的应用和重要的数学原理，但是我们在使用它时需要注意一些问题。
首先，我们需要选择适当的采样率和窗函数来保证变换的准确性和可靠性。
其次，由于傅里叶变换是连续的，我们通常需要将信号进行离散化处理，以便在计算机中进行处理。
此外，我们还需要考虑信号的长度和频率分辨率等因素，以便选择合适的变换方式。
我们还需要关注极坐标傅里叶变换在实际应用中的局限性。
由于信号处理通常需要在有限的时间和计算资源下进行，因此我们需要在时间域和频率域之间进行权衡。
此外，由于信号通常包含噪声和干扰，我们还需要采取适当的滤波和去噪方法来提高信号的质量。
信号与系统郑君里版第五章
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
【论文】傅里叶变换及应用
摘 要线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的看作数学泛函.在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定义；最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号AbstractLinear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation. It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum, signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams. Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal傅里叶变换及应用目 录第一章 前 言 (1)1.1傅里叶变换的发展 (1)1.2 研究傅里叶变换的意义 (1)第二章 傅里叶级数及变换的理论知识 (3)2.1 傅里叶积分 (3)2.2 实数与复数形式的傅里叶积分 (5)2.3 傅里叶变换式的物理意义 (8)第三章 傅里叶变换的性质及变形 (11)3.1 基本性质 (11)3.2 傅里叶变换的不同形式 (12)第四章 傅里叶变换的应用 (15)4.1波动 (15)4.2周期信号中的傅里叶变换 (19)第五章 工作总结及展望 (25)5.1 总结 (25)5.2 展望 (25)参 考 文 献 (26)致 谢 (27)第一章 前 言1.1傅里叶变换的发展傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)1.2 研究傅里叶变换的意义从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现[1]1. 傅里叶变换是线性算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).1在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提供了坚实的基础.2第二章 傅里叶级数及变换的理论知识2.1 傅里叶级数本节简明扼要地复习傅里叶级数的基本内容. 2.1.1 周期函数的傅里叶展开定义2.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数[4]若函数以为周期,即为)(x f l 2)()2(x f l x f =+的光滑或分段光滑函数,且定义域为[ ,则可取三角函数族]l l ,−,......sin ,.....,2sin ,sin ,.....,cos ,,......,2cos ,cos ,1lx k l x l xlx k l x l xππππππ (2-1)作为基本函数族将展开为傅里叶级数(即下式右端级数))(x f sin cos ()(10l xk b l x k a a x f k k k ππ++=∑∞= (2-2) 式(2-2)称为周期函数的傅里叶级数展开式(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简称傅氏系数)．)(x f 函数族(2-1)是正交的．即为:其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∫∫∫∫∫−−−−−l llllll l lldx l x n l x k dx lx n l x k dx l x n l x k dx l x k dx lx k 0sin .cos .10sin .sin .10cos .cos .10sin .10cos .1ππππππππ 利用三角函数族的正交性,可以求得(2.1.3)的展开系数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k l l kk dx l x k x f l b dx l x k x f l a )sin()(1)cos()(1ππδ (2-3) 3其中⎩⎨⎧≠==)0( 1)0( 2k k k δ关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理: 定理 2.1.1狄利克雷(Dirichlet )若函数满足条件:)(x f (1)处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则级数(2-3)收敛,且在收敛点有:∑∞=++=10)sin cos ()(k k k l xk b l x k a a x f ππ在间断点有:∑∞=++=−++10)sin cos ()]0()0([21k k k l xk b l x k a a x f x f ππ2.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开 定义 2.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数[2]若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式(2-3)可见,所有 均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k a a ,0∑∞==1sin )(k k l xk b x f π (2-4) 这叫作傅里叶正弦级数．容易检验(2-4)中的正弦级数在l x x ==,0处为零．由于对称性,其展开系数为∫=lk dx lx k x f l b 0)sin()(2π若周期函数是偶函数,则由傅里叶系数计算公式可见,所有均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k b ∑∞=+=10cos)(k k lxk a a x f π (2-5) 这称为傅里叶余弦级数．同样由于对称性,其展开系数为∫=lk k dx l x k x f l a 0)cos()(2πδ (2-6)由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在l x x ==,0处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周期函数.)(x g 42.1.3复数形式的傅里叶级数 定义2.1.3 复数形式的傅里叶级数[8]取一系列复指数函数 ,....,...,,,1,,,..., (22)x k ilx ilxilxilx ilx k i eeeeeeππππππ−−− (2-7)作为基本函数族,可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数)(xf 利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数∫∫−−−==lll x k i l l l xk i k dx e x f l dx e x f l C **])[(21])[(21ππ (2-9)式中“*”代表复数的共轭.上式(2- 9)的物理意义为一个周期为2L 的函数 可以分解为频率为)(x f l n π,复振幅为 的复简谐波的叠加.n c ln π称为谱点,所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言,谱是离散的.尽管是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,且满足:)(x f )(x f *kk C C =−或k k C C =− (2-10) 2.2 实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非周期函数的级数展开. 2.2.1 实数形式的傅里叶积分[6]定义 2.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期)(x f )(x g ∞→l 2时的极限情形.