切线证明的常用方法
切线的证明技巧
知识点
二.切线的证明方法： 1.作垂直，证半径
条件：圆与直线的公共点没有标明字母 方法：① 则过圆心作直线的垂线段为辅助线
② 再证垂线段的长等于半径的长
知识点
二.切线的证明方法： 2.连半径，证垂直 条件：圆与直线的公共点标明字母 方法：① 则连这个点和圆心得到辅助半径
② 再证所作半径与这条直线垂直
变式练习
例：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于 点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2， AE= ．3 求证：BC是⊙O的切线；
证明：∵在△AME中，AM=2，ME=1，AE= 3，
∴AM=ME2+AE2， AM ME2 AE2
∴△AME是直角三角形，∴∠AEM=90°， 又∵MN∥BC， ∴∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， 而AB为直径， ∴BC是⊙O的切线；
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． 求证：直线PB也与⊙O相切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA， 又∵点O在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径， 作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证： 直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， 而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．
切线的证明
中考切线分析证明切线的方法：1.（已知一条切线证明另一条也是切线）通用的方法是三角形全等如果这两条切线相等可以运用两个等腰三角形进行证明，此种方法为等量代换法。
2.（已知中弦长和半径相等或者根据条件可以找到特殊角）通用的方法就是将要证明的角分为两部分去寻找特殊角的度数，然后证明相加为90°3.（已知角之间的相等关系）通用的方法就是在已知条件中寻找直角三角形，将角之间的相等关系转移到要证明的位置，进而得出90°这是切线证明中的三种类型，具体哪种要根据已知条件具体分析。
学会运用上面几种方法，切忌随便乱找关系导致题的分析思路不到位。
步骤方面需注意：经过半径的外端并且垂直与半径的直线是圆的切线。
因此写过程的时候最终要说明谁是半径，要证明的线与半径垂直。
切线中求长度的方法：（1）勾股定理。
直接由线段长度运用勾股定理和间接设未知数的方式运用勾股定理。
在圆中经常体现在垂径定理的运用中。
（2）相似三角形。
可以已知两条线段或三条线段就能求长度。
已知两条线段是在两个三角形有公共的一条边（不是对应边）的情况下，或者类似摄影定理的模型下就用到相似三角形。
（3）锐角三角函数。
已知中有角之间的相等关系，并且此角能够转移到直角三角形中才能运用。
备注：锐角三角函数和相似可以通用的情况是在直角三角形中，锐角三角函数更不容易出错，建议用三角函数去解决问题。
有时候在解决切线的题时，以上方法综合运用才能将问题解决。
切线的证明(09石景山一模)1．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，BC OC =，OB AC 21=． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若︒=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长．(09西城一摸)2．已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O 的半径等于4，4tan 3ACB ∠=，求CD 的长.（09昌平一摸） 3．如图，点A B F 、、在O 上，30AFB ∠=︒，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC AD ⊥于C ，60CBD ∠=︒，连接AB . （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若6AB =，求阴影部分的面积.A第19题AA4．（本小题满分5分）如图，以等腰ABC∆中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE AC⊥，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为5，60BAC∠=，求DE的长．（09房山一摸）5、（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC中，90ACB∠=，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．（1）求证:AC是⊙O的切线；（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12.求EFAC的值.（09门头沟一摸）6．（本小题满分5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD 平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径ABO·ADC B7．（本小题满分5分）如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交于点F ，且CF ＝9，cos ∠BFA ＝32，求EF 的长．（09顺义一摸）8、 已知：如图，⊙O 的直径AB =8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若120ACP ∠=︒，求阴影部分的面积；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．（09东城一摸）9．已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长．（09怀柔一摸） 10．（本小题满分5分）如图，ΔABC 中，AC=BC ，以BC 上一点O 为圆心、OB 为半径作⊙O 交AB 于点D ，已知经过点D 的⊙O 切线恰好经过点C ．（1）试判断CD 与AC 的位置关系，并证明；（2）若ΔACB ∽ΔCDB ，且AC=3，求圆心O 到直线AB 的距离．AAB CD PE ．