集合与简易逻辑函数与导数测试题(含答案)
集合,简易逻辑,函数导数1
一、选择题：1．已知集合A ={}31<<-x x ，B ={}52≤<x x 。
则A ∪B =（ ）。
A ．（2，3）B ．[－1，5]C ．（－1，5）D ．（－1，5]2．已知全集{}5,4,3,2,1=U ，且{}4,3,2=A ，{}2,1=B ，则A ∩(C U B ）=（ ）。
A ．{}2B ．{}5C ．{}4,3D ．{}5,4,3,23．下列函数与y = x 表示同一函数的是（ ）。
A ．y =2)(xB ．y =2xC ．y =x x 2D ．y =33x 4．若函数3)(x x f -=)(R x ∈，则函数)(x f y -=在其定义域上是（ ）。
A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数 5．232a a a∙的值是（ ）。
A ．1B ．aC ．51aD ．65a6.某学校有教师160人,其中有高级职称的32人,中级职称的56人,初级职称的72人.现抽取一个容量为20的样本,用分层抽样法抽取的中级职称的教师人数应为( )A.4B.6C.7D.9 7．3log 9log 28的值是（ ）。
A ．32B ．1C ．23D ．28．函数x y 2log=在区间[2，8]上的最小值是（ ）。
A ．1B ．2C ．3D ．4 9．下列说法错误的是（ ）。
A ．x x y +=2是偶函数 B ．23x x y +=是奇函数C ．偶函数的图象关于y 轴对称D ．奇函数的图象关于原点中心对称10．函数2)21()(--=x x x f 的零点所在的区间是（ ）。
A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4） 11.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( ) A.103 B.51 C.52 D.5412．已知集全合{}x y y A 2log==，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y B )21(，则（ ）。
集合简易逻辑函数导数专题(一)---高三期末复习答案
集合、常用逻辑用语、函数与导数专题复习（一）答案 1、 答案：B 解析：A ＝{x |x ＜2}，B ={x |x ＜1}，U C B ＝{x | x ≥1}，所以()U A C B ⋂＝{x |1≤x <2}2、答案：B 解析：集合A ＝{x |x ＞－1} ，()U A ð＝{x |x ≤－1}，B ＝{x |x ＞－2} ，所以，()U A B ð＝{x |－2＜x ≤－1}，故选B 。
3、答案：D 解析：2{4}={|22}U M x |x x x x =>><-或ð，所以{|-22}M x x =≤≤，M N ＝{|1<2}x x ≤，因些，选D 。
4、【答案】A 【解析】由|4x -3|≤1解得121≤≤x ，由2x -(2a +1)x +a (a +1)≤0得0 )1)((≤---a x a x ，即1+≤≤a x a ，若非p 是非q 的必要而不充分条件，则q 是p 的必要而不充分条件，所以有⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤1121a a ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥≤21a a ，所以210≤≤x ，5、 答案：D 解析：因为}14{}532{<<-=<+=x x x x A ，}2}{02{})2(log {3->>+=+==x x x x x y x B ，所以}12{<<-=⋂x x B A ，所以}21{)(-≤≥=⋂x x x B A C U 或，选D.6、【答案】A 【解析】}2{≤=x x B C U ，所以}21{}2{}31{≤<=≤⋂≤<=⋂x x x x x x B C A U ，选A.7、【答案】B 【解析】{}2}1{022≤≤-=≤--=x x x x x A ，所以}1{≥=x x B C R ，所以}21{≤≤=⋂x x B A ， 8、【答案】A 【解析】集合}21{}3123{≤≤-=≤-≤-=x x x x A ，而}{a x x B >=，因为A B ⊆，所以1-<a ， 9、【答案】C 【解析】1}2{}213{},0372{2--=∈-<<-=∈<++=，，Z x x x Z x x x x N ,因为φ≠⋂N M ，所以1-=m 或2-=m ，选C.10、B 【解析】R ()M N = ð{}{|04}1x x x x ≤≤≤ {|01}x x =≤≤. 11、答案：B 解析：{}{}.].2,1[],2,2[2|),,1[,1|22B N M xy x N R x x y y M 选-=⋂∴-=-==+∞-=∈-==12、【答案】C 【解析】{}{}1,12≤=∈+-==y y R x x y y P ，{}{}0,2>=∈==y y R x y y Q x，所以}1{>=y y P C R ，所以Q P C R ⊆，选C.13、【答案】C 【解析】}1,1,0{}101lg,10lg ,1lg {},lg {-=====∈==y y y y A x x y y B ，所以}1{=B A ,选C.14. .B 【解析】()()211(1)()f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，即()f x 是周期函数，2T =，又()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()f x 的图像关于y 轴对称，是偶函数. 15. B 16.B 17.B 18B 19B 20D 21．解：易知52)(24--=x x x f ，)(/=x f 时x ＝0或x＝±1，只有5)0(-=f 选B ．22．解：∵1212()(),f x f x x x 可视为曲线上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的斜率，作图易得1212()()f x f x x x >．选 C ．23．解：由|)(|)()(x f x f x f =-=得|)log(|81x f ＞)31(f ，于是|log |81x ＞31解此得B ．24D 25D 26D27B 28C1【答案】①当11<≤-x 时，22()323()3f x x x x x '=-+=--，令0)(='x f 得320==x x 或当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：根据表格，又2)1(=-f ，27)3(=f ，0)0(=f2【答案】 （Ⅰ）解：当时，，所以，由，解得， 由，解得或，所以函数的单调增区间为，减区间为和.（Ⅱ）解：因为，由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，设，所以， 所以当时，有最大值为，因为对任意，恒成立，所以，解得或，所以，实数的取值范围为或.（III ）.3【答案】（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos A Q O A θθ==, 故10cos O B θ=，又OP ＝1010tan θ-所以10101010tan cos cos y O A O B O P θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭┅┅┅3分②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<<┅┅┅6分（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，┅┅┅9分当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，m i n 101y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边3km 处。
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1第一单元 <<集合与简易逻辑>>一.选择题:（60分）1．如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C是全集。
则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2．集合M={}220,x x x a x R +-=∈，且M ∅Ø.则实数a 的取值范围是( )A. a ≤-1B. a ≤1C. a ≥-1D.a ≥13．满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是 A. 7 B. 6 C. 5 D. 44．a ∈R,a <3成立的一个必要不充分条件是（ ） A. a<3 B. a <2 C. 2a <9 D. 0<a<2 5．若命题P ：x ∈A I B ，则τ P 是（ ） A. x ∉A U B B. x ∉A 或x ∉BC. x ∉A 且x ∉BD. x ∈A U B6．已知集合M=｛2a ,a ｝.P=｛-a,2a-1｝；若card(M U P)=3，则M I P= ( )A.｛-1｝B.｛1｝C.｛0｝D.｛3｝7．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.定P*Q=(){},,a b a p b Q ∈∈，则P*Q 中元素的个数是 ( )A. 3B. 7C. 10D. 12 8．不等式20052006ab +=()()22111a x a x ----<0的解集为全体实数，则实数a 的取值范围是 ( ) A. 35-<a<1 B. 35-<a ≤1 C. 35-≤a ≤1 D.a<-1或a>1 9．用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122mm --±均为奇数”，其假设正确的是 ( )A. 都是偶数B. 都不是奇数C. 不都是奇数D.都不是偶数 10．命题P:若a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q:函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞U .则 （ ）A.“ p 或q ”为假B. “p 且q ”为真C. p 真q假 D. p 假q 真 11．若集合1A ,2A ，满足1A U 2A =A ，则称(1A ,2A ) 为集合A 的一种分析，并规定：当且仅当1A =2A 时，(1A ,2A )与(2A 1A ,)为集合A 的同一种分析，则集合的A={}123,,a a a 不同分析种数是 ( )A. 27B. 26C. 9D. 812．50名学生参加跳远和铅球两项测验，跳远和铅球两项及格的分别是40人和31人，两项均不及格的有4人，两项测验部分都及格的人数是 （ ）A. 35B. 25C. 28D. 15 二．填空题：（20分） 13．设A=｛1，2｝，B=｛x ｜x ⊆A ｝若用列举法表示，则集合B 是14．若不等式210x ax -+≤和21ax x +->0均不成立，则a 的取值范围是15．含有三个实数的集合可表示为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20052006a b +=16．以下命题：①“菱形的两条对角线互相平分”的逆命题；②{}210,x xx R +=∈=∅ 或｛0｝⊇∅；③对于命题p 且q,若p 假q 真,则p 且q 为假；④有两条相等且有一个角是60o“是”一个三角形为等边三角形的充要条件。
集合与逻辑、函数、导数、三角检测试卷及解析
