(结构动力学)多自由度体系运动方程
第二章结构动力学分析动力学基础及运动方程的建立
K u P M u
动力平衡法的步骤
1）分析体系各质点所受的真实力和假想惯性力； 2）沿质点各自由度方向列出平衡方程。
动力平衡法的优点
把动力问题变成了人们所熟悉的静力问题。
2.2 运动方程的建立
2.2.2 虚位移原理
虚位移原理：如果一个平衡的体系在一组力的作用 下承受一个虚位移，即体系约束所允许的任何微小 位移，则这些力所作的总功等于零。 虚位移：满足体系约束条件的无限小位移。 理想约束：在任意虚位移下，约束反力所作虚功之 和等于零。
描述体系在运动过程中任意时刻全部质点的位置所需要的独 立几何参数的数目。
y2
y1
平面上的质点 W=2
非刚性悬臂 W=2
EI
刚性梁 W=1
四层结构 W=4
图2.1 动力自由度的确定
几个值得注意的问题
1. 弹性体系的振动自由度
描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬 时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的 自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等 于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与 集中质量数目和超静定次数无关。
d T T V ( ) Q j (t ) , j 1, 2, , n dt q j q j q j
t2
t1
(T V )dt
t2
t1
Wnc d建立体系的运动方程 体系的动能
T
1 2 12 m2 u 2 m1u 2
结构动力学之多自由度体系的振动问题
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
结构动力学思考题解答
结构动力学思考题made by 云屹思考题一1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？主要区别为：(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化；(3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。
运动方程的不同：动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。
2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。
意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。
3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？(1)材料的摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。
5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？如果满足条件：(1)线性问题；(2)重力的影响预先被平衡；则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。
思考题二1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力；m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。
依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？{}[]{}1=2TT u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。
结构动力学3
2)当m1=nm2 , k1=nk2
[(n1)k
2
2
nm2
](k2
2m2
)k
2 2
0
k11=（1+n）k2，k12=－k2
求频率：
2 1 2
1 2
2
1 n
+
4 n
1 n2
k2 m2
求振型：Y2 k11 2m1 (n 1)k2 2nm2
k m
2 2
3 2
5
k m
2.61803 k m
2 1.61803
k m
求振型： ω1→第一主振型：
Y11 k12
Y21 k11 12m1
k
1
2k 0.38197k 1.618
ω2→第二主振型：
Y12 k12
Y22 k11 22m1
k
1
2k 2.61803k 0.618
质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2
m2
k21
1
k2 1 k11
m1
k1
k22 k12
解：求刚度系数：
k2
k1
k11=k1+k2 , k21=－k2 ,
k21
k2
k22
k11
k22=k2 ,
k12=－k2
k12
k
k1 k2
k2
k2
k2
例题：12,2质量m12集2 中kmk1112在楼km2层22 上+m1、12m2km，111层1间km2侧22 k移k12121刚度k1为1k2km211、mkk2122k121k12k22
结构动力学思考题解答by李云屹
结构动力学思考题made by 李云屹思考题一1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？主要区别为：(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化；(3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。
运动方程的不同：动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。
2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。
意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。
3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？(1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。
5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？如果满足条件：(1)线性问题；(2)重力的影响预先被平衡；则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。
思考题二1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力；m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。
依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？{}[]{}1=2TT u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。
