一元一次方程的应用——形积变化问题
一元一次方程的应用—等积变形和行程问题
一元一次方程的应用——等积变形和行程问题一、教学目标1.通过分析图形问题中数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力；2.理解行程问题中数量之间的关系，能根据行程问题中的数量关系建立方程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；3.通过实际问题的探讨，使学生在独立思考的过程中，进一步体会数学的应用价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.二、教学重难点1.教学重点：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.2.教学难点：分清有关数量关系，正确找出作为列方程依据的主要等量关系.三、教学方法启发式、精讲精练四、教学过程（一）导入新课【情景引入】一支牙膏出口处直径为5mm,小明每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次。
该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为6mm,小明还是按习惯每次挤出1cm 长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？（二）讲授新课1.等积变形问题例1：如图，用直径为200mm 的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm 、300mm 和90mm 的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积高线长.计算时 取3.14.要求结果误差不超过1mm ）？【想一想】问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？已知：圆钢直径（200mm ）、长方体毛胚的长宽高（300mm 、300mm 、90mm ） 未知：圆钢的高设未知数：设应截取圆钢x 毫米问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？等量关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积问题3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？ 根据等量关系列出方程，得： 200x90 3003009030030022002⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛x π 解方程，得：258≈x答：应截取258mm 长的圆柱体钢.【点拨】等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变.【归纳总结】列方程解应用题的一般步骤：1.设未知数：弄清题意和题中数量关系，用字母（如x,y)表示问题中的未知数；2.找等量关系：分析题意，找出相等关系；3.列出方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；4.解方程：解这个方程，求出未知数的值；5.检验作答：检查所得值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.2.行程问题例2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km 的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？【分析】行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：路程=平均速度×时间.【解答】设提速前客车平均每小时行驶xkm,那么提速后客车每小时行驶（x+40)km,客车行驶路程为1110km,平均速度为（x+40)km/h,所需时间是10h.根据题意，得10（x+40)=1110解方程，得x=71答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.例3 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？(2)两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600千米？(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？【归纳总结】行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间．行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析．例4：汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时.已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？【分析】本题是行程问题，故有：路程=平均速度×时间；时间=路程÷平均速度.但涉及水流速度，必须要掌握：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速.【解答】方法一：直接设元法解：设甲、乙两地的距离为x 千米，等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5方法二：间接设元法解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,逆水航行的距离是(18－2)x千米.等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离环形跑道问题问题1：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？问题2：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？变式训练：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？【当堂练习】1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（）A.12cmB.18cmC.24cmD.30cm2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（）A.12.5千米/时B.15千米/时C.17.5千米/时D.20千米/时3．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？4.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度.（三）课堂小结（四）课后作业p1.全品作业本5354五、板书设计等积变形和行程问题列方程解应用题的一般步骤：设未知数；找等量关系；列出方程；解方程；检验作答1.等积变形问题2.行程问题。
一元一次方程的应用等积变化问题
一元一次方程的应用等积变化问题等积变化问题是一元一次方程应用题中的一种常见题型，其基本特点是涉及到体积、面积、长度等量的变化，而这种变化是等积的，即变化前后的量是相等的。
解决等积变化问题的关键在于理解“等积”的含义，即体积、面积、长度等量在变化过程中保持不变。
因此，我们需要根据题目描述，建立等量关系，然后列出方程求解。
下面是一个具体的例子：题目：有一个长方体，它的长增加了2cm，宽和高不变，体积增加了40立方厘米；宽增加了2cm，长和高不变，体积增加了60立方厘米；高增加了2cm，长和宽不变，体积增加了48立方厘米。
求原来长方体的体积是多少？解：设原长方体的长为l cm，宽为w cm，高为h cm。
根据题目描述，我们可以建立以下方程：1. 长增加2cm后，体积增加了40立方厘米：(l + 2) × w × h - l × w × h = 402. 宽增加2cm后，体积增加了60立方厘米：l × (w + 2) × h - l ×w × h = 603. 高增加2cm后，体积增加了48立方厘米：l × w × (h + 2) - l × w × h = 48将以上三个方程整理为一元一次方程组：1) (l + 2) × w × h - l × w × h = 402) l × (w + 2) × h - l × w × h = 603) l × w × (h + 2) - l × w × h = 48通过解这个方程组，我们可以得到原长方体的长、宽、高分别为：l = 5 cm, w = 4 cm, h = 3 cm。
因此，原来长方体的体积是：l × w × h = 5 × 4 × 3 = 60 立方厘米。
一元一次方程的等积变形问题课件
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为 30米，宽为20米.
.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
.
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40 米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
.
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积 =小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是 _____?_r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2_?_x） （______0._3_2_×)0.5 ?
