第二轮第14讲解析几何问题的题型与方法doc

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2013年高考二轮复习：第14讲直线和圆

(2)A
(1)当直线过原点时方程为2x－5y＝0，不过原点 x y 时，可设出其截距式为a＋＝1，再由过点(5,2)即可解出． 2a (2)当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0，直线l2：x＋2y＋4 ＝0，则l1∥l2；若l1∥l2，则有a(a＋1)－2×1＝0，即a2＋a－2 ＝0，解之得，a＝－2或a＝1，所以不能得到a＝1.故选A.
► 探究点一直线的概念、方程与位置关系例1 (1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2 倍的直线方程是( ) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 (2)[2012· 浙江卷] 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋ 2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
专题五
平面解析几何
第14讲直线和圆
[ 考点统计
考点 1 直线的概念、方程与位置关系考点 2 圆的方程以及圆的性质考点 3 直线与圆的综合运用
题型(频率)
选择(1) 填空(4) 选择(6) 解答(2)
考例(难度)
2012 广东卷 20(2)(B)，2012 浙江卷 3(B) 2010 课程标准卷 14(B)， 2012 山东卷 9(A) 2012 课程标准卷 20(B)， 2012 陕西卷 4(B)
[思考流程] (1)(分析)欲求直线方程只要求在两坐标轴上的截距 ⇨ (推理)根据已知条件得方程解之 ⇨ (结论)化为一般方程即得； (2)(分析)欲判断充要条件需确定使已知直线平行的a值 ⇨ (推理)求出使已知直线平行的a值 ⇨ (结论)根据充分性、必要性判断方法进行判断．

解析几何常规题型及解题的技巧方法

解析几何常规题型及解题的技巧方法（1）中点弦问题1.给定双曲线xy2221-=。

过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

(2）直线与圆锥曲线位置关系问题2.设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为 2. (1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN 的斜率为k2，试探究k1·k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．（3）圆锥曲线的有关最值（范围）问题3.设双曲线x 2－y 23＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，P 是直线x ＝4上的动点，若∠F 1PF 2＝θ，则θ的最大值为________．4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，椭圆上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33满足MF 1→·MF 2→＝0. (1)求椭圆的方程； (2)若直线L ：y ＝kx ＋2与椭圆恒有不同交点A 、B ，且OA →·OB →>1(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．5.直线m ：y=kx+1和双曲线x 2－y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P （－2，0）和线段AB 的中点，则直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为(4)求曲线的方程问题6.已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )7.设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程.8.已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列，（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ.（5）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。

2024届高考二轮复习文科数学课件：解析几何解题基本方法的探究

4
+
1
2 =1,又
4
2 -2

=
3
2
2
,解得
a
=4,b
=1,所以椭圆
2
C 的方程为
(2)设椭圆
2
E:4 2
+
2
=1,P
4 2
为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭
圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.
||
①求||的值;
②求△ABQ 面积的最大值.
=
1
,
2
4x=2a,得 a2=3,b2=a2-c2=3-1=2,
(方法二由条件⇒几何关系)如图,设|F2B|=x,则
|AF2|=2x,|AB|=|BF1|=3x.
由|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=4x,∴|AF1|=2x=|AF2|,则点
A在短轴上,则△F1F2A为等腰三角形,设∠F1F2B=θ,则
2
∴存在点 P 使得△PAB 和△PMN 的面积相等,点
5
33
P 的坐标为(3,± 9 ).
(方法二)如图,设 P(x0,y0),由题意 A(-1,1),B(1,-1),由 S△PAB=S△PMN,得
||
|PA||PB|=|PM||PN|,可变形为||
由 A,P,M
||
三点共线,得
||
解析如图,由椭圆的对称性,不妨设点 M(x0,y0)在 x 轴上方,由 cos∠AMB=得 sin∠AMB=
8
,所以
65
1
,
65
tan∠AMB=-8.设直线 MB 的倾斜角为 α.由∠AMB=α-

第14讲极点极线问题(解析版)

