线段之和最短问题

线段之与最短问题

一． 常见数学模型:

1、如图,直线l 与l 的异侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小。

2、如图,直线l 与l 的同侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小。

l

A

3、 如图,直线与的异侧两点A 、B,分别在直线、上求作一点P 、Q 两点, 使AP+PQ+QB 最小。

4、 如图,直线的同侧两点A 、B,分别在直线上求作一点P 、Q 两点,且PQ=a , 使AP+PQ+QB 最小。

l 2

l 1

5、如图,点P 就是∠MON 内的一点,分别在OM,ON 上作点A,B 使△PAB 的周长最小。

6、如图,点P,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM,ON 上作点A,B 。使四边形PAQB 的 周长最小。

l

A

B

a

l 1

A

N

为方便归类,将这种情况称为“两点之间线段最短型”

5、如图,点A 就是∠MON 外的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之与最小

6、 、如图,点A 就是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之与最小

N

为方便归类,将以上两种情况,称为“垂线段最短型”

练习题

1.在平面直角坐标系中,有A(3,－2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n =______时,AC + BC 的值最小.

2.如图,护城河在CC ’处直角拐弯,宽度保持为4米,从A 处往B 处,经过两座桥:DD ’,EE ’,设护

城河就是东西——南北方向的,A,B 在东西方向上相距64米,南北方向上相距84米,如何设计两座桥梁DD ’,EE ’的位置,使由A 地经过两座桥梁后到B 地的路程最短？最短路程就是多少？

3.如图∠AOB = 45°,P 就是∠AOB 内一点,PO = 10,Q 、P

分别就是OA 、OB 上的动点,求△PQR

周长的最小值.

4.如图,在△ABC 中,AC ＝BC ＝2,∠ACB ＝90°,D 就是BC 边的中点,E 就是AB 边上一动点,则EC ＋ED

N

N

B

E

C

B

A

的最小值为_______。

5.如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥

BD,ED ⊥BD,连接AC 、EC 。已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x 、 (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长;

(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?

(3)根据(2)中的规律与结论,请构图求出代数式x 2+4 +(12-x)2+9 的最小值

6.桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底面周长18厘米,在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时,突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

7.著名的恩施大峡谷()A 与世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路x 同侧,50km AB A ，、B 到直线x 的距离分别为10km 与40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.如果拟建的恩施到张家界高速公路y 与沪渝高速公路垂直,建立如图所示的直角坐标系,B 到直线y 的距离为30km ,请您在x 旁与y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

8.如图,在锐角△ABC 中,AB = 42,∠BAC ＝45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,M 、N 分别就是AD 与AB 上的动点,则BM+MN 的最小值就是____.

9.如图,△ABC 中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC 、AB 上各取一点M 、N,使BM+MN 的值最小,则这个最小值

10.如图,四边形ABCD 就是正方形,△ABE 就是等边三角形,M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM

⑴ 求证:△AMB ≌△ENB;

⑵ ①当M 点在何处时,AM ＋CM 的值最小;

②当M 点在何处时,AM ＋BM ＋CM 的值最小,并说明理由;

⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为 3 + 1 时,求正方形的边长、

A'

A

B

B

A

y

x

B

A

O

30°

A

B C

M D C

B

A E

N

B

A

M

参考答案

1.在平面直角坐标系中,有A(3,－2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n =______时,AC + BC的

值最小.

x

即就是在直线AB 上作一点E,使EC+ED 最小

作点C 关于直线AB 的对称点C',连接DC'交AB 于点E,则线段DC'的长就就是EC+ED 的最小值。

在直角△DBC'中

DB=1,BC=2,根据勾股定理可得,DC'= 5

5.如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD,ED ⊥BD,连接AC 、EC 。已

知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x 、

(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长;

(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小? (3)根据(2)中的规律与结论,请构图求出代数式x 2+4 +(12-x)2+9 的最小值

(1)AC = (8-x)2 + 25 ,CE = x 2 + 1 则AC+CE = (8-x)2 + 25 + x 2 + 1 (2)A 、C 、E 三点共线时AC+CE 最小

连接AE,交BD 于点C,则AE 就就是AC+CE 的最小值 最小值就是10

(3)如右图,AE 的长就就是这个代数式的最小值 在直角△AEF 中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 13

(3).求代数式x 2 + 1 + (4-x)2 + 4 (0≤x ≤4)的最小值 如右图,AE 的长就就是这个代数式的最小值

在直角△AEF 中 AF = 3 EF = 4

则AE = 5

所以,这个代数式的最小值就是5 6.桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底

面周长18厘米,在杯口内壁离杯口3厘米的A 处32

x

12-x

C

F B A 51x

8-x

F

B D E C

21

x

4-x

B A

C