外心、内心与重心
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形的重心、垂心、外心和内心的认识(二)2024
三角形的重心、垂心、外心和内心的认识（二）引言：三角形是一种基本的几何图形，它具有独特的性质和特点。
在三角形中，重心、垂心、外心和内心是四个重要的点，它们分别具有不同的特性和作用。
在本文中，我们将进一步探讨三角形的重心、垂心、外心和内心的认识，帮助读者更好地理解和应用它们。
正文：一、重心（Center of Gravity）重心是三角形内部所有点的平均位置。
它具有以下性质：1. 重心所在的直线称为重心线，它经过三角形的顶点与对边的中点。
2. 重心将三角形分成三个面积相等的小三角形。
3. 如果一个三角形均匀分布质量，则它的重心就是质心。
二、垂心（Orthocenter）垂心是三角形三条高线的交点。
它具有以下性质：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
2. 垂心到三角形三条边的距离乘积最小。
3. 如果一个三角形是锐角三角形，则垂心在三角形内部；如果是直角三角形，则垂心是直角的顶点；如果是钝角三角形，则垂心在三角形外部。
三、外心（Circumcenter）外心是三角形外接圆的圆心。
它具有以下性质：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。
2. 外心到三角形三条边的距离相等，且等于外接圆的半径。
3. 一个三角形的外心可以通过三条边的垂直平分线的交点确定。
四、内心（Incenter）内心是三角形内切圆的圆心。
它具有以下性质：1. 内心到三角形三条边的距离相等，且等于内切圆的半径。
2. 内心到三角形的三个顶点的距离之和等于三角形的周长。
3. 一个三角形的内心可以通过三条边的角平分线的交点确定。
总结：三角形的重心、垂心、外心和内心是三角形内部的特殊点，它们在三角形的性质和计算中扮演着重要的角色。
重心代表了平均位置，垂心代表了高线的交点，外心代表了外接圆的圆心，内心代表了内切圆的圆心。
通过深入理解和认识这些点的性质，我们可以更好地应用它们解决问题，进一步研究和探索三角形的奥秘。
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心
三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. . 一、外心一、外心. .三角形外接圆的圆心，简称外心三角形外接圆的圆心，简称外心..与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理定理. .例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上外接圆上. . 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点的外心，点 N 是△P ′PC 的外心的外心..有 ∠∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上外接圆上. . 由于由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似相似. .分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外后再由外 心性质可知心性质可知∠∠PO 1S =2=2∠∠A ， ∠∠QO 2P =2=2∠∠B ， ∠∠SO 3Q =2=2∠∠C . ∴∠∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360=360°°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360=360°°将△将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )=21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心..掌握重心将每掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题及中线长度公式，便于解题. .例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点是任意一点..证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和中，其中一个面积等于另外两个面积的和. .分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交相交..从A ，C ，D ，E ，F 分别分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′，′， D ′，E ′，F ′. 易证易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，′，22EE ′=AA ′+CC ′，′，∴∴EE ′=DD ′+FF ′. 有有S △PGE =S △PGD +S △PGF . 两边各扩大两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似的新三角形相似..其逆亦真其逆亦真. .分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′围成的三角形简记为△′..G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列Þ△∽△′△∽△′. .若△若△ABC 为正三角形，易证△∽△′为正三角形，易证△∽△′. . 不妨设不妨设a ≥b ≥c ，有，有CF =2222221c b a -+，BE =2222221ba c -+，AD =2222221a c b -+. 将将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得，分别代入以上三式，得 CF =a23，BE =b 23，AD =c23.∴∴CF :BE :AD =a23:b 23:c23=a :b :c .故有△∽△′故有△∽△′故有△∽△′. . (2) (2)△∽△′△∽△′Þa 2，b 2，c 2成等差数列成等差数列. . 当△中当△中a ≥b ≥c 时，时， △′中△′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∵△∽△′， ∴DD S S '＝(aCF )2.据据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有AA 'FF 'G E E 'D 'C'P C B DDD SS '=43.∴∴22aCF =43Þ3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2Þa 2+c 2=2b 2.三、垂心三、垂心三角形三条高的交战，三角形三条高的交战，称为三角形的垂心称为三角形的垂心..由三角形的垂心造成的四个等由三角形的垂心造成的四个等((外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. .