第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【答案】（1（2）证明见解析．【分析】（1）由已知两点坐标得,a b ，求得c 后可得离心率；（2）直线AB 方程为22x y =-，设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．由,,C P Q 三点共线求得Q 点坐标（用P 点坐标表示），由,,B P S 共线求得S 点坐标（用P 点坐标表示），写出直线QS 的方程，把220044x y =-代入化简对方程变形可得定点坐标．【详解】解：（1）因为点(2,0)A -，(0,1)B 都在椭圆M 上，所以2a =，1b =．所以c =所以椭圆M 的离心率c e a ==（2）由（1）知椭圆M 的方程为2214x y +=，(2,0)C ．由题意知：直线AB 的方程为22x y =-．设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．因为,,C P Q 三点共线，所以有//CP CQ ，00(2,),(222,)Q Q CP x y CQ y y =-=--，所以00(2)(24)Q Q x y y y -=-．所以000422Q y y y x =-+．所以00000004244(,)2222y x y Q y x y x +--+-+．因为,,B S P 三点共线，所以0011s y x x -=-，即001s x x y =-．所以0(,0)1x S y -．所以直线QS 的方程为000000000004242214122y x xy x y xx y y y y x +---+-=+--+，即2200000000044844(1)1x y x y y xx y y y y --+-=+--．又因为点P 在椭圆M 上，所以220044x y =-．所以直线QS 的方程为0022(1)21y x x y y --=-+-．所以直线QS 过定点(2,1)．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标00(,)P x y ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点,Q S 的坐标，得出直线QS 方程，再由P 在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2219x y +=；（2）直线l 恒过定点()2,0．. 【分析】（1）待定系数法椭圆的标准方程；（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出12105k k -=，整理出直线过定点()2,0. 【详解】（1，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为3；由题意知3a =，所以c =1b =．所以椭圆的标准万程为2219x y +=．（2）当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：120k k =-≠，不满足12105k k -=，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x ty n =+，由2219x ty n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2229290t y tny n +++-=，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以()()222244990t n t n ∆=-+->，整理得：2290t n -+>，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+，1113y k x =+，2223y k x =-．因为12105k k -=，所以()()()()1121211222121233315333y y x y ty n k x y k y x y ty n x -+-+====+++-，整理得：121245(3)(3)0ty y n y n y +--+=，()1212245(3)(612)ty y n y y n y +-+=-，将12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+代入整理得：()22(2)(3)(2)9t n n n t y --=-+要使上式恒成立，只需2n =，此时满足2290t n -+>，因此，直线l 恒过定点()2,0．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )； ②直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q . 【详解】（1）由已知，点在椭圆E 上.因此，22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB . 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+， A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>，所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++. 因此121212112x x k x x x x ++==. 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--，所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='. 故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅰ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅰ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．【答案】（I ）92x =；（II ）1073T ⎛⎫⎪⎝⎭，；（III ）()1,0D . 【解析】试题分析：（I ）设出点(),P x y，利用坐标化简224PF PB -=，得到点P 的轨迹；（II ）由1212,3x x ==分别得出直线AM 的方程为113y x =+，直线AN 的方程为5562y x =-，联立方程组即可求解点T 的坐标；（III ）直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36my x =-，分别与椭圆的方程联立，由12x x =，求得210m =，此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ，若12x x ≠，由MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .试题解析：（Ⅰ）由题设得，()()()3,0,3,0,2,0A B F -，设动点(),P x y ，由()()2222222,3PFx y PB x y =-+=-+，224PF PB -=代入化简得，92x =.故点P 的轨迹为直线92x =. （Ⅰ）由12x =，2211195x y +=，10y >得15=3y ，则点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AM 的方程为113y x =+，由213x =，2222195x y +=，20y <得2209y =-，则点120,39N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AN 的方程为5562y x =-，由55106271313y x T y x ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩，（Ⅰ）由题设知，直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36my x =-，点()11,M x y 满足()112111222211324034063,,8080195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪-⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；点()22,N x y 满足()22222222222233602063,,2020195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪--⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；若12x x =，222403=80m m -+2236020m m-+且0m >，得m = 此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ；若12x x ≠，则m ≠MD 的斜率2222402403101808040MDmm m k m m m⎛⎫-=÷-= ⎪++-⎝⎭，直线ND 的斜率222220360101202040NDmm m k m m m⎛⎫--=÷-= ⎪++-⎝⎭，所以MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D . 因此直线MN 必过x 轴上一定点()1,0D .考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断．【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线AT 的方程()312m y x =+，直线BT 的方程()36my x =-，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得1122,,,x y x y ，再由12x x =和12x x ≠，由MD k =ND k ，两种情况分别判定直线MN 过定点()1,0D .5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1A Q ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a ，再根据c 求b （2）设()1,,Q t 根据直线与椭圆方程联立方程组解得M ，N 坐标，再根据两点式求MN 直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点()1F ，则另一个焦点为)2F ,由椭圆的定义知:122PF PF a +=，代入计算得2a =．又2221b a c =-=, 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t AQ y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t tt t t t t t -++-+--++=2243t t -+所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭ ()22443t x t =--+ 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的左焦点为()1F，得到c =M ，代入椭圆方程求解.（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，由||||||||⋅=⋅AP QB AQ PB ，化简得到||(||||)2||||+=⋅QP AP PB AP PB ，即2==+A BQ A Bt t t t t 288cos 4sin -+αα，再代入直线参数方程求解.【详解】（1）因为椭圆的左焦点为()1F ，所以c =设椭圆方程为222212x y a a +=-，又因为椭圆过点M ，所以222112a a +=-，解得224,2a b ==所以椭圆方程为：22142x y +=；（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，得：()222cos 2sin (8cos 4sin )140++++=t t αααα．由||||||||⋅=⋅AP QB AQ PB ，得||(||-AP QP ||)(||||)||=-PB AP QP PB ，即||(||||)2||||+=⋅QP AP PB AP PB ，则2==+A B Q A B t t t t t 288cos 4sin -+αα，点Q 轨迹的参数方程是28cos 48cos 4sin 28sin 18cos 4sin x y αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，则8(4)4(1)28-+-=-x y ，所以点Q 在定直线220x y +-=上【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2yx 上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P 的轨迹方程．【答案】略【解析】略9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题知2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程即可得24a =，23b =，故椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.