03 第三节 分部积分法
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
分部积分方法及例题
∫ = 1 + x2 arctan x −
1
+
x2
⋅
1
1 + x2
d
x
∫ = 1 + x2 arctan x −
1 d x 令 x = tan t
1 + x2
∫ ∫ ∫ 1 d x =
1 sec2 t d t = sec t d t
1 + x2
1 + tan2 t
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x2 ) + C
x arctan x d x. 1+ x2 A
解Q
( 1 + x2 )′ =
x, 1+ x2
选 L 对数函数
u I 反三角函数 的 优 A 代数函数 先 T 三角函数 顺 序 E 指数函数
∫ ∫ ∴ x arctan x d x = arctan x d 1 + x2
1 + x2
u
∫ = 1 + x2 arctan x − 1 + x2 d(arctan x)
∫ = e x sin x + e x dcos x u
两次所选u的 函数类型不
∫ = e x sin x + e x cos x −
e
x
cos
x
d
变！
x
= e x sin x + e x cos x − I
∴ I = e x (sin x − cos x) + C .
2
注 4º 选谁作为 u 并不是绝对的. 事实上， LIATE法适用于大多数情形, 但对于 一些情形也可例外.
第三节不定积分的分部积分法
( x 2 2 x 2 ) sx i2 c n x ( o x 1 ) s C .
说明１： 口诀（反、对、幂、三、指）
例5 求不定积分 xarctxadxn. 解 xarcxtda xnarcx td a(x2 n2)
2 x 1 c 2 x o 1 s s 2 x i 1 n C .
说明４： 有时应结合换元积分，先换元后再分部；
例 1 2已 知 f(x )的 一 个 原 函 数 是 e x 2,
求 x f(x )d x . 解 xf(x)dxxdf(x)x(fx)f(x)d x,
例1 求不定积分 xexdx.
解 设 ux,dvexdxdex,
xexdx xd(ex)xex exdxxxe exC .
u d vu v vd u,
分部积分法的关键是正确选择 u 和 v .
选择 u 和 v 的原则是: 1)v不v比 复,杂 2)u比u更简. 单
2
说明３： 不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C；
可连续几次利用多次分部，但每次应 选同一类函数；
例9 求不定积分 se3cxdx. 解 sec3 xdx sexcse2x cdxsexcd(tax)n
se x tca x n ta x d ( nsx ) ec sx e tc a x n ta 2 x s n x e d x c sx e tc a x ( n s 3 x e sx c e ) d x c
f1(x)dxxf1(x)Ff1(x) C.
练习题答案
一 、 1、 xcox ssix nC；
03 第三节 分部积分法
第三节 分部积分法内容分布图示★ 分部积分公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15★ 例16 ★ 例17 ★ 例18★ 分部积分的列表法★ 例19 ★ 例20 ★ 例21★ 例22★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题4-3★ 返回内容要点:分部积分公式:⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数). .arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mx x mxx x x e x mx e mxe mx x mxx n n n n mx n nx nx n n 例题选讲：例1（讲义例1）求不定积分⎰xdx x cos .例2（讲义例2）求不定积分⎰dx e x x 2.注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u , 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.例3（讲义例3）求不定积分⎰xdx x arctan .例4（讲义例4）求不定积分⎰xdx x ln 3.注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u , 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.例5（讲义例5）求不定积分⎰xdx e x sin .注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积, u , dv 可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u , 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.例6（讲义例6）求不定积分⎰dx x )sin(ln .灵活应用分部积分法, 可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.例7（讲义例7）求不定积分⎰xdx 3sec .例8 求不定积分.1arcsin dx xx⎰- 例9 求不定积分.1arctan 2dx x xx ⎰+例10（讲义例8）求不定积分⎰dx e x .例11 求不定积分⎰+dx x )1ln(.例12 求.33/1dx x e I x⎰=例13（讲义例9）求不定积分.2)1arcsin()1(2⎰---dx x x x x例14（讲义例10）求不定积分⎰+=nn a x dx I )(22, 其中n 为正整数. 例15（讲义例11）已知)(x f 的一个原函数是2x e -, 求⎰'dx x f x )(. 例16 求不定积分.cos sin cos 23sin dx xx x x e x -⎰例17 求不定积分⎰.)ln(tan sin dx x x 例18（讲义例12）求不定积分⎰+dx x e x x22)2(. 例19 计算不定积分⎰.ln xdx x 例20 计算不定积分⎰.ln xdx例21 计算不定积分⎰.sin xdx x例22 计算不定积分.cos xdx e x⎰ 分部积分法具有一定的规律，教学系统中还给出了利用列表法计算定积分的方法.课堂练习1. 求不定积分⎰+dx x )3ln(2. 求不定积分⎰-xdx e x 2sin .。
高等数学课件 分部积分法
tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx 原式 = = tan x ⋅ lncos x + ∫ (sec2 x −1) dx
