裂项相消课件,
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裂项相消法课件(微课堂)
数学运用 练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1
B.
2n
1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
【解析】
=数学运用练习2求Sn1 1 3
1 24
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)
1 2
(1 n
1 n
) 2
Sn
1 2
(1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n
1 n
) 2
1 (1 1 1 1 ) 3 2n 3 2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)
1 n(n 1)
的和
（1）解：数列的通项公式
11 an n n 1
数列的和为
Sn
1
n
1
1
n
n
1
（2）解：
你能说“裂项相消求和法”的特征吗？
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的 前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
微课堂
复习引入
首先回忆前面学习过的数列求和的几种方法？
1、公式法：等差数列和等比数列 2、分组求和 ： 通项为等差加减等比
例如 an 2n n2
接下来请同学看下面两个问题：
（1）1 1 1 1 1 1 1 1
22334
n n1
（2）求数列
1, 1 2
1 , 1 ,, 23 34
怎样的数列可以用裂项相消求和？
1. 通项为分式结构 2. 分母为两项相乘
知识点——裂项相消法PPT课件
第16页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
bn
(1 n 1
1 ) 3n1 3n
裂项即逆用分式减法
3n1 3n
bn
n 1
n
Tn
3n1 3 n 1
点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项 之间的“轮转”， 即前一项的减数与后一项被 减数相同.
第17页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
变式：已知数列数列{an}的首项、公差都是1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(Ⅱ)令bn
n 1 Sn Sn1
(n
N *)，求数列{bn}的前
n项和Tn .
答案：(1)an
n, Sn
点评：该解法应用了三个思想: ①放大； ②裂项(使分母的两个因式都变为奇数)；③提高 算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）.
问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？
首先改造通项公式：
bn
1 2n(2n 1)
1 4
1 n(n
1)
2
第25页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵 活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
n(n 1) ; 2
2 (2) Tn 2 (n 1)(n 2) .
第18页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵 活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
例6.设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn ,
且Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0(n N *).
(1 1 )] n n 1
第5讲--简便计算(四)——裂项相消法(精品文档)
第5讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。
二：列项相消公式（1）111(n 1)1n n n =-++ （2）()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k=-⨯++ （4）()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）11a b a b a b+=+⨯ （6）22a b b a a b a b+=+⨯ 三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。
依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二 项、、、、、、第n 项（末项）。
（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。
四：等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
而这个常数叫做等差数列的公差。
（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）三：经典例题例1、111111112233445566778++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1n n n =-++）例2、1111111 261220304256 ++++++例3、111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110例4、111111 133557799111113 +++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯例5、11111315356399++++例6、111111+3+5+7+9315356399144771*********⨯⨯⨯⨯⨯例8、22222 +++++ 1335572001200320032005⨯⨯⨯⨯⨯例9、3579111315-+-+-+261220304256例10、354963779110561220304256-+-+-（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个数相加的和。
裂项相消法求和ppt课件
(4)an
log
a (1
1) n
__l__o__a_g (_n1)loag n
7
已知 Sn为数列an｝ ｛的n前 项和，且S满 n n足 223n, （1）求数an的 列通项 （2）若 bn an1an1,求数列bn｝ ｛的n前 项和 Tn
8
(15年全国)S卷 n为数列an｝ ｛的n前 项和，已 an 知 0, an2 2an 4Sn 3 (1)求｛ an｝的通项公式 （2）设 bn ana1n1,求数列bn｝ ｛的n前 项和
数列求和（二）—— 裂项相消法
能力提升
1 ________
anan1
2
三、重难点点拨
• •
裂项
1 1 1 n(n1) n n1
• 请填空：
nn1212(1nn 12)
• 一般地： nn1k1k(1nn1k)
3
• 变式训练
已知 an nn21，求 Sn
已知 an n(n12),求Sn
4
三、增效练习
5
三、增效练习
6
常见的裂项求和
11 1
(1) a n
1 n(n
k)
( )
__k___n__ nk
(2)an
1 4n2 1
___12__(_2_n_1__ 12n11)
(3)an
1 n 1
____n___1 n n
18
在数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan｝ ｛中， a1 若 1,an1 3an2, (1)证明数a列 n 1｛ ｝为等比数列 (2)求数a列 n的通项公式