集合与逻辑、函数、导数、三角检测试卷及解析一、选择题：（本题包括12小题，每小题5分，共60分. 请将答案写在答题卡上） 1. 已知集合，则=（ ）A. B. C. D.解析：由题意得，，则．故选C ．2. 已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则¬p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0B ． ∃ x 0∉R ，sin x 0≥12x 0C ．∀ x ∈R ，sin x≥12xD ．∀x ∉R ，sin x≥12x解析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即¬p：∀x ∈R ，sin x≥12x. 故选C3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D ．解析：要使函数有意义则，即，即且，故选D.4. 下列函数中，同时满足：①在（0，）上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanxB ．y=cosxC ．y=tanD ．y=|sinx|解析：利用排除法，y=|sinx|是偶函数，排除D, y=cosx 和 y=tan 的周期是2π，排除B,C .故选A5. 已知是上的奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D.解析：因为是上的奇函数，所以，解得：，{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，M N ⋂}{43x x -<<}{42x x -<<-}{22x x -<<}{23x x <<{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<{}22M N x x ⋂=-<<21y log (x 2)=-(,2)-∞(2,)+∞(2,4)(4,)+∞(2,3)(3,)+∞2log (x 2)0-≠2021x x ->⎧⎨-≠⎩2x >3x ≠2π2x 2x()3221x a f x =-+R ()f a 76132523()3221x a f x =-+R ()30022a f =-=3a =，则.故选A 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B.C.D.解析：是单调递减函数，所以 ，又，所以.故选C7．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ）A ．向右平移π6B ．向左平移 π12C ．向右平移 π12 D ．向左平移π6解析：因为.故选B8. 函数的图像大致是（ ）A. B. C. D.解析：，函数为奇函数，排除C,令，，再令，，故选B9. 若直线l 与曲线 相切于点O(0,0),并且直线l 和曲线也相切，则a 的值是 （ ） A. 1B. -1C. 2D. -2解析：，故，故切线的方程为即， 由可得， 因为直线和曲线也相切，故，故.故选A.()33221x f x =-+()333732216f =-=+0.70.8a =0.90.8b =0.81.2c =a b c a b c >>b c a >>c a b >>c b a >>0.8x y =0.90.7000.80.80.81<<<=0.81.21>c a b >>y sin(2x )sin[2(x )]612ππ=+=+3()2xy x x =-()-x (x)f f =-1x 2=102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭x 2=0f （2）>32()32f x x x x =-+2y x a =+2()362f x x x '=-+(0)2f '=l ()020y x -=-2y x =22y xy x a=⎧⎨=+⎩220x x a -+=l 2y x a =+440a ∆=-=1a =10．函数的最大值是（ ） A ． B ．C ．D ． 2解析：，.故选A11. 已知函数，则（ ） A. 3B. 4C.D. 38解析：，所以.故选C12. 已知函数f(x)对∀x ∈R 都有f(x －4)＝－f(x)，且当x ∈[－1,0]时f(x)＝2x ，则f(2020)＝（ ）A. 1B. －1C.D. 解析：因为，故即. 故，故的周期为8， 所以，故选B. 二、填空题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分. 请将答案写在答题卡上）13. _______.解析：.故填 14. 若，则=_____ 解析：由题可得，∴．故填．15. 若在上是减函数，则的取值范围是_______. )cos (sin sin 2x x x y +=21+12-22y 2sin 2sin cos 1cos 2sin 2x )14x x x x x π=+=-+=-+∴()12log ,1236,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩12f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3-12123682f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()1218log 832f f f ⎡⎤⎛⎫===- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1212-()()4f x f x -=-()()444f x f x +-=-+()()4f x f x =-+()()()()84f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦()f x ()()()()()20208252444401f f f f f =⨯+==--=-=-=0330sin 000001sin 330sin(36030)sin(30)sin 302=-=-=-=-21-3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 2α2237cos 22cos 12124525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7sin 2cos 2225παα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭725-()()212ln 2f x x b x =--+()1,+∞b解析：由得， 因为在上是减函数， 所以只须在上恒成立，即在上恒成立，因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，则在上单调递增，所以， 因此只需.故填.16. 已知则函数的零点个数是_________.解析：令可得, 当时,由可得x=10或0或,三个解;当时,由可得两个解.故填5.三、解答题：（本题包括6小题，17题10，其他题目均为12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请将答案写在答题卡上）17.(10分) 设p ：12≤x≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围解析：设A ＝{x|12≤x≤1}，B ＝{x|x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0}，易知，B ＝{x|a≤x≤a＋1}．由¬p 是¬q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1故所求实数a 的取值范围是[0，12]．()()212ln 2f x x b x =--+()()2b f x x x'=--+()()212ln 2f x x b x =--+()1,+∞()()20bf x x x'=--+≤()1,+∞22b x x ≤-()1,+∞22y x x =-1x =22y x x =-()1,+∞221y x x =->-1b ≤-(],1-∞-(),0,2,0,x lgx x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩()()2231y f x f x =-+()()22310y fx f x =-+=()()112f x f x ==或()1f x =(),0,2,0,x lgx x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩110()12f x =(),0,2,0,x lgx x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩A B ⊆10a 2∴≤≤18.（12分）已知函数在处取得极大值为9，（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值 解析：（1），依题意，得，即，解得．经检验，上述结果满足题意．（2）由（1）得，，令，得或；令，得，的单调递增区间为和，的单调递增区间是， ，，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为． 19. (12分)已知函数f (x)Asin()(A 0,0,0)2x πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求的解析式及单调减区间； （2）求在区间解析：（1）由图象可得，最小正周期为f (x)sin(2)x ϕ=+， 再将点(,1)6代入，得sin(2)=16πϕ⨯+，所以+=2k ,32k Z ππϕπ+∈.02πϕ<<,6πϕ∴=()()321,3f x x ax bx a b =++∈R 3x =-a b ()f x []33-，()22f x x ax b =++'()()3039f f -=-='⎧⎪⎨⎪⎩9609939a b a b -+=-+-=⎧⎨⎩13a b ==-⎧⎨⎩()32133f x x x x =+-()()()223=31f x x x x x ∴=+-+-'()0f x '>3x <-1x >()0f x '<31x -<<()f x ∴()1+∞，(),3-∞-()f x ()31-，()()=39f x f ∴-=极大值()()5=13f x f =-极小值()39f =()f x []33-，53-()f x ()f x 1A =f (x)sin(2)6x π∴=+由322x 2262k k πππππ+≤+≤+， 得2x 63k k ππππ+≤≤+， 所以函数的单调递减区间为2[]63k k ππππ++，． （2∴函数在区间1，最小值为1-2．20（12分）. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上是减函数，求的取值范围. 解析：（1）当时，， 又，所以. 又， 所以所求切线方程为 ，即. 所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为， 令，得或. 当时，恒成立，不符合题意. 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，k ∈Z k ∈Z ()f x k ∈Z ()f x 1331(223+-+=x m mx x x f ）m ∈R 1=m )(x f y =))2(,2(f )(x f (2,3)-m 1=m 321()313f x x x x =+-+2'()23f x x x =+-'(2)5f =5(2)3f =55(2)3y x -=-153250x y --=)(x f y =))2(,2(f 025315=--y x 2232('m mx x x f -+=）'(0f x =）3x m =-x m =0m =2'(0f x x =≥）0m >()f x (3,)m m -()f x (2,3)-则解得.当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得.综上所述，实数的取值范围是或.21.（12分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f(x)的单调递增区间．解析：（1）∵由f(x)的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x ＋φ)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2xcosφ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k ∈Z.∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－5π12，kπ＋π12，k ∈Z.22．（12（132,3.m m -≤-⎧⎨≥⎩3m ≥0m <()f x (,3)m m -()f x (2,3)-2,3 3.m m ≤-⎧⎨-≥⎩2m ≤-m 3m ≥2m ≤-（2，求的值． 解析：（1）223133f ()sincos3sin 3()33332222ππππ=-=-=- （2sin α。
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假
D. p 假 q 真
B. “p 且 q”为真
C. p 真 q
11．若集合 A1 , A2 ，满足 A1 A2 =A，则称( A1 , A2 ) 为集合 A 的
一种分析，并规定：当且仅当 A1 = A2 时，( A1 , A2 )与( A2 A1 ,)
为集合 A 的同一种分析，则集合的 A=a1, a2 , a3不同分析
B是
14．若不等式 x2 ax 1 0 和 ax2 x 1 >0 均不成立，则 a 的
取值范围是
15．含有三个实数的集合可表示为 a, b ,1 a2 , a b, 0 ，则 a
18．（12 分）解关于 x 的不等式： （理）（ax-1）(x-1)>0
（文）(x-1)(x-a)>0
19．（12 分）已知命题 p: x2 mx 1 0 有两个不相等的负数根；
a2005 b2006
16．以下命题：①“菱形的两条对角线互相平分”的逆命题；②
x x2 1 0, x R 或｛0｝ ；③对于命题 p 且 q,若
p 假 q 真,则 p 且 q 为假；④有两条相等且有一个角是
60 “是”一个三角形为等边三角形的充要条件。其中为真
命题的序号为
f (x) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B，
Cu A Cu B
1
答案：
一.选择题: 1.C 2.C 3.D 10.D 11.A
二.填空题:
4.A 12.B
13. {,{1},{2},{1, 2}}
16.② ③ ④ 三.解答题:
17.
