平均数及加权平均数
平均数和加权平均数
（95+90+90+85） ÷ 4=90
二班的卫生成绩为：
（90+95+85+90） ÷4 =90
三班的卫生成绩为：
（85+90+95+90） ÷ 4=90
因此，三个班的成绩一样高
算术平均数与加权平均数的区别和联系是： 算术平均数是加权平均数的一种特殊情况 当各项权重相等时，计算平均数时就要采 用算术平均数 当各项权重不相等时，计算平均数时就要 采用加权平均数
（1）如果根据三项测试的平均成绩 72 50 88 70 A 3 xB 85 74 45 68 3 xC 67 70 67 68 3
候选人A将被录用 .
例题
某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A， B，C三名候选人进行了三项素质测试。他们 的各项测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 A B C 72 85 67 创新 综合知识 语言 50 88 74 45 70 67
D）
x1, x2 ,, xn
，我们把
1 ( x1 x2 xn ) n
叫做这 n个数的算术平均数，简称平均数，记为 读作 x 拔. x ，
甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条 件下各射靶5次，射击成绩如下： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲命中的环数 乙命中的环数 7 8 7 9 7 8 8 8 10 7
（2）如果小明先骑自行车2小时，然后步行3小时， 那么他的平均速度是多少？
15 1 5 1 平均速度是 10 （千米/时） 2
15 2 5 3 平均速度是 9 （千米/时） 23
2、小明所在班级的男同学的平均体重是45kg，小亮所 在班级的男同学的平均体重是42kg，则下列判断正确 的是（ C ）
平均数与加权平均数
平均数与加权平均数平均数和加权平均数是数学中常用的统计概念，用于对一组数据或事件进行概括和描述。
平均数指的是一组数值的总和除以这组数值的个数，而加权平均数是根据每个数据的重要程度对其进行加权后得到的平均数。
下面将详细介绍平均数和加权平均数的计算方法、应用场景以及它们的特点。
一、平均数的计算方法平均数通常用于概括一组数据的集中趋势，计算方法简单、直观。
对于给定的一组数据x1，x2，x3，......，xn，平均数的计算公式为：平均数= (x1 + x2 + x3 + … + xn) / n其中，x1，x2，x3，......，xn表示数据集合中的各个数据，n表示数据的个数。
举例来说，对于数据集合{1，2，3，4，5}，其中包含5个数据，它们的平均数计算公式为：平均数 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 15 / 5 = 3二、加权平均数的计算方法加权平均数是考虑到数据的重要程度后进行计算的一种平均数。
在实际应用中，不同数据可能具有不同的权重，因此简单的平均数无法全面反映数据的真实特征。
加权平均数通过给不同数据赋予不同的权重来解决这个问题，计算公式为：加权平均数= (x1*w1 + x2*w2 + x3*w3 + … + xn*wn) /(w1 + w2 + w3 + … + wn)其中，x1，x2，x3，......，xn表示数据集合中的各个数据，w1，w2，w3，......，wn表示相应数据的权重。
权重可以根据数据的重要程度或其他因素进行设定。
举例来说，假设一个学生的期末成绩由作业成绩（权重为40%）、考试成绩（权重为60%）组成，他的作业成绩为80分，考试成绩为90分，那么他的加权平均成绩计算公式为：加权平均成绩 = (80*0.4 + 90*0.6) / (0.4+0.6) = (32 +54) / 1 = 86三、平均数和加权平均数的应用场景平均数和加权平均数在实际生活中有广泛的应用。
小学数学平均数知识点总结
小学数学平均数知识点总结在小学数学中，平均数是一个非常重要的概念，它在我们的日常生活和学习中有着广泛的应用。
今天，就让我们一起来深入了解一下平均数的相关知识。
一、平均数的定义平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。
比如说，有一组数字 3、5、7、9、11，它们的和是 35，一共有 5 个数，那么这组数据的平均数就是 35÷5 ＝ 7。
二、平均数的意义平均数能够反映一组数据的总体情况，它是一个“代表性”的数值。
通过平均数，我们可以对数据有一个大致的了解，比如比较不同班级的考试成绩、了解某个地区的平均收入水平等等。