【结构动力学】第10章 多自由度体系2020
0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
13
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 14
15
5 DOF with uniform mass and stiffness
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
10
对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
6
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
11
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。
(结构动力学)多自由度体系运动方程
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：
kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表 达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守 力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构 体系的运动控制方程。
下 面 通 过 算 例 来 介 绍 如 何 应 用 Lagrange 方 程 ， 从 算例中可以看到，用Lagrange运动方程建立的运 动方程不限于线性。
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
结构动力学-第四章 MDOF(Part 1)
⎧ u1 ⎫ ⎧φ1 ⎫ ⎧a ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (ωt + θ ) = β ⎨ ⎬ sin (ωt + θ ) ⎩1 ⎭ ⎩u2 ⎭ ⎩φ2 ⎭
结构动力学 第四章 多自由度体系 5 of 42
或者
§4.1 两自由度体系的振动分析
算例 4.1 设 m1 = m2 = 1,000kg , k1 = 1,500 N / m, k2 = 1,000 N / m 求圆频率和振型
{d }1 {d }2
⎧φ1(1) ⎫ = ⎨ (1) ⎬ ⎩φ2 ⎭ ⎧φ1(2) ⎫ = ⎨ (2) ⎬ ⎩φ2 ⎭
用功能互等定理
{ f }1 {d }2 = { f }2 {d }1
将表达式代入并整理后,可得
(ω
结构动力学
2 1
− ω2 2 )( m1φ1(1)φ1(2) + m2φ2 (1)φ2 (2) ) = 0
结构动力学 第四章 多自由度体系 3 of 42 华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
§4.1 两自由度体系的振动分析
为得到非零解，必须有
2 Q (ω ) = m1m2ω 4 − ⎣ ω ⎡ m1k2 + m2 ( k1 + k2 )⎤ ⎦ + k1k2 = 0
方程的解
⎛ ⎡ k 1 k +k ω1 = ⎜ ⎢ 1 2 + 2 − ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎛ ⎡ 1 ⎢ k1 + k2 k2 ⎜ + + ω2 = ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎤⎞ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ + − 4 ⎜ m ⎟ m m1m2 ⎥ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎦⎠ 12 2 ⎞ ⎤ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ ⎜ m + m ⎟ −4mm ⎟ 1 2 ⎠ 1 2 ⎥ ⎝ ⎦⎠
第5章多自由度系统的数值计算方法
第5章多自由度系统的数值计算方法在工程实践中，我们经常会遇到多自由度系统（Multiple Degree of Freedom，简称MDOF）的问题，例如振动台、建筑结构等。
这些系统通常由多个自由度所组成，因此其运动方程会比单自由度系统更加复杂。
因此，我们需要使用数值计算方法来求解这些系统。
在本章中，我们将介绍两种常见的数值计算方法，包括直接积分法和模态叠加法。
一、直接积分法直接积分法，也称为时步法或时间积分法，是一种常用的求解MDOF系统的数值计算方法。
它的基本原理是将多自由度系统的运动方程转换为一组一阶常微分方程。
然后，利用数值积分方法，如欧拉法、Runge-Kutta法等，对这组常微分方程进行求解，得到系统的运动响应。
直接积分法的主要步骤如下：1.确定系统的运动方程：根据多自由度系统的动力学原理，可以得到系统的运动方程。
一般来说，这个方程是非线性方程，通常需要进行线性化处理。
2.将运动方程转化为一阶常微分方程组：将系统的运动方程进行适当的变换，将其转化为一组一阶常微分方程。
这样，就可以使用数值积分方法对其进行求解。
3. 选择数值积分方法：选择适合系统的数值积分方法，例如欧拉法、Runge-Kutta法等。
这些方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代来逼近准确解。
4.进行数值计算：根据选择的数值积分方法，进行迭代计算，得到系统的运动响应。
尽管直接积分法是一种广泛应用的数值计算方法，但也存在一些问题。
例如，随着自由度的增加，计算量会大大增加。
此外，由于数值积分方法的局限性，可能会出现数值不稳定、数值发散等问题。
二、模态叠加法模态叠加法是求解MDOF系统的另一种常用数值计算方法。
该方法基于模态分析的思想，将MDOF系统的运动方程转化为一组无耦合的一自由度系统的运动方程。
然后，按照模态响应的叠加原理，将各个模态的响应相加，得到系统的总体响应。
模态叠加法的主要步骤如下：1.确定系统的模态参数：通过模态分析方法，可以得到系统的模态参数，包括模态频率、振型等。
结构动力学多自由度
pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1
vi
v N
略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
第四章结构动力学多自由度体系详解
此时惯性力
设解为 y1(t) Y1 sin(t )
y2
(t)
Y2
s
in(t
)
幅值
m1y1(t) m1 2Y1 sin(t )
m2
y2
(t
)
m2
2Y2
s
in(t
)
2m1Y1 2m2Y2
Y1 ( 2m1Y1)11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1) 21 ( 2m2Y2 ) 22
振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式，称为主振型。
(k11 2m1
k21Y1 (k22
)Y1 k12Y2
2m2 )Y2