当直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，进而联立方程结合韦达定理得2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+，直线AM 的方程是()1122y y x x =++，直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标，并证明其相等即可. 【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12，所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-. 所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3. 所以点Q 在直线4x =上. ②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+. 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++. 令4x =，得1162=+y y x . 直线BN 的方程是()2222y y x x =--. 令4x =，得2222y y x =-. 所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦. ()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭. 所以点Q 在直线4x =上. 【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题. 10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）设()11,Q x y ，代入斜率公式求14BQ AQ k k ⋅=-；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQ k k ⋅=-，再根据（1）的结论证明. 【详解】（1）设()11,Q x y21211122111111422444BQ AQx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得：()22126440525m y my ++-= ， ()1221254m y y m +=-+ ，()12264254y y m =-+ ，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++ ， 1AP AQ k k ∴⋅=- ,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-，两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点. 【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y += （2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅=+-- 因为点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AMBMx y kk x x -⋅==--- 因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=-当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x 轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝因为94BN BM k k ⋅=-，所以1m = （ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩ 即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k--+==++ 因为()()()1112111212922244BN BMkx t kx t y y k k x x x x x x ++⋅=⋅==----++ 所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k =-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去. 所以直线恒过定点()1,0 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b ，可得椭圆C 的方程.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，设过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，由韦达定理得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，再由P ，1A ，M 及P ，2A ，N 三点共线，化简可得证明点P 在定直线上.【详解】（1）()0,B b ，由题意，tan135111BD bk b ==︒=-⇒=-，所以椭圆C 的方程2213x y +=.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，)22222222222213333x x y y x x x y ++=⇒=-=⇒=-，分别由P ，1A ，M 及P ，2A ，N==，22311k x x --===222222222223363133363123131k k k k k k k k k ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤--++====-++23x ==，即P 在直线3x =上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由12c a =，得到2234b a =，再由点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，求得22,a b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组求得2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，再由AM 的的方程()32y k x =+，联立方程组，求得22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，结合斜率公式，进而得到直线过定点. 【详解】（1）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又点31,2⎛⎫-⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b +=，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由于BN 的斜率为k ，设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，所以22161243B N k x x k -=+，所以228643N k x k -=+，从而21243N ky k =-+，即2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得：由于AM 的斜率为3k ，则():32AM y k x =+，联立方程组()2232143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222363144144120k x k x k +++-=，即()2222121484840k x k x k +++-=，所以22484121A M k x x k -=+，所以22242121M k x k -+=+，从而212121M ky k =+，即22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，当M N x x =时即12k =±；时，:1MN x =-，过点()1,0P -，当12k ≠±时，()22222012412124212341121121PM k k k k k k k k k-+===-+-+-+--+，()22222120124438612341143PNkk k k k k k k k ---+===---+--+，即PM PN k k =，所以直线MN 过点()1,0P -，综上可得，直线MN 过点()1,0P -. 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.【答案】（1）2215x y +=；（2）14-；（3）证明见解析. 【分析】（1）计算得1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，代入124A B A B →→⋅=-解方程即可得a ，故可得椭圆Γ的方程；（2）设另一焦点为1F ，则1FQ x ⊥轴，计算出点Q 坐标，计算22F BQ BF M BQM S S S =+△△△即可；（3）设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219xy +=联立，由韦达定理计算得出2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，分C D x x =，C D x x ≠两种情况表示出直线CD 方程，从而确定出定点. 【详解】（1）12(,0),(,0)A a A a -，(0,1)B1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，21214A B A B a →→⋅=-+=-，解得25a =即椭圆Γ的方程为2215x y +=.（2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ，设另一焦点为()11,0F -，设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，得1FQ x ⊥轴，所以1Q x =-，代入椭圆方程得2Q y =，即1,Q ⎛- ⎝⎭2211212F BQ BF M BQM S S S ⎛=+=⋅= ⎝⎭△△△ （3）证明：由题意12(3,0),(3,0)A A -，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-=由韦达定理得223279C m x m -+=+即2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭；同理222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；当C D x x =，即22222733391m m m m --=++即23m =时，直线CD 的方程为32x =；当C D x x ≠时，直线CD ：2222243313(3)1m m m y x m m m ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭化简得2433(3)2m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，恒过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，直线CD 恒过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出,C D 点的坐标，从而表示出直线CD ，并能通过运算整理成关于m 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞；（2）()3.5,5；（3）见解析【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =-，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，. （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->，解得：7,52m ⎛⎫∈⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±，故A 点坐标为：()02，，()02B -，，将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=，若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =->，解得232k >，由韦达定理得：21621m n kx x k +=-+ ①， 22421m n x x k ⋅=+ ② 设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，， MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，即()326MN N M x kx x kx +=-+，将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN ，是平行的证明D ，B ，N 三点共线．