这样,的傅里叶级数展开式)(x g ∑∞=++=10)sin cos()(k k k l x k b lxk a a x g ππ (2-11)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开.面我们研究这一极限过程:设不连续的参量∞→l )(x f lk l k k k k k πωωωπω=−=Δ==−1,...),2,1,0(故(2-11)为(2-12)∑∞=++=10)sin cos ()(k k k k k x b x a a x g ωω傅里叶系数为5⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k k l l k k k xdx x f l b xdx x f l a ωωδsin )(1cos )(1 (2-13) 代入到 (2-12),然后取∞→l 的极限.对于系数,有限,则0a ∫−ll dx x f )(lim ∫−∞→∞→==l l l l x f l a 0)(21limlim 0而余弦部分为当0,→=Δ∞→ll kπω,不连续参变量k ω变为连续参量,以符号ω代替．对的求和变为对连续参量k ω的积分,上式变为ωωωπxd xdx x f cos ]cos )(1[0∫∫∞∞−∞ 同理可得正弦部分ωωωπxd xdx x f sin ]sin )(1[∫∫∞∞−∞若令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−∞∞−xdxx f B xdx x f A ωπωωπωsin )(1)(cos )(1)( (2-14) 式(2-14)称为的(实数形式)傅里叶变换式．故(2-12)在时的极限形式变为(注意到))(x f ∞→l )()(x f x g →∫∫∞∞+=0sin )(cos )()(ωωωωωωxd B xd A x f (2-15)上式(2-15)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.(2-15)式称为非周期函数的(实数形式)傅里叶积分表示式．事实上,上式(2-15)还可以进一步改写为)(x f )](/)(arctan[)(),()()()](cos[)()(]sin )(cos )([)(220ωωωϕωωωϕωωωωωωωA B B A x f d x x C x f d x B x A x f =+=−=+=∫∫∫∞∞∞(2-16)上式(2-16)的物理意义为:称为的振幅谱,ωc )(x f ωϕ称为的相位谱．可以对应于物理现象中波动(或振动).我们把上述推导归纳为下述严格定理: )(x f 1．傅里叶积分定理[7]定理2.1.1 傅里叶积分定理 ：若函数在区间上满足条件)(x f ),(∞−∞(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件;)(x f (2)在上绝对可积,则可表为傅里叶积分形式(2-15),且在 )(x f ),(∞−∞)(x f )(x f 6的不连续点处傅里叶积分值= 2]0[]0([−++x f x f .2．奇函数的傅里叶积分定义 2.1.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换若为奇函数,我们可推得奇函数的傅里叶积分为傅里叶正弦变换:)(x f )(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd B x f (2-17)式(2-1)满足条件其中0)0(=f )(ωB 是的傅里叶正弦变换:)(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd x f B (2-18)3. 偶函数的傅里叶积分定义 2.1.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换[8]若为偶函数,的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:)(x f )(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωωπxd A x f (2-19)式(2-3)满足条件．其中0)0(=′f )(ωB 是的傅里叶余弦变换:)(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωπωxd x f A (2-20)上述公式可以写成另一种对称的形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00sin )(2)(sin )(2)(xdx x f B xd B x f ωπωωωωπ (2-21)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00cos )(2)(cos )(2)(xdxx f A xd A x f ωπωωωωπ (2-22) 4 复数形式的傅里叶积分定义2.1.4 复数形式的傅里叶积分下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.利用欧拉公式则有 )(21sin ),(21cos x i x i x i x i e e ix e e x ωωωωωω−−−=+=7代入式(2-15)得到ωωωωωωωωd e iB A d e iB A x f x i x i −∞∞++−=∫∫)]()([21)]()([21)(00将右端的第二个积分中的ω换为ω−,则上述积分能合并为∫∞∞−=ωωωd e F x f x i )()( (2-23)其中⎩⎨⎧<+≥−=0)( ,2/)]()([0)( ,2/)]()([)(ωωωωωωωiB A iB A F将(2-14)代入上式可以证明无论对于0≥ω,还是0<ω均可以合并为∫∞∞−=dx e x f F x i *])[(21)(ωπω (2-24)证明:(1) 0≥ω时∫∫∞∞−∞∞−=−=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω (2) 0<ω时 ∫∫∞∞−∞∞−=+=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω ∫∫∞∞−∞∞−−==dx e x f dx e x f x i x i *])[(21)(21ωωππ 证毕．(2-23)是的复数形式的傅里叶积分表示式,(2-24)则是的复数形式的傅里叶变换式.述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式)(x f )(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−ωπωωωπωωd e x f F d e F x f x i x i )(21)()(21)( (2-25) 2.3 傅里叶变换式的物理意义傅里叶变换和频谱[2,8]有密切的联系.频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以T 为周期的周期函数,且满足狄利克雷条件,则可展成傅里叶级数)(x f )sin cos ()(10x b x a a x f n n n n n ωω++=∑∞= (2-26)其中Tn n n πωω2==,我们将x b x a n n n n ωωsin cos +称为的第次谐波,)(x f n n ω称为第n 次谐波的频率．由于)cos(sin cos 22n n n n n n x b a x b x a ϕωωω−+=+其中abarctan =ϕ称为初相,22b a +称为第次谐波的振幅,记为,即n n A 0022 1,2,...)(n a A b a A n ==+= (2-27)若将傅里叶级数表示为复数形式,即(2-28)∑∞−∞==n xi nn e C x f ω)(其中22212||||n n n n n b a A C C +===−恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然n 次谐波的振幅与复振幅有下列关系:n n c n n C A 2= ,...)2,1,0(=n (2-29)当取这些数值时,相应有不同的频率和不同的振幅,所以式(2-14)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱(简称频谱).若用横坐标表示频率.....3,2,1,0=n n A )(x f n ω,纵坐标表示振幅,把点n A .....3,2,1,0),,(=n A n n ω用图形表示出来,这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱的图形是不连续的,称之为离散频谱......3,2,1,0=n n A 2.3.1 傅里叶变换的定义[7]由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义. 