= tan x ⋅ lncos x +tan x − x + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例7 求 解 令 x= t , 则 x = t 2 , dx = 2t d t 原式 = 2∫ t e d t
− xsin x − cos x x2
说明: 说明 此题若先求出
− cos x + 2sin x + 2cos x d x ∫ x f ′(x) dx = ∫ 2 x x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例12 求 I = ∫
e
arctan x
2 32 (1+ x )
t
令 u = t , v′ = et
= 2( te − ∫ e dt )
t
t
= 2(t et − et ) + C
= 2e x ( x −1) + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例8 求 解 令 u = x2 + a2 , v′ =1, 则 x u′ = 2 2 , v = x
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第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例3 求 ∫ x arctan x dx. 解 令 u = arctanx, v′ = x 1 1 2 ′= 则 u , v= x 2 2 1+ x 1 2 1 x2 ∴ 原式 = x arctan x − ∫ dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 1 = x arctan x − ∫ (1− ) dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 = x arctan x − (x − arctan x) + C 2 2
第三节 分部积分法
第三节分部积分法问题∫=?dx xex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′,dx v u uv dx v u ∫∫′−=′.du v uv udv ∫∫−=分部积分公式)()()((x dv x u dx x v u ⋅=′∫∫分部积分法主要过程如下：∫dxx f )(所求积分∫∫−=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ∫∫′−=dxx v x u x v x u dx x f )()()()()((3)计算新积分(2)分部积分公式(1)拆分被积表达式中, 如果某部分求导后能得到简化，可考虑选为u ，剩下的部分就是dv 。
范围：一般处理含有多种类型的混合函数。
关键：对被积表达式的适当拆分。
（求导数或微分）∫′⋅dx x v x u )()(旧积分∫′⋅⇒dxx u x v )()(新积分,)()(dx x u x du u ′=⇒)()(x v dx x v dv ⇒′=（求积分或凑微分）u.cos ∫xdx x 求解（1）令,x u =x d xdx dv sin cos ==∫xdx x cos ∫=udv ∫−=vdu uv ∫−=xdx x x sin sin xv dx du sin ,:==则.cos sin C x x x ++=例1解（2）令,cos x u=∫xdx x cos ∫+=xdx x x x sin 2cos 222显然，u,dv 选择不当，积分更难进行.22,sin :xv xdx du =−=则∫xdx x cos ∫−=vdu uv总结若被积函数是幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积, 可考虑设幂函数为u例2求积分.2∫dx e x x解,2x u =,xxde dx e dv ==∫dx e x x 2∫−=dx xe e x x x 22.)(22C e xe e x xxx+−−=再次使用分部积分法,x u =dxe dv x =),2(xe v xdx du ==),(xe v dx du ==例3求积分.arctan ∫xdx x ∫⋅=xdx x arctan 原式)(arctan 2arctan 222x d xx x ∫−=dx xx x x 222112arctan 2+⋅−=∫dx x x x )111(21arctan 222+−⋅−=∫.)arctan (21arctan 22C x x x x +−−=u dv 2v u ⋅du v ⋅v 熟练以后的写法例4求积分.ln 3∫xdx x 解,ln x u =,443dv xd dx x ==∫xdx x ln 3∫−=x d x x x ln 41ln 4144.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u∫−=dx x x x 3441ln 41例6求积分.sin ∫xdx e x解∫xdx exsin ∫=xxdesin ∫−=)(sin sin x d e x e x x ∫−=xdx e x e xxcos sin ∫−=xxxdex e cos sin ∫−−=)cos cos (sin x d e x e x e xx x ∫−−=xdx e x x e xx sin )cos (sin ∫∴xdx e xsin .)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式)0,(.)(122>∈+=∫a N n dx a x I nn 求解利用分部积分公式得：时当,1>n ∫−+dx a x n 122)(1例7∫+−++=−dxa x xn a x x n n )()1(2)(222122∫+−+−++=−−dx a x a a x n a x x n n n ])()(1[)1(2)(222122122))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I −−++=∴−−−∫+=dx ax I 2211Q C ax a +=arctan 1])32()([)1(2111222−−−++−=∴n n n I n a x xn a I 的递推公式。
分部积分法
x 2 5x 6 2 x 2 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2 x 3
2x 2 分解成部分分式. 例3. 将 2 2 ( x 1)( x 1)
2x 2 A Bx C Dx E 2 2 解: 设 2 2 x 1 x 1 ( x 1) 2 ( x 1)( x 1)
例4. 解:
求 x cos xdx.
x2 此处若取 u cos x, v' x, dv , 则有 2
x2 x cos xdx cos xd 2
x x cos x d(cosx ) 2 2
2 2
x2 x2 而事实上右端积分 d (cos x)比 cosxd 更难求 , 2 2 因此改取 u x, v sin x, 则由分部积分公式得
两端去分母得 x2 +5x +6 = A(x2 +2x+3)+(Bx+C)(x–1) (1)次幂的 系数相等.