O （第21题）DCE CB11．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 是AB 边的中点，且∠BAC +∠DCB=90°. 试判断△ABC 的形状并证明.（09延庆一摸）12.（本题满分5分）在Rt △ABC 中，∠C=90， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F （1）求证:AC 是⊙O 的切线;（2）联结EF ，求EFAC的值.（09密云一摸）13．（本小题满分5分）如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于E ，DA 平分∠BDE .（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若30,1,DBC DE cm ∠=︒=求BD 的长.（09平谷一摸）14. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点 于D ，DE AC ⊥，E 是垂足. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果AB=5,tan ∠B=21,求CE 的长.A （第19题）A15．如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长.（09通州二模）16. 如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ， 使得2ACD DAB ∠=∠．(1)求证：CD 是⊙O的切线； (2)若AB =，求BC 的长．（09房山二模）17．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A . （1）求证： BC 是⊙O 的切线；（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.（09大兴二模）18．如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于P ，设AP a PB b ==，．（1）求弦CD 的长；（2）如果10a b +=，求ab 的最大值，并求出此时a b ，的值．（09东城二模）19. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．A BADA20．如图，⊙O 的直径4=AB ，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，联结AC ．（1）若︒=∠30CPA ，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ．你认为CMP ∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP ∠的大小．（09昌平二模） 21．如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC .（1）求P ∠的正弦值；（2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.（09门头沟二模）22. （本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且∠BCE =∠CAB ，CE 交AB 的延长线于点E ，AD ⊥AB ，交EC 的延长线于点D ． （1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若CE =3，BE =2，求CD 的长．（09延庆二模）23. 点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． ⑴求证：BD 是⊙O 的切线．⑵若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝32，求△ACF 的面积．第19题（第19题）24. （本小题7分）已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O半径的长；（3）在（2）的条件下，当OE ＝3时，求图中阴影部分的面积.（09崇文二模）25．如图， AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ． （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE AM 的长．（09西城二模）26．如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为BC 上一点， CE ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．A27．如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，AD 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径．(08丰台一摸)28．已知：如图，以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ，且过点D 的切线DE平分边BC ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）当ABC △满足什么条件时，以点O 、B 、E 、D 为顶点的四边形是正方形？请说明理由．（08大兴二模） 29．（本题满分5分）如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.（08朝阳一摸）30．（本小题满分5分）已知：如图，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB ，垂足为M ，AB=4，CD=E 在AB 的延长线上，且tan 3E =. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）将△ODE 平移，平移后所得的三角形记为△O D E '''．求当点E '与点C 重合时，△O D E '''与⊙O 重合部分的面积．30．（本小题满分5分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 为弦，点P 为 上一点，AB=10，AC ∶BC=3∶4． （1）当点P 与点C 关于直线AB 对称时（如图①），求PC 的长； （2）当点P 为 的中点时（如图②），求PC 的长． 