2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷

2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷

一．选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．1-8小题只有一个选项符合题意，9-12为多选题）

1. 设集合A={x∈N|−1≤x≤3}，B={y|yx2, x∈R}，则A∩B=()

A.{0, 1, 2, 3}

B.{1, 2, 3}

C.[1, 3]

D.[0, 3]

2. 已知a、b都是实数，那么“a

a >1

b

”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3. 设函数f(x)=tan x

2，若a=f(log32),b=f(log1

5

1

2

)，c＝f(20.2)，则（）

A.a

B.b

C.c

D.b

4. 已知P为等边三角形所在平面内的一个动点，满足BP→=λBC→(λ∈R)，若|AB→|=2，则AP→⋅(AB→+AC→)=()

A.2√3

B.3

C.6

D.与λ有关的数值

5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36∘的等腰三角形（另一种是顶角为108∘的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄

金△ABC中，BC

AC =√5−1

2

．根据这些信息，可得sin234∘＝（）

A.1−2√5

4B.−3+√5

8

C.−√5+1

4

D.−4+√5

8

6. 已知(1+λx)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，(1+

λx)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1+a2+...+a n＝242，则(x+λ

x

)4展开式中常数项（）

A.32

B.24

C.4

D.8

7. 在棱长为1的正四面体A−BCD中，E是BD上一点，BE→=3ED→，过E作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为（）

A.π

8B.3π

16

C.π

4

D.5π

16

8. 若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f’(x)>f(x)+9e x，f(3)＝27e3，则不等式f(x)

9

>xe x的解集是（）

A.(3, +∞)

B.(−∞, 3)

C.(−3, +∞)

D.(−∞, −3)

9. 已知数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n}为等比数列，首项为1，公

比为2，设c n=a b

n

，T n为数列{c n}的前n项和，则当T n<2019时，n的取值可以是下面选项中的（）

A.8

B.9

C.10

D.11

10. 已知函数f(x)=1

3x3+1

2

ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1，则关于

x的方程f2(x)+af(x)+b＝0的不同实根个数为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

11. 如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任

意一点，E，F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( )

A.点P到平面QEF的距离

B.直线PQ与平面PEF所成角

C.三棱锥P−QEF的体积

D.△QEF的面积

12. 函数f(x)图象上不同两点A(x1, y1)，B(x2, y2)处的切线的斜率分别是k A，k B，

|AB|为A，B两点间距离，定义φ(A, B)=|k A−k B|

|AB|

为曲线f(x)在点A与点B之间的“曲率”，其中正确命题为（）

A.存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数

B.函数f(x)＝x3−x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则“曲率”φ(A, B)>

√3

C.函数f(x)＝ax2+b(a>0, b∈R)图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ(A, B)≤2a

D.设A(x1, y1)，B(x2, y2)是曲线f(x)＝e x上不同两点，且x1−x2＝1，若t⋅φ(A, B)<

1恒成立，则实数t的取值范围是(−∞, 1)．

二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

已知复数z=1+3i

1−i

，则复数z的虚部为________．

函数f(x)=alnx

x 的图象在点（e2, f(e2)）处的切线与直线y=−1

e4

x平行，则f(x)的极

值点是________．

设x>0，y>0，若xln2，ln√2，yln2成等差数列，则1

x +9

y

的最小值为________．

过点M(0, 1)的直线l交椭圆x2

8+y2

4

=1于A，B两点，F为椭圆的右焦点，△ABF的周

长最大为________，此时△ABF的面积为________．

三、解答题：本题共六个大题，共70分．

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a+b+c)(a+b−c)＝3ab．(Ⅰ)求角C的值；

(Ⅱ)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．

已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2a n−2(n∈N∗),{b n}是等差数列，且a3＝b4−2b1，b6＝a4．

（1）求{a n}和{b n}的通项公式：

（2）求数列{(−1)nb n2}的前2n项和T2n∗

在四棱锥P−ABCD中，AB // CD，AB=2CD=2BC=2AD=4，∠DAB=60∘，

AE=BE，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．

(1)求二面角P−EC−D的余弦值；

(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为√6

8

?若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

已知椭圆Γ：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)左顶点M(−2, 0)，离心率为√2

2

．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）过N(1, 0)的直线AB交椭圆Γ于A、B两点，当MA→⋅MB→取得最大值时，求△MAB 面积．