作为一个恒等式, 对所有的x值均相等.
x = 1 代入, 得 12 = A 6 x = 0 代入, 得 6=6–C C=0 A=2
x = –1 代入, 得
x = 0 代入, 得
2 = 1– C x = – 1 代入, 得 0 = 4 + (–B + C)(–2) · + (–D + E)(–2) 2 C=–1
= 4 + 4B + 4 –4 B = – 1
故有
2x 2 1 x 1 2x 2 2 2 2 x 1 x 1 ( x 1) 2 ( x 1)( x 1)
第三节 分部积分
1 3 解: 原式 = ∫ arctan x d x 3 1 3 1 x3 = x arctan x −∫ ⋅ dx 2 3 3 1+ x
1 1 3 x2 1 2 = x arctan x − ∫ dx 2 3 1+ x 2 3 1 1 3 1 (1− ) dx2 = x arctan x − ∫ 2 1+ x 3 6
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例3. 求
∫ x ln xdx .
x2 x2 x2 1 dx = ln x−∫ 解: 原式 = ∫ ln x d 2 2 2 x
1 2 1 x2 x2 = ln x − ∫ x dx = ln x − x + C 4 2 2 2
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例4. 求
∫x
2
arctan x dx .
∫e
− x2
dx , dx, ∫ ln x
sin x ∫ cos x dx, ∫ x dx,
2
它们的积分可以借助无穷级数来计算,或运用数学软件 它们的积分可以借助无穷级数来计算 或运用数学软件 快速算出. 快速算出
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x cos x − sin x 例11. 求 ∫ d x. 2 x
x cos x − sin x cos x sin x 解: ∫ dx = ∫ d x −∫ 2 d x 2 x x x
1 sin x = ∫ dsinx −∫ 2 d x x x 1 sin x 1 = sinx −∫ sinx (− 2 )d x −∫ 2 d x x x x 1 = sinx +C. x
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本章主要内容
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
分部积分法
= 1 + x arctan x − ∫
2
1 1+ x
2
dx
令 x = tan t
∫
1 1+ x
dx = ∫ 2
1 1 + tan 2 t
sec 2 tdt = sec tdt ∫
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x 2 ) + C
∴
∫
x arctan x 1 + x2
= x sin(ln x ) − x cos(ln x ) + ∫ xd[cos(ln x )] = x[sin(ln x ) − cos(ln x )] − ∫ sin(ln x )dx
x ∴ ∫ sin(ln x )dx = [sin(ln x ) − cos(ln x )] + C . 2
例7 求积分 解 ∵
4. 6.
3 x e ∫ dx ；
∫ cos(ln x )dx ；
∫
xe arctgx (1 + x )
3 2 2
dx .
sin x 三、 已知 是 f ( x ) 的原函数， 的原函数，求 ∫ xf ' ( x )dx . x 四、 设 ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ， f ( x ) 可微， 可微，且 f ( x ) 的反
x 5. [cos(ln x ) + sin(ln x )] + C ； 2 x −1 arctan x 6. e + C； 2 2 1+ x x 2e x 7. + xe x − e x + C . x+2 2 sin x 三、 cos x − + C. x
第三节 分部积分法
例2 求 xx22eexxddxx..x sin x cos解x C .x arctan反xd对x 幂第1三三节指ar分ct部an积1x x a2rcsin x
例若 解 解选3 求x求择cxxol2unsexxxxx=ddlldnxxn三xxx角ddxxxxxc函2x22..loee2nc第sdxx数oxe三xsdx，dx节22xx2v2分2xxxd=e2部eexxd幂xx例解 例 2积xx2xs2分2函i66cnl法noe数求求xsxxdedx，xxxs2则ieenxxxx2x2ss2iid反11d22更dnnxlcxxnxx对难o22xddsaa幂x积 xastt三i出 rsaancinnnsx指ixxxndex
解
令 x2
sxe=ca32ax22dtdatexxentxst(e12,aecat2(xxsdsetexaCcc1n=)22| 解sttldednctt|x,sIee则nacxt2taxn1(sxxd(etax2cx|en23xxtdxadxs2|a21)et)2c,n)2t3xCn2xt.2d2x1nln(dx(tt(22x
第三节 分部积分法
一、分部积分公式 二、举例
第三节 分部积分法
一、分部积分公式
由第一节我们已知道，对应于一个求导公式，就有 一个积分公式，在第二节中，利用复合函数的求导法则 得到了换元积分法，在本节中，将利用两个函数乘积 的求导法则，来推导另一个求积分的基本方法 分部积 分法.
第三节 分部积分法
(2) vdu 要比 udv 容易积出.