三、平均数的计算方法1、直接计算法当数据个数较少且数值较小时，可以直接将所有数据相加，然后除以数据的个数。
例如：一组数据 2、4、6、8、10，计算它们的平均数。
首先，将这组数据相加：2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ 8 ＋ 10 ＝ 30然后，用总和除以数据的个数 5，即 30÷5 ＝ 6，所以这组数据的平均数是 6。
2、移多补少法当数据个数较少且数值较小时，还可以通过移多补少的方法来求平均数。
比如有 3 个数据 5、7、9。
7 正好在 5 和 9 的中间，我们可以把 9 比 7 多的 2 补给 5，这样 5 就变成了 7，此时 3 个数都变成了 7，所以这组数据的平均数就是 7。
3、公式法如果已知一组数据的总和以及数据的个数，可以直接使用公式：平均数＝总和÷个数。
四、平均数的特点1、平均数比一组数据中最大的数要小，比最小的数要大。
例如：一组数据 2、5、8、10、15，平均数一定大于 2 且小于 15。
2、平均数易受极端值（极大值或极小值）的影响。
比如有两组数据：A 组：5、6、7、8、9B 组：1、5、6、7、8、9、50A 组数据的平均数为 7，B 组数据的平均数约为 117。
可以看出，B 组中的极大值 50 对平均数产生了较大的影响，使得 B 组的平均数明显大于 A 组。
人教八年级数学平均数、加权平均数、中位数、众数、极差和方差归纳与复习
平均数、加权平均数、中位数、众数、极差和方差归纳与复习一、回顾与梳理。
平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
即x=（x1+x2+……+xn）÷n中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
平均数：一组数据的平均值,平均水平.平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小。
平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动.平均数一般的计算方法为：用一组数据的总和除以这组数据的个数．平均数的优点。
反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定．平均数的缺点。
平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算，计算的工作量也较大。
平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。
中位数：在有序排列的一组数据中最居中的那个数据中等水平.中位数是描述数据的另一种指标，如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。
中位数仅与数据的大小排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．中位数是将数据按大小顺序依次排列（相等的数也要全部参加排序）后“找”到的．当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数据；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数据的平均数作为中位数．中位数的优点。
简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。
中位数的缺点。
中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。
当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据。
集中趋势众数告诉我们，这个值出现次数最多，一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。
众数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关．一组数据中的众数不止一个．当一组数据中有相同数据多次出现时，其众数往往是我们关心的．众数的优点。
平均数与加权平均数
平均数与加权平均数平均数与加权平均数是统计学中常用的概念，用于描述一组数据的中心位置。
本文将详细介绍平均数和加权平均数的定义、计算方法以及它们在实际应用中的意义。
一、平均数平均数是一组数据的总和除以数据的个数，用于表示这组数据的中心位置。
它是最常见、最简单的描述中心位置的指标。
计算平均数的公式如下：平均数 = 数据的总和 / 数据的个数平均数的计算方法简单直观，但在某些情况下并不能很好地描述一组数据的中心位置。
这时就需要引入加权平均数的概念。
