高中数学必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 解答题专题训练 (17)-200807(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语解答题专题训练 (17)

1.设A=[−1,1],B=[−2,2]，函数f(x)=2x2+mx−1．

(1)设不等式f(x)≤0的解集为C，当C⊆(A∩B)时，求实数m的取值范围；

(2)若对任意x∈R，都有f(1−x)=f(1+x)成立，试求x∈B时，函数f(x)的值域；

(3)设g(x)=2|x−a|−x2−mx(a∈R)，求f(x)+g(x)的最小值．

2.已知数列{a n}满足：a1=1

2,a n+1=n+1

2n

a n．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)求数列{a n}前n项和S n；

(3)若集合A={n|2−S n⩾n+2

n2+n

λ}中含有4个元素，求实数λ的取值范围．

3.设n≥3,n∈N∗，在集合{1,2,⋅⋅⋅,n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大

元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．

(1)当n=3时，求a,b的值；

(2)求证：对任意的n≥3,n∈N∗，b

a

为定值．

4.定义函数f a(x)=4x−(a+1)·2x+a，其中x为自变量，a为常数．

(Ⅰ)若函数f a(x)在区间[0,2]上的最小值为−1，求a的值；

(Ⅱ)集合A={x|f3(x)≥f a(0)}，B={x|f a(x)+f a(2−x)=f2(2)}，且(∁R A)⋂B≠⌀，求a的取值范围．

5.已知数列{x n}：x1，x2，x3，…，x n，…，对于任意正整数m,n(n≠m,m>1)，记满足不等式：

x n−x m≥t(n−m)的t构成的集合为T(m)．

(1)若给定m=2，数列{x n}满足x n=n2，试求出集合T(2)；

(2)如果T(m)(m∈N∗,m>1)均为相同的单元素集合，求证：数列{x n}为等差数列；

(3)如果T(m)(m∈N∗,m>1)为单元素集合，那么数列{x n}还是等差数列吗？如果是等差数列，

请给出证明；如果不是等差数列，请说明理由．

6.设p：“∀x∈R，sinx≤a+2”；q：“f(x)=x2−x−a在区间[−1,1]上有零点”．

(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的

取值范围．

7.已知函数f(x)=x2−2ax+a+2，

(1)若f(x)≤0的解集A⊆{x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围；

(2)若g(x)=f(x)+|x2−1|在区间(0,3)内有两个零点x1，x2(x1

8. 若数列{c n }同时满足：①对任意n ∈N +均有c n ⋅c n+2≤c n+12，②存在与n 无关的常数M ，

使c n ≤M ，则称数列{c n }是“P 数列”，设{a n }是各项均为正数且公比为q 的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和．

(1)已知a 3=4,S 3=28，判断数列{S n }是否为“P 数列”，并说明理由；

(2)求证：数列{S n }是“P 数列”的充要条件是0

9. 已知集合P 的元素个数为3n(n ∈N ∗)且元素均为正整数，若能够将集合P 分成元素个数相同且

两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P =A ∪B ∪C ，A ∩B =⌀，A ∩C =⌀，B ∩C =⌀，其中A ={a 1,a 2,…,a n }，B ={b 1,b 2,…,b n }，C ={c 1,c 2,…,c n }，且满足c 1

(Ⅰ)若集合P ={1,2，3}，Q ={1,2，3，4，5，6}，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；(Ⅱ)已知集合P ={1,x ，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x 的值； (Ⅲ)设集合P ={x|1≤x ≤3n,n ∈N ∗}，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是n =4k 或n =4k +1(n ∈N ∗).

10. 已知集合A ={x|x+24−x >0},B ={x|x 2−3ax +2a 2<0}．

(1)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；

(2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．

11.已知全集为R，函数f(x)=logπ(x−1)的定义域为集合A，集合B={x|x(x−1)≥2}．

(I)求A∪B；

(II)若C={x|1−m

12.设p:对任意实数x，不等式x2−2x+m>0恒成立;q:方程x2

m−t −y2

m

=1(t>0)表示焦点在x轴上

的双曲线．

(1)若p为真命题，求实数m的取值范围;

(2)若p是q的充分条件，求实数t的取值范围．

13.已知a∈R，命题p：∀x∈[−2,−1]，x2−a≥0，

命题q：∃x0∈R,x02+2ax0−(a−2)=0．

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

14. 设n ∈N ∗且n ≥4，集合M ={1,2,3,⋯,n }的所有3个元素的子集记为A 1,A 2,⋯,A C n

3． (1)当n =4时，求集合A 1,A 2,⋯,A C n

3中所有元素之和S ； (2)记m i 为A i (i =1,2,3,⋯,C n 3)中最小元素与最大元素之和，求∑m i C n 3

i=1C n 3的值．

15. 若命题p:关于x 的方程x 2−2x +a =0有实根；

命题q:函数f(x)=x 3+ax 2+x 在R 上是增函数． (1)若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．

(2)若命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．

16. 命题p ：实数x 满足x 2−4ax +3a 2<0，其中a <0，命题q ：实数x 满足x 2−x −6≤0或x 2+

2x −8>0，且 p 是 q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．

17. 对于非负整数集合S(非空)，若对任意x ，y ∈S ，或者x +y ∈S ，或者|x −y|∈S ，则称S 为一

个好集合，以下记|S|为S 的元素个数．

(1)给出所有的元素均小于3的好集合，(给出结论即可)

(2)求出所有满足|S|=4的好集合．(同时说明理由)

(3)若好集合S 满足|S|=2019，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．