第三节 分部积分法
udv uv vdu
当被积函数是两类基本初等函数的乘积时， 可用如 下的办法来选择 u 和 dv :
选择 u 和 dv 时，可按照反三角函数、对数 函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序 (即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排 在前面的那类函数选作 u，而把排在后面的 那类函数选作 v .
最新03第三节分部积分法
03第三节分部积分法第三节分部积分法分布图示★分部积分公式★几点说明★例1 ★例2 ★例3★例4★例5 ★例6 ★例7★例8★例9 ★例10 ★例11★例12★例13 ★例14 ★例15★例16★例17 ★例18★分部积分的列表法★例19 ★例20 ★例21★例22★内容小结★课堂练习★习题4-3内容要点分部积分公式：«Skip Record If...» (3.1)«Skip Record If...» (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数).«Skip Record If...»例题选讲例1 (E01)求不定积分 «Skip Record If...».解一令«Skip Record If...»«Skip Record If...»显然, «Skip Record If...»选择不当，积分更难进行.解二令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例2(E02) 求不定积分 «Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u, 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.例3(E03)求不定积分 «Skip Record If...».解令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例4 (E04)求不定积分 «Skip Record If...».解令«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u, 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.例5(E05)求不定积分«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u, dv可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u, 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.例6(E06)求不定积分«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.例7(E07)求不定积分 «Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由于上式右端的第三项就是所求的积分«Skip Record If...»把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得«Skip Record If...»例8 求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例9 求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»原式«Skip Record If...»例10(E08)求不定积分«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例11 求不定积分«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例12 求«Skip Record If...»解法 1 先分部积分，后换元.设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»再设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»代入上式, 得«Skip Record If...»«Skip Record If...»解法 2 先换元, 后分部积分.设«Skip Record If...»«Skip Record If...»则«Skip Record If...»再设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»例13 求不定积分«Skip Record If...»解令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»于是原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»例14(E09)求不定积分«Skip Record If...», 其中n为正整数.解用分部积分法，当«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»以此作递推公式，并由«Skip Record If...»即可得«Skip Record If...»例15(E10)已知«Skip Record If...»的一个原函数是«Skip Record If...», 求«Skip Record If...».解«Skip Record If...»«Skip Record If...»根据题意«Skip Record If...»再注意到 «Skip Record If...»两边同时对«Skip Record If...»求导，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例16 求不定积分«Skip Record If...»解先折成两个不定积分，再利用分部积分法.原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例17求不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例18 求不定积分«Skip Record If...».解选«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注: 本题选«Skip Record If...»比选«Skip Record If...»更能使解题方便.例19 计算不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»不易求积分，只能放在左列，而«Skip Record If...»放在右列,列表如下:«Skip Record If...»««Skip Record If...»«Skip Record If...»例20 计算不定积分«Skip Record If...»解«Skip Record If...»可看作乘积形式«Skip Record If...»将«Skip Record If...»放在左列,1放在右列，列表如下:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例21 计算不定积分«Skip Record If...»解 «Skip Record If...»函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故«Skip Record If...»放左列, «Skip Record If...»放右列列表如下:«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»例22 计算不定积分«Skip Record If...».解 «Skip Record If...»函数«Skip Record If...»都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的«Skip Record If...»和«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取«Skip Record If...»为左,«Skip Record If...»为右, 可得«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，移项得«Skip Record If...»课堂练习1. 求不定积分«Skip Record If...»2. 求不定积分«Skip Record If...».。
第三节分部积分法
则有 udv uv vdu (分部积分公式）
证 (uv)' u'v uv'
uv' (uv)'u'v
两边积分，得
uv'dx (uv)'dx u'vdx
uv u'vdx
即
uv'dx uv u'vdx
uv'dx uv vu'dx
)n1
dx
(x2
x a2)n
2nI n
2na2 In1
即
In
(x2
x a2)n
2nIn
2na2 In1
In1
1 2na 2
[(x2
x a2)n
(2n
1)In]
例如 n 1时, 由递推公式得
(n 1,2,....) 递推公式
I2
I11
1 21 a2
[(x2
x a2 )1
(2 1 1)I1]
1 (1 x2) 1
2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
1 x2 arctan x 2
1 ( x arctan x) C 2
1 x2 arctan x 1 x 1 arctan x C
2
22
例6 arccos xdx
解 u arccos x dv dx v x
e x cos x e x sin x e x sin xdx
e x sin xdx 1 (e x cos x e x sin x) C
2
注 在上例中,用了两次分部积分公式后,等式右 端出现了与等式左端相同的积分,但符号相反. 这种情形称为循环.