解：设水面将升高 x米, 根据题意得 方程为： _____0_._5_2_?_x_=__0_.3_2_×__0_.5 ? 解这个方程： _____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_. _0_.1_8m 。
.
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短 Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
60m
30（60 —x)=1350
解得： x=15
经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根 15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
第1课时 利用一元一次方程解决几何问题
变式1【2024衡阳月考】如图，在周长为10 m的长方形窗户
上钉一块宽为1 m的长方形遮阳布，使透光部分正好是一个
正方形，则钉好后透光面积为( A )
A. 4 m2
B. 25 m2
C. 16 m2
D. 9 m2
知识点2 等长变形问题 【教材P147例1变式】 小明用长16 cm的铁丝围成一个
长方形，并且长方形的长比宽多2 cm，求围成的长方形的长 和宽.
长比宽的2倍少2 m，如果设这个篮球场的长为 x m，那么
下列方程中错误的是( D )
A. 2 ＝86
B. 2 －2＝ x
C. ＝ － x
D. 2(2 x －2＋ x )＝86
12345
4. 用一根铁丝可以围成一个圆，半径正好是10 dm，如果把 这根铁丝改围成一个正方形，则它的边长 是 5π dm.(结果保留π)
(1)分析：围成长方形的长与宽的和为周长的一半.根据“长 比宽多2 cm”即可列出方程；
(2)解：设围成的长方形的宽为 x cm.根据题意，得方程 x ＋(x＋2)＝16÷2 ，解这个方程，得 x ＝ 3 .所以 x ＋ 2＝ 5 .所以围成的长方形的长与宽分别为 5 cm，3 cm .
12345
5. 【2024西安雁塔区校级四模】从一个底面半径是10 cm的 圆柱形凉水杯中向一个底面半径为5 cm，高为8 cm的圆柱 形空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将
下降多少厘米？ 解：设凉水杯的水面将下降 x cm， 由题意，得π×102 x ＝π×52×8， 解得 x ＝2， 故凉水杯的水面将下降2 cm.
变式2【情境题·生活应用】如图是一个由栅栏围成的一边靠
墙的长方形养鸡场，测得 AD ＝8 m， AB ＝3 m，现想增加
北师大版数学七年级上册《一元一次方程应用题分类》(4)
北师大版数学七年级上册--《一元一次方程应用题分类》一、形积问题1、有一块棱长为4厘米的正方体铜块,要将它熔化后铸成长4厘米、宽2厘米的长方体铜块,铸成后的铜块的高是多少厘米(不计损耗)?2、一个长方形的周长为36厘米,若长减少4厘米,宽增加2厘米,长方形就变成正方形,求正方形的边长。
3、把一块长宽高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块,浸入半径为4cm的圆柱体玻璃杯中(盛有水,铁块被水完全淹没)水面将增高多少?(不外溢)二、打折销售问题1.一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价,又以八折优惠卖出,?结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本为多少元?2、某商品的进价为700元,为了参加市场竞争,商店按标价的九折再让利40元销售,此时仍可获利10%,此商品的标价为多少元?13、一件商品按成本价提高20%后标价,又以9折销售,售价为270元,这种商品的成本价是多少元?4、五一期间,百货大楼推出全场打八折的优惠活动,持贵宾卡可在八折基础上继续打折,小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品,共节省2800元,则用贵宾卡又享受了几折优惠?5、新华书店准备将一套图书打折出售,如果按定价的6折出售将赔60元,若按定价出售则赚20元,试问这套图书的进价是多少?6、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?7、某服装店出售某种服装,已知售价比进价高20%以上才能出售,为了获得更多利润,该店老板以高出进价80%的价格标价,若你想买下标价360元的这种服装,最多降价多少元,该店老板还会出售?三、希望工程问题(调配问题)1、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐,共售出1000张门票,已知成人票每张8元,学生票每张5元,共得票款6950元,成人票和学生票各几张?2、甲、乙两个水池共蓄水50吨,甲池用去5吨,乙池又注入8吨水后,甲池的水比乙池的水少3吨,问原来甲、乙两个水池各有多少吨水?3、某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人,如果从第二车间调10人到第一车间,那么第一车间的人数就是第二车间人数的,求原来每个车间的人数?4、甲班有54人,乙班有48人,要使甲班人数是乙班人数的2倍,则应从乙班调往甲班多少人?四、行程问题(一)相遇问题和追及问题1、已知A、B两地相距100千米,甲以16千米/小时的速度从A地出发,乙以9千米/小时的速度从B地出发。
一元一次方程实际应用题之等积变形问题
一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。
可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。
解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。
2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。
要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。
解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。
解：零件的底面积是x平方厘米。
8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。
3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。
一元一次方程的等积变形问题PPT课件
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是______r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2 __x） （_____0_._3_2_×)0.5
解：设水面将升高x米, 根据题意得 方程为：_____0_._5_2__x_=__0_.3_2_×__0._5 解这个方程：_____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_0__.1_8m。
V r 2h
V 1 r 2h
3
延伸 等 积 变 形
相等 体（面）积
周长
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个 长比宽长10米的长方形，问这个长方形的
长和宽各是多少米？
示图分析
100米
(X+10)
米ห้องสมุดไป่ตู้
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长 方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的 旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行 的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
所以仓库的长为:x+10=30+10=40米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
一元一次方程应用之等积变形篇
物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．
一元一次方程解航行问题
要解航行问题，就要所有量之间的关系。
首先，要弄清几个速度之间的关系：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
其次，要弄清速度、时间和路程的关系：
顺流路程＝顺流速度×顺流时间
逆流路程＝逆流速度×逆流时间
弄清这些关系后，就应该考虑怎样列方程了。
为了方便，我把列方程的规律编成了顺口溜儿：
航行问题找三量，
静速水速和路程，
一个已知一设元，
余下一个列方程；
若遇三量都具体，
时间关系列方程。
针对上面的问题，下面文章举例说明！。
5.3 第1课时 形积问题 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册
答：应截取这种钢锭 30 cm.