二、加权平均数加权平均数是对一组数据进行加权处理后得到的平均值。
在加权平均数中，不同的数据具有不同的权重，权重越大表示该数据对平均值的贡献越大。
计算加权平均数的公式如下：加权平均数 = （数据1 × 权重1 + 数据2 × 权重2 + ... + 数据n × 权重n）/ （权重1 + 权重2 + ... + 权重n）加权平均数在实际应用中具有重要意义。
它常用于计算指标的平均值，如学生成绩的加权平均分、产品的加权平均价格等。
通过给不同的数据赋予不同的权重，加权平均数能够更准确地反映数据的实际情况。
三、平均数与加权平均数的应用平均数和加权平均数在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 统计数据分析：在统计学中，常常使用平均数和加权平均数来分析数据的中心位置。
通过计算平均数和加权平均数，可以获得对数据整体特征的初步了解。
2. 经济学：在经济学中，加权平均数常用于计算价格指数，如消费者物价指数（CPI）和生产者物价指数（PPI），以反映物价的变动情况。
3. 财务管理：在财务管理中，加权平均数被广泛应用于计算企业的成本和投资回报率。
例如，加权平均成本资本（WACC）被用来衡量企业的资金成本，从而影响决策者的投资决策。
4. 市场营销：在市场营销中，平均数和加权平均数被用于计算市场份额和顾客满意度指数。
这些指标可以帮助企业了解市场的竞争力和顾客对产品或服务的评价。
平均数加权法的公式
平均数加权法的公式平均数加权法是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要概念。
这玩意儿，乍一听好像挺复杂，其实说白了，就是给不同的数据根据重要程度分配不同的“权重”，然后算出一个综合的平均数。
咱们先来说说这个公式：加权平均数 = （数值 1×权重 1 + 数值 2×权重2 + …… + 数值 n×权重 n）÷（权重 1 + 权重2 + …… + 权重 n）。
为了让您更明白这公式到底咋用，我给您讲个事儿。
前段时间，我们学校组织了一场趣味运动会。
其中有个项目是拔河比赛。
我们班和隔壁班对决。
比赛嘛，得有个评判标准，怎么决定哪个班赢呢？这时候就用到了平均数加权法。
咱先说说参赛的同学，男生力气大，女生力气相对小一点。
我们班参赛的同学里，男生有 10 个，女生有 5 个。
那给男生的力气“打分”，假设平均每个男生能使出 80 分的力，这 80 就是数值 1；而女生平均能使出 60 分的力，这 60 就是数值 2 。
但是，不能简单地把男生和女生的力气加起来除以人数，因为男生人数多呀。
这时候就得考虑权重了。
我们给男生的权重设为 10（因为有 10 个人），女生的权重设为 5 。
按照加权平均数的公式来算，我们班在拔河这个项目上的“综合力气”就是：（80×10 + 60×5）÷（10 + 5）= （800 + 300）÷ 15 = 70 分。
您瞧，通过这样的计算，我们就能更合理地评估班级在拔河比赛中的综合实力。
再比如说，在考试成绩的统计中，也经常用到加权平均数。
比如说，期末考试占总成绩的 60%，平时作业成绩占 20%，课堂表现占 20%。
假设期末考试您考了 85 分，平时作业平均 90 分，课堂表现平均 80 分。
那么总成绩就是：（85×0.6 + 90×0.2 + 80×0.2）= 83 分。
所以说，平均数加权法在生活中的应用那可真是无处不在。
平均数加权平均数教程
例1.植树节到了，某单位组织职工开展植树竞赛，下 图反应的是植数量与人数的关系.
参加活动者植树量统计图
参加活动者植树量统计图
你发现了植树总量、 植树量的平均数和人数 这三者之间的数量关系 吗？你能解释平均每人 植树4.8棵的含义吗？
(1)总共有多少人参加了本次活动？
(2)总共植树多少棵？
(3)平均每人植树多少棵？
单击页面即可演示
日常生活中，我们常用 平均数表示一组数据的“平
学均习水平目”标. :
了解算术平均数的意义，会求一组 数据的算术平均数
算术平均数的概念：
一般地，对于n个数 x1，x2，… xn ，那么
1 n
注意：算术平均数是一组数据的平均值，它的大小与
这组数据中的每个数据有关，一组数据的平均数只有一个， 它不一定是这组数据中的某个数据
如果三种糖果的进价不变，每种糖果的 用量发生改变，如下表所示：
种
售价
类
用量
甲 24元/千克
6千克
乙 19元/千克 丙 28元/千克
2千克 2千克
种类
售价
用量
甲
24元/千克
2千克
乙
19元/千克
6千克
丙
28元/千克
2千克
2 461 922 822.3 8(元 /千克 622
2 421 962 822.1 8(元 /千克 262
解：(1)参加本次活动的总人数是1+8+1+10+8+3+1=32 (人).