分部积分法
= x x +a −∫
2பைடு நூலகம்2
( x2 +a2 )−a2 x +a
2 2
dx
dx x2 +a2
= x x +a
2
2−
∫
x2 + a2 dx + a2 ∫
a2 1 2 2 2 2 ∴ 原式 = x x + a + ln( x + x + a ) + C 2 2 说明：本例中也可用第二类换元——三角代换 说明：本例中也可用
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 （凑微分）.
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补例7. 补例 已知 解:
的一个原函数是
求
∫ x f ′(x) dx = ∫ xd f (x) = x f (x) − ∫ f (x) dx
cos x ′ cos x +C )− = x( x x cos x = −sin x − 2 +C x
= 2u ln(1+ u )
2
1+
−1
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补例6 补例 求 I = ∫
earctan x
2 32 (1+ x )
dx.
解法1 解法 先换元后分部 令 t = arctanx, 即 x = tant , 则 et I = ∫ 3 ⋅ sec2 t d t = ∫ e t cos t d t sec t
说明: 说明 也可设 必须一致 ！
为三角函数 , 但两次所设类型
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03第三节分部积分法
第三节分部积分法★ 分部积分公式★ 几' 点说明★ 例1★ 例2 ★ 例 3 ★ 例 4★ 例5 ★ 例6 ★ 例 7 ★ 例 8★ 例9 ★ 例10 ★ 例 11 ★ 例 12★ 例13 ★ 例14 ★ 例 15★ 例 16★ 例17 ★ 例18★ 分部积分的列表法★ 例19★ 例20 ★ 例 21★ 例 22★ 内容小结★ 课堂练习★习题4-3积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n 都是正整数).例题选讲例1 (E01)求不定积分x cos xdx .x 2解一 令 u cosx, xdx d 一 dv,2显然，u,选择不当，积分更难进行解二 令 u x,cosxdx dsinx dv,xcosxdxxd si nx xsinx sin xdx xsi nx cosx C.分布图示2cosxd —22x cosx 2xcosxdx2sin xdx,2内容要点分部积分公式：udv uvvduuv dx uvu vdx(3.1) (3.2)(或微分)的逆运算• 一般地，下列类型的被nx sin mx nx .e sin mx n mxx en .x arcsin mx x n cos mxnxe cosmx x n (ln x)nx arccosmxx n arctanmx 等.分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数例2 (E02)求不定积分 x 2e x dx .解 u x 2,e x dx de x dv2 x2 x 2 xx 2 x x 2 x x xx e dx x de x e 2 xe dx x e 2 xde x e 2(xe e ) C. 注：若被积函数是幕函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幕函数为u,而将其余部分凑微分进入微分号 ,使得应用分部积分公式后，幕函数的幕次降低一次.注：若被积函数是幕函数与对数函数或反三角函数的乘积 u,而将幕函数凑微分进入微分号 ，使得应用分部积分公式后 例 5 (E05) 求不定积分 e x sin xdx.解e x sin dx sin de xxe sin x e x d (sin x) e x sin xe x cos xdxxe sin xcosxde xxxe sin x (e cosxe x d cosx)e x (s in x cos x)e x sin xdxxe x sin dx(sin x cos x) C.注：若被积函数是指数函数与正 (余)弦函数的乘积,u, dv 可随意选取，但在两次分部积分中,必须选用同类型的u,以便经过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.例3 (E03)求不定积分xarctanxdx. 解 令 u arctanx, xdx 2xd —2 dv,x arcta n xdx arcta n xdx 22 x arcta nx 22xd (arcta nx) 22x arcta n x 2x 2^dx 1 x 22x arcta nx 21 2 dx1 x 22x arcta nx 212(xarcta nx) C.例4 (E04)求不定积分In xdx.解令 u In x,x 3dxx 4dv,x 3 ln xdxx 4 In xd -4-x 4ln x 4x 3dx■ in x 414x 16C.为 失.,可设对数函数或反三角函数,对数函数或反三角函数消例6 (E06)求不定积分 sin(ln x)dx .x 解sin (I n x)dx xsin (I n x)xd [s in (I n x)]x[sin (I n x) cos(l n x)] sin (I n x)dxsin(1 n x)dx x[sin(ln x) cos(ln x)] C.灵活应用分部积分法，可以解决许多不定积分的计算问题 •下面再举一些例子，请读者悉心体会其解题方法.例7 (E07)求不定积分 sec xdx .解seC 3 xdxsecxd tanx secxtanx secxtan 2xdx23secxtanxsecx(sec x 1)dx secxtanxsec xdx secxdx3secx ta nx In | secx tanx| sec xdx2.1 x arcs inxx arcta nx ―: dx 、1 x231 sec xdx (secxtanx In |secx tanx|) C.22,便得求不定积分 arcs in ..x dx. 、1 xarcs in . x ,dx、1 x2 arcs inxd1 x2.1 x arcs in 、x 2 .1 xd arcs in 、xxsin(In x)xcos(ln x)1dxxsin(In x) xcos(ln x)xd[cos(ln x)]由于上式右端的第三项就是所求的积分sec xdx,把它移到等号左端去，再两端各除以2-1 x arcs in . x 2 x C.