全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛山东省预赛

试 题

一、选择题（每小题6分，共60分）

1．已知集合

{|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}M x x x x x N x x x x x = ---< ∈ = ---> ∈

． R R

M N =I （ ） .

(A) (2,3)

(B) (3,4)

(C) (4,5) (D) (5,6)

2

．已知3)n

z i =, 若z 为实数，则最小的正整数n 的值为（ ） .

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

3．已知p ：,,,a b c d 成等比数列，q:ad bc =， 则p 是q 的（ ） . (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件

(D) 既不充分也不必要条件

4．函数2

0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） .

(A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞

5．已知,x y 均为正实数，则

22x y

x y x y

+++的最大值为（ ） .

(A) 2 (B)

2

3 (C) 4

(D)

43

6．直线y=5与1y =-在区间40,

πω⎡⎤

⎢⎥⎦⎣

上截曲线sin (0, 0)2y m x n m n ω=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） .

（A ）35

,n=22m ≤

（B ）3,2m n ≤=

（C ）35

,n=22

m >

（D ）3,2m n >=

7．有6名同学咨询成绩．老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差

的，而且6人的成绩各不相同．那么他们6人的成绩不同的可能排序共有 （ ） .

(A) 120种

(B) 216 种

(C) 384 种 (D) 504种

8．若点P 在曲线2

1y x =--上,点Q 在曲线2

1x y =+上，则PQ 的最小值是（ ） .

(A)

(B)

2

(C)

4

(D)

8

9．已知函数2

11()(

)612

x f x x bx a =+++- (,a b 为常数，1a >)，且8(lg log 1000)8f =，则(lglg 2)f 的值是（ ） .

(A) 8 (B) 4

(C) 4- (D) 8-

10．在等差数列{}n a 中，若11

10

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取最小正值时，n = （ ）.

(A) 1 (B) 10 (C) 19 (D) 20

二、填空题（每小题6分，共24分）

11．已知()cos 2|cos |f x x p x p =++，x ∈R ．记()f x 的最大值为()h p ，则

()h p 的表达式为 .

12．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .

13．设,A B 为抛物线2

2(0)y px p =>上相异两点，则22

OA OB AB +-u u u v u u u v u u u v 的最小值为

___________________．

14．已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

564035aGA bGB cGC ++=0u u u r u u u v u u u v

，则B ∠=__________．

三、解答题（本大题共5题，共66分） 15．(12分)不等式

sin 2)sin()324cos()

4

a πθθπθ-+->---

对⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈2,

0πθ恒成立．求实数a 的取值范围．

16. （12分）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,O E F G 分

别为11111,,,BD BB A D D C 的中点，且1AB =． 求四面体OEFG 的体积．

A

1

17. （12分） 在平面直角坐标系中, 已知圆1C 与圆2C 相交于点P ，Q , 点P 的坐标为()3,2, 两圆半径的乘积为13

2

．若圆1C 和2C 均与直线l : y kx =及x 轴相切，求直线l 的方程．

18. （15分）甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p （01p <<），乙获胜的概率为1q p =-．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经ξ次结束，求ξ的期望E ξ的变化范围．

19. （15分） 集合{1,2,,2011},M ⊆L 若M 满足：其任意三个元素,,a b c ，均满足

ab c ≠，则称M 具有性质P ，为方便起见，简记M ∈P ．具有性质P 的所含元素最多的集

合称为最大集．试问具有性质P 的最大集共有多少个？并给出证明．