5.B 6.B 7.D 8.B 9.C
14. 2 a 1
15.-1
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集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式.专题测试题及详细答案
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·吉安模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{1,5}，则A ∩(∁U B )等于A ．{2,4}B ．{1,2,4}C ．{2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析 ∁U B ＝{2,3,4}，所以A ∩(∁U B )＝{2,4}，选A. 答案 A2．(2013·潮州一模)集合A ＝{x ||x －2|≤2}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则A ∩B 等于 A ．RB ．{x |x ≠0}C ．{0}D ．∅解析 A ＝[0,4]，B ＝[－4,0]，所以A ∩B ＝{0}． 答案 C3．(2013·烟台一模)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为A.12B ．－12C ．2D ．－2解析 设幂函数为f (x )＝x a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，解得a ＝12，所以f (x )＝x ，所以f (2)＝2，即log 2f (2)＝log 22＝12，选A. 答案 A4．函数f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域为 A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，1)∪(0，＋∞)解析 x －1＋1＝1x ＋1≠1，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)≠log 21＝0，即y ≠0，所以f (x )＝log 2(x －1＋1)的值域是 (－∞，0)∪(0，＋∞)，选C. 答案 C5．(2013·青浦模拟)对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是 A ．逆命题为“单调函数不是周期函数” B ．否命题为“周期函数是单调函数” C ．逆否命题为“单调函数是周期函数” D ．以上三者都不对解析 周期函数不是单调函数得逆命题为“不是单调函数的函数，就是周期函数”，A 错．否命题为“不是周期函数的函数是单调函数”，B 错．逆否命题为“单调函数不是周期函数”，C 错，所以选D.答案 D6．(2013·铁岭模拟)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是 A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab ＞2D.b a ＜1解析 由1a ＜1b ＜0可知，b ＜a ＜0，所以ba ＞1，选D. 答案 D7．设a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝32，a ＜b ，B ＝60°或B ＝120°，反之，a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则sin A ＝a b sin B ＝12，a ＜b ，A ＝30°，故选B.答案 B8．在坐标平面内，点的纵、横坐标都是整数时，称该点为整点．则由不等式⎩⎨⎧x ＋y ≤2x －y ≥－2y ≥0所表示的区域内整点的个数是A ．1B ．3C ．9D ．6解析 本题考查了线性规划的基本知识，根据线性约束条件画出可行域是关键． 答案 C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx ＋2，x ≤0，ln x ， x ＞0，若k ＞0，则函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是A ．1B ．4C ．3D ．2解析 由y ＝|f (x )|－1＝0，得|f (x )|＝1.若x ＞0， 则|f (x )|＝|ln x |＝1，所以ln x ＝1或ln x ＝－1，解得x ＝e 或x ＝1e .若x ≤0，则|f (x )|＝|kx ＋2|＝1，所以kx ＋2＝1或kx ＋2＝－1，解得x ＝－1k ＜0或x ＝－3k ＜0成立，所以函数y ＝|f (x )|－1的零点个数是4个，选B.答案 B10．(2013·济南一模)设a ＝⎠⎛121x d x ，b ＝⎠⎛131x d x ，c ＝⎠⎛151x d x ，则下列关系式成立的是A.a 2＜b 3＜c5 B.b 3＜a 2＜c 5 C.c 5＜a 2＜b 3D.a 2＜c 5＜b 3解析 a ＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2，b ＝⎠⎛131x d x ＝ln x |31＝ln 3，c ＝⎠⎛151x d x ＝ln x |51＝ln 5，所以a 2＝ln 22＝ln 2，b 3＝ln 33＝ln 33，c 5＝ln 55＝ln 55.因为(2)6＝23＝8，(33)6＝32＝9，所以2＜33.(2)10＝25＝32，(55)10＝52＝25，所以55＜2，即55＜2＜33，所以c 5＜a 2＜b3，选C.答案 C11．(2013·黄浦模拟)若f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论： ①y ＝|f (x )|是偶函数；②对任意的x ∈R 都有f (－x )＋|f (x )|＝0；③y ＝f (－x )在(－∞，0]上单调递增；④y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4解析 取f (x )＝x 3，x ＝－1，则f (－x )＋|f (x )|＝f (1)＋|f (－1)|＝2≠0，故②错．又f (－x )＝－x 3在(－∞，0]上单调递减，故③错．对于①，设x ∈R ，则|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|⇒y ＝|f (x )|是偶函数，所以①对；对于④，设x 1＜x 2≤0，则－x 1＞－x 2≥0，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (－x 1)＞f (－x 2)≥f (0)＝0⇒f 2(－x 1)＞f 2(－x 2)⇒f 2(x 1)＞f 2(x 2)，∴f (x 1)f (－x 1)＝－f 2(x 1)＜－f 2(x 2)＝f (x 2)f (－x 2)⇒y ＝f (x )f (－x )在(－∞，0]上单调递增，故④对．所以选B.答案 B12．(2013·临沂一模)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y＝e x －2}．其中是“垂直对点集”的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析 ①y ＝1x 是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直对点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图在曲线上，两点构成的直角始终存在，所以M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直对点集”．对于③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，如图取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，满足“垂直对点集”的定义，故正确．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．如果不等式5－x ＞7|x ＋1|和不等式ax 2＋bx －2＞0有相同的解集，则a ＋b ＝________. 解析 由不等式5－x ＞7|x ＋1|可知5－x ＞0，两边平方得(5－x )2＞49(x ＋1)2，整理得4x 2＋9x ＋2＜0，即－4x 2－9x －2＞0. 又两不等式的解集相同，所以可得a ＝－4，b ＝－9， 则a ＋b ＝－13. 答案 －1314．(2013·顺义模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，则不等式f (2x )＞2的解集为________．解析 因为函数为定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，且函数在(0，＋∞)上递增．所以由f (2x )＞2得2x ＞12，即x ＞－1， 所以不等式f (2x )＞2的解集为(－1，＋∞)． 答案 (－1，＋∞)15．(2013·滨州一模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2.作出不等式组对应的平面区域，如图，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋z 2经过点F 时，直线y ＝－12x ＋z2的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧ x －y ＋2＝02x －y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝7y ＝9，即F (7,9)，代入z ＝x ＋2y 得z ＝x ＋2y ＝7＋2×9＝25.答案 2516．(2013·德州一模)已知锐角α，β满足3tan α＝tan(α＋β)，则tan β的最大值为________． 解析 tan β＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝2tan α1＋3tan 2α，即tan β＝21tan α＋3tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0.所以tan β＝21tan α＋3tan α≤221tan α·3tan α＝33，当且仅当1tan α＝3tan α，即tan 2α＝13，tan α＝33时，取等号，所以tan β的最大值是33. 答案 33三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |(x －3)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞3}， B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a ＜y ≤4－a }．(5分) (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴4－a ＜－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a ＞5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．(10分)18．(12分)设命题p ：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立；若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．解析 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝x 2－2mx ＋1在区间(1，＋∞)上是增函数，由于该函数是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝m ，所以m ≤1；因为a ∈[－1,1]，(3分)由根与系数关系知 |x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3，所以m 2＋5m －3≥3，解得m ≥1，或m ≤－6，(6分) 若(綈p )∧q 为真命题，则p 是假命题，q 是真命题，(8分) 故⎩⎨⎧m ＞1m ≥1，或m ≤－6，即m ＞1.(11分) 所以使(綈p )∧q 为真的实数m 的取值范围是m ＞1.(12分)19．(12分)(2013·宝山模拟)已知函数f (x )＝log 2(4x ＋b ·2x ＋4)，g (x )＝x . (1)当b ＝－5时，求f (x )的定义域； (2)若f (x )＞g (x )恒成立，求b 的取值范围． 解析 (1)由4x －5·2x ＋4＞0，即(2x －1)(2x －4)＞0， 所以2x ＜1，或2x ＞4，解得f (x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(5分) (2)由f (x )＞g (x )得4x ＋b ·2x ＋4＞2x ， 即b ＞1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x .令h (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋42x ，因为2x＋42x ≥22x·42x ＝4，当且仅当2x ＝42x ，即x ＝1时等号成立，则h (x )≤－3，∴当b ＞－3时，f (x )＞g (x )恒成立．(12分)20．(12分)(2013·马鞍山模拟)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f (x )＋ax ，求函数y ＝g (x )的单调区间．解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －1x －2ln x ，则f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝0.(5分)(2)由条件知g (x )＝ax －2ln x ， 则函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ，(i)当a ≤0时，g ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数y ＝g (x )的单调区间为(0，＋∞)； (ii)当a ＞0时，由g ′(x )＞0，得x ＞2a ， 由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2a ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a .(12分)21．(12分)某工厂生产A 、B 两种配套产品，其中每天生产x 吨A 产品，需生产x ＋2吨B 产品，已知生产A 产品的成本与产量的平方成正比，经测算，生产1吨A 产品需要4万元，而B 产品的成本为每吨8万元．(1)求生产A 、B 两种配套产品的平均成本的最小值；(2)若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A 产品的产量x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A 产品多少吨，才可使平均成本最低．解析 (1)因为生产A 产品的成本与产量的平方成正比，则生产x 吨A 产品需t ＝kx 2万元，又当x ＝1时，t ＝4，所以k ＝4，故t ＝4x 2，(2分)设生产A 、B 两种产品的平均成本为y ，据题意有 y ＝4x 2＋8(x ＋2)x ＋x ＋2＝4x 2＋8x ＋162x ＋2＝2x 2＋4x ＋8x ＋1＝(2x 2＋2x )＋(2x ＋2)＋6x ＋1＝2x ＋6x ＋1＋6＝2(x ＋1)＋6x ＋1＋4≥22(x ＋1)×6x ＋1＋4 ＝43＋4， 当且仅当2(x ＋1)＝6x ＋1，即x ＝3－1时，等号成立．(6分)(2)由(1)知，生产A 、B 两种产品的平均成本为 y ＝2x ＋6x ＋1＋6，则y ′＝2－6(x ＋1)2，(7分) 令y ′＞0，解得x ＞3－1，令y ′＜0，解得x ＜3－1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2,8]，所以函数y ＝2x ＋6x ＋1＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递减，在[2,8]上单调递增，当x ＝12时，y ＝11，当x ＝2时，y ＝12.(11分)所以该工厂应生产A 产品12吨，才可使平均成本最低，为11万元．(12分)22．(12分)(2012·山东)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2. 解析 (1)由f (x )＝ln x ＋ke x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(3分)(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0. 又e x ＞0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(8分) (3)证明 因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 因此，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e－2等价于1－x －x ln x ＜e xx ＋1(1＋e －2)．由(2)知h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，φ(x)＞φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)＞0，即e xx＋1＞1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2＜e xx＋1(1＋e－2)．因此对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.(12分)。
新高考数学模块一：集合与简易逻辑单元测试题(含答案)