【详解】（1）因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-，所以222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）① 当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =．显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3．所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()6,3DN =-．所以2DN DB =，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线． ② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120k x k x k +-+-=．且()()()222284344120k k k∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭．所以11116022412MFy x y k x -+==-+．直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．则()222,DB x y =+，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦， ()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦， ()()()2221212131424442k x x k x x ky ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦， ()()()()()222222211441224844343234k k k k k ky k+-+-+++=-⋅+， 242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB 与DN 共线，所以D ，B ，N 三点共线．综上所述，D ，B ，N 三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）在，x =4. 【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求出椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程，直线AP 的方程为11(2)2y y x x ，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，求出交点，由根与系数关系化简即可. 【详解】（1）由题设，12c a =，221914ab +=，且222a bc =+所以224,3a b ==，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知，A （-2，0），B （2，0），设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=，因为>0∆，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++，设直线AP 的方程为11(2)2y y x x ，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，则1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，即21211212(2)(3)22(2)(1)+++==---y x y my x x y x y my ，而12123()2my y y y =+， ∴121239222313222++==-+y y x x y y ， ∴x =4，即直线AP 与直线BQ 的交点在直线x =4上.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆中的定值问题，属于中档题.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.【答案】（1（2）是，13，证明见解析. 【分析】（1）由题意可知,22a a P ⎫⎛ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程中化简可得223a b=，从而可求出离心率；（2）当2a =时，3b =，所以椭圆的方程为2234x y +=，然后当直线l 的斜率不存在时，求出M ，N 两点的坐标，从而可求出1k ，2k ，进而可得12k k 的值，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于N 在椭圆上，所以2222430x y -+=，所以22221223y y x x ⋅=--+，再化简11122222y k x y k x +=-即可得答案；或由于()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆上，代入椭圆方程中，化简可得111111223y x k x y -==-⋅+，222221223y x k x y +==-⋅-，设12k t k =，则()()()()211212212222x y x y t x y x y --==++，从而可得12212(1)2(1)11t t x y x y t t --⎫⎫⎛⎛-=- ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭，进而可得直线MN 经过点2(1),01t t -⎫⎛ ⎪+⎝⎭，又MN 过定点(1,0)，故2(1)11t t -=+，从而可求得结果【详解】解法一：（1）以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点坐标分别为(,0)B a ，,22a a P ⎫⎛ ⎪⎝⎭，,22a a Q ⎫⎛- ⎪⎝⎭. 因为P ，Q 在椭圆上，所以2222441a a a b ==，所以223a b=，所以22222c a b b =-=，所以椭圆的离心率3c e a ==；（2）当2a =时，b =2234x y +=. 12k k 为定值13，理由如下： ①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为1x =，则(1,1)M ，(1,1)-N ，所以1111121(2)3y k x ===+--，22211212y k x -===--，所以1231k k =. ②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨设210y y <<，且120y y +≠.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=， 2Δ16360m =+>，12223m y y m +=-+，12233y y m =-+. 要证1231k k =，只要证明：11221232y x y x +=-，只要证：()()1221322y x y x -=+，只要证：()()1221313y my y my -=+，只要证：()121223my y y y =+，因为120y y +≠，0m ≠，即证121232y y y y m=+，因为12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，所以121232y y y y m =+. 所以1231k k =成立，综上所述：1231k k =.解法二：（1）同解法一；（2）当2a =时，3b =，所以椭圆的方程为2234x y +=. 设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨设210y y <<.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()22 3230m y my ++-=， 2Δ16360m =+>，12223m y y m +=-+，12233y y m =-+. 所以121223y y m y y +=，即()121223my y y y =+. 11122222y k x y k x +=- 121222y x x y -=+ ()()1212112122133y my my y y my y my y y --==++()()12112232332y y y y y y +-=++12121312239322y y y y +==+. 综上所述：1231k k =. 解法三：（1）同解法一；（2）当2a =时，b =2234x y +=. 设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不防设210y y <<.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=， 2Δ16360m =+>，12223m y y m +=-+，12233y y m =-+. 因为N 在椭圆上，所以222234x y +=，即2222430x y -+=，所以22221223y y x x ⋅=--+. 11122222y k x y k x +=-121222y x x y -=⋅+1212322y y x x -=⋅++， ()()1212333y y my my -=++ ()1221212339y y m y y m y y -=+++ 2222333323933m m m m m m ⎫⎛-- ⎪+⎝⎭=⎫⎫⎛⎛-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭229132733m m +==+.所以1231k k =. 综上所述：1231k k =. 解法四：（1）同解法一；当2a =时，b =2234x y +=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，因为M 在椭圆上，所以221134x y +=，所以11111223y y x x ⋅=-+-. 所以111111223y x k x y -==-⋅+，同理222221223y x k x y +==-⋅-. 设12k t k =，则()()()()211212212222x y x y t x y x y --==++，所以12221122tx y ty x y y +=-，① 12221122x y y tx y ty -=+，②①+②得122211(1)2(1)(1)2(1)t x y t y t x y t y ++-=++-，当1t =-时得21y y =，不合题意，舍去. 当1t ≠-时，12212(1)2(1)11t t x y x y t t --⎫⎫⎛⎛-=- ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭，所以直线MN 经过点2(1),01t t -⎫⎛⎪+⎝⎭，又MN 过定点(1,0)，故2(1)11t t -=+，解得13t =.综上所述：1231k k =. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆离心率的求法，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案，考查计算能力，属于中档题 19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【分析】（1）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与抛物线方程联立方程组消去x 后应用韦达定理得12y y +，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得p 得抛物线方程；（2）设()33,M x y ，()44,N x y ，()00,T x y ，把,A B 两点坐标代入抛物线方程相减琍128x x +=，同理可得348x x +=，然后求得交点T 的横坐标为常数即证（由TM TA λ=．TN TB λ=化为坐标表示后相加即可得）．【详解】（1）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由221,2,y x x py =+⎧⎨=⎩，得()28210y p y -++=，则1282y y p +=+，从而12922022p p AF BF y y p +=+++=+=，解得2p =，故C 的方程为24x y =.（2）证明：设()33,M x y ，()44,N x y ，()00,T x y ，()1TM TA λλ=≠.因为//AB MN ，所以TN TB λ=.根据2112224,4,x y x y ⎧=⎨=⎩得()()()1212124x x x x y y +-=-，则()12121248y y x x x x -+==-，同理得348x x +=.又()()30104020,,x x x x x x x x λλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩两式相加得()34012022x x x x x x λ+-=+-，即()()0410x λ--=，由于1λ≠，所以04x =.故点T 在定直线4x =上.【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交求抛物线的方程，点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系．。

