(全国卷Ⅲ)2020年高考数学压轴卷文(含解析)

A.2B.3C.4D.5
8.已知等比数列 中，公比为 ， ，且 ， ， 成等差数列，又 ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9.设函数 ，若函数 的图象在 处的切线与直线 平行，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0， ）的最小正周期为π，且关于 中心对称，则下列结论正确的是（ ）
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V S△ABC×h S△PAB×PC 2×2×2
△ABC为边长为2 的正三角形，S△ABC （2 ）2
∴h
∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为 ，故答案为 ．
17、解：（1）由10÷0.1＝100，即n＝100，
∴a＝100×0.4＝40，
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：
质量指标值
又 ，所以
所以
所以
故选：A
9、【答案】D
【解析】由 可得： ，
又函数 的图象在 处的切线与直线 平行，
所以
所以
当且仅当 时，等号成立
所以 的最小值为
故选：D
10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．
解：∵函数的最小周期是π，∴ ＝π，得ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ），
已知数列 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ,求 .
．(12分)
将棱长为 的正方体 截去三棱锥 后得到如图所示几何体， 为 的中点.
（1）求证 平面 ；
（2）求几何体 的体积.
20．（12分）中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为 .
【详解】由对数运算,化简可得
故答案为:1
14、【答案】5
【解析】
式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x＝3且y＝1时，z取得最小值．
【详解】作出不等式组 表示的平面区域，
其中 解得A（3，1）
设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∵f（x）关于 中心对称，
∴2×（﹣ ）+φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ+ ，k∈Z，
∵ ，
∴当k＝0时，φ＝ ，
即f（x）＝sin（2x+ ），
则函数在[﹣ ， ]上递增，在[ ， ]上递减，
f（0）＝f（ ），
∵ ＜1＜2，
∴f（ ）＞f（1）＞f（2），
即f（2）＜f（1）＜f（0），
故选：D．
等级
频数
频率
[60，75）
三等品
10
0.1
[75，90）
二等品
30
b
[90，105）
一等品
a
0.4
[105，120）
特等品
20
0.2
合计
n
1
（1）求a，b，n；
（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．
18.（12分）
故选：B．
7、【答案】C
【解析】按流程图逐一执行即可.
【详解】输入的 分别为 ， 时，依次执行程序框图可得：
不成立
不成立
不成立
成立
输出 故选：C
8、【答案】A
【解析】由 ， ， 成等差数列即可列方程求得： ，即可求得： ，即可求得： ，再利用等差数列前 项和公式计算即可.
【详解】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，解得：
所以椭圆E的标准方程为 . 4分
（2）设直线l的方程为 ， ，则点 ，设
则点 ，联立直线l与椭圆E的方程有 ，
得 ，所以有 ，即
且 ，即直线BD的方程为
令 ，得点Q的横坐标为 ，
代入得： ，
所以 ，所以 为定值4.
21.（1） 的定义域为 ， ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 5分
（2∵ ， 有两个极值点
（ ）求椭圆E的标准方程；
（ ）过点 的直线l（直线的斜率k存在且不为0）交E于A，B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究 是否为定值？请说明理由.
21．（12分）已知函数 ．
（ ）当 时，求 的单调区间；
（ ）若 有两个极值点 ,且 ，求 取值范围．（其中e为自然对数的底数）．
b＝30÷100＝0.3．6分
（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，
由分层抽样得： ，
解得x＝2，y＝4，
∴在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，
有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，
则所有的抽样情况有15种，分别为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，
∴令 ，则 的零点为 ，且 .
∴ ＞０,∴ 或 ∵ ， ∴ .
根据根的分布，则 且 g( ) <0即 , .
∴a的取值范围是 12分
22、【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）直线l的参数方程为 （t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程为
由 ，得 ，则有 ，即 ，
则曲线C的直角坐标方程为
（2）将l的参数方程代入 ，得 ，设两根为 ，
3、C【分析】直接把已知代入数量积求解即可．
解：因为单位向量 ， 满足 ⊥ ，则 •（ ﹣ ）＝ ﹣ • ＝12﹣0＝1．
故选：C．
4、【答案】A
【解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式．
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位后所得图象对应的解析式为
．
故选A．
5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
11、【答案】C【解析】
由题知线段 是椭圆的通径，线段 与 轴的交点是椭圆的下焦点 ，且椭圆的 ，又 ， ，由椭圆定义知 ，故选C.
12【答案】D
【解析】构造函数 ，所以构造函数 ， ， 所以 的对称轴为 ， 所以， 是增函数； 是减函数。 ，解得：
13【答案】1
【解析】根据对数运算,化简即可得解.
则 ， 为M，N对应的参数，且
所以，线段MN的中点为Q对应的参数为 ，
所以，
23、【答案】（1） ； （2） .
【解析】(1)由 得 ，即：
等价于 或 或 ．
解得 或 或 ，即 ，
所以原不等式的解集为 ．
（2）因为函数 在 单调递增，所以 ，
因为 ，
在 处， 取得最大值 ，
要使函数 与函数 的图象恒有公共点，则须 ，
∴z最小值＝3+2＝5
故答案为：5．
15、【答案】
【解析】
由题意得 ，因为 数列{ }的前6项和为
16、【答案】
【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球，
∵球的半径为 ，
∴正方体的边长为2，即PA＝PB＝PC＝2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）
C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）
11.已知抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 、 两点，若 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.定义在R上的可导函数 满足 ，记 的导函数为 ，当 时恒有 ．若 ，则m的取值范围是
（全国卷Ⅲ）2020年高考数学压轴卷 文（含解析）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.求值： _________．
14．已知x，y满足 若 的最小值为_________．
15、已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前6项和为_____.
16、已知正三棱锥 ，点 、 、 、 都在半径为 球面上，若 、 、 两两相互垂直，则球心到截面 的距离为__________．
其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，
∴至少有1件特等品被抽到的概率为：p＝ ．12分
18．解：（1）令 ，当 时， ，
当 时， ，则 ，故 6分
（2） ，8分
12分
19.解：（1）取 中点为 ，连接 .
正方形 中 为 的中点,∴ 为 的中点.
又∵正方体 中 ,
∴ .∴ .
∴四边形 为平行四边形,∴ ∴ .
∴四边形 为平行四边形.∴ .
又 平面 ， 平面 ,
∴ 平面 6分
（2）
, 12分