(2)总共植树 3×8+4×1+5×10+6×8+7×3+8×1=155(棵).
(3)平均每人植树
平均数与加权平均数
平均数与加权平均数在统计学中，平均数是一种常用的数值表示方法，它可以用来描述一组数据的集中趋势。
加权平均数在某些情况下则更加实用，它考虑了不同数据的权重，更准确地反映了数据的分布情况。
一、平均数的概念与计算方法平均数，又叫算术平均数，是最简单常用的平均数。
它可以通过将一组数据的各个数据值相加，再除以数据的个数来计算得到。
例如，给定一个包含n个数据的集合X={x1, x2, x3, ..., xn}，它们的平均数记作X，计算公式如下：X = (x1 + x2 + x3 + ... + xn) / n二、加权平均数的概念与计算方法加权平均数在一些实际问题中具有重要意义。
它不仅考虑了数据的数值大小，还考虑了数据的相对重要性或权重。
在计算加权平均数时，我们需要为每个数据值分配一个权重，并乘以对应数据的权重再相加，最后再除以总权重的值。
给定一个包含n个数据的集合X={x1, x2,x3, ..., xn}和对应的权重集合W={w1, w2, w3, ..., wn}，它们的加权平均数记作X，计算公式如下：X = (x1w1 + x2w2 + x3w3 + ... + xnwn) / (w1 + w2 + w3 + ... + wn)在实际应用中，我们可以通过设定不同数据的权重来调整数据对加权平均数的贡献程度。
具有较高权重的数据对加权平均数的影响更大，而具有较低权重的数据对加权平均数的影响相对较小。
三、平均数与加权平均数的比较平均数适用于数据分布相对均匀的情况，但当数据分布不均匀时，平均数可能无法准确地反映整体数据的特点。
在这种情况下，加权平均数更具有优势，它可以根据数据的权重对数据进行相应的调整，更准确地描述数据分布情况。
举例来说，假设某公司有100名员工，其中80名员工的工资为5000元，20名员工的工资为10000元。
如果我们使用平均数计算公司员工的工资，结果为6600元。
然而，这个平均数可能会导致误导，因为大部分员工的工资都远低于6600元。
第1课时 平均数和加权平均数教案
20.1.1 平均数第1课时 平均数和加权平均数教学目标1、理解并掌握数据的权和加权平均数的概念。
2、掌握加权平均数的计算方法。
过程与方法在本节课的学习过程中，使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用。
情感、态度与价值观 通过本节课的学习，渗透数学公式的简单美和结构的严谨美，展示寓深奥于浅显、寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美。
重点难点 重点会求加权平均数。
难点对“权”的理解。
教学过程 一、新课导入在一次演讲比赛中，评委要从仪表、普通话、题材内容三个方面给选手打分，某同学仪表82分，普通话84分，题材内容86分，那么他的平均得分应为多少分？如果按2∶3∶5的比来确定他的成绩，那么他的平均成绩怎么计算呢？二、讲授新课问题 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩如下表：（1）如果这家公司想招聘一名综合能力较强的翻译，根据他们的平均成绩（百分制）录取，应该录取谁？25.80473857885=+++甲的平均成绩为5.79483828073=+++乙的平均成绩为79.580.25∵>应该录取甲∴归纳：一般地，对于n 个数n x x x ，，，...21 ，我们把 nx x x x n+++=...21叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作“ x ”，读作“x 拔”。
我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”。
（2）如果这家公司想招一名笔试能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按2：1：3：4的比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看，应录取谁？5.794312473385178285=+++⨯+⨯+⨯+⨯甲的平均成绩为4.804312483382180273=+++⨯+⨯+⨯+⨯乙的平均成绩为79.580.4∵>应该录取乙∴归纳：一般地，对于n 个数n x x x ，，，...21的权分别是n ωωω，，，...21 ，我们把 nnn x x x x ωωωωωω++++++=......212211叫做这n 个数的加权平均数。