例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心的垂心..求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.. 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A Ð=2R ÞA 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4. 但∠但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称成中心对称. .同理，同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称点成中心对称..故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上在同一个圆上..后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称成中心对称..由O ，M 两点，Q 点就不难确定了点就不难确定了. .例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心的中心..一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.分析：只须证明分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可即可..设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r .连连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)，①① 又又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ②② 而而ABHAH Ðsin =2R ÞAH 2=4R 2cos 2A ,∥=∥=H H HMAB BA ABC C C F12111222D EAa sin =2R Þa 2=4R 2sin 2A .∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. . ③③ 由①、②、③有由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2) =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心三角形内切圆的圆心，简称为内心..对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：下面一个极为有用的等量关系： 设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心之外心((内心的等量关系之逆同样有用内心的等量关系之逆同样有用). ).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3，O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形为矩形. . (1986 (1986，中国数学奥林匹克集训题，中国数学奥林匹克集训题，中国数学奥林匹克集训题) )证明见《中等数学》证明见《中等数学》199219921992；；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切内切..试证：EF中点P 是△ABC 之内心之内心. .分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？ 如图，显然如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上平分线上..易知AQ =a sin r. ∵∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴∴QK =AQQN MQ ×=asin /)2(r r r R ×-=)2(sin r R -×a .由由Rt △EPQ 知PQ =r ×a sin .∴∴PK =PQ +QK =r ×a sin +)2(sin r R -×a =R 2sin ×a . ∴∴PK =BK .a利用内心等量关系之逆定理，即知利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心这内心. .A B C D O O O 234O 1AααMBC KNEROQ Fr P五、旁心五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心旁心常常与内心联系在一起，旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切旁心还与三角形的半周长关系密切. .例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p . 式中式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周表示半周. .分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ). ①① 观察图形，可得观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证由①及图形易证. .例1010．．M 是△ABC 边AB 上的任意一点上的任意一点..r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径半径..证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B з2'sin AK r r r r O O O 213AOE CBabcA ...'B'C'O O 'ED=A ′B ′·2''sin 2'sin2'sinB A B A +×，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有亦即有11q r ·22q r =2222B tgCNB tgCMA tgA tgÐÐ=22B tgA tg =qr .六、众心共圆六、众心共圆这有两种情况：(1)(1)同一点却是不同三角形的不同的心；同一点却是不同三角形的不同的心；同一点却是不同三角形的不同的心；(2)(2)(2)同一图形出现了同一图形出现了同一三角形的几个心同一三角形的几个心. .例1111．．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF .分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心的内心..从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC .再由△再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用利用 不不等式有：等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .∴∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF . I 就是一点两心就是一点两心. . 例1212．△．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心的重心..证明OE 丄CD .分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.=2:1.设设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心重心. . 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：易证： E rdos..I P ABCD EFQ S A BCD E F O KGDG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴∴DG :GK =DE :EF ÞGE ∥MF . ∵∵OD 丄AB ，MF ∥AB ， ∴∴OD 丄MF ÞOD 丄GE .但OG 丄DE ÞG 又是△ODE 之垂心之垂心. . 易证易证OE 丄CD . 例1313．△．△ABC 中∠C =30=30°，°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有利用内心张角公式，有利用内心张角公式，有 ∠∠AIB =90=90°°+21∠C =105=105°，°，°，∴∠∴∠DIE =360=360°°-105-105°×°×°×3=453=453=45°°. ∵∠∵∠AKB =30=30°°+21∠DAO =30 =30°°+21(∠BAC -∠BAO ) =30 =30°°+21(∠BAC -60-60°°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴∴AK ∥IE .由等腰△由等腰△AOD 可知DO 丄AK ， ∴∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高的一条高. . 同理同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE . 例1414．锐角△．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心分别是外心、重心、垂心..设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：求证：11·d 垂+2+2··d 外=3=3··d 重. 分析：这里用三角法分析：这里用三角法..设△ABC 外接圆外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . . 易知易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ). ①① ∵∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得同样可得BH 2·CH 3. ∴∴3d 重=△ABC 三条高的和三条高的和 =2 =2··(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ) ②② ∴∴BCHBH Ðsin =2=2，，O ABCDEFIK30°B CO IA O G H O G H G O G H 1231122331 =( 2。
初中数学点知识归纳三角形的重心外心和内心
初中数学点知识归纳三角形的重心外心和内心三角形是初中数学中常见的一个图形，它有着许多重要的性质和定理。
在本文中，我们将重点介绍三角形的重心、外心和内心，并归纳总结相关的知识点。
一、重心重心是指三角形三条中线交点的位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的中线交点为G，则点G即为三角形的重心。
重心有以下性质：1. 重心与三角形的三个顶点的连线重合，即GA = GB = GC。
2. 重心到三角形三边的距离满足以下关系：GA : GD = GB : GE =GC : GF，其中D、E、F是三角形的三边上的点，与重心G连线垂直。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的外接圆圆心为O，则点O即为三角形的外心。
外心有以下性质：1. 外心是三角形三条垂直平分线的交点，即OA ⊥ BC，OB ⊥ AC，OC ⊥ AB。
2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
三、内心内心是指三角形内切圆的圆心位置，也是三角形内部的一个点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的内切圆圆心为I，则点I即为三角形的内心。
内心有以下性质：1. 内心是三角形三条角平分线的交点，即∠BAI = ∠CAI = ∠ABI。
2. 由内心出发，分别到三角形的三条边的距离相等，即ID ⊥ AB，IE ⊥ BC，IF ⊥ AC。
综上所述，三角形的重心、外心和内心都是三角形内部的一个点，分别具有不同的性质和特点。
它们在三角形的构造和性质研究中扮演着重要的角色。
理解和掌握这些点以及与它们相关的性质，对于解决三角形相关的问题和定理证明都是非常有帮助的。
在实际应用中，重心、外心和内心的位置和性质可以用于解决各种与三角形相关的几何问题。
比如，可以利用重心的性质证明中线长等分重心的角，可以利用外心的性质判断三角形的形状（是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形），可以利用内心的性质求解三角形的面积等。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
（2）性质：到三边距离相等。
2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
（2）性质：到三个顶点距离相等。
3 重心：
（1）三条中线的交点。
（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
4 垂心：三条高所在直线的交点。
5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。
初中数学八年级三角形的四心及特点
三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的三条中线必交于一点已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE证明：延长OE到点G，使OG=OB∵OG=OB,∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的重心坐标：数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。
重心坐标是齐次坐标的一种。