解析几何题型及解题方法总结

解析几何题型及解题方法总结
题型：1、求曲线方程(类型确定、类型未定)；2、直线与圆锥曲线的
交点题目(含切线题目)；3、与曲线有关的最(极)值题目；4、与曲线有关
的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；5、探求曲线方程中几
何量及参数间的数目特征。

解题方法：
1、紧密结合代数知识解题：“求到两定点的距离之比等于常数的点
的轨迹”问题的求解过程中，取平面直角坐标系，使两定点的连线为x轴，且连线段的中点为原点，并设两定点的距离为2b，则两定点分别为M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是轨迹上任意一点，常数为n，最终得到轨迹
方程（n2-1）（x2+y2）+2b（n2+1））x+b2（n2-1）=0。

2、充分利用几何图形性质简化解题过程：在对曲线轨迹方程求解的
过程中，通过几何条件，可以对轨迹的曲线类型进行判断，然后通过待定
系数法来求解。

3、用函数（变量）的观点来解决问题：对于解析几何问题而言，由
于线或点发生改变，从而导致图形中其他量的改变，这样类型的题目，往
往可以使用函数的观点来求解。

例如，在次全国高中数学竞赛题中，已知
抛物线y2=6x上的2个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且
1+2=4。

线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求AABC面积的最大值。

(word完整版)高中数学解析几何解题方法~

解析几何常规题型及方法(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

2给定双曲线X 2 - 1。

过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点P i 及P 2，求线段P i P 2的中点P2的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

33(2)求 |PF 1| PF 2I 的最值。

(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题抛物线方程y 2 p(x 1)(p 0)，直线x y t 与x 轴的交点在抛物线准线的右边。

(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A 、B ，且OA 丄OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

(4) 圆锥曲线的有关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

典型例题已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M (a,0)且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B , |AB| < 2p(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△ NAB 面积的最大值。

⑵设AB 的垂直平分线交 AB 与点Q ,令其坐标为(X 3,y 3)，则由中点坐标公式得： (5) 求曲线的方程问题1 •曲线的形状已知 ------- 这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题已知直线L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。

第14讲非对称韦达定理(解析几何)(原卷版)

第14讲非对称韦达定理知识与方法在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中,我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程,消去x 或,得到一个一元二次方程,例如消去,得到一个两根为的一元二次方程y y 12,x x 20Ax Bx C ++=,则有根与系数的关系:,此即为韦达定理.对于诸如1212,B C x x x x A A +=-=,之类的目标,它们的结构特点是：将与22121212211211,,,,x x x x x x x x x x +++-⋯1x 2x 互换之后结果不变,即具有“对称性”,此类问题称之为“对称型韦达”问题，稍作变形,就可以直接利用韦达定理的结果整体代入，快速求解.但在某些问题中,我们会遇到两根不对称的结构,比如,11212122122132,(),32x kx x x x x x x kx x x x λμλμ+-+≠-+1211223,2my y y my y y -⋯+,之类的问题，就相对较难地直接应用韦达定理来处理了，我们把这类问题称为“非对称韦达问题”,本讲介绍一些常见的处理手法.典型例题类型两根之比型（如等1:1122,x y x y )【例1】设椭圆的左焦点为,过点的直线与椭圆相交于2222:1(0)x y C a b a b +=>>F F l C ,A B 两点,直线的倾斜角为,求椭圆的离心率.l 60,2AF FB ︒= C【例2】已知抛物线与定点,直线与抛物线交于两点,且有2:4C y x =(2,1)P l ,A B 17AP PB = ,求直线的斜率.l 【例3】设为椭圆的右焦点,过点的直线与椭圆交于两点.F 22:12x C y +=(2,0)l C A B ，(1)若点为椭圆的上顶点,求直线的方程;B C AF （2）设直线的斜率分别为,求证：为定值.AF BF ，()122,0k k k ≠12k k【例4】已知、分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，A B 222:1(1)x E y a a +=>G E ，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为.8AG GB ⋅= P 6x =PA E C PB E D (1)求的方程；E (2)证明：直线过定点.CD强化训练1.设双曲线与直线相交于不同的点、.222:1(0)x C y a a-=>:1l x y +=A B （1）求双曲线的离心率的取值范围；C e （2）设直线与轴的交点为，且，求的值.l y P 512PA PB = a2.已知椭圆离心率为，点，分别为椭圆的左、右顶点，点2222:1(0)x y C a b a b+=>>121A 2A C 1F ，分别为椭圆的左、右焦点.过点任作一条不与轴垂直的直线与椭圆交于、2F C 2F y C M N 两点，的周长为.1MNF ∆8(1)求椭圆的方程；C (2)若直线，交于点，试判断点是否在某条定直线上，若是，求出1A M 2A ND D x t =t 的值；若不是，请说明理理由.3.如图，在平面直角坐标中，已知椭圆的左、右顶点分别为，xOy 22:143x y C +=A B ，过右焦点的直线与椭圆交于点，(点在轴的上方).设直线，，F C P Q P x AP BQ BP 的斜率分别为，，.1k 2k 3k (1)求证：为定值；23k k (2)是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.λ12k k λ=λ4.椭圆有两顶点，，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与(1,0)A -(1,0)B (0,1)F l C D x 轴交于点.直线与直线交于点.P AC BD Q(1)当时，求直线的方程；||CD =l (2)当点异于，两点时，求证：为定值.P A B OP OQ ⋅5.已知椭圆过点.2222:1(0)x y C a b a b +=>>P (1)求椭圆的方程；C (2)椭圆的上下顶点分别为，，过点斜率为的直线与椭圆交于，C A B (0,4)k C M N 两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.BM AN G。

高考解析几何的题型及思路

高考解析几何的题型及思路解析几何是必考的，常作为压轴题，特点是计算量大。

不过解几题其实很有规律性，解题思路并不难掌握，就是要用代数方法（方程、函数、不等式的思想和方法）研究几何问题，而数形结合思想（主要是利用定义或平面几何知识分析问题）是减少解几综合题计算量的主要手段。