方法总结
物体由一种形状变成了另一种形状，形状发生了 变化，但是体积保持不变。 “变形之前物体的体积＝变形之后物体的体积” 就是我们所要寻找的等量关系。
解得
x = 2.5
正方形的边长为 2.5 m，
正方形的面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2). 同样比长(2)的中铁面丝积可增大 6. 25 - 6.09 = 0.16(m2). 以围更大的地方.
方法总结 思考：在上面的问题中，所列方程的两边分别表示 什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。
2 等长变形问题
合作探究 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形。
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时 长方形的长、宽各为多少米？
长方形的周 长(或长与宽 的和)不变
在这个过程 中什么没有 发生变化？
解： 设此时长方形的宽为
xm
x m，则它的长为(x + 1.4)m.
根据题意，得
此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大了， 增大了6.09－5.76 = 0.33(m2).
(3) 如果该长方形的长与宽相等，即围成一个 正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正 方形的面积与(2)中长方形的面积相比，又有 什么变化？
xm
解：设正方形的边长为 x m.
根据题意，得
(x + x)×2 = 10
积 S = a2 ，长方体的体积 V = a2b 。
（3）如图 3，圆柱体的底面圆的周长 l = 2πr ，面积
沪科版七年级数学上册《一元一次方程的应用——等积变形》课件
1.你能总结出用一元一次方程解应用题的一般 步骤吗？
以上几例，说明了列方程解应用题的一般步 骤： 1.弄清题意和题中的数量关系，用字母（如 X,y表示问题里的未知数； 2.分析题意,找出相等关系(可借助于示意图、 表格等)； 3.根据相等关系，列出需要的代数式，并列 出方程； 4.解这个方程，求出未知数的值； 5.检查所得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案(包括单位名称)
3.2.1一元一次方程的应用 ——等积变形
表示出下列各式：
圆柱体积= 正方体体积= 长方形面积= 圆的面积= 梯形面积= 正方形周长=
长方体体积= 圆锥体积= 正方形面积= 三角形的面积= 长方形周长= 圆的周长=
1.有一正方体铁块棱长为10cm，现在想把它熔解 铸成一个长方体铁块，长20cm，宽10cm，求长方 体的高？
❖1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” ❖2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 ❖3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ❖4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ❖5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 ❖7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察 是思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 ❖8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
2024年北师大版七年级上册数学第五章一元一次方程培优提升专题3：一元一次方程的应用
·数学
8.(2024上海月考)甲、乙两运动员在周长为400米的环形跑道 上分别练习跑步与竞走，已知甲、乙两人的速度之比为8∶3， 两人同时同地同向出发，2分钟后第一次相遇. (1)甲、乙两人的速度分别是多少？
·数学
解：设乙采冰队平均每天能采冰的体积是x立方米，则甲采 冰队平均每天能采冰的体积是1.5x立方米， 由题意，得(6＋8)x＋8×1.5x＝1 300， 解得x＝50， ∴1.5x＝1.5×50＝75. 答：甲采冰队平均每天能采冰的体积是75立方米，乙采冰队 平均每天能采冰的体积是50立方米.
·数学
·数学
◆类型6 新定义问题 11.(2023东莞期末)用符号※定义一种新运算，即a※b＝ab＋ 2(a－b)，若3※x＝0，则x的值为 －6 .
