外心、内心与重心

外心O到三角形的三顶点距离相等 = R (外接圆半径)
A
O
C O
B
O
CB
C
三角形的内心
1. 三角形三内角平分线的交点
2. 在三角形的内部
3. 到三边垂直距离相等
(即内切圆的半径)
4. 内切圆的圆心
I
I是三角形ABC的内心 则 BIC=90º+ ½A
1 2 B
BI 是ABC的分角线 CI 是ACB的分角线
= 1 BGC面积
F
E
2
G
= 1 ( 1 ABC面积 )
23
B
D
C
= 1 ABC面积 6
同理， CGE面积
= AGE面积
1
=
ABC面积
6
同理， AGF面积
= BGF面积
1
=
ABC面积
6
E 且BGD面积 = CGD面积
ADB面积 - BGD面积
= ADC面积 - CGD面积
B
D
C AGB面积 = CGA面积
同理， AGB面积 =BGC面积 AGB面积 =BGC面积 = CGA面积 = 1 ABC面积
3
三角形三中线将面积六等分
A BGD面积 =CGD面积
三角形的外心、内心与重心
O
I
G
外心
内心
重心
三角形的外心
1. 三角形垂直平分线之交点 2. 三种三角形(直角、钝角、锐角)，其外心的
位置不同 3. 三角形外心至三顶点等距离，即为外接圆
半径 4. 外心为外接圆圆心
钝角Δ
外心的位置
直角Δ
锐角Δ
O
钝角Δ 外心在外部
O O
直角Δ 外心在斜边中点
锐角Δ 外心在内部
1= 2 3 = 4
I
BIC = 180º- 2 - 4
=
180º-
1 2
ABC -
1 2
43 C
=
180º-
1 2
= 180º- 1
= =
2
180º- 90º+
90º+
1 2
A
1 2
A
I 是三角形ABC的内心，r为内切圆半径 ΔABI 面积 : ΔBCI 面积 : ΔCAI 面积
= AB : BC : CA
A
分别交 AB BC CA
I是ΔABC的内心
D
ID IE IF
F
I
=
1 2
AB

ID:
1 2
BC
IE
:
1 2
CA
IF
E
C = AB : BC : CA
三角形的重心
1. 三角形三边的中线之交点 2. 重心到顶点的距离等于此点到对
边中点距离的两倍 3. 三角形三条中线将三角形面积六
B
D
C 同理， GCA GFD (AA相似)
GC : GF AC : FD GA : GD 2 :1
GA : GD GB : GE GC : GF 2 :1
三角形重心将面积三等分
F GG
A [证明] AD BE CF 为三中线
BD CD
ADB面积 = ADC面积
等份
重心到顶点的距离等于此点到对边中点
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距离的两倍。即 GA 2GD AG : GD 2 :1
A
[证明] 连接 FE F、E分别为 AB AC 的中点
F
E
FE // BC 且 FE 1 BC 2
G
GCB GFE (AA相似)
GC : GF BC : FE GB : GE 2 :1