常见的类型题有：（1）、求曲线（动点）的方程：若曲线类型已知，用待定系数法列方程组求解即可。

若给出了单个动点满足的条件，可先判断其是否符合某种曲线的定义，符合即可用待定系数求解，否则用直接法求解。

若条件有两个动点，一般用代入法求解；若条件有三个以上的动点，一般用参数法求解。

（2）求参数或曲线的特征量（如a、b、c、p、离心率、斜率、倾角、面积等）的值。

这类题要用到方程思想求解，即想办法把题目的条件（等量关系）转化为所求变量的方程（组）解之。

（3）求参数或几何量（如角、面积、斜率）的取值范围的问题。

主要是利不等式法或函数法求解。

其中判别式是列不等式的一个重要途径。

通常用韦达定理或题目给出的其它条件来列出变量间的等量关系，再把等量关系代入判别式消元化简解出相关参数的范围。

或利用韦达定理或其它等量关系建立变量间的关系式，把所求变量表示为其它变量的函数，利用求函数值域的方法确定变量的取值范围。

这个函数的定义域通常由判别式或其它条件确定。

（4）直（曲）线过定点问题：关键是求出直（曲）线的方程，当然这个方程必定含有一个参数。

求出方程后观察什么定点的坐标满足。

若观察不出，只要令参数取两个特殊值，然后把得到的两条具体的直（曲）线求交点即得所求定点。

（5）证明定值：证某个式子为定值，即是要求出这个式子的值是什么。

把条件转化为相关的方程（组），消去其中的参数即得。

（6）探索性（存在性）问题：通常转化为对方程根的存在性的讨论。

▲注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的解析几何问题都是以向量作为背景编拟的；▲判别式和韦达定理是解决以直线和圆锥曲线的位置关系为背景的综合问题的必用工具。

高考数学二轮复习指导系列-解析几何.doc

高考数学二轮复习指导系列-解析几何绪言：解析儿何的本质是用代数的方法研究儿何问题，其中蕴含丰富的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.因此，要注意数学思想方法在问题解决过程中的核心地位.近几年解析几何内容考查的题型归纳与分析如下:建议对以上儿类问题进行整理，讲关键处、讲重点、讲难点、讲思想、讲规律、讲方法，讲存在的主要问题和相应的解决方法与策略：1.重视圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征解题；2.掌握基本量计算：如眩长，中点眩问题，梳理定点、定值问题的基本思路以及有关面积的处理思路；3.圆锥曲线问题的计算，首先是耐心演算，其次是算法、算理、算式的分析、渗透与强化，提高运算的准确性；4.读题、审题，加强数学阅读理解的指导，加强数学表达的规范训练.一、存在的问题及原因分析：(一)缺乏科学规范的作图意识，识图、用图能力待提高科学规范地画出图形是研究几何问题的基础，作图的过程也是问题条件的理解与解题思路的探究过程.【例1】(2016全国I卷理20)设圆x2+ y2+2x-\5 = 0的圆心为A,直线/过点B (1, 0)且与x轴不重合，/交圆人于两点，过B作AC的平行线交AD于点E.⑴证明|创+ |皿为定值，并写出点E的轨迹方程.评析：由于作图潦草、没有使用尺规作图、不够精确，导致难以发现关键的几何特征信息.识图、用图能力差，没有从图形中发现AC = AD t以及BE = DE・究其原因在于课堂教学作图环节缺失，教师多用手工绘制草图、缺乏刈•图形中几何特征与数量关系的细致量化分析.建议教师注意使用尺规规范作图，示范指导，并要求学生当堂作图练习.所给的练习，不给图形，要求学生通过审题自己作图，结合图形从整体角度理解题意寻找解题思路.(二)缺乏利用圆锥曲线的定义研究相关问题的意识与模式习惯定义是数学问题研究的起点.圆锥曲线的定义蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义.【例2】(2016全国I卷理20)设圆x2 + y2+2x-\5 =0的圆心为A,直线/过点B (1, 0)且与x轴不重合,/交圆A于C,D两点，过B作4C的平行线交AD于点E.⑴证明|创+ |比为定值，并写出点E的轨迹方程.解答：圆的方程可化为(^ + 1)2 + /=16的圆心为4(70),半径为4；动点C, D落在圆上，满足|AC| = |AD| = 4;(点在圆上，根据圆的定义有\AC\ = \AD\ = 4)等腰三角形AACD 中，BE//AC=>\BE\ = \DE\;・•. AE| + |ED|=|AE| + |BE| = 4；由题设得A(-l,0) , B(l,0), | AB |=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：手+斗"(〉'工°)・(|個+岡二4根据定义知点E的轨迹是椭圆)评析：未能从动点与定点的位置关系角度理解问题，去探究目标“证明\AE\ + \EB\为定值” 的证明思路，未能结合定义预判可能的轨迹类型，从而没能联系已有的几何条件寻找突破口.究其原因在于研究求轨迹方程这类问题时，没有养成优先站在“观察发现动点运动变化过程中不变的儿何关系”的角度探究问题的意识；没有养成“定义”的应用意识，未能从圆锥曲线的定义审视动点满足的不变的几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化.建议复习教学中凡涉及轨迹问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析.（三）缺乏对几何条件代数化（坐标化）方法策略的深入研究解析几何就是用代数的方法研究几何问题.那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化.点，分别为「的左、右顶点，P 为「上一点，且PF 丄x 轴，过点A 的直线/与线段"交于点M ,与轴交于点E ,直线与『轴交于点N ,若\OE\ = 2\ON\ ,则「的离心率为（）3 4A. 3B. 2C. -D.- 2 3解答：从试题中的关键条件\OE\ = 2\ON\出发，因为三点均在y 轴上，从坐标关系角度加以理解，从而引入关联参数实现几何条件代数化：设点2V （O,r ）E （O,-2r ）,则直线/疔+士 = 1,直线B 陀+沪，联立即可得：M （-3d,4f ）, ・・・_c=-3a,答案：A【例3］（唐山2017）已知O 为坐标原点, F 是双曲线r:罕-* = 1（。

