全国数学建模储油罐

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是小椭圆形储油罐与实际储油罐在发生纵向倾斜与横向偏转倾斜等变化后，储油量与实测油高的关系，从而对变位后的储油罐的罐容表进行重新标定。

本文采用的是微积分知识中分割求和取极限以及等效转化的思想，求得储油量与实测油高的关系。

问题一，首先将变位后的椭圆储油罐分割成三部分并建立坐标系，分别求得每一部分水平截面面积与坐标y的关系，用MATLAB对其进行求积分，得到新的罐容表。

运用给出的倾斜变位储油量和油位高度数据与新罐容表进行比对求误差，得其平均相对误差为5%。

将题目所给数据与模型得到的数据进行比对，并对误差进行多项式拟合，利用拟合结果改进罐容表，最终平均误差为2%。

问题二，分别从数值解与解析解两个角度建立模型。

既形象又精确的表现储油量与实测油高的关系。

首先将储油罐分割为三部分并建立坐标系，参考问题一中微积分的方法得到储油罐三部分的横截面关于坐标y的解析式进行计算。

但由于其为超越函数，实际应用中较为复杂，于是采用微积分中精密分割、求和的思想及坐标旋转变换的关系式，利用MATLAB 进行数值积分，得到实测油高与实际储油量的关系，即得到标定后的罐容表。

运用附件二中出油量与显示油高的数据进行无限逼近的方法使得实验数据与理论数据的平均误差和标准差之和最小的方式求解得到了角度α=3.3750°，β=4.5000°。

模型二将储油罐中封头部分假设为椭球体，利用其在无变位条件下部分体积随高度变化的函数较为简单的优点，通过寻找等效液面将实测油位高度转化为无变位条件下的油位高度，再代入原函数式中得到较为精确的解析解。

并最终得到与模型一相似的结果。

对于问题二中的两个模型进行验证，通过题目所给显示油高与显示油量容积的关系和模型得到的数据进行误差比对；以及通过出油量与显示油高和模型已得到其变位参数的条件下进行比对，都得到了误差。

数据表明模型一较为精确，模型二的误差在允许范围之内，模型具有较好的正确性与可靠性。

关键词微积分多项式拟合几何学坐标变换体积等效一、问题重述石油被称为“工业的血液”，是最重要的战略能源。

同时，它也是正在加速枯竭的非可再生资源。

在国际油价居高不下的今天，准确的石油计量既满足了可持续发展的要求，也保证了相关企业的经济利益。

加油站是常见的供油单位，通常在地下有若干储存燃油的储油罐，并有与之配套的“油位计量管理系统”。

油罐在安装后即会进行容积标定，制作储油量与油位高度一一对应的罐容表。

以后就通过测量油位高度，再查表来获取储油量信息。

储油罐在使用一定时间后，由于地基变形等原因，可能会发生纵向与横向的倾斜。

此时，之前的以油罐水平放置为前提的罐容表就不再适用了，需要制定新的罐容表。

本题目分两问，第一问给出了一个平头椭圆罐的尺寸与纵向变位参量，要求结合实验数据，研究变位对罐容表造成的影响。

并给出变位后新的罐容表。

第二问给出了某实际储油罐发生变位后，进行进出油实验所得的数据。

要求建立罐内储量与油位高度及变位参数之间的一般关系。

并利用给出的数据，根据模型，确定变位参数，并给出新的罐容表。

最后仍用数据来分析模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题假设1)假设不考虑储油罐的形状误差；2)假设不考虑温度、气压等因素造成的影响；3)假设储油罐的封头可看作球缺状与椭球状两种形式；4)假设储油罐倾斜变位参数的范围在0°~10°之间。

三、符号说明四、问题分析根据标准GB/T19779-2005《石油和液体石油产品油量计算静态计量》[1]规定：当储油罐的纵向倾斜度在1% ~ 8%之间时，其罐容表标定值要求采用实际测量所得数据进行标定；而当其纵向倾斜度在0 ~ 1%之间时，其罐容表标定值要求套用标准的罐容表，并注明液高修正值。