求不定积分x arcta n x ----------- dx. 1 x 2arcta nxd 1 x 21 x 2I2..1 x 2 arctanx 1 x 2d(arctanx)原式.1 x 2 arctanx ln(x x 2) C.例10 (E08) 求不定积分 e 护dx. 解令 t ... x,则 x t 2,dx 2tdt,于是e x dx 2 e t tdt2 tde t 2te t 2 e t dt7x dx.代入上式，得2te t 2e t C 2e t (t 1) C2e x(x 1)C. 11求不定积分 In (1.x)dx.令 tx,则 xt 2,ln(1 . x )dxIn (12 2t)dt t ln(1 t)t 2dl n(1 t) t 2l n(1 t)1 2-dt t2dt 2t 2t) Ct ln(1 t) (t1)dtt ln(1 t) 1 t2t ln(1(x 1)1 ln(1 ■- x) x -C.例解1 /3..1 x 2 arctanx1dxx tant, -sec 2 tdt 1 tan 21sectdt |n( sect tan t) C ln(x 1 x 2) C.12解法 1先分部积分，后换兀 •设u 1/3xe,dv 丄dx,则 3 xdu2/31/3xedx,v3 2/3x2再设3 2/3 x ex1/31ex1/3dx2t 3,则 dx 3t 2dt,于是Y 1 /3e dx2 t2 13 t e dt 3t ete t dt 3t 2e t 6te t e t dt 3(t 22t 2)e tC...1 x 2 arctanx1I 3x2/3 e x1/323(3..X223.X2x1/32)e x C 3(3.. x1/31)e x C.解法2先换元,后分部积分.设x t3,dx3t2dt,则te 2 t3t2dt 3 te t dtt再设u t,dv e t dt,则I 3te t 3 e t dt 3te t3e t c 3(\. x 1 /31)e x c.13求不定积分(1 x) arcsi n(1 x) dx.,2x x2x,则dx dt,原式tarcsi ntdt.1 t2arcsi ntd(』1 t2)其中C C1 1.14 (E09) 求不定积分用分部积分法,dx(x2 a2)n1I nI nI n1 t2 arcsint■-1 t2arcsint：2x x2arcsin(1dx(x2 a1时有x (x2 a2)n1x (x2 a2)n1x ~~22、n 1 (x a ) 2(n 1)( I n2(n2(n12a2 (n 1) 以此作递推公式，并由1.1x)卒，其中t21 t2dtC.n为正整数.a2l n).(2n 3)I m11 — arctan' C,即可得I n.a a2例15 (E10) 已知f (x)的一个原函数是 e x ,求xf (x)dx . a2dx,解 xf (x)dx xdf(x) xf (x) f(x)dx.根据题意 f (x)dx ex 2C,再注意到 f (x)dx f (x), 两边同时对x 求导，得 2 f(x) 2xe xxf (x)dx xf (x) 2 f (x)dx 2x e x2 e x2 C. 16求不定积分 3sin x xCOs x e 2cos x 先折成两个不定积分，再利用分部积分法 • si nx si nx原式 e x cosxdx e — dxcos x sin xsinxsinx ■e xe e dxcosxsinx . e dx17 求不定积分 sin xln(tan x)dx.sin xln(tan x)dx In(tan x)d cosxcosxln(tan x)18 求不定积分(xxj 2)2 xx e ,于是2 xx e .2dx (x 2)2x 2e x d sin xxde sin xxecosxln(tan x) 注：本题选u x 2e x 比选e sinx d 丄cosx1 sin x e C. cosxcosxd In(tan x)1dx cosxln(tan x) In |cscx sin xx 2e x—d(x 2e x ) 2cotx | C.x 2e x x 22xe x x2 xx e x 2 2 xxxx e, xxe dxxdex 2xx e x xe x 2x e x x xe e dxx 2e x C.2x x 更能使解题方便.(x 2)2例19计算不定积分 xln xdx.解 In x 不易求积分，只能放在左列，而 x 放在右列，列表如下：()ln例20计算不定积分 in xdx.1 in x,将in x 放在左列,1放在右列，列表如下1in xdx xlnx — xdx xinx x c. x例21计算不定积分 xsin xdx.解 函数x 和sinx 都是易求原函数的函数，都可放右列，但考虑到左列的函数应是求 导后逐渐简单的，故 x 放左列，sinx 放右列列表如下：xsinxdx xcosx 1 ( sinx) c例22计算不定积分e x cos xdx..解 函数e x ,cosx 都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的sinx （或cosx ）形式，故它们的左右位置可随意选取 .例如选取e x 为左，cosx 为右，可得e x cosxdx e x sin x e x ( cosx) e x ( cosx)dx ，x移项得 e x cosxdx — (sin x cosx) c.2课堂练习212 1 1 2 , 1 2 , 11 2 ,1 2xin xdx in x x— x dx x in x xdx x in x x c 2x 2 22 2 4( )-x 22 1in x 可看作乘积形式xcosx sinx c.e x 和cosxsi nxcosx1. 求不定积分xsin2 xdx;2 求不定积分e x sin 2xdx .。