总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数知识要点整理
● 本章重点：1．了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，会作频数直方图和频率直方图．2．掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法．● 知识要点：1. 样本均值：∑=i x nx 1 2. 加权平均： 0,1,11>==∑∑==i ni i n i i i p p p x x3. 方差：∑∑==-=-=n i i n i i x x n x x n s 1221221)(1 标准差（均方差）2s s =4. 中位数：将数据),,2,1(n i x i=由小到大重新排列为**2*1n x x x ，，， ，其中位数（处于中间位置的数）⎪⎩⎪⎨⎧+=++为偶数为奇数n x x n x m x n n n )(21*12*2215. 众数：重复出现次数最多的那个数给定一组数据x 1, x 2, …, x n ，则这组数据的均值、方差和标准差分别为：∑==n j j x n x 11，∑=-=n j j x x n s 122)(1，∑=-=n j j x x n s 12)(1若存在一组数p 1, p 2, …, p n ，满足11=∑=n j j p ，则数据x 1, x 2, …, x n 的加权平均数为， ∑==n j j j x p n x 11● 例题示范 例1 设有一组5个数据: x 1=0.051, x 2=0.055, x 3=0.045, x 4=0.065, x 5=0.048. 记 0528.05151==∑=k k x x , 则∑=-51)(51k k x x =( )A.0B.0.0528C.150⨯.0528D. 1500000(.051.055.045.065.048)++++解 因为∑=-51)(51k k x x =∑∑==-51515151k k k x x =x x -= 0所以，应该选A ．例2 一组数据19，16，22，25，35，20，32，24的中位数是（ ）．A . 22B . 23C . 24D . 25解 因为将这组数据按大小顺序排列：35，32，25，24，22，20，19，16，所以这些数据的中位数为23)2224(21=+所以，应该选B ．例 3 设一组数据1x =0, 2x =1, 3x =2，它们的权数分别为1.01=p ,6.02=p , 3.03=p ，则这组数据的加权平均数是x = .解 加权平均数x =∑=31j j j x p =23.016.001.0⨯+⨯+⨯= 1.2 所以，应该填写：1.2。
算术平均数与加权平均数
x x +x +....+x 算术平均数：一般地，对于n个数x1, x2, …, xn，我们把
x=
+
1
2
3
n
n
叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.
加权平均数：在实际生活中，一组数据中各个数据的重要程度是不同的，所以我们在计算这组数据的平均数的时 候往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”。这样，计算出来的平均数叫做加权平均数。
一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别Biblioteka w1，w2，…，wn，则x=
x1w1+x2w2 + L +xnwn w1+w2+ L +wn
叫做这n个数的加权平均数．
某超市新进了三种糖果，应顾客要求，妈妈打算把糖果混合成杂拌糖 出售，具体进价和用量如下表：
种类
售价
质量
甲
24元/千克
2千克
乙
19元/千克
2千克
丙
28元/千克
6千克
你能计算出杂拌糖的售价吗?
想一想
种类
售价
甲
24元/千克
乙
19元/千克
丙
28元/千克
质量
2千克 2千克 6千克
24 19 28 23.7(元 / 千克） 3
思考：你认为小明的做法有道理吗?为什么?
正确解答： 24 2 19 2 28 6 25.4(元 / 千克）
226
小结 算术平均数与加权平均数的区别和联系 1.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）；
2.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数， 当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数.