设v1, ..., vn 是向量空间V 中一个单形的顶点，如果V 中某点p 满足，(\lambda_{1}+\cdots +\lambda _{n})\,p=\lambda_{1}\,v_{1}+\cdots +\lambda _{n}\,v_{n}, 那么我们称系数(λ1, ..., λn) 是p 关于v1, ..., vn 的重心坐标。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心和垂心是与一个三角形相关的四个特殊点。
1. 内心（incenter）：内心是一个三角形的三条角平分线的交点，记作I。
内心到三角形的三条边的距离相等，也就是说，内心到三条边的距离和最小。
内心是三角形的内接圆的圆心。
2. 外心（circumcenter）：外心是一个三角形三条外接圆的圆心的交点，记作O。
外心到三角形的三个顶点的距离相等，也就是说，外心到三个顶点的距离最大。
外心是三角形的外接圆的圆心。
3. 重心（centroid）：重心是三角形三个顶点和对应的重心之间线段的交点，记作G。
重心到三个顶点的距离相等，也就是说，重心到三个顶点的距离的和最小。
重心是三角形的质心，也是三角形的重心。
4. 垂心（orthocenter）：垂心是一个三角形三条高的交点，记作H。
垂心到三边的距离可以大于或小于垂直于三边的线段的长度。
垂心是三角形的垂心点。
总结：
- 内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。
- 内心到三边距离相等，外心到三个顶点距离相等。
- 重心到三个顶点距离相等，垂心是三条高的交点。
- 内心、外心和重心分别位于三角形的内部、外部和内部。
- 垂心的位置随着三角形形状的变化而变化。
- 三角形的内心、重心和外心共线，且重心与内心的连线等于三分之二的重心与外心的连线长度。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理
三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。
外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。
内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。
重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。
垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的三个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和、减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4 （内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.5、内心到三角形三边距离相等。
三角形的内心外心和重心的特性
三角形的内心外心和重心的特性在几何学中，三角形是最基本的几何形状之一，而三角形的内心、外心和重心则是三角形的特殊点。
它们具有独特的性质和重要的几何意义，本文将对三角形的内心、外心和重心进行详细讨论。
一、内心内心是指三角形内部的一个点，它与三角形的三边相切。
若三角形的三条边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C，则内心可以表示为I。
内心的特性包括以下几点：1. 内心到三角形三边的距离相等：内心到三角形的任意一条边的距离都相等，这个距离也被称为内心的半径。
内心与三角形三边的切点被称为内接圆圆心，该圆即为内接圆。
2. 以内心为圆心的圆与三角形的三边都相切：内心到三角形三边的垂线都经过切点，因此内心到三角形的任意一条边的垂线长度都相等。
3. 内心是重心与垂心所确定的直线的交点：内心、重心和垂心是三个特殊点，它们位于同一条直线上，这条直线被称为欧拉线。
二、外心外心是指三角形外部的一个点，它与三角形的三个顶点都相切。
若三角形的三个顶点分别为A、B、C，则外心可以表示为O。
外心的特性包括以下几点：1. 外心到三角形的三个顶点距离相等：外心到三角形的任意一个顶点的距离都相等，这个距离也被称为外心的半径。
外心是三角形外接圆圆心，该圆即为外接圆。
2. 外心是垂直三角形的三条中垂线的交点：中垂线是连接每条边中点和对边顶点的线段，三角形的三条中垂线交于一点，该点即为外心。
3. 外心是重心与斜心所确定的直线的交点：外心、重心和斜心是三个特殊点，它们位于同一条直线上，这条直线被称为欧拉线。
三、重心重心是指由三角形的三个顶点向三条中线的交点构成的一个点。
若三角形的三个顶点分别为A、B、C，则重心可以表示为G。
重心的特性包括以下几点：1. 重心将三角形的每一条中线二等分：中线是由每个顶点与对边中点构成的线段，重心到每条中线的距离都是中线长度的二分之一。
2. 重心是三角形重心与外心所确定的直线的中点：重心与外心和重心连线的中点位于一条直线上。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
〔1〕三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
〔2〕性质：到三边距离相等。
2外心：
〔1〕三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
〔2〕性质：到三个顶点距离相等。
3 重心：
〔1〕三条中线的交点。
〔2〕性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
4 垂心：三条高所在直线的交点。
5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心〞，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心〞有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心〞如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心〞，用它可作外接圆．
“内心〞“外心〞莫记混，“内切〞“外接〞是关键．。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心１、内心(1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
（２）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s＝ (ｒ是内切圆半径)④在Rt△ＡBＣ中,∠C=90°，r=（a＋b－c)/2.⑤∠BOC = ９0 °＋∠A／２∠BＯA = 90＋∠C／2 ∠AOC = 9０+∠Ｂ／２2、外心（1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
（２)三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形,其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合④OＡ=OB＝ＯC＝R⑤∠BOC=２∠BＡC，∠AOB=2∠AＣＢ，∠ＣOＡ＝２∠CBＡ⑥S△ABC=ａbｃ/４Ｒ3、重心(1)三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