定义2.3.1 傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件,称表达式)(x f (2-30)∫∞∞−−=dx e x f F x i ωω)()( 为的傅里叶变换式,记作.我们称函数)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(ωF 为的傅里叶变换,简称傅氏变换(或称为像函数)． )(x f 定义2.3.2 傅里叶逆变换 如果∫∞∞−=dxe F xf x i ωωπ)(21)( (2-31)则上式为的傅里叶逆变换式,记为,我们称为)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(x f )(ωF (或称为像原函数或原函数)的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换.由(2-30)和(2-31)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换,即有)()]([)]]([[)]([111x f x f F F x f F F F F ===−−−ω (2-32)或者简写为)()]([1x f x f F F =− 2.3.2多维傅氏变换在多维(n 维)情况下,完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下:),,,(21n x x x f L )],...,,([),...,,(2121n n x x x f F F =ωωωn x x x i n dx dx dx e x x x f n n ...),...,,(....21)...(212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=ωωω它的逆变换公式为:()n x x x i n n n d d d e F x x x f n n ωωωωωωπωωω...),...,,(. (21)),...,,(21)...(21212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=2.3.3傅里叶变换的三种定义式在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互转换,特给出如下关系式: 1.第一种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωπω)(21)(1,,)(21)(1∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 2.第二种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωω)()(2,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i )(21)(2 3.第三种定义式∫∞∞−−=dx e x f F x i πωω23)()(,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 23)()(三者之间的关系为)2(21)(21321πωπωπF F F ==三种定义可统一用下述变换对形式描述：⎩⎨⎧==−)]([)()]([)(1ωωF F x f x f F F 特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义,所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数,比如ππ21,21.本文采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,均使用的是第二种定义式．第三章 傅里叶变换的重要特性傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.3.1 基本性质[1,8]1.线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是:若函数和的傅里叶变换和都存在,)(x f )(x g )(f F )(g F α和β为任意常系数,][][][g F f F g f F βαβα+=+. 2.平移性质若函数存在傅里叶变换,则对任意)(x f 实数0ω,函数也存在傅里叶变换,且F x i e x f 0)(ω=])([0x i e x f F ω)(o ωω−. 3.微分关系若函数当)(x f ∞→x 时的极限为0,而其导函数的傅里叶变换存在,则有 ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子)(x f )]([)](['x f F i x f F ω=ωi .更一般地,若,且存在,则,即k阶0)(....)()()1('=±∞==±∞=±∞−k f f f )]([)(x f F k ][)()]([)(f F i x f F k k ω=导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子.k i )(ω4.卷积特性若函数及都在上)(x f )(x g ),(+∞−∞绝对可积,则卷积函数∫+∞∞−−=ξξξd g x f g f )()(*的傅里叶变换存在,且][].[]*[g F f F g f F =.卷积性质的逆形式为)]([*)]([)]()([111ωωωωG F F F G F F −−−=即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积. 5．Parseval 定理若函数)(x f 可积且平方可积,其中)(ωF 是的傅里叶变换.（查正确性） )(x f 则∫∫+∞∞−+∞∞−=ωωπd F dx x f 22)(21)( 3．2傅里叶变换的不同变种1.连续傅里叶变换[8]一般情况下,若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分或级数形式.)(t f ∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωπω)(21)]([)(这是将频率域的函数)(ωF 表示为时间域的函数的积分形式. 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform )为)(t f ∫∞∞−−==ωωπωωd e F F F t f t i )(21)]([)(1即将时间域的函数表示为频率域的函数)(t f )(ωF 的积分.一般可称函数为)(t f 原函数,而称函数)(ωF 为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair ).除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用.在通讯或是讯号处理方面,常以πω2=f 来代换,而形成新的变换对 : ∫∞∞−−==dt e t x t x F f X fti π2)()]([)( ∫∞∞−−==df e f X f X F t x ft i π21)()]([)( 或者是因系数重分配而得到新的变换对:∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωω)()]([)(∫∞∞−−==ωωπωωd eF F F t f ti )(21)]([)(12.离散傅里叶变换定义3.2.1[1]给定一组数据序列{}1.....2,1,0,−==N n y y n ,离散傅里叶变换为序列：10,][10/2−≤≤==∑−=−N n e y y F y N n N kn i n n k π离散傅里叶逆变换为：10,1][1/2−≤≤==∑−=N k ey Ny F y N k Nkn i k k n π定理3.1 对于离散傅里叶变换,以下性质成立.1.移位或平移.若且n s y ∈1+=k k y z ,那么,这里 j j j y F z F ][][ω=n i e /2πω=2.卷积.若且,那么下面的序列n s y ∈n s z ∈∑−=−=10]*[n j j k j k z y z y也在中.序列称为和的卷积.n s z y *y z 3.若是一实数序列,那么n s y ∈k k n k k n y y n k y F y F ))=≤≤=−− 0 , ][][或. 3.快速傅里叶变换快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
傅里叶变换概念
傅里叶变换概念傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学技术，用于将一个函数从时域（时间域）表示转换为频域表示。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域，具有重要的理论和实际意义。