加权、加权平均法、加权平均数
加权1、注释：要理解加权是什么意思，首先需要理解什么叫“权”，“权”的古代含义为秤砣，就是秤上可以滑动以观察质量的那个铁疙瘩。
《孟子·梁惠王上》曰:“权，然后知轻重。
”就是这意思。
例子：学校算期末成绩，期中考试占30%，期末考试占50%，作业占20%，假如某人期中开始得了84，期末92，作业分91，如果是算数平均，那么就是(84+92+91)/3=89；加权后的，那么加权处理后就是84*30%+92*50%+91*20%=89.4，这是在已知权重的情况下；那么未知权重的情况下呢？想知道两个班的化学加权平均值，一班50人，平均80，二班60人，平均82，算数平均是(80+82)/2=81，加权后是(50*80+60*82)/(50+60)=81.09.还有一种情况类似第一种也是人为规定，比如说你觉得专家的分量比较大，老师其次，学生最低，就某观点，满分10分的情况下，专家打8分，老师打6分，学生打7分，但你认为专家权重和老师及学生权重应为0.5:0.3:0.2，那么加权后就是8*0.5+6*0.3+7*0.2=7.2，而算数平均的话就是(8+6+7)/3=7。
引用：blog.cersp./showtb.asp?id=584426统计学认为，在统计中计算平均数等指标时，对各个变量值具有权衡轻重作用的数值就称为权数．例子：求下列数串的平均数3、4、3、3、3、2、4、4、3、3、一般求法为（3＋4＋3＋3＋3＋2＋4＋4＋3＋3）／10＝3．2加权求法为（3×6＋4×3＋2×1）／（6+3+1）＝3．2其中3出现6次，4出现3次，2出现1次．6、3、1就叫权数。
这种方法叫加权法。
一般说的平均数，就是把所有的数加起来，再除以这些数的总个数。
表示为：(p1+p2+p3+…..+pn)/n;但有的数据记录中有一些相同的数据，在计算的时候，那一个数有几个相同数，就把这个数乘上几，这个几，就叫权，加权，就是乘上几后再加。
平均数和加权平均数 公开课获奖教案
20.1数据的集中趋势20.1.1平均数第1课时平均数和加权平均数1．知道算术平均数和加权平均数的意义，会求一组数据的算术平均数和加权平均数；(重点)2．理解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数与加权平均数的联系与区别，并能利用它们解决实际问题．(难点)一、情境导入在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用．你知道为什么要这样计算吗？例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2，作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%”的比例计算(如图)．二、合作探究探究点一：平均数【类型一】已知一组数据的平均数，求某一个数据如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，则a的值是()A．8B．5C．4D．3解析：∵数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，∴(3＋7＋2＋a＋4＋6)÷6＝5，解得a＝8.故选A.方法总结：关键是根据算术平均数的计算公式和已知条件列出方程求解．【类型二】已知一组数据的平均数，求新数据的平均数已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，则另一组新数据x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均数是() A．6B．8C．10 D．无法计算解析：∵x1、x2、x3、x4、x5的平均数为5，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5×5，∴x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均数为(x1＋1＋x2＋2＋x3＋3＋x4＋4＋x5＋5)÷5＝(5×5＋15)÷5＝8.故选B.方法总结：解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．探究点二：加权平均数【类型一】以频数分布表提供的信息计算加权平均数某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是()A．6.2小时B．6.4小时C．6.5小时D．7小时解析：根据题意得(5×10＋6×15＋7×20＋8×5)÷50＝(50＋90＋140＋40)÷50＝320÷50＝6.4(小时)，故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．故选B.方法总结：计算加权平均数时，要首先明确各项的权，再将已知数据代入加权平均数公式进行计算．【类型二】 以频数分布直方图提供的信息计算加权平均数小明统计本班同学的年龄后，绘制如右频数分布直方图，这个班学生的平均年龄是( )A ．14岁B ．14.3岁C ．14.5岁D ．15岁解析：该班同学的年龄和为13×8＋14×22＋15×15＋16×5＝717岁．平均年龄是717÷(8＋22＋15＋5)＝14.34≈14.3(岁)．故选B.方法总结：利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．