浅谈反证法

浅谈反证法

聂震 1310300235 摘要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、为什么使用反证法、反证法解题步骤、适用题型及举例、如何做出正确反设六个方面浅谈反证法。

关键词：反证法归谬法矛盾假设

引言：有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。

一．定义：

反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

二．反证法的依据：

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是

逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

三．为什么用反证法

一般若能正方向证出我们所需，我们就没必要反向考虑。所以，反证法的应用一般在于我们正向难以得出我们想要的结论。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。反证法证明前都假设“若……成立，则……”，无形中给我们加了一个条件，我们只需导出矛盾所在即可。所以反证法最大的优点在于：减轻了题目难度，并且有可能将逆向思维转为顺向。

四．反证法的解题步骤：

通常模式为：“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。

实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，穷举：列举出在反设下可能出现的各种情况；

第三步，归谬：把第二步所列举的各种可能情况一一引向矛盾（包括与公理、定义、定理、题设或临时的假设矛盾）；

第四步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

五．适用题型：

（1）唯一性命题

例已知：点p直线a。求证：过点p和直线a平行的直线b有且只有一条。

证明：∵点p a ，∴点p 和直线a 确定一个平面α，在平面α内过点p 能作出一条直线与直线a 平行(由平面几何知识知),故直线b 存在。假设过点p 还有一条直线c 与a 平行。∵a ∥b ，b ∥c ，∴a ∥c ，这与直线b 、c 共点p 矛盾，故假设不成立，因此直线b 唯一。故过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。

（2）否定性命题：

即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角。求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则∠A+∠B+∠C ＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A ，∠B 均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。

（3）限定型命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。 例 已知a , b , c 都是正数，求证：111,,a b c b c a

+++中至少有一个不小于2。 证明：不妨设111,,a b c b c a

+++全部小于2， 12a b +< ，12b c +<，12c a +<， 由于,,a b c 是任意的正数，可以令a b c ===10,

则我们有：11110.1a b c b c a

+=+=+= 显然矛盾。 所以，假设错误，原命题成立。111,,a b c b c a

+++中至少有一个不小于2

（4）必然性命题：

即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的 例 求证:无论n 是什么自然数，214143

n n ++总是既约份数。

1 k），且a b

为整数，1

k

为分数，

即涉及各种“无限”结论的命题。例求证：素数有无穷多个。

证明：假设素数只有n个： P

1、P

2

……Pn，取整数N=P

1

·P

2

……Pn+1，显然

N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。

（6）不等式证明

不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。

例在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.

证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.

1)若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形

∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.

2)若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD=AC，连接DC.

∵AD=AC

∴△ADC为等腰三角形

∴∠ADC＝∠ACD

又∵∠ABC为△ABD的一个外角

∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD 而∠ACD＞∠ACB＝∠C

∴∠ABC＞∠C 即∠B＞∠C，与已知矛盾.

∴假设不成立，原命题成立.

（7）起始性命题