傅里叶变换的概念可以通过将一个信号分解成多个正弦波和余弦波的叠加来解释。
任何复杂的周期信号都可以被视为多个不同频率的正弦波的叠加。
傅里叶变换就是将这个信号从时域分解成它不同频率的正弦波和余弦波分量的过程。
傅里叶变换的数学表示如下：F（ω）= ∫ f(t) * e^(-jωt) dt其中，F（ω）表示频域函数，f(t)表示时域函数，e^(-jωt)是欧拉公式中的复指数函数，ω是变量频率。
根据傅里叶变换的定义，我们可以将一个复杂的时域信号分解成多个频率分量，并且这些分量对应于频域函数F（ω）的不同频率部分。
傅里叶变换提供了一种量化信号在频域上的能力，揭示了信号的频谱特征，可以从中提取出信号中的频率、幅度、相位等信息。
傅里叶变换的应用非常广泛。
在信号处理领域，傅里叶变换常用于滤波、降噪、频谱分析等任务。
例如，在音频处理中，可以使用傅里叶变换将声音信号从时域转换到频域，通过分析频谱可以得知声音中包含的不同音调的频率和强度。
在图像处理领域，傅里叶变换可以提供图像的频域信息，用于图像增强、去噪、压缩等任务。
通过傅里叶变换，我们可以将一个图像分解成不同空间频率上的分量，从而更好地理解图像的特征和结构。
在通信系统中，傅里叶变换常用于信号调制、解调、信道估计等任务，以提高通信信号的传输质量和效率。
此外，傅里叶变换还有着重要的数学和物理意义。
傅里叶变换将一个函数从时域转换到频域，可视化了函数在不同频率上的分布情况。
通过傅里叶变换，我们可以将一个函数中的周期性模式展示出来，并且可以通过重建时域函数来还原原始信号。
为了实现傅里叶变换，通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过利用对称性质和迭代计算来大大加快傅里叶变换的计算速度，使得实时处理和大规模数据分析成为可能。
浅谈傅里叶变换及其应用（小论文）
浅谈傅里叶变换及其应用一．由来傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
二．概要介绍1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
——（1）2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。
在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
三．计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
四．应用领域傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
五．简介离散傅里叶变换的应用。
DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。
信号与系统--第六章 傅里叶变换的应用
18
§6.3 理想低通滤波器
• Gibbs现象
– 有第一类间断点的信号通过理想低通产生的现象。
H
k
u(t)
F u t
1
j
-σ
o
ω
σ
-σ o
ω
σ
σ截断
19
§6.3 理想低通滤波器
f (t)
FFft
FFuu
fc(t)
o
t0
t
l i m f t l i m F 1 F fG ti 的 b b 连 s 现 续 象 点 ， ， 第 得 一 到 类 原 间 信 断 号 点 ft
– f t 满足Paley－Wiener定理，由 F 如何 构造 hthtut？ (1) FjFjFj2已知 (2)令s j ，构造 FsFs，零点／极点分
布在 s 全平面；
(3)取 FsFs 在左半开平面的零／极点构造
H(s)， H(s)即为所求。由此方法得到的H(s)是 严格最小相位的，在不考虑比例因子的差别时 H(s)是唯一的。
– Btr 4
16
§6.3 理想低通滤波器
– t r 也可有其他定义：tr:0 :1 或 tr:0 .1 :0 .9 l e v e l电 平 ,
但无论怎样定义总有 Btr C（常数）。
– 为实现脉冲信号
的传输，
o
t
t
需满足 2 trB C ,即 CB 。
17
§6.3 理想低通滤波器
–
yt
信号与系统
第六章 傅里叶变换的应用
第六章 傅里叶变换的应用
• §6.1 傅里叶系统函数 • §6.2 无失真传输 • §6.3 理想低通滤波器 • §6.4 系统的物理可实现性 • §6.5 希尔伯特变换 • §6.6 带通信号通过带通系统
傅里叶定律的意义和适用条件
傅里叶定律的意义和适用条件傅里叶定律是描述周期性信号的基本定律之一，它在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用。
傅里叶定律的意义在于它能够将一个复杂的周期性信号分解成一系列简单的正弦函数的叠加，从而帮助我们理解和分析信号的频谱特征。
傅里叶定律的适用条件则是信号必须是周期性的，且满足一定的可积性条件。
傅里叶定律的意义在于它为我们研究和理解周期性信号提供了一种有效的工具。
周期性信号是指信号在一定时间内以固定的模式重复出现的现象，如正弦波、方波、三角波等。
傅里叶定律告诉我们，任何一个周期性信号都可以看作是一系列不同频率和幅度的正弦函数的叠加。
这些正弦函数被称为频谱成分，它们的频率和幅度决定了信号的特性。
通过分解信号的频谱，我们可以更加清晰地观察信号的频率分布，从而揭示信号的内在规律。
傅里叶定律的适用条件是信号必须是周期性的，并且满足一定的可积性条件。
周期性是指信号在一定时间内以固定的模式重复出现，这样才能够将信号看作是一系列正弦函数的叠加。
可积性是指信号在一个周期内的能量有限，即信号的能量在一个周期内可以积分得到一个有限的值。
这个条件保证了信号的能量在频谱分析中是有限的，从而方便我们对信号的频谱进行分析和计算。
傅里叶定律的应用非常广泛。
在物理学中，傅里叶定律被应用于电磁波的传播和光学现象的解释，如干涉、衍射等。
在工程学中，傅里叶定律被应用于信号处理、通信系统、图像处理、音频处理等领域。
例如，在信号处理中，傅里叶变换可以将时域的信号转换为频域的信号，从而实现信号的滤波、降噪、压缩等操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以将图像转换为频谱图，通过滤波、增强等操作改变图像的频谱特性。
在音频处理中，傅里叶变换可以将音频信号转换为频谱，从而实现音频的压缩、均衡、特效等操作。
然而，傅里叶定律也有一些限制。
首先，傅里叶变换只适用于周期性信号的频谱分析，对于非周期性信号的频谱分析并不适用。
其次，傅里叶变换对信号的时域和频域是完全对称的，这在某些情况下可能导致频谱分析的结果不够准确。
关于信号tu(t)的傅里叶变换的探讨
信号 tu(t) 的傅里叶变换是信号处理领域中的一个重要问题。
傅里叶变换是一种将一个时域信号转换为频域信号的数学工具，它在分析和处理信号时起着至关重要的作用。
对于信号 tu(t) 的傅里叶变换，我们需要深入探讨其数学原理、性质和应用，以加深对这一领域的理解和认识。
一、傅里叶变换的基本概念1.1 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它描述了任意周期信号能够用正弦和余弦函数的和来表示。
这是由于正弦和余弦函数具有正交性，可以将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
1.2 傅里叶积分变换傅里叶积分变换是对非周期信号进行频域分析的工具，它使用积分的形式将信号从时域转换到频域。
傅里叶积分变换可以描述信号的频谱特性，包括频率成分、幅度和相位信息。
二、信号 tu(t) 的傅里叶变换公式2.1 时域信号 tu(t) 的定义时域信号 tu(t) 是指信号在时间上的波形图。
它可以是连续信号，也可以是离散信号。
2.2 tu(t) 的傅里叶变换公式根据傅里叶变换的定义，tu(t) 的傅里叶变换公式为F(ω) = ∫[−∞, ∞] tu(t)e^(−jωt) dt其中，F(ω) 表示 tu(t) 的频域表示，ω 表示频率，e^(−jωt) 是复指数函数。
三、傅里叶变换的性质3.1 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于常数α和β，以及信号tu1(t)和tu2(t)，有F(αtu1(t) + βtu2(t)) = αF(tu1(t)) + βF(tu2(t))。
3.2 时移性质时移性质描述了时域信号延迟对频域表示的影响，即F(tu(t - τ)) = F(ω)e^(−jωτ)。
3.3 频移性质频移性质描述了频域信号相位旋转对时域表示的影响，即F(tu(t)e^(jω0t)) = F(ω - ω0)。
四、信号 tu(t) 的傅里叶变换的应用4.1 频谱分析傅里叶变换可以将信号分解成不同频率分量，从而进行频谱分析。
这对于理解信号的频域特性、滤波和调制等问题具有重要意义。
快速傅里叶变换FFT及其应用
快速傅里叶变换FFT 及其应用摘要: FFT(Fast Fourier transform)技术是快速傅里叶变换,它是离散傅里叶的快速算法,随着大规模集成器件的问世以及计算机技术的迅速发展,FFT 技术已应用于现代科学技术的各个领域。