【类型三】 以百分数的形式给出各数据的“权”某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%、面试按60%计算加权平均数作为总成绩，小华笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小华的总成绩是( )A ．87分B ．87.5分C ．88分D ．89分解析：∵笔试按40%、面试按60%，∴总成绩为90×40%＋85×60%＝87(分)．故选A.方法总结：笔试和面试所占的百分比即为“权”，然后利用加权平均数的公式计算．【类型四】 以比的形式给出各数据的“权”小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是( )A ．255分B ．84分C ．84.5分D ．86分解析：根据题意得85×22＋3＋5＋80×32＋3＋5＋90×52＋3＋5＝17＋24＋45＝86(分)．故选D.方法总结：“权”的表现形式，一种是比的形式，如5∶3∶2；另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%.“权”的大小直接影响结果．【类型五】 加权平均数的实际应用学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩(百分制)如表：绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．解析：(1)先用算术平均数公式，计算乙的平均数，然后根据计算结果与甲的平均成绩比较，结果大的胜出；(2)先用加权平均数公式，计算甲、乙的平均数，然后比较计算结果，结果大的胜出．解：(1)x 乙＝(73＋80＋82＋83)÷4＝79.5，∵80.25＞79.5.∴应选派甲；(2)x 甲＝(85×2＋78×1＋85×3＋73×4)÷(2＋1＋3＋4)＝79.5，x 乙＝(73×2＋80×1＋82×3＋83×4)÷(2＋1＋3＋4)＝80.4，∵79.5＜80.4.∴应选派乙．方法总结：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，“权”的差异对结果会产生直接的影响．三、板书设计1．平均数与算术平均数2．加权平均数“权”的表现形式这节课，大多数学生在课堂上表现积极，并且会有自己的思考，有的同学还能把不同意见发表出来，师生在课堂上的交流活跃，学生的学习兴趣较高．在这种前提下，简便算法的推出就水到渠成了．教学设计也努力体现新课改的新理念，如培养学生数学的思维能力，教会学生从生活中学习数学，课内外结合等等．17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD ＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】 勾股定理的证明探索与研究： 方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A 、B 、C 、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计 1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．。
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解：这个班级学生的平均年龄为：
x=
13
8+14
16+15 24+16 8+16+24+2
2
14
所以，他们的平均年龄约为14岁．
想一想：能把这种求有重复出现的数据的平均 数的方法推广到一般吗？这种求平均数的方法与前 面的加权平均数求法有什么相同之处？
在求 n 个数的算术平均数时，如果 x1 出现 f1 次，
数据的权能够反映数 据的相对重要程度
例1 以下表格是我班某位同学在上学期的数学成 绩如果按照如图所示的月考、期中、期末成绩的权 重，那么该同学的期末总评成绩应该为多少分？
考试 月考1 月考2 月考3 期中 期末
成绩 89
78
85 90 87
月考 10%
期末 期中 60% 30%
提示
扇形统计图中的百分数是各项目得分的权数.
2.一次数学测验，3名同学的数学成绩分别是60，80 和100分，则他们的平均成绩是多少？你怎样列式 计算？算式中的分子分母分别表示什么含义？
x=
60+80+100 3
=80
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知识链接：
1.算术平均数的定义：对于n个数据x1,x2,x3, …,xn,则
1 n
(x1+x2+x3+… +xn)
叫做这n个数的算术平均数，简称“平均
乙的平均成绩为73+80+482+83 =79.5
显然甲的成绩比乙 应试者 听 说 读 写
高，所以从成绩看，应 该录取甲．
甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83
首页
问题2 如果公司想招一名笔译能力较强的翻译， 用算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？
听、说、读、写的成绩按照2:1:3:4的比确定．
重要程度 不一样!
应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83
权数
加权平均数
解： x甲 =
85
2+78
1+85 2+1+3+4
3+73
4
=79.5
，
x乙 =
73
2+80
1+82 2+1+3+4
3+83
4
=80.4 .
