直尺与圆规三等分任意一个角的证明方法

5、将C点与D点相连形成线段CD
6、作CD的中垂线交AB的延长线于N
以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一
7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,
连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB
二、证明
在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)
2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）
3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′
为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）
4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D
5、将C点与D点相连形成线段CD
6、作CD的中垂线交AB的延长线于N
以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一
7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,
连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB
二、证明
在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)
2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）
3、用圆规找出AB的中点O′，以O′为圆心，以A O′
为半径划弧Ⅱ，它实际上是平角∠A O′B的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）
4、以B点为圆心，以B O′为半径划弧交平角∠A O′B的弧（弧Ⅱ）于D
5、将C点与D点相连形成线段CD
6、作CD的中垂线交AB的延长线于N
以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交∠AOB的弧（弧Ⅰ）于F点，分出的弧FB是∠A OB的弧（弧Ⅰ）的三分之一
7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧Ⅰ于G,
连接GO和FO,则∠AOG=∠GOF=∠FOB
二、证明
在上法三等分任意角∠AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)
从上面作图时可知AG=FB，所以∠AOG=∠FOB
这时只要能证明∠GOF也=∠FOB
,即可证明∠AOG=∠FOB=∠GOF,则任意角∠AOB就被三等分
1、以AO为半径，以O为圆心将弧AB（弧1）从右下方适当延长，再以B为圆心，以G F为半径划弧交弧AB(弧1)的延长线于P,连接OP和BP，则新形成的△POB与△GOF全等，即在他们中，∠GOF=∠BOP
2、连接GP交BO于T，从图上看，GP连线似乎经过E点，因未做数学证明，所以，不能确认。

这时，在以边GO和PO及弧GP形成的由三个角组成的扇形中，扇形两边的两个角相等（∠GOF=∠BOP），所以，F点和B点，**和P点都是以GP的中垂线RO为对称轴对称分布的点。

，所以FB与GP平行。

同样，在以边AO和BO及弧AB（弧1）形成的扇形中，扇形也是由三个角组成的，两边的两个角也相等，连接GE（E点是AB和FO的交点）和FH(H点是AB和GO的交点),这时，**和F点，A点和B点,H点和E点都是以AB的中垂线SO为对称轴对称分布的点，所以GF与AB平行。

对称轴两边对应的角相等，所以∠GAB=∠FBA ∠GFH=∠FG
E ∠GEH=∠FHE
3、作GF的延长线至V, 因为GF与AB平行，所以内错角相等即∠VFB=∠FBA
4、在△AGE和△BFH中,已知∠FBA=∠GAB ∠GEH=∠FHE 所以，它们的第三个角也相等。

即∠AGE=∠BFH
5、因为∠AGE和∠BFH的同一侧的边FB和GP平行，所以，他们的另一侧的边AG和F
H也平行。

则形成平行四边形FGAH，其对角相等。

即∠GAH=∠GFH
已知∠GFH=∠FGE 所以∠FGE也=∠GAH
已知∠GAH（∠GAB）= ∠FBA,而∠FBA又=∠VFB
所以∠FGE=∠VFB
这样GE也与FB平行（同位角相等）
6、这时，GE连线和GP连线都与FB平行，且都经过**，所以，它们是相互重叠的同一
直线。

因为，经过同一点G与FB平行的只能有一条直线。

E点是GE直线上的点。

也在
这条线上，则GP连线必然经过E点。

也就是说AB，FO和GP在这一点相交。

7、在△AEO和△PEO中,AO和PO是同一弧的半径，所以AO=PO
EO是他们的公用边，而且已知∠AOG=∠FOB
∠GOF=∠BOP 所以∠AOG+∠GOF=∠POB+∠FOB
即∠AOE=∠EOP
所以△AEO和△PEO全等则对应角∠AEO=∠PEO
因为GF与AB(HE)平行，所以∠GFO=∠HEO(同位角相等)
因为EB与GP(ET)平行，所以∠BFO=∠TEO(同位角相等)
因此∠GFO=∠BFO △GOF和△FOB都是等腰三角形，所以，当他们的一个底角相等时，其顶角相等，即∠GOF=∠FOB ，
也=∠FOB，则任意角∠AOB被三等分。