解：（1） （2）（08石景山一摸） 31．（本小题满分5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ， （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAE =60°,⊙O 的半径为5，求DE 的长．（08顺义一摸）32．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE =3,⊙O 的半径为5，求BF 的长.（第19题）ACBACA（08延庆二模）33. （本题满分6分）已知:如图6，以一底角为67.5°的等腰梯形ABCD 的一腰BC 为直径做⊙O ，交底AB 于E ，且恰与另一腰AD 相切于Ｍ； （1）求证：△EOM 为等腰直角三角形；（2）求AEBE 的值.（08昌平二模） 34. 如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC的延长线于点E .连接BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD =6，tan ∠BCD=21，求⊙O 的直径的长．（08崇文一摸）35．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC =动点O 在AC 边上，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结CD ．（1）若点D 为AB 边的中点（如图2），请你判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）当∠ACD ＝15°时，请你求出此时弦AD 的长.BA(08大兴一摸)36．（本小题满分5分）如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BECE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由.第18题图 （08东城二模）37. 如图，已知等边△ABC ，以边BC 为直径的半圆与边AB 、AC 分别交于点D 、点E 。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
切线的证明方法。-概述说明以及解释
切线的证明方法。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：引言部分旨在介绍本文将要探讨的主题——切线的证明方法。
切线作为数学中重要的概念，在几何、微积分等领域中都起着至关重要的作用。
切线的证明方法是指在给定一个曲线时，如何确定该曲线上某点的切线。
本文将会介绍三种常见的切线的证明方法，并对其进行详细的讲解和演示。
这些证明方法包括第一个证明方法、第二个证明方法和第三个证明方法。
第一个证明方法将从基础的几何知识出发，通过利用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方程。
我们将详细介绍这个方法的步骤和计算过程，并通过实例来加深理解。
第二个证明方法将引入导数的概念，利用导数来求解切线的斜率。
我们将介绍导数的定义和性质，以及如何利用导数求解切线的斜率，并通过例子来说明这个方法的应用。
第三个证明方法与微积分中的极限概念相关，通过极限的定义来求解切线的斜率。
我们将探讨极限的概念和性质，以及如何运用极限来确定切线的斜率，并通过实例进行演示。
本文的目的是帮助读者更加深入地理解切线的概念和证明方法。
通过学习这些方法，读者将能够独立地解决切线相关的问题，并将这些方法应用到其他数学领域中。
在结论部分，我们将对这三种证明方法进行总结，并探讨它们在实际问题中的应用。
同时，我们也将展望未来，探讨可能的改进和拓展方向，以进一步提升切线的证明方法的应用价值。
接下来，我们将详细介绍第一个证明方法，以便读者能够更好地理解和掌握这个技巧。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的组织和章节安排进行介绍。
在本篇文章中，我们将讨论切线的证明方法，并按照如下结构进行阐述：第一部分是引言。
在引言中，我们将对切线的概念进行概述，介绍其在数学中的重要性以及与其他几何概念的关系。
同时，我们还会简要介绍本文的结构和目的。
第二部分是正文。
在正文中，我们将详细介绍三种不同的证明方法。
首先，我们将讨论第一个证明方法，详细描述其步骤和推导过程。
然后，我们将进一步介绍第二个证明方法，指出其与第一个证明方法的异同之处。
切线的证明
︵ ∵点 C 是BE的中点
︵︵ ∴CE＝BC∠BA源自＝∠CAE∴AEFE＝ABBF .
∵cos∠CAD＝45 ∴AEFE＝34 ∴AB＝34BF＝20.
在 Rt△AOM 中,∠AMO＝90°,AO＝12AB＝10 cos∠OAM＝cos∠CAD＝54 ∴AM＝AO·cos∠OAM＝8 ∴AC＝2AM＝16.
切线的证明
切线证明的三种方法
(1) 利 用 切 线 的 定 义 ， 即 与 圆 有 ___ 唯 一 公 共 点 ________的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离等于__半径____的直线是圆的切线； (3)经过半径的外端点并且__垂直____于这条半径的
直线是圆的切线．
︵ 如图，点 E 在以 AB 为直径的⊙O 上，点 C 是BE的中点，过点 C 作 CD 垂直于 AE，交 AE 的延长线于点 D，连接 BE 交 AC 于点 F. (1)求证：CD 是⊙O 的切线；
方法归纳 当已知切线时，连切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构
造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长 度；而在求角度时，往往利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、 内外角关系求解．
【对应训练】 ︵
如图，已知⊙O 的直径 AB＝12，弦 AC＝10，D 是BC的中点，过点 D 作 DE⊥AC，交 AC 的延长线于点 E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求 AE 的长．
(2)若 cos∠CAD＝45，BF＝15，求 AC 的长．
(1)证明：连接 OC，如图①所示．
︵
︵︵
∵点 C 是BE的中点 ∴CE＝BC ∴OC⊥BE
∵AB 是⊙O 的直径 ∴AD⊥BE ∴AD∥OC.