解析几何的解题思路方法与策略精编WORD版

解析几何的解题思路方法与策略精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的，一方面是回顾已学过的数学知识，进一步巩固基础知识，另一方面，随着学生学习能力的不断提高，学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复，而是有对所学知识进一步理解的需求，如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等，所以高三数学复习既要“温故” ，更要“知新” ，既能引起学生的兴趣，启发学生的思维，又能促使学生不断提出问题，有新的发现和创造，进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容，也是高考考查的重点．每年的高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解答题，主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用，而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查，重视对圆锥曲线定义的应用，求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位，这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头”．所以研究解析几何的解题思路，方法与策略，重视一题多解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中，在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - ，若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，O 为坐标原点.（1）设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）求OA OB +最小值；（3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴，y 轴正半轴，设直线l的方程为(2)1(0)y k x k =++>，∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B ，（1）∴422122)12(2≥++=+=k k k k S , ∴当1)22=k （时，即412=k ，即 21=k 时取等号，∴此时直线l 的方程为221+=x y . （2）3223211221+≥++=+++=+k kk k OB OA ，当且仅当22k =时取等号；（3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k kk k k k MB MA ，当且仅当1k =时取等号；方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x ，∵过点(2,1)M -，∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121，∴822≥-⇒≥-ab ab ，∴42121≥-==∆ab b a S AOB ；（2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+baa b b a b a b a b a OB OA ；（3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA MB MA 422≥-+-=abb a ．（3）方法三： θsin 1=MA ，θcos 2=MB ， ∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA ，当且仅当12sin =θ时最小，∴4πθ=．变式1：原题条件不变，（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值．解：（1）设重心坐标为(,)x y ，且(,0)A a ，(0,)B b ，则3a x =，3b y =，又∵112=+-ba ，∴13132=+-yx ， ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y ，该重心的轨迹为双曲线一部分；（2）令直线AB 倾斜角为θ，则20πθ<<，又(2,1)M -，过M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为,E F ,则θsin 1=MA ， θcos 2=MB ，θtan 1=AE ，θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=，令12cot-=θt ，则t>0， ∴周长10)2(213≥++++=tt t l ∴32cot 212cot =⇒=-θθ。

解析几何的常见题型解题方法

解析几何的常见题型解题方法几何学是数学的一个分支，研究与形状、大小、位置等相关的问题。

在解析几何中，常见的题型包括直线方程、平面方程、距离公式、中点公式、向量运算等。

本文将从这些常见题型出发，介绍解析几何的解题方法。

1. 直线方程直线方程是解析几何中常见的题型之一。

一条直线可以用斜率截距法、两点法或点斜式等多种方式表示。

例如，已知直线过点A(2,3)且斜率为2，求直线的方程。

解法如下：首先，利用点斜式可以得到直线的方程为y-3=2(x-2)。

进一步化简，得到直线方程为y=2x-1。

2. 平面方程平面方程是解析几何中另一个常见的题型。

平面可以用点法、法向量法或截距法表示。

例如，已知平面过点A(2,3,4)、B(1,2,3)和C(3,4,5)，求平面的方程。

解法如下：首先，利用两个向量来确定平面的法向量。

设AB和AC两向量，则平面的法向量可以通过叉积运算得到。

即AB×AC=(-1,1,1)。

进一步，利用点法可得平面的方程为-1(x-2)+1(y-3)+1(z-4)=0。

化简可得-x+y+z-5=0，即平面的方程为x-y-z+5=0。

3. 距离公式在解析几何中，我们常需要计算两点之间的距离。

两点间的距离可以通过距离公式来计算。

例如，已知点A(2,3)和点B(4,5)，求AB两点间的距离。

解法如下：根据距离公式，AB的距离可以表示为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

带入坐标可得√[(4-2)²+(5-3)²]，化简后得√8。

因此，点A(2,3)和点B(4,5)之间的距离为√8。

4. 中点公式中点公式是解析几何中常见的一个定理，用来求线段的中点坐标。

例如，已知线段AB的两个端点A(2,3)和B(4,5)，求线段AB的中点坐标。

解法如下：根据中点公式，线段AB的中点坐标可以表示为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。

带入坐标可得[(2+4)/2, (3+5)/2]，化简后得(3,4)。

解析几何解答题的答题策略和技巧

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。

高三数学第二轮复习专题之《解析几何》

高三数学第二轮复习专题之《解析几何》解题思路与方法：高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有1~2个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。

（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。

（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)。

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。

（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。

第14讲解析几何问题的题型与方法doc高中数学

第14讲解析几何问题的题型与方法doc 高中数学一、知识整合高考中解析几何试题一样共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一样紧扣课本，突出重点，全面考查。

选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。

解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的差不多知识和向量的差不多方法．．．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。