·数学
12.(创新题)定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我 们就称这两个方程互为“成双方程”.例如：方程2x－1＝2 和2x－1＝0互为“成双方程”. (1)判断方程4x－(x＋5)＝1与方程－2x－x＝3 不是 互为 “成双方程”(填“是”或“不是”)； (2)若关于x的方程x2＋m1 ＝0与方程3x－2＝x＋4互为“成双方 程”，则m的值为 2 ；
解：设小明收集了x节废电池，则小华收集了(x＋5)节废电池， 根据题意，得x＋10＝2(x＋5－10)， 解得x＝20，则x＋5＝20＋5＝25. 答：小华收集了25节废电池，小明收集了20节废电池.
·数学
◆类型3 工程问题
5.(2024唐山一模)有一道条件缺失的问题：一项工程，甲队单独做需
7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用(2)等积变形问题-分节好题挑选
浙教版-7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用（2）等积变形问题-每日好题挑选【例1】用一个棱长为20厘米的立方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是50厘米，10厘米和8厘米的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，立方体容器中水的高度下降了。
【例2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是。
【例3】如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，它们内部的底面积分别为80cm2，100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙容器中，则乙容器中的水位比原先甲容器中的水位降低了8cm，则甲容器的容积为cm3。
【例4】一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500km后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500km后报废．已知自行车在行驶一定的路程后可以交换前后轮轮胎，如果通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共支撑自行车行驶了km。
【例5】如图，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节，圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm。
现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等．设每人向后挪动的距离为x(cm)，根据题意，可列方程。
【例6】拟有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20cm，高为20cm，现装有蓝色溶液若干。
正放时的截面如图②，测得液面高10cm；倒放时的截面如图③，测得液面高16cm，则该玻璃密封器皿的总容量为cm3。
(结果保留π)【例7】一种圆筒状包装的保鲜膜如图所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm, 4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为cm。
(结果精确到0.0001cm)【例8】爷爷病了，需要挂一瓶100mL的药液(如图所示)，小明守在旁边，观察到输液流量是3mL/min，输液10min后，吊瓶的空出部分容积是50mL，利用这些数据，计算整个吊瓶的容积是mL。
一元一次方程应用之等积变形篇
等积变形篇物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686=x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210) 768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm ×60m ”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm 、4.0cm ，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm 指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m 是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x ≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm ．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m 3，做一条桌腿需要木材0.002m 3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m 3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X 张，我们就容易用X 表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m 3，做桌面所需的木材的体积是0.03X m 3.因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m 3解：设共做了x 张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100. 所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。
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一元一次方程的应用——形积变化问题
教学目标：1.会分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题.
2.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系.
教学重点：列一元一次方程解有关形积变化问题．
教学难点：准确把握形积问题中的等量关系．
教学过程:
一.小测与评价
1．长为a，宽为b的长方形周长C= ；面积S= ．
边长为a的正方形周长C= ；面积S= ．
半径为r的圆的周长C= ；面积S= ．
2. 长、宽、高分别为a、b、h的长方体的体积V= ；
棱长为a的正方体体积V= ；底面半径为r，高为h的圆柱体积V= ．目的:通过复习这部分的内容,为本节课的内容作好铺垫.
二.引入与发现
(一)探究:体积相等的问题
示例1:如右图，将一个底面直径是6㎝，高为16㎝的
“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是8㎝的“矮胖”
形圆柱，高变成了多少？
目的:本题主要让学生从倒水过程中,找准“体积不变”这一等量关系.
(二)探究:周长相等的问题
示例2:用一根长12米的铁丝围成一个长方形。
（1）使得长方形的长比宽多4米，此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）使得长方形的长比宽多2米，此时长方形的长、宽各为多少？它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比,面积有什么变化?
（3）使得长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长为多少米？它所围成
6
610101010的面积与(2)中相比又有什么变化?
目的:作为本节的重难点题目，通过这变形,让学生明白长度不变时,形状发生改变时,面积的大小也随着发生变化,特别在围成圆时面积最大.
三.巩固与提高
1.一块长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的长方体橡成泥，要用它来捏一个底面半径为2cm 的圆柱.设这个圆柱的高为x cm ，可得方程为 .
2．根据题意列出方程(不用解方程)
(1)墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，如下图实线所
示。
小颖将梯形下底的钉子去掉，
并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示.
小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？
(2)如图,小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4㎝的长条
后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5㎝的长条，如果两
次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少?
目的:通过分层的练习,让学生明白等量关系,从而进一步认识
“等长变形” “等面积变形”“等体积变形”的规律,使学生
更好地理解本节课的内容.
四.小结与与整理 1.利用一元一次方程解应用题是关键是: .
2.变形: 、 .
3.你的收获是什么? 目的:让学生自己说说本节的收获,理解本节的主要内容: “等长变形” “等面积变形”“等体积变形”.
五.作业:详见教学案的相应练习.
目的:通过配套练习,让学生对本节的内容有更深刻的了解.。