∵AD⊥CD ∴OC⊥CD ∴CD 是⊙O 的切线．
九年级切线的证明知识点
九年级切线的证明知识点切线是初中数学中的一个重要概念，它在几何图形中的应用非常广泛。
本文将为大家详细介绍九年级切线的证明知识点，帮助大家更好地理解和掌握相关内容。
1. 切线的定义和性质在几何中，切线是指与曲线相切且与曲线在切点处有且仅有一个公共点的直线。
切线与曲线相切的点叫做切点。
性质一：切线与曲线相切的切点是曲线的特殊点，切线通过该点的斜率等于曲线在该点处的导数。
性质二：过曲线上任一点可以作切线，但切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
2. 切线的证明方法在证明题中，常常需要证明切线的存在或者切线的某些性质。
以下是九年级常用的几种切线的证明方法。
方法一：使用导数的定义证明对于一条曲线上的一点P(x0, y0)，如果该点的导数存在，则可以通过导数的定义证明切线的存在。
具体步骤如下：（1）求出曲线在该点的导数，得到导数的表达式。
（2）计算该点的斜率，将斜率与切线的斜率进行比较，如果相等则证明切线存在。
方法二：使用距离的性质证明在某些情况下，我们可以利用距离的性质来证明切线的存在。
具体步骤如下：（1）求出曲线上任意一点P(x, y)到固定点A的距离函数。
（2）求出距离函数的极值点，即求出使得距离函数最小或最大的点。
（3）证明极值点与曲线的切点重合，从而证明切线的存在。
方法三：使用解析几何的方法证明对于一些特殊的曲线，我们可以利用解析几何的方法证明切线的存在。
具体步骤如下：（1）将曲线方程表示成y=f(x)的形式。
（2）设曲线上一点P(x0, y0)，求出点P处的导数。
（3）由点斜式或两点式求出切线的方程。
3. 切线的典型题型九年级的数学题目中常常涉及到切线的证明，以下是一些典型的切线题型。
题型一：证明曲线和直线的相切性对于给定的曲线方程和直线方程，要证明这两个图形相切，可以分别进行以下步骤：（1）求出曲线方程和直线方程分别的导数。
（2）解方程组，求出相切点的坐标。
（3）证明相切点同时满足曲线和直线的方程。
最新小专题(十) 证明切线的两种常用方法
1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB， OD交于点C，且CD＝BD. (1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．
(1)连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAC＝∠OBC. ∵OA⊥OD， ∴∠AOC＝90°. ∴∠OAC＋∠OCA＝90°. ∵DC＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC. ∵∠DCB＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠DBC. ∴∠DBC＋∠OBC＝90°. ∴∠OBD＝90°. ∵点B是半径OB的外端， ∴BD与⊙O相切．
∵∠ABC＝90°，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，
∴AB⊥BC.
∴EB＝FC.
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∵AB＝AF，
∴BD＝DF.
∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB
∴点F在⊙D上．
＋EB＝AC，
∴AC是⊙D的切线．
∴AC＝5＋3＝8.
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
法二：连接DE，AD，作DF⊥AC
∵DF⊥AC，
，F是垂足．
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵AB与⊙D相切，
∵AB＝AC，
∴DE⊥AB.
∴∠B＝∠C.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∵BD＝CD，
∴∠DAB＝∠DAC.
∴△BDE≌△CDF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE.