本文首先简单介绍了FFT 的原理，还介绍了FFT 在数字图像处理、机床噪声分析、数据采集、现代雷达、机车故障检测记录等领域的应用。
关键词:DFT ；FFT ；应用；1. 快速傅里叶变换FFT 简介1.1离散傅里叶变换(DFT)在信号处理中，DFT 的计算具有举足轻重的地位，信号的相关、滤波、谱估计等等都可通过DFT 来实现。
然而，由DFT 的定义式可以看出，求一个N 点的DFF 要N 2次复数乘法和N(N-1)次负数加法。
当N 很大时，其计算量是相当大。
傅立叶变换是信号分析和处理的重要工具。
离散时间信号*(n)的连续傅立叶变换定义为:式中()j X e ω是一个连续函数，不能直接在计算机上做数字运算。
为了在计算机上实现频谱分析，必须对x(n)的频谱作离散近似。
有限长离散信号x(n), n=0, 1, .......,N-1的离散傅立叶变换(DFT)定义为：式中()exp -2/N ,n=0,1,........N-1N W j π=。
其反变换定义为:将DFT 变换的定义式写成矩阵形式，得到X=Ax 。
其中DFT 的变换矩阵A 为1.2快速傅里叶变换(FFT)快速傅里叶变换(FFT)是1965年J. W. Cooley 和J. W Tukey 巧妙地利用造了DFT 的快速算法，即快速离散傅里叶变换(FFT)。
在以后的几十年中，FFT 算法有了进一步的发展，目前较常用的是基2算法和分裂基算法。
在讨论图像的数学变换时，我们把图像看成具有两个变量x, y 的函数。
首先引入二维连续函数的傅里叶变换，设f(x,y)是两个独立变量x ，y 的函数，且满足()++--,<0f x y dxdy ∞∞∞∞⎰⎰, 则定义:()++-2(ux+vy)--(u,v) = ,j F f x y e dxdy π∞∞∞∞⎰⎰为f(x,Y)的傅立叶变换。
傅里叶变换分解信号
傅里叶变换分解信号全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：傅里叶变换是一种将信号分解成不同频率部分的数学方法。
它是一种在信号处理领域广泛应用的技术，可以将一个复杂的信号分解为多个简单的正弦和余弦信号的叠加。
傅里叶变换的概念最初是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪提出的。
傅里叶变换在信号处理领域的应用非常广泛，例如在音频处理、图像处理、通信系统等方面都有重要的作用。
通过傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以更方便地分析信号的频率特征以及进行滤波、降噪等处理。
傅里叶变换的数学表达式如下：F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dtF(\omega)表示信号f(t)在频率\omega处的复数幅度，i是虚数单位。
傅里叶变换将一个信号f(t)映射到一个频率连续的函数F(\omega)，描述了信号中每个频率分量的大小和相位。
在数字信号处理领域，我们通常使用离散傅里叶变换（DFT）来处理离散信号。
DFT将信号从时域离散化为频域，通过计算信号在不同频率分量上的幅度和相位，我们可以更好地理解信号的频谱特性。
傅里叶变换可以帮助我们对信号进行频谱分析，从而可以更好地理解信号的频率成分和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解为多个不同频率的正弦和余弦信号的叠加，这有助于我们更好地理解信号的频谱结构和特点。
傅里叶变换的一个重要应用是信号滤波。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以找到信号中不同频率分量的幅度，从而可以根据需要对信号进行低通滤波、高通滤波或带通滤波等处理，以实现对信号的滤波和去噪。
另一个重要的应用是信号压缩。
有时信号的频谱分量并不是均匀分布的，而是集中在某些频率上。
通过傅里叶变换，我们可以找到信号中主要的频率成分，并将次要的频率成分忽略，从而实现对信号的压缩和简化。
除了在信号处理领域的应用外，傅里叶变换在其他领域也有广泛的应用。
信号与系统中的连续时间系统分析
信号与系统中的连续时间系统分析信号与系统是电子工程、自动控制等领域重要的基础学科，与我们日常生活息息相关。
在信号与系统中，连续时间系统分析是其中的重要内容之一。
本文将着重介绍连续时间系统分析的基本概念、方法和应用。
一、连续时间系统的概念连续时间系统是指信号的取样频率大于或等于连续时间信号的变化频率，信号在任意时间均有定义并连续可取值。
连续时间系统包括线性系统和非线性系统两种，其中线性系统是一类常见且具有重要意义的系统。
二、连续时间系统的表示连续时间系统可以通过微分方程或差分方程来表示，其中微分方程常用于描述线性时不变系统，而差分方程常用于描述线性时变系统。
在实际应用中，可以通过拉普拉斯变换或傅里叶变换对连续时间系统进行分析和求解。
三、连续时间系统的性质连续时间系统具有多种性质，包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等。
其中线性性是指系统对输入信号的响应是可叠加的，时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的推移而改变。
四、连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析是通过傅里叶变换来实现的，可以将时域中的信号转换为频域中的频谱。
通过频域分析，我们可以获得系统的幅频特性和相频特性，进一步了解系统对不同频率信号的响应。
五、连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析是通过微分方程或差分方程来实现的，可以确定系统的时域特性。
通过时域分析，我们可以获得系统的阶数、单位阶跃响应、单位冲激响应等关键信息。
六、连续时间系统的应用连续时间系统的分析在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制、解调、编码、解码等处理，这些过程都需要借助连续时间系统的分析方法。
此外，连续时间系统的分析也在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着重要的应用。
结语：连续时间系统分析是信号与系统学科中的重要内容，具有广泛的理论基础和实际应用。
通过深入学习连续时间系统的概念、表示、性质、频域分析、时域分析和应用，我们可以更好地理解和掌握信号与系统的基本原理和方法，为相关领域的研究和应用提供理论指导和技术支持。
4.4&4.5傅里叶变换的性质与应用,周期信号的傅里叶变换
信号与系统
4.4-7
4.4.3 信号的延时与相位移动(延时特性)
若
则
f (t ) F ( )
f (t t 0 ) F ( )e jt0
因为 故
F ( ) F ( ) e j ( )
F ( )e jt0 F ( ) e j[ ( )t0 ]
信号与系统
4.4-14
例4-6 高频脉冲信号 fa (t ) g τ (t ) cos0t 是工程上常用的 调制信号，试求其频谱 Fa ( ) 。 解
门函数的频谱 g (t ) Sa 2 而高频脉冲 1 j0t f a (t ) g (t ) cos 0t g (t ) (e e j0t ) 2 由调制定理，得 ( 0 ) ( 0 ) Fa ( ) Sa Sa 2 2 2
2 t
信号与系统
4.4-3
4.4.2 脉冲展缩与频带变化(尺度变换)
傅里叶变换中的脉冲展缩性质，揭示了信号在时域中的压缩 或扩展与其频谱函数在频域中的扩展和压缩的对应关系，它 可以表述为
若
则
f (t ) F ( ) 1 f (at ) F ( ) a a
式中，若a>1，表明f(t)压缩；若0<a<1，表明f(t)展宽。该 性质称为尺度变换。即信号时域波形的压缩，对应其频 谱图形的扩展；时域波形的扩展对应其频谱图形的压缩， 当 a = 1时，得
2
)
将上式中t换成ω，ω换为t，利用对称性，有
令 = 4，则
t 2 g ( ) Sa ( ) 2
4t 2 g4 ( ) 4 Sa ( ) 2
信号与系统
4.4-19
(完整word版)傅里叶变换在信号与系统系统中的应用.
河北联合大学本科毕业设计（论文）2011年 5月24日题目傅里叶变换在信号与系统中的应用专业数学与应用数学姓名刘帅学号 200710050113主要内容、基本要求、主要参考资料等主要内容傅里叶变换是一种重要的变换,且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。
本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调,抽样等方面中的应用。
分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍.基本要求通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波,带通滤波。