集合与简易逻辑单元测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分）1.设合集U=R ，集合}1|{},1|{2>=>=x x P x x M ，则下列关系中正确的是（ ）A ．M=PB ．MPC ． PMD ．M ⊇P2．如果集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U)B 等于（ ）(A){}5 (B) {}8,7,6,5,4,3,1 (C) {}8,2 (D) {}7,3,1 3．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若 }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ） (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 94. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}a x x B <=|，若φ≠B A ，则a 的取值范围是（A ）2<a （B ）2->a （C ）1->a （D ）21≤<-a ( ) 5． 集合A ＝｛x |11+-x x ＜0｝，B ＝｛x || x －b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是（ ）（A ）－2≤b ＜0 （B ）0＜b ≤2 （C ）－3＜b ＜－1（D ）－1≤b ＜26．设集合A ＝｛x |11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ ”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 7. 已知23:,522:>=+q p ,则下列判断中，错误．．的是 （ ） (A)p 或q 为真，非q 为假 (B) p 或q 为真，非p 为真 (C)p 且q 为假，非p 为假 (D) p 且q 为假，p 或q 为真8．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b ca b c ==”是“M ＝N ” ( ) （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件9．“21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的 （ ）(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件10. 已知01a b <<<，不等式lg()1xxa b -<的解集是{|10}x x -<<，则,a b 满足的关系是( )（A ）1110a b -> （B ）1110a b -= （C ）1110a b-< （D ）a 、b 的关系不能确定 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件 ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中为真命题的是12．若集合{}x A ,3,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,3,1= ，则=x13．两个三角形面积相等且两边对应相等，是两个三角形全等的 条件 14．若0)2)(1(=+-y x ，则1=x 或2-=y 的否命题是15．已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素k ，都乘以(－1)k再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）用列举法写出集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧->-+-+≥+∈)9(321)1)(1()1(|22x x x x x x x Zx17．（本小题满分12分）已知p ：方程x 2＋m x ＋1＝0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根。
集合与常用逻辑用语、函数、导数答案
专题检测卷(二)集合与常用逻辑用语、函数、导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·课标全国)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}【解析】由已知A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤4，x∈Z}＝{x|0≤x≤16，x∈Z}，则A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}，故选D.【答案】 D2．(2010·海南三亚模拟)设A＝{x||x|≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}，若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是A．t＜－3 B．t≤－3C．t＞3 D．t≥3【解析】A＝[－3,3]，B＝(－∞，t]，由A∩B＝∅知t＜－3.【答案】 A3．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于A．∅B．MC．N D．R【解析】∵M＝R，N＝{y|y≥－1}，∴M∩N＝N.【答案】 C4．(2010·广东广州模拟)若函数f(x)＝log a(x＋1)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于A.13 B. 2C.22D．2【解析】∵f(x)＝log a(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a＞1时，0＝log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2；当0＜a＜1时，log a 2≤log a(x＋1)≤log a1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.【答案】 D5．(2010·海南三亚质检)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则A．f(0)＜f(－1)＜f(2) B．f(－1)＜f(0)＜f(2)C．f(－1)＜f(2)＜f(0) D．f(2)＜f(－1)＜f(0)【解析】由f(x－2)在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,0]上单调递减．∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)在[0,2]上单调递增．又f(－1)＝f(1)，∴f(0)＜f(－1)＜f(2)．【答案】 A6．A7．(2010·山东聊城摸底)函数f(x)的图象如下图所示，下列数值排序正确的是A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)【解析】 f ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是图象上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B. 【答案】 B8．(2010·济宁质检)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 ①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点； ②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A . A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 对于①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔m 2－4(m ＋3)＞0⇔p ：m ＜－2或m ＞6；对于②y ＝f (x )为偶函数，但不一定满足f (－x )f (x )＝1， ∴不是充要条件．对于③若α＝π6，β＝－π6，满足cos α＝cos β，但不满足tan α＝tan β，∴不是充要条件． 对于④p ：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔q ：∁U B ⊆∁U A . 【答案】 D9．(2010·山东临沂模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值A ．恒为正B ．等于零C ．恒为负D ．不大于零【解析】 数形结合．由于f (1)＞0，f (3)＜0，所以x 0∈(1,3)．在(1,3)上g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 是减函数，φ(x )＝log 3x 是增函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x 在(1,3)上是减函数，所以f (x 1)＞f (x 0)＝0，故选A.【答案】 A10．(2010·江苏无锡摸底)若a ＞2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有 A ．0个根 B ．1个根 C ．2个根D ．3个根【解析】 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a ＜0，f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)11．3(,1)412．-7 13．314．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【解析】 对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x ＞0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0得a k ＋1＝12a k .又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4， a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 【答案】 2115．(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是【解析】 f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图知f (a )＝f (b )，则有0＜a ＜1＜b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ， 即－lg a ＝lg b ，得a ＝1b ， ∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b 2， 显然b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )＞0， ∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数， 得g (b )＝2b ＋1b ＞3，故选C. 【答案】(3，＋∞)16．(2010·宁夏银川摸底)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上) 【解析】 令x ＝－3，可得f (3)＝f (－3)＝0，知①正确； ∵f (x ＋6)＝f (x )，又f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝－6对称，∴②正确； 由题意知，x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，又f (x )为偶函数，f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )在[－9，－6]上单调递减，③不正确；由f (3)＝0可知，f (－3)＝f (－9)＝f (9)＝0，∴④正确． 【答案】 ①②④17．(2010·滨州模拟)给出下列四个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ②“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真； ③函数f (x )＝x －sin x (x ∈R )有3个零点；④对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时f ′(x )＞g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号) 【解析】 显然①正确，而②的逆命题为若a ＜b ， 则am 2＜bm 2，当m 2＝0时不成立，故②不正确；③中f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )在R 上为单调增函数．∴在R 上有且仅有一个零点，故③不正确；对于④由已知f (x )为奇函数，又在(0，＋∞)时f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴在x ＜0时亦为增函数， ∴f ′(x )＞0，同理g (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴x ＜0时，g ′(x )＜0，因此f ′(x )＞g ′(x )，故④正确． 【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(12分) (1)2,12,0a b c ==-=(2)单调增区间(,)-∞+∞，单调减区间(19．(12分)(2010·东北六校联考)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)f (x )＝3·2x .(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．【答案】 (1)f (x )＝3·2x (2)m ≤5620．(12分)(2010·安徽)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1.【解析】 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R . 令f ′(x )＝0得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )． (2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增．于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0.即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.【答案】 (1)f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞) 极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )(2)略21．(12分)(2010·珠海模拟)设函数f (x )＝x (1＋x )2，x ∈(－∞，0]． (1)求f (x )的极值点；(2)对任意的a ＜0，以F (a )记f (x )在[a,0]上的最小值，求k ＝F (a )a 的最小值． 【解析】 (1)f ′(x )＝(1＋x )2＋2x (1＋x )＝(1＋x )(1＋3x )， 由f ′(x )＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝－13， 当x ＜－1或x ＞－13时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜－13时，f ′(x )＜0， 所以，有两个极值点：x 1＝－1是极大值点，f (－1)＝0； x 2＝－13是极小值点，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－427.(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－427作直线y ＝－427，与y ＝f (x )的图象的另一个交点为A ，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－427， －427＝x (x ＋1)2，即27x 3＋54x 2＋27x ＋4＝0， 已知有解x ＝－13，则(3x ＋1)(9x 2＋15x ＋4)＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－427. 当a ＜－43时，F (a )＝f (a )，k ＝f (a )a ＝(1＋a )2＞19；当－43≤a ≤－13时，F (a )＝－427， k ＝－427a ≥－427－43＝19，其中当a ＝－43时，k ＝19；当－13＜a ＜0时，F (a )＝f (a )，k ＝f (a )a ＝(1＋a )2＞49.所以，对任意的a ＜0，k 的最小值为19⎝ ⎛⎭⎪⎫其中当a ＝－43时，k ＝19【答案】 (1)有两个极值点： x 1＝－1是极大值点，f (－1)＝0； x 2＝－13是极小值点，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－427(2)对任意的a ＜0，k 的最小值为19⎝ ⎛⎭⎪⎫其中当a ＝－43时，k ＝19 22．(14分)(2010·浙江嘉兴模拟)已知x ＝0是函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e x (x ∈R )的一个极值点，且函数f (x )的图象在x ＝2处的切线的斜率为2e 2.(1)求函数f (x )的解析式并求单调区间；(2)设g (x )＝f ′(x )e x ，其中x ∈[－2，m )，问：对于任意的m ＞－2，方程g (x )＝23(m －1)2在区间(－2，m )上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋b ]e x ， 由f ′(0)＝0，得b ＝－a ， ∴f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ]e x ， 又f ′(2)＝[4＋2(a ＋2)]e 2， ∴[4＋2(a ＋2)]e 2＝2e 2，故a ＝－3， 令f ′(x )＝(x 2－x )e x ≥0，得x≤0或x≥1，令f′(x)＝(x2－x)e x＜0，得0＜x＜1，故：f(x)＝(x2－3x＋3)e x的单调增区间是(－∞，0]，[1，＋∞)，单调减区间是(0,1)．(2)由(1)知g(x)＝x2－x，假设方程g(x)＝23(m－1)2在区间(－2，m)上存在实数根，设x0是方程g(x)＝23(m－1)2的实根，则x20－x0＝23(m－1)2，令h(x)＝x2－x－23(m－1)2，从而问题转化为证明方程h(x)＝x2－x－23(m－1)2＝0在(－2，m)上有实根，并讨论解的个数，因为h(－2)＝6－23(m－1)2＝－23(m＋2)(m－4)，h(m)＝m(m－1)－23(m－1)2＝13(m＋2)(m－1)，所以①当m＞4或－2＜m＜1时，h(－2)·h(m)＜0，所以h(x)＝0在(－2，m)上有解，且只有一解②当1＜m＜4时，h(－2)＞0且h(m)＞0，但由于h(0)＝－23(m－1)2＜0，所以h(x)＝0在(－2，m)上有解，且有两解③当m＝1时，h(x)＝x2－x＝0⇒x＝0或x＝1，所以h(x)＝0在(－2,1)上有且只有一解；当m＝4时，h(x)＝x2－x－6＝0⇒x＝－2或x＝3，所以h(x)＝0在(－2,4)上也有且只有一解，综上所述，对于任意的m＞－2，方程g(x)＝23(m－1)2在区间(－2，m)上均有实数根且当m≥4或－2＜m≤1时，有唯一的实数解；当1＜m＜4时，有两个实数解．【答案】(1)f(x)＝(x2－3x＋3)e x，单调增区间是(－∞，0]，[1，＋∞)，单调减区间是(0,1) (2)略- 11 -。