小专题(十) 证明切线的两种常用方法
类型1 直线与圆有交点 方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需 “连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的 关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等． 【例1】 如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D ，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．
切线的证明方法和技巧
切线的证明方法和技巧切线的证明方法和技巧主要有以下几种:1. 基本几何证明方法:利用平行、同位角、内外角、角度相等、线段长度相等等基本几何定理,证明切线与被切圆弧的公共角为60度,进而证明切线与被切圆弧切于点。
2. 利用余弦定理证明切线:利用余弦定理,将圆周角转化为角度,进而证明切线与被切圆弧切于点。
具体步骤为:设切点为A,被切圆弧为AB,切线为CD,则有:CD · AB = CA · AB + CS · CA,其中 CS 为切点到圆弧中心的连线与圆弧的夹角。
将圆周角转化为角度,则有:CD · AB = |CA| · (180° / 2) - CS · CA = 180° / 2 - CS · (CA / |CA|)化简得:CD · AB = CS |AB| - CS · AB = CS (AB / |AB|) - CS = CS / |AB| = (CD / |CD|) · AB因此,CD · AB · ||CD| = CS · ||CD| · AB = CS · AB = (CD / |CD|) · AB,即切线与被切圆弧切于点。
3. 利用相似三角形证明切线:利用相似三角形的性质,证明切线与被切圆弧的公共弦长为半径,进而证明切线与被切圆弧切于点。
4. 利用圆的性质证明切线:利用圆的性质,证明切线与被切圆弧切于点的方法主要依赖于圆的性质,如半径、直径、对称性、同位角、内角和等。
具体步骤为:(1)设切点为O,被切圆弧为AB,已知弦CO与圆弧AB的公共弦心角为θ。
(2)根据圆的性质,可得弦CO与圆弧AB同弧,即CO = AB / 2,进而可得半径CO = (AB / 2)。
(3)根据圆周角定理,可得角度θ = 60°。
完整版)证明圆的切线经典例题
完整版)证明圆的切线经典例题证明圆的切线有以下两种常用方法：一、若直线l过圆O上某一点A，证明l是圆O的切线，只需连OA，证明OA⊥l即可。
这种方法简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。
举例来说，对于△ABC中，若AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，且B为切点的切线交OD 延长线于点F，要证明EF与圆O相切。
我们可以连结OE和AD，因为AB是圆O的直径，所以AD⊥BC。
又因为AB=BC，所以∠3=∠4，∠1=∠2，从而BD=DE。
又因为OB=OE，OF=OF，所以△BOF≌△EOF（SAS），因此∠OBF=∠OEF。
因为BF与圆O相切，所以OB⊥BF，即∠___。
因此EF与圆O相切。
这个例子是通过证明三角形全等证明垂直的。
二、若AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD，要证明___与圆O相切。
我们可以作直径AE，连结EC。
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠DAB=∠DAC。
因为PA=PD，所以∠2=∠1+∠DAC。
因为∠2=∠B+∠DAB，所以∠1=∠B=∠E。
因为AE是圆O的直径，所以AC⊥EC，∠E+∠___，因此∠1+∠___，即OA⊥___。
因此PA与圆O相切。
这个例子是通过证明两角互余，证明垂直的，需要综合运用知识。
另外，对于例3中的问题，我们也可以通过连结OD和AD来证明DM与圆O相切。
因为AB是圆O的直径，所以AD⊥BC。
又因为AB=AC，所以∠1=∠2.因为DM⊥AC，所以∠2+∠4=90.因为OA=OD，所以∠1=∠3，∠3+∠4=90.因此OD⊥DM，即DM是圆O的切线。
本文将介绍证明圆的切线常用的三种方法。
第一种是利用相似三角形证明∠1=∠2.第二种是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.第三种是利用梯形的性质证明∠1=∠2，但需要先证明A、O、B三点共线。
对于第一种方法，我们可以通过观察图形发现，∆OAB与∆OCD相似，因为它们有两个对应角分别相等。
小专题(十三) 证明切线的两种常用方法
小专题(十三)证明切线的两种常用方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】(枣庄中考)如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.求证：PB是⊙O的切线．证明：连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA.∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线1．(常德中考)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD ＝∠CAB.求证：BE是⊙O的切线．证明：连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD.∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD.∵OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO.∴∠EBD＝∠ABO.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°.∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线．2．(永州中考改编)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.求证：CE是⊙O的切线．证明：连接CO ，OE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠BCD ＝90°.∵E 是BD 中点，∴CE ＝BE ＝12BD. 又∵OC ＝OB ，OE ＝OE ，∴△COE ≌△BOE.∴∠OCE ＝∠OBE.∵BD 为⊙O 的切线，∴∠OBE ＝90°.∴∠OCE ＝90°.∴CE 是⊙O 的切线．3．(丽水中考)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线；(2)连接CD ，求证：∠A ＝2∠CDE.证明：(1)连接OD ，BD ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB.∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO.∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO.∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°.∴AD 是半圆O 的切线．(2)由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ＝∠DOC.∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°.∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°.∴∠BDO ＝∠CDE.∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO.∴∠DOC ＝2∠CDE.∴∠A ＝2∠CDE.类型2 不确定直线与圆是否有交点。
15 专题 切线证明的常用方法
专题切线证明的常用方法
【方法归纳】连半径证垂直或作垂直证半径是证明圆的切线常用的方法．
一、有切点，连半径，证垂直
(一)利用角度转换证垂直
1．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD＝ED，
求证：AD是⊙O的切线．
2.(2013•孝感)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，
点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC，求证：P A是⊙O的切线．
（二）利用全等证垂直
3.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连OC，弦AD∥OC，
求证：CD是⊙O的切线．
（三）利用勾股定理逆定理证垂直
4.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，
PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．
二、无切点，作垂直，证半径
(一)利用中位线证d＝R
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＋BC＝AB，以AB为
直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线．
(二)利用角平分线的性质证d＝R
6．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点E，求证：AC与⊙D相切．。
1_切线的证明技巧
切线的证明技巧一、基本理论1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线二、切线的证明技巧。
（一）有切点、连半径、证垂直。
1、如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，C为弧BE的中点，过点C作AE的垂线，交AE 的延长线于点D.求证：CD是⊙O的切线；2、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．证明：DE是半圆⊙O的切线．3、如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．求证：AB是⊙O的切线；OE DCBA4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC=PG ．求证：PC 是⊙O 的切线；5、如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，∠PBA=∠C ． 求证：PB 是⊙O 的切线；6、如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB 的延长线上，∠AED ＝∠ABC .求证：DE 与⊙O 相切.（二）无切点、作垂直、证半径。