用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。
通过抽样实现连续信号离散化,简化计算.另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。
参考资料[1］《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版［2］《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社[3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈连丰审校电子工业出版社[4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译腾建辅审校电子工业出版社[5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社[6］《信号与系统》乐正友著清华大学出版社[7］《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社［8］《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电子科技大学出版社［9] http：//baike.baidu。
com/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换[10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社[11］A．V．Oppenheim，A。
S。
Willsky with S。
H.Nawab.Siganals and systems（Second edition).Prentice-Hall，1997.中译：刘树棠.信号与系统。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)).正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
有関傅立叶变换的FPGA实现傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。
但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。
然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。
本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。
离散傅里叶变换的应用DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。
傅里叶级数与信号处理技术
傅里叶级数与信号处理技术傅里叶级数是一种分析信号的数学工具，它广泛应用于信号处理领域。
本文将介绍傅里叶级数的基本概念、原理以及在信号处理中的应用。
一、傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是将一个周期函数表示成若干个正弦和余弦函数的和的形式。
对于一个周期为T的函数f(t)，傅里叶级数展开可以表示为：f(t) = a0 + Σ [an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)]其中，a0是函数f(t)的直流分量，an和bn是f(t)的交流分量，ω0 = 2π/T是角频率。
二、傅里叶级数的原理傅里叶级数的基本原理是根据任意周期函数可以展开成一系列三角函数的和。
这是因为正弦和余弦函数是完备函数集，可以表示任意形状的周期函数。
傅里叶级数的计算方法基于欧拉公式和欧拉恒等式，通过将周期函数展开成正弦和余弦函数的和，可以求得函数的频谱信息，包括频率和振幅。
三、傅里叶级数在信号处理中的应用1. 信号分析：傅里叶级数可以将信号分解成不同频率的分量，通过分析这些分量的变化可以获得信号的频域信息，包括频率分量和振幅分量。
这对于识别和分析信号非常有用，例如在音频处理中可以通过傅里叶级数将声音信号分解成不同频率的音调。
2. 信号合成：傅里叶级数可以将不同频率的分量合成成一个周期函数，从而生成各种复杂的信号。
这在信号合成和信号模拟中广泛应用，例如在通信系统中利用傅里叶级数合成正弦信号作为载波信号进行调制。
3. 滤波器设计：傅里叶级数可以用来描述滤波器的频率响应。
通过对滤波器的输入信号进行傅里叶级数展开，可以得到滤波器对不同频率分量的响应情况，从而进行滤波器的设计和优化。
4. 压缩与编码：傅里叶级数可以用于信号的数据压缩和编码。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号在时域上的波形转化为频域上的频谱图，从而去除冗余信息并实现信号的压缩。
四、总结傅里叶级数是一种非常重要的信号处理技术，它可以将信号在时域和频域之间进行转换。
通过傅里叶级数的分析和合成，可以获取信号的频率分量和振幅信息，实现信号的分析、合成、滤波和压缩等操作。
已知x(t)的傅里叶变换x(-t)的傅里叶变换
傅里叶变换是信号处理和数学分析中一个重要的概念，它是将一个函数在时域和频率域之间进行转换的数学工具。
傅里叶变换的定义包括对信号的分解以及通过傅里叶级数展开来进行频谱分析。
在实际应用中，傅里叶变换被广泛应用于音频、图像、通信等领域，是一种非常有效的信号处理方法。
1. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是将时域信号转换成频域信号的数学工具，它通过对一个函数进行积分变换来获得信号的频谱分布。
数学上，可以通过积分来定义一个函数f(t)的傅里叶变换F(ω)，其表达式为：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt其中，ω表示频率，t表示时间，e^(-iωt)为指数项，表示信号在频域中的振荡情况。
2. x(t)的傅里叶变换假设我们有一个信号x(t)，其傅里叶变换为X(ω)，即：X(ω) = ∫x(t)e^(-iωt)dt通过对x(t)进行傅里叶变换，我们可以得到信号在频域中的频谱分布，从而获得信号的频率特征和频率成分。
3. x(-t)的傅里叶变换如果我们已知x(t)的傅里叶变换X(ω)，那么如何求x(-t)的傅里叶变换呢？我们可以利用傅里叶变换的性质来进行推导。
傅里叶变换的性质包括线性性、频率平移性、尺度变换性、频率反转性等，这些性质可以帮助我们进行信号的变换和分析。
4. x(-t)的傅里叶变换推导根据傅里叶变换的性质，我们可以得出x(-t)的傅里叶变换为：X(-ω) = ∫x(-t)e^(-iωt)dt通过对x(-t)进行傅里叶变换，我们可以得到信号在频域中的频谱分布，从而获得信号的频率特征和频率成分。
5. 结论总结来说，已知x(t)的傅里叶变换X(ω)，我们可以通过傅里叶变换的性质来求得x(-t)的傅里叶变换X(-ω)，从而得到信号在频域中的频谱分布。
傅里叶变换是一种非常重要的信号处理工具，在实际应用中具有广泛的应用价值。
通过以上分析，我们对已知x(t)的傅里叶变换x(-t)的傅里叶变换有了更深入的理解。
傅里叶变换作为一种重要的信号处理工具，其在实际应用中具有非常广泛的应用价值。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
故响应为：
R( j) = E( j)×H ( j) = 1 ×1 = 1 - 1 j + 3 j + 2 j + 2 j + 3
反变换可得： r（t）＝F－1[R（jω）]＝（e－2t－e－3t）u（t）
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图 5-1-1 线性网络的无失真传输 2．引起信号失真的原因 ①系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应的各频率分量的相对幅 度发生变化，引起幅度失真； ②系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的 相对位置产生变化，引起相位失真。 三、滤波 1．理想低通滤波器（见表 5-1-1）
= jπ [e jtan- 11 ( + 1) - e- jtan- 11 ( - 1)] + jπ ×[e jtan- 13 ( + 3) - e- jtan- 13 ( - 3)]
2
10
反变换，可得：
r(t) = F - 1[R( j)]
= 1 sin(t - tan- 11) + 1 sin(3t - tan- 1 3)
5-2 若系统函数H（jω）＝1/（jω＋1），激励为周期信号e（t）＝sin（t） ＋sin（3t），试求响应r（t），画出e（t），r（t）波形，讨论经传输是否引起失真。