19
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高中数学必修5《数列求和-裂项相消法》PPT
常见的裂项公式：
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点： 重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程： （一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意： 在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点： 重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问 题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程： （一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求 和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式， 相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意： 在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵 消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会 知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标 通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发 扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻 研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五 数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的 对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方 求和、裂项相消、错位相减等
数列求和-裂项相消法_PPT课件
2 3 35 57
2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 2 2n 1
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
解：Q
bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
Tn b1 b2 b3 L L bn1 bn
1 (1- 1）（1 - 1）（1 - 1 ）L （ 1 1 ） ( 1 1 )
k)
1 k
(1 n
n
1
k
)
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
解：Q
bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n 1)
1 2
(1 (2n 1)
1) (2n 1)
Tn b1 b2 b3 L L bn1 bn
1 (1- 1）（1 - 1）（1 - 1）L （ 1 1 ） ( 1 1 )
3 4 4 7 7 10
3n 5 3n 2 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
强化练习·扩展延伸
强化练习12：．.(2017·福 州 质 检 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ xa 的 图 象 过 点 (4,2) ， 令 an ＝
人教版高中数学必修五2.3数列裂项相消法求和课件
已知bn
2 n2 5n 6
, 求Sn
能力提升
已知数列an中, an
2n
1, bn
an
1 an1
求数列bn 的前n项和.
课堂小结
1.形如
an
k an1
(k为常数,
an
为等差数列)
的数列的求和问题采用裂项求和法
2.具体方法 : bn
an
k an1
k d
1 an
1 an1
小试牛刀
设an为公差大于零的等差数列，S n为数列an
例题讲解:
例1.求和 1 1
1
1 2 2 3
n(n 1)
思考:
把下列各式裂成两式之差 :
1
1 (1 1)
_2___3__;
1
_12 (_1n_ n_1_2)
1 3
n(n 2)
1
Байду номын сангаас
1 (1 1)
_3 _2__5__;
1
1( 1 1 )
2__n _1_n_ 3
25
(n 1)(n 3)
2.3 数列裂项相消法求和
请同学们思考下面几个问题:
1. 1 与1 1 什么关系? 1 与 1 1 呢?
1 2 2
23 2 3
2. 1 可以等价于哪个式子 ? n (n 1)
3.计算 1 1 1
1 2 23
n(n 1)
什么是裂项法?
把数列的通项拆成两项之差,则分母的 每一项都可以按此法拆成两项之差,并 在求和时一些正负项可以相互抵消,使 前n项和变成首尾有限项之和.
若an1
an
d , (d
0).则
an
裂项相消ppt课件
精选
1
小试身手
应该怎样拆项？
精选
2
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数列)
精选
3
裂项法求和
例：求数列 1 ,1, 1, 1 , , 1 , (n N * ) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n
1[(1 1)(1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
1(1 1 ) n
3 3n1 3n精选1
7
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值.
[思路点拨]
精选
8
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
的前n项和
提示： a n 1 2 1 nn (n 2 1 )2 (1 nn 1 1 )
S n 2 [ 1 1 2 1 2 1 3 1 n n 1 1 2 1 n 1 1 n 2 n 1
精选
4
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
n
1
1
(2)(2n1)12n112
(1 1) 2n1 2n1
(3) 1 n(n 2)
高三理科数学数列求和裂项相消法ppt课件
28
1 { } * an=f(n+1)+f(n),n ∈ N , 记数列 an 的前 n 项和为 Sn, 则
Sn=10 时,n 的值是 A.110 B.120 ( ) C.130 D.140
17
【解析】选 B.因为幂函数 y=f(x)=xα过点(4,2),
1 所以 4α=2,所以α= 2 ,
所以 an=f(n+1)+f(n) n 1 n ,
18
1 1 1 1 类型三：an n n( n n1 ) n 1 2 b 2 b 2 2 b 2 b
例 3.已知
an 2
n
1 1令 bn an an1 ，
Tn 是数列 bn 的前 n 项和，
1 Tn 证明： 6．
19
1 bn n n 1 证明： 2 1 2 1
6
1 （3）an n 1 n n 1 n ( n 1 n )( n 1 n ) n 1 n
sn 2 1 3 2 4 3 n 1 n n 1 1
7
1 （3）变式an nk n
nk n an k ( n k n )( n k n ) 1 ( n 1 n) k
*
3 m (3)设 bn= an an 1 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 20
对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.