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第三节 分部积分法分布图示★ 分部积分公式★ 几点说明 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ 分部积分的列表法★ 例19★ 例20 ★ 例21★ 例22★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题4-3内容要点分部积分公式： ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x ex mx e mx e mx x mx x n n n nmxn nx nx n n例题选讲例1 (E01) 求不定积分⎰xdx x cos .解一 令,2,cos 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,sin 2cos 22cos cos 222xdx x x x x xd xdx x 显然, ν',u 选择不当，积分更难进行.解二 令,sin cos ,dv x d xdx x u ===⎰⎰=x xd xdx x sin cos ⎰-=xdx x x sin sin .cos sin C x x x ++=例2 (E02) 求不定积分⎰dx e x x 2.解 dv de dx e x u x x ===,2xxdex dx e x ⎰⎰=22⎰-=dx xe e x x x 22⎰-=x x xde e x 22.)(22C e xe e x x x x +--=注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u , 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.例3 (E03) 求不定积分⎰xdx x arctan .解 令,2,arctan 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2arctan arctan 2x xd xdx x ⎰-=)(arctan 2arctan 222x d x x x dx x x x x ⎰+⋅-=222112arctan 2 dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=2211121arctan 2.)arctan (21arctan 22C x x x x +--=例4 (E04) 求不定积分⎰xdx xln 3.解 令,4,ln 43dv x d dx x x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰4ln ln 43x d x xdx x ⎰-=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +-=注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u , 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.例5 (E05) 求不定积分⎰xdx e x sin . 解⎰⎰=x xde dx esin sin )(sin sin x d e x e x x ⎰-=⎰-=xdx e x e x x cos sin⎰-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ⎰--=x d e x e x e x x x ⎰--=xdx e x x e x x sin )cos (sin.)cos (sin 2sin C x x e dx e xx+-=∴⎰注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u , dv 可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u , 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.例6 (E06) 求不定积分⎰dx x )sin(ln . 解)][sin(ln )sin(ln )sin(ln x xd x x dx x ⎰⎰-=dx xx x x x 1)cos(ln )sin(ln ⋅-=⎰)][cos(ln )cos(ln )sin(ln x d x x x x x ⎰+-= dx x x x x ⎰--=)sin(ln )]cos(ln )[sin(ln.)]cos(ln )[sin(ln 2)sin(ln C x x xdx x +-=∴⎰灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.例7 (E07) 求不定积分 ⎰xdx 3sec .解⎰⎰=x xd xdx tan sec sec3⎰-=xdx x x x 2tan sec tan sec⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2⎰⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3 ⎰-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec由于上式右端的第三项就是所求的积分⎰,sec 3xdx 把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得.|)tan sec |ln tan (sec 21sec 3C x x x x xdx +++=⎰例8 求不定积分.1arcsin dx xx⎰- 解x d x dx xx --=-⎰⎰1arcsin 21arcsinx d x x x arcsin 12arcsin 12⎰-+--= dx xx x x x ⎰--+--=11arcsin 12.2arcsin 12C x x x ++--=例9 求不定积分.1arctan 2dx xx x ⎰+解221arctan 1arctan xxd dx xx x +=+⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+2211x x x)(arctan 1arctan 122x d x x x ⎰+-+=⎰+⋅+-+=dx x x x x 222111arctan 1 x d xx x ⎰+-+=2211arctan 1⎰⎰⎰=+=+tdt tdt ttx x d x sec sec tan 11tan 11222.)1ln()tan ln(sec 2C x x C t t +++=++=∴ 原式.)1ln(arctan 122C x x x x +++-+=例10 (E08) 求不定积分dx ex⎰.解 令,x t =则,2,2tdt dx t x ==于是tdt e dx et x⎰⎰=2t de t ⎰=2dt e te t t ⎰-=22 C e te t t +-=22C t e t +-=)1(2.)1(2C x ex+-=例11 求不定积分⎰+dx x )1ln(. 解 令,x t =则,2t x =2)1ln()1ln(dt t dx x ⎰⎰+=+)1ln()1ln(22t d t t t +-+=⎰dt tt t t ⎰+-+=1)1ln(22⎰⎰+---+=tdt dt t t t 1)1()1ln(2.)1ln(2)1ln(22C t t t t t ++-+-+= .2)1ln()1(C xx x x +-++-=例12 求.33/1dx xe I x⎰=解法 1 先分部积分，后换元.