集合与简易逻辑、函数与导数测试题(含答案)
集合与简易逻辑、函数与导数测试题1．若集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U)B 等于（ ）A.{}5 B . {}7,3,1 C .{}8,2 D. {}8,7,6,5,4,3,12．函数()2()log 6f x x =-的定义域是（ ）A ．{}|6x x >B ．{}|36x x -<<C ．{}|3x x >-D ．{}|36x x -<≤ 3．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ）A ．p 或q 为真，非q 为假B ． p 或q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ． p 且q 为假，p 或q 为真 4．下列函数中,既是偶函数又在)0,(-∞上单调递增的是 ( ) A ．3y x = B ．y cos x = C ．y ln x = D ．21y x = 5．对命题”“042,0200≤+-∈∃x x R x 的否定正确的是 （ ） A ．042,0200>+-∈∃x x R x B ．042,2≤+-∈∀x x R x C ．042,2>+-∈∀x x R x D ．042,2≥+-∈∀x x R x6．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 7．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数B ．在（1,3）上)(x f 是减函数C ．在（4,5）上)(x f 是增函数 8. 若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a 的值为 （ ）A ．21B ．32C ．43D ．19.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y =f (x +4)为偶函数，则（ ）A ．f (2)>f (3)B ．f (3)>f (6)C ．f (3)>f (5)D ． f (2)>f (5) 10.已知a >0且a ≠1，若函数f （x ）= log a （ax 2 –x ）在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．11[,)(1,)64+∞C ．11[,)(1,)84+∞D ．11[,)6411. 用},,min{c b a 表示c b a ,,三个数中的最小值，}102,2min{)(x x x f x -+=，, (x ≥0) , 则)(x f 的最大值为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．712. 若函数f (x )=⎩⎨⎧>+≤0)( 1)ln(0)( x x x x ,若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是A ．（-∞，-1）∪（2，+∞）B ．（-2,1）C ．（-∞，-2）∪（1，+∞）D ．（-1,2）13．设全集U 是实数集R ，{}24M x |x >＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是___________。
集合与简易逻辑练习题与答案
一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)析 由题设P ∪M ＝P ，可得M ⊆P ，∴a 2≤1，解得－1≤a ≤1.故选 C2．(2011·陕西)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i <2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )． A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]解析 由题意得M ＝{y |y ＝|cos 2x |}＝[0,1]，N ＝{x ||x ＋i|<2}＝{x |x 2＋1<2}＝(－1,1)，∴M ∩N ＝[0,1)．故选 C3．(2011·山东)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，∴|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，∴y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，如y ＝f (x )＝x 2，而它不是奇函数．故选 B4．已知命题“函数f (x )、g (x )定义在R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，若f (x )、g (x )均为奇函数，则h (x )为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 由f (x )、g (x )均为奇函数，可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2是偶函数，但函数f (x )＝x 2e x ，g (x )＝e x 都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．故选C.故选 C5．下列命题错误的是( )．A ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0；则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0解析 对C 选项中命题的否定是“若xy ＝0，则x ，y 都不为零”，C 错．命题：“若p 则q ”的否命题是：“若綈p ，则綈q ”，命题的否定是：“若p 则綈q ”．故选 C二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2010·重庆)设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 解析 ∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，即方程x 2＋mx ＝0的两根为0和3，∴m ＝－3.故填 －37．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，则使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围是________．解析 令f (x )＝x 2＋2mx ＋1.则由f (0)>0，且－b 2a>0， 且Δ>0，求得m <－1，∴p ：m ∈(－∞，－1)．q ：Δ＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0⇒－2<m <3. 由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 一真一假．①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1，m ≤－2或m ≥3，即m ≤－2； ②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，即－1≤m <3. ∴m 的取值范围是m ≤－2或－1≤m <3.故填 (－∞，－2]∪[－1,3)8．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0，给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“綈p ∨綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨綈q ”是真命题；④命题“p ∧q ”是假命题．其中正确的是________．解析 命题p 是假命题，命题q 是真命题，故结论③④正确．故填 ③④三、解答题(每小题10分，共20分)9．设a ∈R ，二次函数f (x )＝ax 2－2x －2a .设不等式f (x )>0的解集为A ，又知集合B ＝{x |1<x <3}，A ∩B ≠∅，求a 的取值范围．解: 由f (x )为二次函数知，a ≠0.令f (x )＝0，解得其两根为x 1＝1a－ 2＋1a2， x 2＝1a ＋ 2＋1a 2. 由此可知x 1<0，x 2>0.(1)当a >0时，A ＝{x |x <x 1或x >x 2}．A ∩B ≠∅的充要条件是x 2<3，即1a ＋ 2＋1a 2<3.∴a >67. (2)当a <0时，A ＝{x |x 1<x <x 2}．A ∩B ≠∅的充要条件是x 2>1，即1a＋ 2＋1a 2>1，解得a <－2. 综上，使A ∩B ≠∅成立的a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞.10．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .解:A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2， ∴3≤a ≤2或a ≤－ 3. ∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]．(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.∴a的最小值为－2.当a＝－2时，A＝{y|y<－2或y>5}．∴∁R A＝{y|－2≤y≤5}．∴(∁R A)∩B＝{y|2≤y≤4}．。
高考总复习数学《集合和简单逻辑》单元测试题(含详细解答)
第一章 《集合与简易逻辑》单元测试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内)1．(理科)(2009年高考全国卷Ⅱ理，2)设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)【解析】 ∵B ＝{x |x －1x －4<0}＝{x |(x －1)(x －4)<0}＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝(3,4)，选B.【答案】 B(文科)(2009年高考全国卷Ⅱ文，1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝ ( )A ．{5,7}B ．{2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,3,5,6,7} 【解析】 ∵M ∪N ＝{1,3,5,6,7}， ∴∁U (M ∪N )＝{2,4,8}，选C. 【答案】 C2．(2009年高考山东卷理(文))集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4,16}，故只能是a ＝4.选D. 【答案】 D 3．(2009年江西理，3)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为 ( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n 【解析】 U ＝A ∪B 中有m 个元素， ∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素， ∴A ∩B 中有m －n 个元素，故选D.【答案】 D4．(2009年北师大附中)已知集合A ，B ，I ，A ⊂I ，B ⊂I ，且A ∩B ≠∅，则下面关系式正确的是 ( )A ．(∁I A )∪(∁IB )＝I B ．(∁I A )∪B ＝IC ．A ∪B ＝ID ．(∁I (A ∩B ))∪(A ∩B )＝I【解析】 作出Venn 图可得出D 正确，如右图所示． 【答案】 D5．(能力题)已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋xyz|xyz |的值所组成的集合为M ，则下列判断正确的是 ( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M【解析】 当x ，y ，z 全为负时，x |x |＋y |y |＋z |z |＋xyz|xyz |＝－4；当x ，y ，z 两负一正或两正一负时， x |x |＋y |y |＋z |z |＋xyz |xyz |＝0； 当x ，y ，z 全为正时，x |x |＋y |y |＋z |z |＋xyz|xyz |＝4.故选D.【答案】 D6．若命题p ：x ∈A ∩B ，则“非p ”是 ( ) A ．x ∈A 且x ∈B B ．x ∉A 或x ∉B C ．x ∉A 且x ∉B D ．x ∈A ∪B【解析】 x ∈A ∩B ⇔x ∈A 且x ∈B ，“且”的否定是“或”，因此非p ：x ∉A 或x ∉B .故选B.【答案】 B7．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【解析】 根据题意画出图示，如右图，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A. 【答案】 A8．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞) 【解析】 由题意知a >0且1是方程ax ＋b ＝0的根， ∴a ＋b ＝0，b ＝－a ∴ax －b x －2>0⇒ax ＋a x －2>0 ∴(x ＋1)(x －2)>0即x >2或x <－1. 【答案】 A9．已知函数f (x )＝x α(α则不等式f (|x |)≤2 ( ) A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2} D ．{x |－4≤x ≤4}【解析】 本题考查解不等式．由f (12)＝22⇒α＝12，故f (|x |)≤2⇔|x |12≤2⇔|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．故选D.【答案】 D10．(理科)(2009年高考重庆卷理，5)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)【解析】 |x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，即|x ＋3|－|x －1|的最大值是4，因此依题意有a 2－3a ≥4，(a －4)(a ＋1)≥0，a ≤－1或a ≥4，选A.【答案】 A11．(理科)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1， x <0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1} 【解析】 本题考查分段函数、复合函数、二次不等式等知识．原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ＋(x ＋1)x ≤1 分别解得x <－1或－1≤x ≤2－1，故原不等式解集是{x |x ≤2－1}．故选C. 【答案】 C(文科)若不等式2x 2＋2kx ＋k4x 2＋6x ＋3<1对于一切实数都成立，则k 的取值范围是 ( )A ．(－∞，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】 4x 2＋6x ＋3＝4(x 2＋32x )＋3＝4(x ＋34)2＋34∴原不等式等价于2x 2＋2kx ＋k <4x 2＋6x ＋3 即2x 2＋(6－2k )x ＋3－k >0对任意k 恒成立． ∴Δ＝(6－2k )2－8(3－k )<0 ∴1<k <3.故选B. 【答案】 B12．(创新预测题)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A B ＝ ( )A ．(－94，0]B ．[－94，0)C ．(－∞，－94)∪[0，＋∞)D ．(－∞，－94]∪(0，＋∞)【解析】 由题意可知M N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }∪{x |x ∈N 且x ∉M }，即表示集合M ∪N去掉M ∩N 的部分，而A ＝{y |y ≥－94}，B ＝{y |y <0}，因此A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{y |－94≤y <0}，A B ＝(－∞，－94)∪[0，＋∞)，故选C.【答案】 C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应的位置上)13．(2009年高考重庆卷文，11)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.【解析】 ∵U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4,8}． 【答案】 {2,4,8}14．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4， q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3.