24
解：(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b.
由f′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2，
∴f(x)＝3x2－2x. 又由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上， 得 S n ＝ 3 n 2－ 2 n .
北师大版高三数学高考第二轮专题数列求和之裂项相消法课件
an
(2n
1 1)(2n
1)
an
(2n
2n1 1)(2n1
1)
an
1 n 1
n
an
ln
1
1 n
情境引入
例题讲授
例1
已知
an =
n
2 n
1
，
求
Sn.
1 n
n
1 1
n
1
n 1
an
n(n2+1）= 2(
1 n
1) n 1
正项 1 1 1 1 234
负项 1 1 1 234
1 n 11 n n 1
111
11
Sn 2(1 2 2 3
) n n1
Sn
2(1
1 )= n 1
2n n 1
整理通项时提取的系数 裂项相消后的余项
例题讲授
例1变式
已知
an =
1
nn
2 ，求
Sn.
an
n(n1+2）=
1 2
( 1 1 ) 正项 1 1 1 1
n n2
234
负项 1 1
34
Sn
1 2
(1
1 3
求
Sn.
2
已知 an
(n
2n 5 1)(n 2)3n
，求
Sn.
3
已知
an
=
n(n
1 1)(n
2)
，求
Sn.
4
已知
an =(
1)n
2n ， 4n2 1
求
Sn.
课堂小结 裂项相消法的特点
数列通 项一般 是分式
型
裂项相消法微课堂.pptx
第7页/共10页
怎样的数列可以用裂项相消求和？
1. 通项为分式结构 2. 分母为两项相乘
1
型如：
an an1
{an}是d 0的等差数列
第8页/共10页
归纳小结 裂项相消法
常见的拆项方法：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 n(n
k)
=
1（1 － 1 k n n+k
）
1
1( 1 1 )
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的 前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
第4页/共10页
数学运用 练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1
B.
2n
1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
第5页/共10页
【解析】
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
n 1 n
n 1 n
第9页/共10页
感谢您的观看！
第10页/共10页
=
第6页/共10页
数学运用
练习2
求
Sn
1 1 3
1 24
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)
1 2
(1 n
n
1
) 2
Sn
1 2
(1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n
n
1
) 2
1 (1 1 1 1 ) 3 2n 3 2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)
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注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和
小试身手
应该怎样拆项？
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 列)的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数
裂项法求和
例：求数列
1,
1 1
2
,
解得：a1＝1，d＝1， 所以an＝n，
所以
，
Tn=
(2)若an＋1≥λTn，即n＋1≥λ
，
∴λ≤
，
又
＝n＋ ＋2≥4，当且仅当n＝ ，即n＝1时取
等号.任意n∈N*，不等式成立，故λ≤4，
∴λ的最大值为4.
1
1 2
3
,
1
2
1
3
4
,,
1
2
1 3
n
,(n
N
*
)
的前n项和
提示： an
1
1 2
n
2 n(n 1)
2( 1 n
1) n 1
Sn
2[1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
21
1 n 1
2n n 1
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝
A.1
B.
C.
D.
，则S5等于 ()
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
1 n
1
(2)
(2n
1
1)2n
1
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3) 1 1 (1 1 ) (4)
1
n1 n
n(n 2) 2 n n 2
n1 n
解析：∵an＝
，
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
答案：B
当堂训练
裂项法求和
求和
1 1 1
1
1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n 1)
提示：
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1 3n
ห้องสมุดไป่ตู้) 1
∴
1 1
1
1 4 4 7
(3n 2)(3n 1)
1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值. [思路点拨]
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则