设,1,33/1dx xdv e u x ==则,23,313/23/23/1x v dx e x du x =⋅=-于是 ⎰-⋅=dx e e x I x x 3/13/121233/2 再设,3t x =则,32dt t dx =于是dt te e t dt e t dx e t t t x ⎰⎰⎰-=⋅=633223/1().)22(36322C e t t dt e te e t t t t t ++-=--=⎰代入上式, 得C e x x e x I x x ++--⋅=3/13/1)22(23233233/2.)1(33/13C e x x +-= 解法 2 先换元, 后分部积分.设,3t x =,32dt t dx =则dt e t dt t te I t t ⎰⎰=⋅=332再设,,dt e dv t u t ==则c e te dt e te I t t t t +-=-=⎰3333.)1(33/13c e x x+-=例13 求不定积分.2)1arcsin()1(2⎰---dx xx x x解 令,1x t -=则,dt dx -=于是原式⎰⎰-+=--=)1(arcsin 1arcsin 22t td dt t t tdt t t t t 222111arcsin 1-⋅---=⎰12arcsin 1C t t t +--= .)1arcsin(22C x x x x ++--=其中.11-=C C例14 (E09) 求不定积分⎰+=nn a x dxI )(22, 其中n 为正整数.解 用分部积分法，当1>n 时有dx a x x n a x x a x dx nn n ⎰⎰+-++=+--)()1(2)()(222122122,)()(1)1(2)(222122122dx a x a a x n a x x n n n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-++=-- 即 ),)(1(2)(211221n n n n I a I n a x xI --++=--- 于是 .)32()()1(2111222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=--n n n I n a x xn a I 以此作递推公式，并由,arctan 11C axa I +=即可得.n I例15 (E10) 已知)(x f 的一个原函数是2x e -, 求⎰'dx x f x )(.解⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=,)()(dx x f x xf根据题意,)(2C edx x f x +=-⎰再注意到()),()(x f dx x f ='⎰两边同时对x 求导，得,2)(2x xe x f --= ⎰⎰-='∴dx x f x xf dx x f x )()()(.2222C e e x x x +--=--例16 求不定积分.cos sin cos 23sin dx xxx x ex-⎰解 先折成两个不定积分，再利用分部积分法.原式dx x x e xdx x e x x ⎰⎰-⋅=2sin sin cos sin cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰x d e xde x x cos 1sin sin ⎰⎰+--=dx e x e dx exex x xxsin sin sin sin cos .cos 1sin sin C e xxe xx +-=例17 求不定积分⎰.)ln(tan sin dx x x 解⎰⎰-=x d x dx x x cos )ln(tan )ln(tan sin )ln(tan cos )ln(tan cos x xd x x ⎰+-=x d xx x ⎰+-=sin 1)ln(tan cos .|cot csc |ln )ln(tan cos C x x x x +-+-=例18 求不定积分⎰+dx x e x x22)2(. 解 选,2x e x u =于是⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+21)2(222x d e x dx x e x x x ⎰+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)(212122x x e x d x x e x dx x e x xe x e x xx x ⎰++++-=22222 dx xe x e x x x ⎰++-=22x x de x x e x ⎰++-=22dx e xe x e x x x x ⎰-++-=22.22C e xe x e x x x x +-++-=注: 本题选xe x u 2=比选22)2(+=x x u 更能使解题方便.例19 计算不定积分⎰.ln xdx x解 x ln 不易求积分，只能放在左列，而x 放在右列,列表如下:x x →+ln )(2211)(x x →- ⎰⎰⋅-⋅=∴dx x x x x xdx x 2221121ln ln .41ln 2121ln 21222c x x x xdx x x +-=-=⎰例20 计算不定积分⎰.ln xdx解 x ln 可看作乘积形式,ln 1x ⋅将x ln 放在左列,1放在右列，列表如下:1ln )(→+xx x→-1)( ⎰⎰+-=⋅-=∴.ln 1ln ln c x x x xdx xx x xdx例21 计算不定积分⎰.sin xdx x解 函数x 和x sin 都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故x 放左列, x sin 放右列列表如下:x x sin )(→+1)(- x cos -x sin 0)(-→+⎰+-⋅--=∴c x x x xdx x )sin (1cos sin .sin cos c x x x ++-=例22 计算不定积分.cos xdx e x ⎰.解 函数x e x cos ,都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的x e 和x sin (或x cos )形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取x e 为左, x cos 为右, 可得x e x cos )(→+ x e )(- x x e x cos )(-→+⎰⎰-+--=∴dx x e x e x e xdx e x x x x )cos ()cos (sin cos ，移项得.)cos (sin 2cos c x x e xdx e xx++=⎰课堂练习1. 求不定积分;sin 2⎰xdx x 2. 求不定积分⎰-xdx e x 2sin .。