其中罐容表反映了储油罐中任意高度下的容积，即从油罐底部基准点起任一垂直高度下该储油罐的有效容积。

由题意知罐体的倾斜角α=4.1°，倾斜度在1% ~ 8%之间，因此需要采用实际测量的数据对其进行罐容表的标定。

首先将罐体分为三部分，对于每一部分分别求得高度h对应小椭圆型油罐水平截面的面积表达式，再利用积分的方法即可得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

对于问题二，针对问题一的微积分方法建立模型，若较为复杂，则考虑采用解析解与数值解的两个角度对模型进行分析改进，从而更为形象准确的得出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

五、模型建立与求解5.1问题一5.1.1模型的建立如图1所示，按此方法将纵向倾斜变位后的小椭圆型油罐分为三部分：图1 纵向倾斜变位后的小椭圆油罐分为三部分示意图对于第一部分，按图2对面积进行积分，图2 面积积分方法从而求得高度h 对应小椭圆型油罐水平截面的面积S 的表达式：S =∫2a ∙√1−(b −y tan α)2b 2ℎ∙tan αdy经计算求得：S =a tan αb ∙[(ℎ−b tan α)∙√(b tan α)2−(ℎ−b tan α)2+(b tan α)2∙sin −1ℎ−b tan αb tan α]对于第二部分，同理按图3所示对面积进行积分，图3 面积积分方法从而求得高度h 对应小椭圆型油罐水平截面的面积S 的表达式：S =∫2a ∙√1−{b −[ℎ+(l −y )tan α]}2b 28cos αdy经计算求得：S=a tanαb∙[(x−b−ℎ+2.45tanαtanα)∙√(btanα)2−(x−b−ℎ+2.45tanαtanα)2+(btanα)2∙sin−1x−b−ℎ+2.45tanαtanαbtanα]由此亦得第三部分：S=a tanαb∙[(ℎ′−btanα)∙√(btanα)2−(ℎ′−btanα)2+(btanα)2∙sin−1ℎ′−btanαbtanα]ℎ′=8sinα+3cosα−ℎ在已知高度h对应小椭圆型油罐水平截面的面积S的情况下，运用matlab求得相隔0.1cm的13000个h所对应的平面面积，并运用积分函数对其积分，从而得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，如表1所示。

5.1.2模型的检验根据题目所给倾斜变位出油数据，结合上述求得的表达式，可以得出小椭圆型储油罐在倾斜变位时的不同流水次数对应的储油量，并与题目所给数据进行拟合，如图4。

图4 实际测量的储油量与预测值的比较图中实线代表实际测量值，虚线代表预测值。

误差分析第一次误差：从图表中可以看出，用此模型计算出的最大误差为5.44%，造成此误差的因素主要是由于油罐内部存在部分器件，例如油位探针、注油管、罐壁接合管、出油管等，从而占据了空间，造成误差。

为了减小误差的影响，于是我们采用以下方法对模型进行优化。

5.1.3模型的改进首先计算椭圆关于高度h米的积分：设椭圆柱形储油罐的高为h米，侧截面椭圆的长半轴为a米，短半轴长为b米，以椭圆的中心为坐标原点，长、短半轴所在的直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，如图5：图5 椭圆柱形储油罐关于高度积分示意图设其体积为V ，则有：V =∬dxdy =2∫dy ℎ−b−b∫dx a b√b 2−y 20=2∫abℎ−b−b√b 2−y 2dy D 根据数学分析[2]中的基本积分公式：∫√a 2−x 2dx =12x √a 2−x 2+a 22sin −1xa+C从而得到最终的计算结果：V =ab (ℎ−b b 2√ℎ(2b −ℎ)+sin −1ℎ−b b +π2)再根据上述计算结果得到预算数据与实际数据的比较情况，如图6。