（2)三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为２：１。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为（(X1+X２+X3）/3,(Ｙ1+Y２+Ｙ3)／3);空间直角坐标系——横坐标:(Ｘ1+X2+X３)/３纵坐标:(Y１+Y2+Y３）/3 竖坐标：（Ｚ1+Z2+Z ３)／３⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4、垂心(１）定义:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
（2)三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心Ｏ关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上④△ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个）相似的直角三角形,且AO·OＤ＝ＢO·ＯE=ＣO·ＯF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组)。
三角形的重心、垂心、内心、外心
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形的内心外心_重心旁心
三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫垂心。
ABC ∆的垂心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=.资料二一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
三角形的重心、垂心、内心、外心
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
（三条中垂线的交点）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
(即三条角平分线的交点) 内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)(曲老师推荐用)
曲老师推荐中考数学专题之：三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形的几个心的定义及性质
三角形的个心的定义及性质
3. 内心（Incenter）：三角形内切圆的圆心，用I表示。内心到三条边的距离相等，即 IA=IB=IC。内心是三角形三条角平分线的交点，也是三个顶点与内心连线的角平分线的交点。
4. 垂心（Orthocenter）：三角形三条高的交点，用H表示。垂心是三角形三个顶点与对立 边的垂直线的交点。垂心到三个顶点的距离不相等，即HA≠HB≠HC。
三角形的几个心的定义及性质
性质： - 重心和内心、外心的连线互相垂直。 - 外心是三角形三个顶点与外心的连线的垂直平分线的交点，内心是三角形三个顶点与内 心的连线的角平分线的交点。 - 垂心到三个顶点的距离的乘积等于垂心到三条边的距离的乘积。 - 三角形的面积等于重心到三个顶点连线的距离的乘积的一半。 - 内心到三个顶点的距离的和等于内心到三条边的距离的和。 - 外心到三个顶点的距离的和等于外心到三条边的距离的和。
三角形的几个心的定义及性质
三角形的几个心是指三角形内部与三个顶点连线的交点，分别是重心、外心、内心和垂心。
1. 重心（Centroid）：三角形三条中线的交点，用G表示。重心到三个顶点的距离相等，即 GA=GB=GC。重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都是G。
2. 外心（Circumcenter）：三角形外接圆的圆心，用O表示。外心到三个顶点的距离相等， 即OA=OB=OC。外心是三角形三条垂直平分线的交点，也是三个顶点与外心连线的垂直平分线 的交点。
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ADB面积 - BGD面积ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= ADC面积 - CGD面积
B
D
C AGB面积 = CGA面积
同理， AGB面积 =BGC面积 AGB面积 =BGC面积 = CGA面积 = 1 ABC面积
3
三角形三中线将面积六等分
A BGD面积 =CGD面积
= 1 BGC面积
F
E
2
G
= 1 ( 1 ABC面积 )
23
B
D
C
= 1 ABC面积 6
同理， CGE面积
= AGE面积
1
=
ABC面积
6
同理， AGF面积
= BGF面积
1
=
ABC面积
6
外心O到三角形的三顶点距离相等 = R (外接圆半径)
A
O
C O
B
O
CB
C
三角形的内心
1. 三角形三内角平分线的交点
2. 在三角形的内部
3. 到三边垂直距离相等
(即内切圆的半径)
4. 内切圆的圆心
I
I是三角形ABC的内心 则 BIC=90º+ ½A
1 2 B
BI 是ABC的分角线 CI 是ACB的分角线
等份
重心到顶点的距离等于此点到对边中点
距离的两倍。即 GA 2GD AG : GD 2 :1
A
[证明] 连接 FE F、E分别为 AB AC 的中点
F
E
FE // BC 且 FE 1 BC 2
G
GCB GFE (AA相似)
GC : GF BC : FE GB : GE 2 :1
三角形的外心、内心与重心
O
I
G
外心
内心
重心
三角形的外心
1. 三角形垂直平分线之交点 2. 三种三角形(直角、钝角、锐角)，其外心的
位置不同 3. 三角形外心至三顶点等距离，即为外接圆
半径 4. 外心为外接圆圆心
钝角Δ
外心的位置
直角Δ
锐角Δ
O
钝角Δ 外心在外部
O O
直角Δ 外心在斜边中点
锐角Δ 外心在内部
= AB : BC : CA
A
分别交 AB BC CA
I是ΔABC的内心
D
ID IE IF
F
I
=
1 2
AB
ID:
1 2
BC
IE
:
1 2
CA
IF
E
C = AB : BC : CA
三角形的重心
1. 三角形三边的中线之交点 2. 重心到顶点的距离等于此点到对
边中点距离的两倍 3. 三角形三条中线将三角形面积六
1= 2 3 = 4
I
BIC = 180º- 2 - 4
=
180º-
1 2
ABC -
1 2
43 C
=
180º-
1 2
= 180º- 1
= =
2
180º- 90º+
90º+
1 2
A
1 2
A
I 是三角形ABC的内心，r为内切圆半径 ΔABI 面积 : ΔBCI 面积 : ΔCAI 面积
B
D
C 同理， GCA GFD (AA相似)
GC : GF AC : FD GA : GD 2 :1
GA : GD GB : GE GC : GF 2 :1
三角形重心将面积三等分
F GG
A [证明] AD BE CF 为三中线
BD CD
ADB面积 = ADC面积