人教版中考数学知识点分类 知识点47 新定义型(1)

一、选择题

1. （2019湖南省岳阳市，8，3分）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．1

4

c <

D ．c ＜1 【答案】B

【思路分析】根据不动点定义，得出x 1，x 2满足的一元二次方程，利用根与系数的关系及根的判别式列出不等式求解即可.

【解题过程】当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1、x 2是该方程的两个实数根，所以：

12121

x x x x c

+=-⎧⎨

⋅=⎩ ∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0 即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0 ∴c －(－1) ＋1＜0 ∴c ＜－2

又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0 即12－4c ＞0， 解得：c ＜

14

∴c 的取值范围为c ＜－2

【知识点】二次函数与一元二次方程，根与系数的关系

2. （2019山东省济宁市，10，3分）

−

a 3的差倒数，…，依此类推，那么a 1＋ a 2＋…＋ a 100的值是（ ）

A ．－7.5

B ．7.5

C ．5.5

D ．－5.5 【答案】A

【思路分析】

【解题过程】

－7.5．

【知识点】探索规律

二、填空题

1. （2019山东德州，16，4分）已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[4.8]4=，[0.8]1-=-．现定义：{}[]x x x =-，例：{1.5} 1.5[1.5]0.5=-=，则{3.9}{1.8}{1}+--= ． 【答案】0.7

【解析】解；{3.9}{1.8}{1} 3.93 1.82110.7+--=--+-+=，故答案为0.7． 【知识点】新定义 三、解答题

1. （2019重庆A 卷，22，10）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特

征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．

定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯

数”，

例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23

＋24＋25时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．

【思路分析】（1）按“纯数”的定义，看2019＋2020＋2021及2020＋2021＋2022在计算时，是否各数位都不产生进位，即可做出判断；（2）寻找“纯数”的构成规律：连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．然后按一位、两位数及三位数（100）分三种情况讨论，即可锁定答案． 【解题过程】（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：

∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．

（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位

为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：

①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；

②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”．

综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．

【知识点】阅读理解题；新定义问题；分类思想；纯数．

2. （2019重庆市B 卷，22，10）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、 奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”. 定义：对于自然数n ，在通过列竖式进行()()21++++n n n 的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n 为“纯数”.

例如：32是“纯数”，因为343332++在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 23不是“纯数”，因为252423++在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴ 请直接写出1949到2019之间的“纯数”；

⑵ 求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由。

【思路分析】解决此题首先要准确理解新的定义，然后根据新定义中“不产生进位”合理分析出各个数位上的值，列举即可．此题主要考察新定义的理解与分析，新定义中的“不产生进位”是分析的关键，即和不能

大于10，在列举时要注意“不重不漏”． 【解题过程】解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100

若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．

两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个 【知识点】规律型：数字的变化类．不等式、分类讨论.

3. （2019浙江省衢州市，23，10分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），

若点T （x ，y ）满是x =

3

a c +，y =3

b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。

例如：A （-1，8），B （4，一2），当点T （x .y ）满是x =

143-+=1，y =8(2)

3

+-=2时.则点T （1，2）是点A ，B 的融合点。

（1）已知点A （-1，5），B （7，7）.C （2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点。 （2）如图，点D （3，0）.点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点。

①试确定y 与x 的关系式。

②若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标。 【思路分析】（1）根据融合点的概念通过计算进行判断； （2）①根据融合点的概念建立方程求解；

②分∠THD =90°，∠TDH =90°，∠HTD =90°三种情况，结合图形讨论确定点E 的坐标。

【解题过程】（1）∵

173-+=2，57

3

+=4， ∴点C （2，4）是点A .B 的融合点。..…3分 （2）①由融合点定义知x =

33

t

+，得t =3x -3....4分 又∵y =

0(23)3t ++，得t =33

2y -...….5分 ∴3x -3=

33

2

y -，化简得y =2x -1.……6分