7、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BD 是角平分线，以点D 为圆心，DA 为半径的⊙D 与AC 相交于点E ．求证：BC 是⊙D 的切线；C8、如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D .求证：⊙O 与BC 相切三、变式巩固练习9、如图，平行四边形ABCD 的边AD 与经过A ，B ，C 三点的圆O 相切．求证：点A 平分BC ⌒；10、AB 与⊙O 相切于点B ，BC 为⊙O 的弦，OC ⊥OA ，OA 与BC 相交于点P .(1)求证：AP ＝AB .11、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ． 求证：∠CED ＝90°.E12、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为弧AD上一点，BF交CD于G，FH切⊙O于点F，交CD的延长线于H求证：FH＝GH13、如图、在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD. 求证：∠A＝∠BDC；14 、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB .求证：PO平分∠APC .16、如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作⊙O 的切线交MN于点E。
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法圆的切线是指与圆相切且经过切点的直线。
证明圆的切线有多种方法，下面将详细介绍三种常用的方法。
方法一：使用勾股定理证明切线长度与切点到圆心距离的关系。
设圆的圆心为O，切点为A，切线与圆的交点为B。
我们需要证明OA⊥AB。
1.根据勾股定理，可知直角三角形OAB成立。
因为OA为半径，AB为切线，所以OA⊥AB取证。
2.为了得到与切线相垂直的线段，我们取切点A为起点，用圆心O为终点，连接AO。
3.连接OB。
4.观察△OAB和△OBA，它们有共边OA，且OO相等且共线，所以两个三角形是全等三角形。
5.根据全等三角形的性质可知，∠OAB=∠OBA，又∠OAB为直角，所以∠OBA也是直角。
6.根据直角三角形的定义可知，线段OB⊥AB。
因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。
方法二：使用割线定理证明切线的长度。
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线与圆的交点为B，圆上的一点为C。
1.连接OA、OB、OC。
2.观察△OAB和△OAC，它们有共边OA，且∠OAB为直角，所以两个三角形是相似三角形。
3.根据相似三角形的性质可知，AB/OB=OA/OC。
4.由于直角三角形中，OA=r，所以AB/OB=r/OC。
5.由于OA⊥AB，所以∠OAB=90°，所以∠OCB也是直角。
6.根据直角三角形的定义可知，线段OC⊥CB。
由于OC⊥AB，且OC⊥CB，所以线段AB⊥CB。
因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。
方法三：使用割线与切线的交角性质证明切线的存在性。
设圆上的一点为P，切点为A，切线与圆的交点为B。
1.连接OA、OP。
2.观察△OAP，根据三角形内角和定理可知∠OAP+∠OPA+∠POA=180°。
3.∠POA为平行于弧PA的圆心角，根据圆心角的定义可知∠POA=1/2×弧PA。
4.切线与弦的夹角等于相应弧所对的圆心角的一半，所以∠APB=1/2×弧PA。
5.因为直线和平行线有关的几何性质之一是，被两条平行线截取的弦上的两个圆心角相等。
切线的证明方法
切线的证明方法引言在微积分中，切线是一条与曲线相切的直线。
切线的研究在数学和物理学中具有重要的意义。
本文将探讨切线的证明方法，包括切线的定义、切线的性质以及证明切线存在的方法。
切线的定义切线是一条与曲线仅有一个公共点且在该点处与曲线的切点相同的直线。
在数学中，切线的定义可以通过极限的概念来描述。
切线的性质切线具有以下性质：1.切线与曲线相切于一个点。
2.切线与曲线在切点处有相同的斜率。
切线的证明方法方法一：斜率法证明切线存在的一种常用方法是使用斜率。
下面以一元函数为例进行说明。
1.确定切点：首先需要确定曲线上的一个点，该点即为切点。
2.计算斜率：在切点处，计算曲线的斜率。
3.构造切线：以切点为起点，斜率为斜率的直线即为切线。
方法二：导数法导数是切线存在的必要条件。
下面以一元函数为例进行说明。
1.求导数：对给定的函数求导数。
2.确定切点：找到函数的一个极值点，该点即为切点。
3.判断斜率：计算极值点处的导数，若导数存在且不为零，则切线存在。
方法三：极限法极限是切线存在的另一种常用方法。
下面以一元函数为例进行说明。
1.确定切点：首先需要确定曲线上的一个点，该点即为切点。
2.构造割线：以切点为起点，选择一个趋近切点的点作为终点，构造割线。
3.极限计算：计算割线的斜率随着终点趋近切点时的极限值，若存在有限极限，则切线存在。
切线的应用切线的研究不仅在数学中有重要意义，还在物理学、工程学等学科中有广泛的应用。
以下是一些切线的应用实例：1.物体运动的切线速度：在物理学中，切线速度是描述物体运动的一个重要概念，它表示物体在某一时刻的瞬时速度。
2.曲线绘制：在计算机图形学中，利用切线可以绘制平滑的曲线，如贝塞尔曲线、样条曲线等。
3.最优化问题：在优化理论中，切线可以帮助求解最优化问题，如寻找函数的最大值、最小值等。
结论切线是与曲线相切的直线，具有特定的性质。
证明切线存在的方法包括斜率法、导数法和极限法。
切线的研究在数学和其他学科中具有广泛的应用。
专题：《切线的证明技巧》