因为乙的成绩比甲高，所以应该录取乙．
x2出现 f2 次，…，xk 出现 fk 次（这里 f1 + f2 +…+ fk =
n ），那么这 n 个数的平均数
x = x1 f1+x2 f2+ n
+xk fk
也叫做 x1 ，x2 ，…，xk 这 k个数的加权平均数，其
中f1 ， f2 ，…，fk 分别叫做x1 ，x2 ，…，xk 的权．
算术平均数与加权平均数的比较
应试者 甲 乙
2 :1 : 听说 85 78 73 80
3:4 读写 85 73 82 83
知识要点
思考 能把这种加权平均数的计算方法推广到 一般吗？
一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别
是w1，w2，…，wn，则
x=
x1w1+x2w2 + w1+w2 +
+xnwn +wn
叫做这n个数的加权平均数．
3+3+2+2
=78.9
答：应该选甲去.
问题4 与问题（1）、（2）、（3）比较，你 能体会到权的作用吗？
问题1 -----结果甲去； 应试者 听 说 读 写
问题2 -----结果乙去；
甲 85 78 85 73
问题3 -----结果甲去.
乙 73 80 82 83
同样一张应试者的应聘成绩单，由于各个数据所赋的权 数不同，造成的录取结果截然不同.
考试 月考1 月考2 月考3 期中 期末
成绩 89
78
85 90 87
解: 先计算该同学的月考平均成绩: (89+78+85)÷3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= 84 （分）
再计算总评成绩: 84×10%+ 90×30%+ 87×60% 10%+30%+60%
= 87.6 (分)
月考 10%
期末 期中 60% 30%
例2 某班级为了解同学年龄情况，作了一次年 龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人， 16岁2人．求这个班级学生的平均年龄（结果取整 数）．
提示 13岁8人，14岁月16人，15岁24人，16岁
2人，意思是这组数据中13岁出现8次，14岁出现 16次，15岁出现24次，16岁出现2次.各个数据出 现的次数，就是它们对应的权数.
问题 某班级为了解同学年龄情况，作了一次 年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24 人，16岁2人．求这个班级学生的平均年龄（结果 取整数）．
数”，记作x,读作“x拔”
2.算术平均数的表示：
x=
1 n
(x1+x2+x3+… +xn)
3. 算术平均数意义:
是反映一组数据的平均水平.
合作探究
活动：探究加权平均数的概念及公式应用
问题1 如果公司想招一名综合能力较强的翻译，请计
算两名应试者的平均成绩，应该录用谁？
算术平均数
解: 甲的平均成绩为 85+78+85+73 =80.25 ， 4
第二十章 数据的分析
20.1 数据的集中趋势
20.1.1 平均数
第1课时 平均数和加权平均数
新课 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
学习目标
1. 理解加权平均数的意义，会求一组数据的加权 平均数.
2. 根据加权平均数的求解过程，培养学生的判断 能力.
新课导入
1.数据2、3、4、5的平均数是 3 ，这个平均数叫 做 算术 平均数.
1. 平均数计算:
算术平均数=各数据的和÷数据的个数 加权平均数=(各数据×该数据的权重)的和
2. 平均数的意义:
算术平均数反映一组数据总体的平均大小情况. 加权平均数反映一组数据中按各数据占有的不同. 权重时总体的平均大小情况.
3. 区别:
算术平均数中各数据都是同等的重要, 没有相互间 差异; 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位, 彼此之间存在差异性的区别.
问题3 如果公司想招一名口语能力较强的翻译， 则应该录取谁？
应试者 听 说 读 写
听、说、读、写的成绩
甲 85 78 85 73
按照3:3:2:2的比确定．
乙
73 80 82 83
85×3+78×3+85×2+73×2
解：x 甲 =
3+3+2+2
=80.5
73×3+80×3+82×2+83×2
x 乙=
（一）权的常见形式： 1.数据出次的次数形式，如2，3，2，2. 2.比例的形式，如3：3：2：2. 3.百分比的形式，如10%，30%，60%. （二）权数在计算加权平均数有什么具体涵义？
在计算加权平均数时，权数可以表示总体中的各 种成分所占的比例,权数越大的数据在总体中所占的 比例越大，它对加权平均数的影响也越大.