图 6 无变位条件下实验值与理论值对比图由图可以看出误差存在一定的规律性，因此对误差进行多项式拟合，并限定当h =0时误差为0，拟合情况如图7。

理论值 —— 实验值图7 对误差进行多项式拟合结果多项式拟合结果的表达式为：y=0.1191x其中具体参数见表3将拟合得到的表达式带入即可得新的罐容表标定值，如表4误差分析根据优化后的模型得出储油量的测量实际值与预测值的情况如图8。

图8 优化后实际测量的储油量与预测值的比较由此得到第二次的误差分析结果，与第一次误差分析结果对比，如表5第二次的误差：从上表中可以看出，经过优化后的模型相对平均误差已经达到0.74%，与优化前模型相比较误差减小了3.03%，可见优化后的模型具有更好的准确性。

此时造成误差的主要因素是由于地基变形等原因，使罐体发生形变，从而导致误差的产生。

5.2问题二5.2.1模型一：假设封头为球缺状对于问题二，要建立罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系，根据假设储油罐的两端为球缺状，于是我们首先尝试采用积分的方法得出储油罐的容积，通过matlab软件计算，发现此过程被积函数为超越函数，计算量十分复杂，为了能够更清晰明确的得到罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系，于是我们改进了方法，分别从储油罐纵向倾斜变位与横向偏转倾斜两方面对其进行探究。

<一> 纵向倾斜变位储油罐的变位情况分为横向偏转倾斜与纵向偏转倾斜，首先计算纵向倾斜变位情况下的储油量：根据假设，将储油罐分为筒体左球缺、右球缺三部分，对储油量的计算建立坐标系。

图9 几何关系图10 几何关系对于左球缺，假设球缺所对应的球体的半径为R‘，根据勾股定理得R‘2=(R‘−1)2+1.52解得R‘=1.625。

根据图9所示的几何关系可得，图10中的R与y、α，x与y、α的关系式如下：{R=√1.6252−(1.6252−(0.625cosα+1.5sinα)2−y)2x=(8cosα−y)∙tanα+0.625−1.5sinα则得到了左球缺截面关于y的关系式：1)当y<3cosα，有=π∙(R−x)√(R2−x2)S左球缺2)当y>3cosα，有=0S左球缺对于筒体，参照问题一的做法，可得筒体截面面积关于y的关系式：1)当y<8sinα，有S 筒体= 1.5tan α[(y − 1.5tan α)∙√(1.5tan α)2−(y − 1.5tan α)2+(1.5tan α)2∙sin −1(y − 1.5tan α1.5tan α)] 2) 当y >8sinα且y <3cos α，有S 筒体=tan α∙[(y −m tan α)∙√(1.5tan α)2−(y −m tan α)2+(1.5tan α)2∙sin −1(y −y tan α1.5tan α)] m =1.5−ycos α+8tan α 3) 当y >3cos α，有S 筒体= 1.5tan α[(y ‘− 1.5tan α)∙√(1.5tan α)2−(y ‘− 1.5tan α)2+(1.5tan α)2∙sin −1(y ‘− 1.5tan α1.5tan α)]y ‘=3cos α+sin α−y对于右球缺，同理可得右球缺截面关于y 的关系式：{R =√1.6252−(1.6252−(0.625cos α+1.5sin α)2−y ‘)2x =(8cos α−y ‘)∙tan α+0.625−1.5sin αy ‘=3cos α−(y −8sinα)1) 当y >8sinα，有S 右球缺=π∙(R −x )√(R 2−x 2)2) 当y <8sinα，有S 左球缺=0对y 进行横截面上的积分，即可得到储油量，由于函数形式较为复杂，其为超越函数，因此我们采用分割求和的思想，利用MATLAB 进行相关的计算，得到近似的储油量的值。