又非p 是非q 的充分条件，即非p ⇒非q . 它的等价命题是q ⇒p .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2a ＋4≥3⇒－1≤a ≤6.【答案】 [－1,6]15．(理科)(2009年黄冈中学模拟)已知R 上的减函数y ＝f (x )的图象过P (－2,3)，Q (3，－3)两个点，那么|f (x ＋2)|≤3的解集为________．【解析】 据题意知原不等式等价于f (3)＝－3≤f (x ＋2)≤3＝f (－2)，结合单调性可知－2≤x ＋2≤3，即x ∈[－4,1]．【答案】 [－4,1](文科)若－1<a <0，则不等式(x －a )(ax －1)<0的解集为________． 【解析】 方程(x －a )(ax －1)＝0的两根为x 1＝1a ，x 2＝a ，∵－1<a <0，∴1a <a ，则不等式的解集为{x |x >a 或x <1a}． 【答案】 {x |x >a 或x <1a}16．(理科)设集合A ＝{(x ，y )|y ≥12|x －2|}，B ＝{(x ，y )|y ≤－|x |＋b }，A ∩B ≠∅.(1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出y ＝12|x －2|和y ＝－|x |的图象．观察图象得当把y ＝－|x |的图象向上平移1个单位时，两图象开始有交点，故b ≥1.(2)A ∩B 的平面区域如图阴影部分．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－x 2＋z2.当y ＝－x 2＋z2过(0，b )时z 最大，∴0＋2b ＝9，∴b ＝92.【答案】 (1)[1，＋∞)；(2)92(文科)设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________．【解析】 由图可知，当y ＝－x 往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b ≥2；要使z ＝x ＋2y 取得最大值，则过点(0，b )，有0＋2b ＝9⇒b ＝92.【答案】 (1)[2，＋∞)；(2)92三、解答题(本题共6大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知p ：{x |⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，若非p是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】 解法一 p ：即{x |－2≤x ≤10}，∴非p ：A ＝{x |x <－2或x >10}，非q ：B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}． ∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≤－2⇒m ≥9，1＋m ≥10即m 的取值范围是{m |m ≥9}．解法二 ∵非p 是非q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． ∴p 是q 的充分不必要条件． 而p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．∴P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≤－21－m ≥10⇒m ≥9.【答案】 {m |m ≥9}18．(12分)(2009年北京海淀模拟)已知集合A ＝{x |2x ＋2x －2<1}，B ＝{x |x 2>5－4x }，C ＝{x ||x－m |<1，m ∈R }．(1)求A ∩B ；(2)若(A ∩B )⊆C ，求m 的取值范围．【解析】 (1)∵A ＝{x |2x ＋2x －2<1}得2x ＋2x －2<1⇔(x ＋4)(x －2)<0 ∴A ＝{x |－4<x <2}又x 2＋4x －5>0⇔(x ＋5)(x －1)>0 ∴B ＝{x |x <－5或x >1} ∴A ∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵C ＝{x ||x －m |<1，m ∈R } 即C ＝{x |m －1<x <m ＋1，m ∈R } ∵(A ∩B )⊆C ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2∴1≤m ≤2 【答案】 (1){x |1<x <2} (2)1≤m ≤2 19．(12分)(河北省正定中学2010届高三上学期第一次考试)已知集合A ＝{x |x 2－3(a ＋1)x＋2(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －2ax －(a 2＋1)<0}，(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝2时，A ＝(2,7)，B ＝(4,5) ∴A ∩B ＝(4,5)．(2)∵a ≠1时，B ＝(2a ，a 2＋1)；a ＝1时，B ＝φ①当a <13时，A ＝(3a ＋1,2)要使B ⊆A 必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1a 2＋1≤2此时a ＝－1. ②当a ＝13时A ＝φ，B ＝φ，所以使B ⊆A 的a 不存在，③a >13，A ＝(2,3a ＋1)要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2a 2＋1≤3a ＋1此时1≤a ≤3. 综上可知，使B ⊆A 的实数a 的范围为[1,3]∪{－1}． 【答案】 (1)(4,5) (2)[1,3]∪{－1}20．(12分)(衡水中学2010届下学期第一次调研考试高三年级数学试卷)已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M .(1)当a ＝9时，求集合M ；(2)若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)当a ＝9时，由原不等式得9x －5x 2－9<0⇔x －59(x －3)(x ＋3)<0 ∴x <－3或59<x <3.∴M ＝(－∞，－3)∪(59，3)(2)3∈M ⇔3a －532－a <0⇔a －53a －9>0⇔a <53或a >9，5∉M ⇔5a －552－a <0不成立，5a －552－a <0⇔a －1a －25>0⇔a <1或a >25. ∴5∉M ⇔a <1或a >25不成立⇔1≤a ≤25.综上得1≤a <53或9<a ≤25.【答案】 (1)(－∞，－3)∪(59，3)(2)1≤a <53或9<a ≤2521．(12分)已知三个不等式：①|2x －4|<5－x ；②x ＋2x 2－3x ＋2≥1；③2x 2＋mx －1<0.若同时满足①和②的x 值也满足③，求m 的取值范围．【解析】 设不等式|2x －4|<5－x ，x ＋2x 2－3x ＋2≥1，2x 2＋mx －1<0的解集分别为A ，B ，C ， 则由|2x －4|<5－x 得，当x ≥2时，不等式化为2x －4<5－x ，得x <3， 所以有2≤x <3.当x <2时，不等式化为4－2x <5－x ，得x >－1， 所以有－1<x <2，故A ＝(－1,3)． x ＋2x 2－3x ＋2≥1⇔x ＋2x 2－3x ＋2－1≥0⇔－x 2＋4x x 2－3x ＋2≥0⇔x (x －4)(x －1)(x －2)≤0⇔0≤x <1或2<x ≤4，即B ＝[0,1)∪(2,4]．若同时满足①②的x 值也满足③，则有A ∩B ⊆C . 设f (x )＝2x 2＋mx －1，则由于A ∩B ＝[0,1)∪(2,3)， 故结合二次函数的图象，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0f (3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<018＋3m －1≤0⇒m ≤－173，∴m 的取值范围是m ≤－173.22．(14分)(蚌埠二中2010届高三8月份月考数学(理科)试题)设函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝ax (a >0)．(1)解关于x 的不等式f (x )<g (x )；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，若F (x )在(0，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围．【解析】 (1)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)x －a >0(1－a )x －a <0，当a >1时，不等式的解集得{x |x >aa ＋1}；当a ＝1时，此时不等式的解集是{x |x >aa ＋1}；当0<a <1时，此时不等式的解集是{x |a a ＋1<x <a1－a}；综合得，当a ≥1时，不等式的解集为{x |x >a a ＋1}，当0<a <1时，不等式的解集为{x |aa ＋1<x <a 1－a}(2)F (x )＝|x －a |－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x －a (x ≥a )－(a ＋1)x ＋a (0<x ≤a )由于a >0，F (x )在(0，a ]上为减函数，因此，要使F (x )在(0，＋∞)上有最小值，必须而且只需F (x )在[a ，＋∞)上为常数函数或增函数，因此1－a ≥0，∴0<a ≤1.【答案】 (1){x |a a ＋1<x <a1－a} (2)0<a ≤1。
高三数学 集合简易逻辑、函数与导数单元测试题 文 试题
一中高三文科数学测试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日〔集合简易逻辑函数导数〕总分：150分 时间是：120分钟第一卷〔一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．2{1,0,1,2,3},{|log (1)1},A B x x A B =-=-≤则的元素个数为 〔 〕A ．0B ．5C ．3D ．22．c<0，以下不等式中成立的一个是( )A ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．2c c >C ．122cc ⎛⎫< ⎪⎝⎭ D ．122cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 1{|1},{|2,[1,0]}x A x B y y x x=>==∈-，那么A B =〔 〕 A 、(,1]-∞ B 、(0,1) C 、(0,1] D 、∅ 4.以下函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是〔 〕A 、ln(2)y x =+B 、1y x =-+C 、12x y =（）D 、1y x x=+ 5.命题：p :在ABC ∆中，sin sin A B >的充分不必要条件是A B >;q :2,220x R x x ∀∈++≤.那么以下命题为真命题的是〔 〕A 、p q ∧B 、p q ⌝∧C 、p q ⌝∨D 、p q ∨6. “α＝π6＋2k π(k ∈Z )〞是“cos 2α＝12〞的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．假设函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，那么0x 的值是 〔 〕A ．0B ．1C ．12D ．不存在8 . 设=)(x f 3,x x x +∈R ，当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，那么实数m 的取值范围是〔 〕A ．〔0,1〕B ．)0,(-∞C ．)21,(-∞D ．)1,(-∞9.函数2()s i n ()f x x x =的图像大致为〔 〕A B C D10.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，那么不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第二卷〔一共100分〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.〕L 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线，那么L 的方程为12.命题“00,20x x R ∃∈≤〞的否认是 ．13.假设函数y ＝x ＋4x在(0，a )上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是 ．),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 假设非p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是 .15.一般地，假如函数)(x f y =的定义域为[]b a ,，值域也是[]b a ,，那么称函数)(x f 为“保域函数〞，以下函数中是“保域函数〞的有_____________.〔填上所有正确答案的序号〕①[]1,1,1)(21-∈-=x x x f ； ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,0,sin 2)(2ππx x x f ； ③[]2,2,3)(33-∈-=x x x x f ；④24()ln ,1,f x x x x e ⎡⎤=-∈⎣⎦；⑤[]2,0,12)(25∈+-=x x x xx f .三、解答题〔本大题一一共6小题，一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕16．〔本小题满分是12分〕设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m <0}．(1)当m <12时，化简集合B ；(2)假设A ∪B ＝A ，务实数m 的取值范围．17〔本小题满分是12分〕.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，假设p 或者q 为真，p 且q 为假，务实数a 的取值范围．18〔本小题满分是12分〕.函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝27，函数g (x )＝λ·2ax－4x的定义域为[0，2]，求：(1)求a 的值；(2)假设函数g (x )的最大值是13，务实数λ的值．19〔本小题满分是12分〕函数f (x )＝2ln x ＋x 2－a 2x (x >0，a ∈R )．(1)当a >0时，假设函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，求a 的最小值；(2)是否存在实数a ，使f ′ (1)是f (x )的极小值？假设存在，求出a 的值；假设不存在，请说明理由.20〔本小题满分是13分〕)(t f 表示学生注意力随时间是t 〔分钟〕的变化规律〔)(t f 越大，说明学生注意力越集中〕，经过实验分析得知：22680,010()240,1020400,2040t t t f t t kt t ⎧-++<≤⎪=≤≤⎨⎪+≤≤⎩, 〔1〕求出k 的值，并指出讲课开场后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？〔2〕一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少到达185，那么经过适当安排，教师能否在学生到达所需的状态下讲授完这道题目？21〔本小题满分是14分〕函数()xf x e =.〔I 〕当0x >时，设()()()()1g x f x a x a R =-+∈.讨论函数()g x 的单调性； 〔II 〕证明当()21,112x f x x x ⎡⎤∈<++⎢⎥⎣⎦时，.一中文科数学〔集合简易逻辑函数与导数〕参考答案一、选择题二、填空题11、10x y --= 12、 ,20x x R ∀∈>.. .13. 02a <≤ 14、30≤<a 15. ．②③⑤ 三、解答题：16. 【解析】∵不等式x 2－(2m ＋1)x ＋2m <0⇔(x －1)(x －2m )<0. (1)当m <12时，2m <1，∴集合B ＝{x |2m <x <1}． (2)假设A ∪B ＝A ，那么B ⊆A ， ∵A ＝{x |－1≤x ≤2}， ①当m <12时，B ＝{x |2m <x <1}，此时－1≤2m <1⇒－12≤m <12；②当m ＝12时，B ＝∅，有B ⊆A 成立；③当m >12时，B ＝{x |1<x <2m }，此时1<2m ≤2⇒12<m ≤1；综上所述，m 的取值范围是－12≤m ≤1.17. 【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，∴3－2a ＞1，∴a ＜1.又由于p 或者q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)假设p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2；(2)假设p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或者a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.综上可知，所务实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2). 18. 【解析】(1)由23+a ＝27＝33，解得a ＋2＝3，故a ＝1.(2)由(1)可知g (x )＝λ·2x －4x.设t ＝2x ，因为0≤x ≤2，1≤2x≤4，即1≤t ≤4， 所以g (x )＝－t 2＋λt ＝－〔t －λ2〕2＋λ24，1≤t ≤4.①当λ2<1，即λ<2时，g (x )max ＝λ－1＝13，解得λ＝43，符合条件；②当1≤λ2≤4时，即2≤λ≤8时，g (x )max ＝λ24＝13，解得λ＝±2 33[2，8]，舍去；③当λ2>4时，即λ>8时，g (x )max ＝－16＋4λ＝13，解得λ＝4912<8，舍去．综上可得，λ＝43.19. 【解析】(1)依题意f ′(x )＝2x ＋2x －a 2≤0，即a 2≥2x ＋2x 在区间[1，2]上恒成立，所以a 2≥〔2x＋2x 〕max .当x ＝2时，2x＋2x 在区间[1，2]上获得最大值5.所以a 2≥5.因为a >0，所以a ≥5，即a 的最小值为 5.(2)由题意可知f ′(x )＝2x＋2x －a 2，由f ′(1)＝2＋2－a 2＝0得a ＝±2，此时f ′(x )＝2x ＋2x －4＝2〔x －1〕2x≥0.故函数f (x )在定义域上单调递增，没有极小值．因此不存在实数a 满足条件．20.【解析】21. 【解析】〔Ⅰ〕()(1)xg x a x =-+e ，所以()(1)xg x a '=-+e ．当0x >时，e 1x >，故有：当11a +≤，即0a ≤时，(0)x ∈+∞，，()0g x '>； 当11a +>，即0a >时，e 1x >，令()0g x '>，得ln(1)x a >+；令()0g x '<，得0ln(1)x a <<+， 综上，当0a ≤时，()g x 在(0)+∞，上是增函数；当0a >时，()g x 在(0ln(1))a +，上是减函数，在(ln(1))a ++∞，上是增函数． 〔Ⅱ〕设22()()(1)e 1xh x f x x x x x =-++=---，那么()e 21xh x x '=--， 令()()e 21xm x h x x '==--，那么()e 2xm x '=-，因为1[,1]2x ∈，所以当1[,ln 2)2x ∈时，()0m x '<；()m x 在1[,ln 2)2上是减函数， 当(ln 2,1]x ∈时，()0m x '>，()m x 在(ln 2,1]上是增函数， 又1()e 20,(1)e 30,2m m =-<=-<所以当1[,1]2x ∈时,恒有()0m x <,即()0h x '<,所以()h x 在1[,1]2上为减函数，所以17()()024h x h ≤=<， 即当1[,1]2x ∈时，2()1f x x x <++.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