解：激励信号 e（t）＝sin（t）＋sin（3t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝jπ[δ（ω＋1）－δ（ω－1）]＋jπ[δ（ω＋3）－δ（ω－3）]
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傅里叶变换在信号处理中的应用1
傅里叶变换在信号处理中的应用姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013摘要：傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。
通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。
傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。
关键词：傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。
一傅里叶变换1.定义f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t）的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。
F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做F（ω）的像原函数。
F（ω）是f(t）的像。
f(t）是F（ω）原像。
①傅里叶变换傅里叶逆变换2.分类连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。
“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。
f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}}\int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.上式其实表示的是连续傅立叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t）表示为频率域的函数F（ω）的积分。
反过来，其正变换恰好是将频率域的函数F（ω）表示为时间域的函数f(t）的积分形式。
傅里叶变换在信号与系统中的作用
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脉冲响应的傅里叶变换
脉冲响应的傅里叶变换傅里叶变换是在信号和系统分析中常用的工具，它可以将时域信号转化为频域信号，从而方便我们分析信号的频率成分和系统的稳定性。
同样，傅里叶变换也可以用于分析脉冲响应的特性。
脉冲响应是系统对单位脉冲输入的响应，它描述了系统对瞬态输入的响应能力。
在实际应用中，我们通常会通过实验或仿真来获取系统的脉冲响应，并对其进行傅里叶变换，以得到系统的频域特性。
下面我们来详细讨论一下脉冲响应的傅里叶变换。
一、傅里叶变换的定义傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的方法。
在数学上，傅里叶变换的定义如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt) dt其中 F(ω) 是频率域信号，f(t) 是时域信号，ω是角频率，i 是虚数单位。
二、脉冲响应的傅里叶变换对于一个线性时不变系统，如果输入为单位脉冲函数 u(t)，则其输出 y(t) 就是系统的脉冲响应 h(t)。
对 h(t) 进行傅里叶变换，得到：H(ω) = ∫h(t)e^(-iωt) dtH(ω) 表示的是系统在频域上的响应特性，我们通常称之为系统的频响函数。
通过分析 H(ω)，我们可以得到系统在不同频率下的响应特性和系统的稳定性等信息。
三、傅里叶变换的性质和应用傅里叶变换有一些重要的性质和应用。
例如，时域信号的对称性和频域信号的对称性之间的关系；时域信号的卷积和频域信号的乘积之间的关系等。
这些性质可以帮助我们在分析信号和系统时进行简化。
此外，傅里叶变换在信号处理、图像处理、控制系统等领域都有广泛的应用。
例如，在信号处理中，我们可以使用傅里叶变换将时域信号转化为频域信号，然后对频域信号进行处理和分析；在图像处理中，我们可以使用傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，然后对频域信号进行处理和分析；在控制系统中，我们可以使用傅里叶变换分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。
四、总结傅里叶变换是一种常用的信号和系统分析工具。
通过对脉冲响应进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频域特性，从而方便我们分析系统的稳定性和性能指标。
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河北联合大学本科毕业设计（论文）2011年5月24日题目傅里叶变换在信号与系统中的应用专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113主要内容、基本要求、主要参考资料等主要内容傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。
本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。
分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。
基本要求通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。
用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。
通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。
另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。
参考资料[1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版[2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社[3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈连丰审校电子工业出版社[4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译腾建辅审校电子工业出版社[5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社[6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社[7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社[8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电子科技大学出版社[9] /view/191871.htm//百度百科傅里叶变换[10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社[11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。
信号与系统。
西安交通工业大学出版社完成期限指导教师专业负责人2010年11 月1日目录1.引言 (1)2.傅里叶变换 (1)2.1 傅里叶变换的提出及发展 (1)2.2 傅里叶变换定义 (2)2.3 傅里叶变换的分类 (3)傅里叶变换的性质3.傅里叶变换在滤波技术中的应用 (4)3.1 滤波的概念 (4)3.2 理想选择性滤波器 (4)3.3 系统的物理可实现性 (6)4.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用 (7)4.1 调制与解调的原理 (8)4.2 正弦调制过程 (9)4.3 相干解调 (10)5.傅里叶变换在抽样技术中的应用 (11)5.1理想抽样 (11)5.2 抽样的恢复 (13)5.3零阶抽样保持 (15)6.频分复用与时分复用 (17)7.结束语 (19)参考文献 (20)1.引言傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。
这方面的问题也称为傅立叶分析。
傅立叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。
1822年法国数学家傅立叶(J．Fourier,1768—1830)．提出并证明了将周期函数展开为正弦函数的原理．莫定了傅立叶变换的理论基础。