1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程动身推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能依照条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的咨询题了.2.能正确画出二元一次不等式〔组〕表示的平面区域，明白线性规划的意义，明白线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等差不多概念，能正确地利用图解法解决线性规划咨询题，并用之解决简单的实际咨询题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际咨询题.3．明白得〝曲线的方程〞、〝方程的曲线〞的意义，了解解析几何的差不多思想，把握求曲线的方程的方法.4．把握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-〔r ＞0〕，明确方程中各字母的几何意义，能依照圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，把握圆的一样方程：022=++++F Ey Dx y x ，明白该方程表示圆的充要条件并正确地进行一样方程和标准方程的互化，能依照条件，用待定系数法求出圆的方程，明白得圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，明确各字母的意义，把握直线与圆的位置关系的判定方法. 5．正确明白得椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能依照椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能依照条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；把握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范畴、对称性、顶点、离心率、准线〔双曲线的渐近线〕等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；把握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单咨询题；明白得椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并把握它的应用；把握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、近几年高考试题知识点分析2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．1．选择、填空题1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、差不多技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主〔1〕对直线、圆的差不多概念及性质的考查例1 〔04江苏〕以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________．〔2〕对圆锥曲线的定义、性质的考查例2〔04辽宁〕点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是〔A 〕26 〔B 〕23〔C 〕3〔D 〕21．2 部分小题表达一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查例3〔04天津文〕假设过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，那么k 的取值范畴是〔A〕0k << 〔B〕0k <<〔C〕0k <<〔D 〕05k <<2．解答题解析几何的解答题要紧考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两咨询，在咨询题的设置上有一定的梯度，第一咨询相对比较简单．例4(04江苏〕椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F 〔-m,0〕(m 是大于0的常数).〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M.=，求直线l 的斜率．此题第一咨询求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二咨询，需要进行分类讨论，那么有一定的难度，得分率不高．解：〔I 〕设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x由，得 ,21,==a c m c 因此m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x 〔II 〕设Q 〔Q Q y x ,〕，直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m kmm Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点0(2)()2,2,1212Q Q m kmMQ QF x m y km +-⨯-=-==-==---当时.因此.0,134422222==+k mm k m m 解得故直线l 的斜率是0，62±.例5〔04全国文科Ⅰ〕设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B .〔I 〕求双曲线C 的离心率e 的取值范畴：〔II 〕设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB =求a 的值. 解：〔I 〕由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得〔1－a 2〕x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率01,((2,).2e a a e e e ==<<≠∴>≠+∞即离心率的取值范围为〔II 〕设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得由于x 1，x 2差不多上方程①的根，且1－a 2≠0，2222222222172522289,.,,121121160170,.13a a a x x x a a a a a =-=--=--->=所以消去得由所以例6〔04全国文科Ⅱ〕给定抛物线C ：,42x y=F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. 〔Ⅰ〕设l 的斜率为1，求与夹角的大小；〔Ⅱ〕设]9,4[,∈=λλ若AF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范畴. 解：〔Ⅰ〕C 的焦点为F 〔1，0〕，直线l 的斜率为1，因此l 的方程为.1-=x y将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 那么有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅=OB OA 因此与夹角的大小为.41143arccos -π 〔Ⅱ〕由题设λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-=-.1212),1(1y y x x λλ 由②得21222y y λ=， ∵ ,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③ 联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F 〔1，0〕，得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或由,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴ ,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范畴为].34,43[]43,34[⋃--从以上3道题我们不难发觉，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替显现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程〔椭圆〕，04年考的是椭圆．三、热点分析与2005年高考推测1．重视与向量的综合在04年高考文科12个省市新课程卷中，有6个省市的解析几何大题与向量综合，要紧涉及到向量的点乘积〔以及用向量的点乘积求夹角〕和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点咨询题，估量在05年的高考试题中，这一现状依旧会连续下去．例7〔02年新课程卷〕平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A 〔3，1〕，B 〔－1，3〕，假设点C 满足βα+=，其中α、β∈R，且α＋β=1，那么点C 的轨迹方程为〔A 〕〔x －1〕2＋〔y －2〕2=5 〔B 〕3x ＋2y －11=0 〔C 〕2x －y =0 〔D 〕x ＋2y －5=0 例8〔04辽宁〕点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，那么点P 的轨迹是〔A 〕圆〔B 〕椭圆〔C 〕双曲线〔D 〕抛物线2．考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高在04年的15个省市文科试题〔含新、旧课程卷〕中，全都〝不约而同〞地考查了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，能够断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系的概率依旧会专门大．① ②3．与数列相综合在04年的高考试题中，上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合，此外，03年的江苏卷也曾显现过此类试题，因此，在05年的试题中依旧会显现类似的咨询题．例9〔04年浙江卷〕如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分不为〔0,0〕、〔1,0〕、〔0,2〕,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,关于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n), .2121++++=n n n n y y y a 〔Ⅰ〕求321,,a a a 及n a ; 〔Ⅱ〕证明;,414*+∈-=N n y y nn 〔Ⅲ〕假设记,,444*+∈-=N n y y b nn n 证明{}n b 是等比数列. 解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，因此2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ， ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ，∴.414n n yy -=+〔Ⅲ〕∵)41()41(44444841n n n n n yy y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+,41n b -=又∵,041431≠-=-=y y b∴{}n b 是公比为41-的等比数列.4．与导数相综合近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分不与向量综合．例10〔04年湖南文理科试题〕如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P 〔0,m 〕(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

解析几何问题的题型与解题方法

（A）（B）（C）（D）2
1．2 部分小题体现一定的水平要求水平，注意到对学生解题方法的考查
例3若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
2．解答题
解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单．
1．选择、填空题
1．1 绝大部分选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主
（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查
例1 以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________．
（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查
例2已知点、，动点P满足 . 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是
例4已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线l的斜率．
本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对绝大部分同学来说，是应该得分的；而第二问，需要实行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高．
3．理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并准确地实行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.