_集合、常用逻辑用语、函数与导数综合测试
集合简易逻辑函数与导数综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分）1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）2．已知函数①()ln f x x =；②cos ()xf x e=；③()xf x e =；④()c o s f x x =．其中对于()f x定义域内的任意一个自变量1x ，都存在定义域内的唯一一个自变量2x ，使得1=成立的函数是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③D ．④3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A ()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x xf x a a -=+ D.2()ln 2x f x x -=+ 4．下列结论①命题“0,2>-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”；②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方；③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0. ④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 45．命题“x R ∀∈，2240x x -+≤”的否定为 ( ) A ．x R ∀∈，2240x x -+≥ B ．2,240x R x x ∀∉-+≤ C ．x R ∃∈,2240x x -+> D ．x R ∃∉,2240x x -+>6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．4x y -B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1，2）B ．（e ，3）C ．（2，e ）D ．(e,+∞)8．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a =-对称。
集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数及其应用阶段性综合检测及答案
集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数及其应用阶段性综合检测时间120分钟满分150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x||x＋1|＝x＋1}，B＝{x|x2＋x＜0}，则A∩B＝( )A．(－1,0) B．[－1,0) C．(－1,0] D．[－1,0]2．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．43．设集合P＝{x|x2－x－2≥0}，Q＝{y|y＝12x2－1，x∈P}，则P∩Q＝( )A．{m|－1≤m＜2} B．{m|－1＜m＜2} C．{m|m≥2} D．{－1}4．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝( )A．－2 B．0 C．1 D．25．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①②B．②③C．④D．①②③7．已知命题p：∃x∈R，使sin x－cos x＝3，命题q：集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}有2个子集，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．38． 设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点 C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点9． 由曲线y ＝x 2和直线y ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.12 D.2310． 已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＞0恒成立， 设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c11． 若函数y ＝f (x )在R 上可导且满足不等式xf ′(x )＋f (x )＞0恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (a )＞bf (b )B ．af (b )＞bf (a )C ．af (a )＜bf (b )D ．af (b )＜bf (a )12． 幂函数y ＝[f (x )]g (x )(f (x )＞0，f (x )≠1)在求导时可运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )·ln f (x )，两边同时求导得y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝[f (x )]g (x )[g ′(x )ln f (x )＋g (x )·f ′(x )f (x )]，运用此方法可以探求得知y ＝x x 的单调递增区间为（ )A ．(1e ，1)∪(1，＋∞)B ．(1e ，＋∞) C ．(e ，＋∞) D ．(3,8)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
（完整版）集合与简易逻辑试卷及详细答案
（完整版）集合与简易逻辑试卷及详细答案集合与简易逻辑⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．每⼩题中只有⼀项符合题⽬要求)1．集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]2.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表⽰的集合等于()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}3．已知?Z A＝{x∈Z|x＜6}，?Z B＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是() A．A?B B．A?BC．A＝B D．?Z A?Z B4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝a x－b(a＞0，且a≠1)的图像不过第⼆象限C．p：x＝1，q：x2＝x D．p：a＞1，q：f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数6．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是() A．(⾮p)或q B．p且qC．(⾮p)且(⾮q) D．(⾮p)或(⾮q) 7．下列命题中，真命题是()B．?x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“ac2>bc2”是“a>b”的充要条件，则()A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p真q假D．p，q均为假9．命题p：?x∈R，x2＋1>0，命题q：?θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是()A．p∧q B．(⾮p)∧qC．(⾮p)∨q D．p∧(⾮q)10．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平⾏”的否命题为() A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平⾏B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平⾏C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平⾏D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平⾏11．命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的⼀个充分不必要条件是() A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤512．设x，y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“x216＋y29≤1”的()A．充分⽽不必要条件B．必要⽽不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有⼀个元素，则实数a的值为________．14．命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(?U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1,2]，?x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是________．三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)17．(本⼩题满分10分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A??R B，求实数m的取值范围．18．(本⼩题满分12分)已知命题“?x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，求实数a的取值范围．19．(本⼩题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|10x＋6>1}．(1)若m＝3，求E∩F；(2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围．20．(本⼩题满分12分)已知全集U＝R，⾮空集合A＝{x|x－2x－(3a＋1)<0}，B＝{x|x－a2－2x－a<0}．(1)当a＝12时，求(?U B)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．21．(本⼩题满分12分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．22．(本⼩题满分12分)已知命题p：⽅程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有⼀个实数x0满⾜不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案：⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．每⼩题中只有⼀项符合题⽬要求)1．答案C解析因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|12解析依题意知A＝{0,1}，(?U A)∩B表⽰全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表⽰的集合等于{－1,2}，选A.3．答案A4．D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，⽽“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．5．解析B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因⽽p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因⽽p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因⽽p为q的充要条件．故选A.6．答案D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．7．答案D解析∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.即a>1，b>1?ab>1.8．答案A解析由x>3能够得出x2>9，反之不成⽴，故命题p是假命题；由ac2>bc2能够推出a>b，反之，因为1c2>0，所以由a>b能推出ac2>bc2成⽴，故命题q是真命题．因此选A.9．答案D解析易知p为真，q为假，⾮p为假，⾮q为真．由真值表可知p∧q假，(⾮p)∧q假，(⾮p)∨q假，p∧(⾮q)真，故选D.10．答案A解析命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a ＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平⾏”的否定为“直线l1与l2不平⾏”，所以选A.11．答案C解析命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的⾮空真⼦集，正确选项为C.12．答案B⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．答案0或－2解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．若a2＋1＝5，则a＝±2.⽽a＝－2时，A∩B＝{5}．若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0⽆解．∴a＝0或a＝－2.14．答案充要解析∵“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，∴“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．15．答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(?U B)＝{m|m＝2n＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．16．答案(0，1 2]解析由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的⼦集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12，⼜a>0，故a的取值范围是(0，12]．三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)17 答案 (1)2。
高中数学--《集合与逻辑》测试题(含答案)