专题：《切线的证明技巧》［方法技巧］连半径，证垂直或作垂直，证半径是证明直线是圆的切线的常用方法.—、有公共点→连半径，证垂直1、已知△ABC为⊙O的内接三角形，∠BCE=∠BAC，求证：CE是⊙O的切线。
方法点拔：借助角度转换证垂直2、如图，⊙O的弦AD=4，BD=8，AD⊥BD,C是BD延长线上一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线。
方法点拔：借助角度转换证垂直C3、如图，AB 是⊙O 的直径,AE 是⊙O 的切线，切点为A ，OE 平行于弦BC 。
求证:CE 是⊙O 的切线.方法点拔：借助全等证垂直 O EA BC二、无公共点→作垂直，证半径方法点拔：借助角平分线性质证d=R4、如图△ABC 中，CA=CB ，D 为AB 中点，以D 为圆心的圆与AC 相切于点E ，求证：BC 与⊙O 相切。
D A BCE5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°,AD+BC=CD，求证：以AB为直径的圆与CD相切.DAOB C[课后练习］1．（2015•湖北模拟）如图，已知R t△ABC,∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D,连接BD．取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．2。
如图,PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E。
求证:PB为⊙O的切线;DCOBPEA3．(2015•武汉校级模拟）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q．求证：PB是⊙O的切线;。
证明切线的方法
证明切线的方法证明切线的方法证明直线与圆相切，可分两种情况分析。
（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半径，证垂直（比较常用）。
（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。
例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。
DE是圆O的切线吗？分析:这属于第一种情况，可以考虑连接半径，然后证明垂直度。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
AB中考数学23题圆的切线证明及不规则阴影面积问题的解法探究关于相切证明，通常给出直线与圆相交时，需要通过证明半径垂直于直线来连接半径，从而解决问题，证明垂直度:(1)证明三角形全等，对应的角相等，然后证明垂直度；(2)通过证明角相等，90度角垂直；(3)通过角度之间的关系，得出两个角度是互补垂直的。
如果直线和圆没有交点，可以用圆心做垂直线，证明垂直线的长度等于半径。
这类证明多由全等三角形解决。
不规则图形面积的求解通常转化为三角形面积和扇形面积的和与差。
在具体证明解题时，要根据问题中的条件来确定解题思路。
解题时注意三角形的中线定理和等腰三角形性质的应用；圆形、平行四边形、菱形、正方形的综合题要学会着眼于整体，从局部入手，充分利用特殊四边形的性质解题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
类型一： 有切点，连半径，证垂直
证明：如图，连结OA，
∵BC为⊙O直径， ∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
而OC=OA，
∴∠ACB=∠OAC，
∴∠B+∠OAC=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠OAC=90°，即
∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AD是⊙O的切线．
变式练习
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相 切于点C． 求证：直线PB也与⊙O相切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA， 又∵点பைடு நூலகம்在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
②．圆与直线的公共点没有标明字母，则过圆心作直线 的垂线段为辅助线，再证垂线段的长等于半径的长。简 记为：无切点，作垂直，证半径。
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的 外接圆，BC为⊙O直径， 作∠CAD=∠B，且点D 在BC的延长线上． 求证：直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
切线证明的常用方法
吕合镇初级中学 李金传
求真 向善 崇美
学习目标：
掌握切线的判定及其性质的综 合运用，在涉及切线问题时， 常连结过切点的半径，切线的 判定常用以下两种方法：一是 连半径证垂直，二是作垂线证 半径。
1、圆的切线的判定方法有三种： ①．定义法：直线l 与圆只有唯一的公共点 ②．距离法：圆心O与直线l 的距离d=r ③．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。 2、切线的证明方法： ①．圆与直线的公共点标明字母，则连这个点和圆心得 到辅助半径，再证所作半径与这条直线垂直。简记为： 有切点，连半径，证垂直。
课堂小结
切线证明的 常用方法
有切点，连半 径，证垂直
无切点，作垂 直，证半径