进入20世纪以后。
人们认识到，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域(颍域)的分析方法较之经典的时同域(时域)方法有许多突出的优点。
当今。
傅立叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。
随着计算机、数字集成电路技术的发展。
在傅立叶变换方法中出现了所谓的”快速傅立叶变换”(F丌)．目前快速傅立叶变换的研究与应用已相当成熟，而且仍然在不断更新与发展。
傅立叶变换不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中．而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关效学、物理和工程技术领域中得到广泛普遍的应用。
滤波、调制和抽样，将模拟信号数字化；对信号进行处理改善信号性能，产生新的较理想信号。
另外通过调制，使不同频率，不同时域信号可同时发送，从而达到节省频带的目的，即所谓时分复用、频分复用。
电话，电视等也都涉及到傅里叶的变换。
傅里叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史，涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。
当今傅里叶分析法已经成为信号分析与系统不可缺少的重要工具。
2.傅里叶变换2.1 傅里叶变换的提出及发展1804 年，法国科学家 J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究。
他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解。
在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。
他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶变换的起源。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。
最初，傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。
利用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：（1）傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子。
（2）傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。
（3）正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。
在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质, 从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
（4）著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算, 从而提供了计算卷积的一种简单手段。
（5）离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。
正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
2.2 傅里叶变换定义若)(t f 在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且)(t f 在（－∞，＋∞）上绝对可积（如下积分收敛），即：⎰∞∞-∞<dt t f )( （1） 则有下式的傅立叶变换成立： dt e t f F t j ωω-∞∞-⎰=)()( （2）傅里叶逆变换：ωωπωd e F t f t j ⎰∞∞-=)(21)( （3）其中，F(ω)称为)(t f 的象函数，)(t f 称作F (ω)的原函数。
2.4傅里叶变换的分类连续傅里叶变换：一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式，如式3。
该式其实表示的是连续傅里叶变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。
反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。
一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。
一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform ）。
当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosinetransform) 或 正弦转换(sine transform).另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)成立.离散傅里叶变换：为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x(n) 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。
这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数x(n)表示为下面的求和形式： 10,)(1)(2-≤≤=∑∞-∞=-N n k X N n x k nk N j e π （4）其中X(k)是离散傅里叶变换。
直接使用这个公式计算，而快速傅里叶变换（FFT ）可以将复杂度大大降低。
计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT 成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
3.傅里叶变换在滤波技术中的应用3.1 滤波的概念利用电路容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产生不同的响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。
设滤波器的输入()x t ，输出()y t ，则有滤波器系统的输入关系如下：()()()x t h t y t *= (5)由时域卷积定理知，式5可转换为()()()X H Y ωωω= (6)其中：()()CFT x t X ω−−−→，()()CFT y t Y ω−−−→，()()CFT h t H ω−−−→ 由式6知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研究，进行频谱分析提供了可能。
又由式6知()()/()H Y X ωωω= (7)其中()H ω称为系统函数，可完全表征系统的性质和特征。
因此，若已知输入()x t 及要求的输出()y t ，对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤波系统，从而满足适当地满足实际需要。
3.2 理想选择性滤波器理想选择滤波的频率特性,具有对某个频率范围内的复指数信号j t e ω或正弦信号cos()t ω能无失真地通过，在频率范围之外则给予彻底抑制。
通常把信号能通过的频率范围称为滤波器的通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带，通带的边界频率称为截止频率。
根据滤波器通、阻带所处的位置不同，可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等基本滤波器，它们是信号和系统分析中重要的基本系统。
1、理想低通滤波器 理想低通滤波器是指能使某频率范围内的信号无失真的通过，而高于一定频率值的信号完全抑制的滤波器，其系统函数()L H ω为1， 0ωω< ()L H ω= (8)0， 0ωω>其中，0ω是理想低通滤波器的截止频率。
频谱如图1所示。
图1 理想低通滤波器的频谱2、理想高通滤波器理想高通滤波器与理想低通滤波器相对应，是指使高于某个频率值的信号无失真的通过而低于该频率的信号则完全抑制，其系统函数()H H ω为1， 0ωω>()H H ω= (9)0，0ωω<其中，0ω是理想高通滤波器的截止频率。
频谱如图2所示。
图2 理想高通滤波器频谱图3、理想带通滤波器理想带通滤波器是一个允许特定频段的信号波通过同时屏蔽其他频段的滤波器，其系统函数()B H ω为1 ， 12ωωω<<()B H ω= （10）0，2ωω>或1ωω<其中,1ω称带通滤波器的低通截止频率,2ω称带通滤波器的高通截止频率。