高中数学--《集合与逻辑》测试题（含答案）1.已知集合，，则S∩T =（）A. B.S C.T D. Z【答案解析】C【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C.2.设全集U=R，，，则集合是（）A． B． C． D．【答案解析】C3.已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案解析】A解：①当φ＝时，f（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x，∵f（﹣x）＝2cos（﹣2x）＝2cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，②当f（x）为偶函数时，φ＝+kπ，k∈Z，综上所述，φ＝是f（x）为偶函数的充分不必要条件．故选：A．4.已知空间直线l和平面α，则“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案解析】B解：若直线l在平面α外，则l∥α或l与α相交，故“直线l在平面α外”推不出“直线l∥平面α”，由“直线l∥平面α”则推出“直线l在平面α外”，故“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的必要不充分条件，故选：B．5.“”是“”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】B6.已知集合A={－1,0,1,2,3}，B={2,3,5}，则A∩B=（）A．{－1,0,1,2,3,5} B．{－1,0,1} C．{5} D．{2,3}【答案解析】D7.用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a 的所有可能取值构成集合S，则A．0 B．1 C．2 D．3【答案解析】D8.设是四条不同直线，是两个不同平面，且，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】D9.已知集合P={1,2,3}，Q={1,3,5}，则P∪Q =A．{1} B．{1,3} C．{2,5} D．{1,2,3,5}【答案解析】D10.已知数列{an}为等比数列，则“，”是“{an}为递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】A11.已知集合，集合，集合，则（）A．{3} B．{－1}C．{－1,1,2,3} D．{－1,0,3}【答案解析】D12.数列{an}的前n项和为Sn，且，，则“”是“数列为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】A13.已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案解析】D14.已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线E的离心率”是“双曲线E的渐近线方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】D15.集合，集合，则集合A∩B=（）A．{－3,－2,－1,0,1} B．{－2,－1,0}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2,3}【答案解析】C16.当x>0时，“函数y＝(3a－1)－x的值恒小于1”的一个充分不必要条件是A.a<B.a>C.a<D.a>1【答案解析】D17.若集合A＝{0，1，4}，B＝{－1，0，1，3}，则A∪B＝A.{0，1，4，3}B.{0，1}C.{－1，0，1，3，4}D.{－1，0，1，4}【答案解析】C18.已知f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】A【详解】若函数在[0,1]上单调递增，则在[0,1]上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.19.已知集合，，则A∪ B=（）A. (－1,2)B. (－1,2]C.[0,1)D. [0,1]【答案解析】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：，即.故选：B.20.已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件【答案解析】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.。
高中数学--《集合与逻辑》测试题(含答案)
高中数学--《集合与逻辑》测试题（含答案）1.已知函数y＝f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y＝f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y＝f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）＝0．则下列说法正确的是（）A．q1、q2都是p的充分条件B．只有q1是p的充分条件C．只有q2是p的充分条件D．q1、q2都不是p的充分条件【答案解析】A解：命题q1成立，即y＝f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立，故取a＞0时，对任意的x∈R，x+a＞x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＞0 即0＜f（a），故f（x+a）＜f（x）+f（a），即命题q1可推出命题p，即q1是p的充分条件；命题q2成立，y＝f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x0）＝0，故取a＝x0＜0时，对任意的x∈R，x+a＜x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＝f（x0）＝0，f （x+a）＜f（x）+f（a），即命题q2可推出命题p，即q2是p的充分条件；故q1、q2都是p的充分条件．故选：A．2.已知a，b，c∈R+则“+3abc≥k恒成立”是“k≤3”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】C解：由题意结合基本不等式可得＝，当且仅当且时取等，而由+3abc≥k恒成立可得k≤6，由（﹣∞，3]⊊（﹣∞，6]，可得知a，b，c∈R+则+3abc≥k恒成立”是“k≤3”的必要不充分条件，故选：C．3.已知全集U＝{x|x﹣1＞0}，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，则∁UA＝（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x≤e} C．{x|2＜x＜e} D．{x|x≤2}【答案解析】A解：∵U＝{x|x＞1}，A＝{y|y≥2}，∴∁UA＝{x|1＜x＜2}．故选：A．4.已知命题，命题，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案解析】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式即可得出结论．【详解】解：，则，，，，由，但，时，命题成立，如时，，由推不出，是成立充分不必要条件，故选：A．5.已知集合，那么A∩B=（）A．{－1,0,1,2,3} B．{－1,2}C．{0,3} D．{2,3}【答案解析】D【分析】直接利用交集的定义即可求得.【详解】因为集合，所以.故选：D6.已知函数．则“f(x)是偶函数“是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案解析】B解析：后推前，，故是偶函数；前推后，举反例，时，也是偶函数.故选B.7.若集合，则A∩B等于（）A. B.C. D.【答案解析】A解析：根据交集的定义，因为，所以A∩B=，选A.8.已知a，b，c∈R，则“a＞b”的一个充分而不必要条件是（）A．a2＞b2 B．a3＞b3 C．2a＞2b D．ac2＞bc2【答案解析】D解：对于A：a＞b与a2＞b2互相推不出是既不充分也不必要条件，对于B：a3＜b3⇔a＜b 是充要条件，对于C：a＞b⇔2a＞2b是充要条件，对于D：若ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，反之不成立，即ac2＞bc2是a＞b成立的充分不必要条件，故选：D．9.已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}【答案解析】B解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．10.设f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），则“y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案解析】C解：若函数y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）时，则（﹣1）α＝1，∴α＝﹣2或α＝2，∴y＝f（x）为偶函数．若y＝f（x）为偶函数，①α＝﹣1，，1时为奇函数，②α＝时为非奇非偶函数，③α＝﹣2，2时为偶函数，∴若y＝f（x）为偶函数时，α＝﹣2，2∴函数y＝f（x）图象经过点（﹣1，1）是y＝f（x）为偶函数的充要条件．故选：C．。
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集合与简易逻辑、函数与导数测试题1．若集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U)B 等于（ ）A.{}5 B . {}7,3,1 C .{}8,2 D. {}8,7,6,5,4,3,1 2．函数()2()3log 6f x x x =+-的定义域是（ ）A ．{}|6x x >B ．{}|36x x -<<C ．{}|3x x >-D ．{}|36x x -<≤ 3．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ）A ．p 或q 为真，非q 为假B ． p 或q 为真，非p 为真C ．p 且q 为假，非p 为假D ． p 且q 为假，p 或q 为真 4．下列函数中,既是偶函数又在)0,(-∞上单调递增的是 ( ) A ．3y x = B ．y cos x = C ．y ln x = D ．21y x = 5．对命题”“042,0200≤+-∈∃x x R x 的否定正确的是 （ ） A ．042,0200>+-∈∃x x R x B ．042,2≤+-∈∀x x R xC ．042,2>+-∈∀x x R xD ．042,2≥+-∈∀x x R x6．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 7．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是 A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数B ．在（1,3）上)(x f 是减函数C ．在（4,5）上)(x f 是增函数 8. 若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a 的值为 （ ）A ．21B ．32C ．43D ．19.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y =f (x +4)为偶函数，则（ ）O yx12 4 5－3 3-2A ．f (2)>f (3)B ．f (3)>f (6)C ．f (3)>f (5)D ． f (2)>f (5) 10.已知a >0且a ≠1，若函数f （x ）= log a （ax 2 –x ）在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．11[,)(1,)64+∞C ．11[,)(1,)84+∞D ．11[,)6411. 用},,min{c b a 表示c b a ,,三个数中的最小值，}102,2m in{)(x x x f x -+=，, (x ≥0) , 则)(x f 的最大值为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．712. 若函数f (x )=⎩⎨⎧>+≤0)( 1)ln(0)(x x x x ,若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是A ．（-∞，-1）∪（2，+∞）B ．（-2,1）C ．（-∞，-2）∪（1，+∞）D ．（-1,2）13．设全集U 是实数集R ，{}24M x|x >＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是___________。
14．函数xxy sin =的导数为_ _______。
15. 设()f x 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()f x =2(1)x x -，5()2f -=______.16. 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)集合与简易逻辑、函数与导数测试题答题卡13、 14、15、 16、17. 已知A ＝{x |92≥x }，B ＝{x |71≤<-x }，C ＝{x ||x －2|<4}．(1)求A ∩B 及A ∪C ； (2)若U ＝R ，求)(C B C A U18. 命题p :“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q :“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”，若“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。
19. 已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．20. 已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++，若(1)0f '-=，求函数()f x 在]1,23[-上的最大值和最小值。
21. 已知函数3233y x ax bx c =+++在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行．(1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值的差22. 设关于x 的函数22()(241)(2)ln f x mx m m x m x =-++++，其中m 为实数集R 上的常数，函数()f x 在1x =处取得极值0.（1）已知函数()f x 的图象与直线y k =有两个不同的公共点，求实数k 的取值范围；（2）设函数2()(2)p g x p x x+=-+， 其中0p ≤，若对任意的[1,2]x ∈，总有22()()42f x g x x x ≥+-成立，求p 的取值范围.答 案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BDCDCDCABACB13、 ( 1 , 2 ] 14、2'sin cos xxx x y -= 15、 21- 16、 ②③17、A ＝{x |x ≥3，或x ≤－3}． B ＝{x |－1＜x ≤7}．又由|x －2|＜4，得－2＜x ＜6，∴C ＝{x |－2＜x ＜6}．(1)A ∩B ＝{x |3≤x ≤7}，如图(甲)所示．A ∪C ＝{x |x ≤－3，或x ＞－2}，如图(乙)所示．(2)∵U ＝R ，B ∩C ＝{x |－1＜x ＜6}， ∴∁U (B ∩C )＝{x |x ≤－1或x ≥6}， ∴A ∩∁U (B ∩C )＝{x |x ≥6或x ≤－3}．18. 解:若P 是真命题．则a ≤x 2,∵x ∈[1,2],∴a ≤1; 若q 为真命题,则方程x 2+2ax +2-a =0有实根, ∴⊿=4a 2-4(2-a )≥0,即,a≥1或a ≤-2, p 真q 也真时 ∴a ≤-2,或a =1若“p 且q ”为假命题 ，即 ),1()1,2(+∞-∈ a19、解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R 或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以“p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R 或． 由p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤20、由已知的1)(2)(2'+++=x a x x x f 由f'(-1)=0 得a =2即2)1)(()(2++=x x x f 所以1)1)((3)('++=x x x ff '(x )=0时，即31-=x 或1-=x 时，f (x )有极值x 23- 1) , 23 (-- 1-)31 , 1 (-- 31- 1) , 31(- 1'y+—+y 813 ↑2↓2750 ↑6最大值为(1)=6f ；最小值为31328(-)=f21、(1)∵2363y x ax b '=++，由题意得，{12+12303633a b a b +=++=-解得a ＝－1，b ＝0，则323y x x c =-+，236y x x '=- 解236y x x '=->0，得x <0或x >2； 解236y x x '=-<0，得0<x <2.∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)可知函数在x ＝0时取得极大值c ，在x ＝2时取得极小值c －4， ∴函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4.22（Ⅰ）22()2(241)m f x mx m m x+'=-+++ 因为函数()f x 在1x =处取得极值0得：2222(1)2(241)2210(1)(241)2310f m m m m m m f m m m m m '⎧=-++++=--+=⎪⎨=-++=---=⎪⎩解得1m =-… 则(21)(1)()((0,))x x f x x x ---'=∈+∞令()0f x '=得1x =或12x =-（舍去）当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减. 所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，即最大值为2(1)ln1110f =-+= 所以当0k <时，函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点（Ⅱ）设22()2()()422ln p F x f x g x x x x px x+=--+=--若对任意的[1,2]x ∈，22()()42f x g x x x ≥+-恒成立， 则()F x 的最小值min ()0F x ≥ (*)2'22222(2)()p px x p F x p x x x +-+++=-+=（1）当0p =时,'222()0x F x x +=>,()F x 在[1,2]递增所以()F x 的最小值(1)20F =-<，不满足(*)式 所以0p =不成立（2）当0p ≠时'22(1)()()p p x x pF x x +-+-=①当10p -<<时，211p+<-，此时()F x 在[1,2]递增，()F x 的最小值(1)220F p =--<，不满足(*)式②当1p <-时，2111p-<+≤，()F x 在[12]，递增， 所以min ()(1)220F x F p ==--≥，解得1p ≤- ，此时1p <-满足(*)式③当1p =-时，()F x 在[12]，递增，min ()(1)0F x F ==，1p =-满足(*)式 综上，所求实数p 的取值范围为1p ≤-。