0 0
当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令
D (k11 2m1)
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
第1振型
第2振型
（2）求频率(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22 0
若有 m1 nm2 [(n 1)k2 2nm2 ](k2 2m2 ) k22 0
k1 n k2 （3）求主振型
12
2
1 2
(2
1) n
4 n
1 n2
k2 m2
1 :
Y21 Y11
k22
二、 柔度法
m2 y2 m2
m1y1 m1
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、
y2(t) m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。
y1(t)
y1(t) m1y1(t)11 m2 y2(t)12
y2 (t) m1y1(t) 21 m2 y2 (t) 22
多自由度运动方程的建立
几何刚度影响系数:
kGij 由j自由度单位位移和结构中由轴向力分量
引起的对应于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标的力
（9-16）
§9.3 轴向力的效应 引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向力）为
cv+ kv- k G v = p(t) mv+
cv+ kv = p(t) mv+
或者
（9-18）
（9-13）
结构动力学
第九章
多自由度运动方程的建立
第九章 多自由度体系的运动方程
§9.1 自由度的选择 §9.2 动力平衡条件 §9.3 轴向力的效应
§9.1 自由度的选择
单自由度体系两种描述方法 • 单一的坐标 • 一个变形函数——广义坐标 影响近似分析的精度的因素 主要有： 荷载的空间分布 荷载的时间历程 结构自身的动力特性——刚度、质量及阻尼
§10.1 弹性特性 Betti定律
（10-13） 结构的变形与加荷次序无关，应变能也相等---唯一性、能量守恒
pa vb = pb va
T
T
图10-3 两组独立的荷载系与产生的变位
§10.1 弹性特性 它说明了功的互等定理
pa T vb = pb T va
= p Tfp pa Tfp b b a
1 1 T 荷载a: Waa = pia via = p a v a 2 2 荷载b: Wbb + Wab = 1 p b T v b + p a T v b 2 1 T 1 T T 总和： W1 = Waa + Wbb + Wab = pa va + p b v b + p a v b 2 2
正定/半正定矩阵
多自由度体系的动力响应分析
多自由度体系的动力响应分析多自由度体系的动力响应分析是研究多个质点或刚体组成的系统在外界作用下的运动规律和响应特性的一项重要课题。
多自由度体系是指由多个相对独立的质点或刚体组成的系统，其中每个质点或刚体都可以在三个方向上自由运动，因此系统具有多个自由度。
多自由度体系的动力学方程可由牛顿第二定律推导得出，即∑F = ma，其中∑F 表示作用在系统中各质点上的合力，m 表示质点的质量，a 表示质点的加速度。
根据每个质点的运动规律，可以得到系统在不同自由度上的运动方程。
为了简化多自由度体系动力学方程的求解，常采用试解法和模态分析法。
试解法是假设质点的位置和速度可以用特定的试解函数表示，然后将试解函数代入动力学方程中，从而得到未知系数的值。
模态分析法则是将系统的自由度进行正交分解，得到一组特征向量和特征值，将试解函数表示为特征向量的线性组合。
通过求解特征值问题，可以得到系统的固有频率和模态振型，从而分析系统的动力响应。
自由振动是指在没有外界作用的情况下，多自由度体系在初始时刻给定的初始条件下的运动。
通过求解系统的运动方程，可以得到质点位置随时间的变化规律。
自由振动的特点是系统在固有频率上做周期性的振动，同时各自由度之间存在能量的转移和耦合。
强迫振动是指在外界施加周期性的激励力下，多自由度体系的运动。
外界激励力的形式可以是单频、多频或宽频带等。
通过求解系统的运动方程，可以得到系统在激励力作用下的动力响应。
强迫振动的特点是系统在激励频率附近发生共振现象，振幅会显著增大。
阻尼振动是指当多自由度体系存在阻尼力的情况下的振动。
阻尼力可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种情况。
线性阻尼是指阻尼力与质点速度成正比的情况，非线性阻尼是指阻尼力与质点速度的高阶项有关的情况。
根据阻尼力的形式，可以得到不同类型的阻尼振动方程。
求解阻尼振动方程，可以得到系统的动力响应，包括振动幅值、相位和能量耗散等。
多自由度体系的动力响应分析在工程领域有广泛的应用。
(结构动力学6)多自由度体系运动方程49
k2N
k NN
uuN2
K
u
{fs}称为弹性恢复力向量， [k]称为刚度矩阵， {u}—称为位移向量。
6.1 直接平衡法
对于三层结构， 刚度矩阵为：
k1 k2
K
k2
0
k2 k2 k3
k3
0
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
式中:
t2 (T V )dt
t1
t2 t1
直接平衡法
在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直 接平衡法的基本概念和实施技术，可能不加证明地给 出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵的表 达式。我们可以直接应用这些矩阵完成远动方程的建 立和分析计算，最主要的是知道这些矩阵中每一个元 素的物理意义。目的是在建立多自由度体系运动方程 后，可以快速地进入对多自由度体系动力反应特点和 分析方法的了解和总的把握。与前面刚讲完的单自由 度体系运动问题分析方法有一个较好的衔接，而不是 花太多的时间讲有关单元矩阵的建立。而单元刚度阵、 质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布 参数系统分析方法中逐步得到学习。
结构动力学(运动方程)
c
fe
m
P(t)
fd
m fI
P(t)
f I mu
f d cu
f e ku
因此由所示“外力”平衡可得
cv ku P (t ) mv
由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运 动方程的最终形式都是一样的。
2.2 运动方程建立举例
单自由度体系运动方程建立小结 任何单自由度结构，运动方程都可写为
m P( t ) l/2 l/2
f I mv
fd cv
2.2 运动方程建立举例
m l/2
2.2.1 单自由度体系运动方程 l/2 例-5) 若例-2)简支梁动荷载作用在3l/4处, 试建立其运动方程 解：将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达 作业： fd 朗泊尔原理和阻尼假定 fd cv P f-I1的 P(t) f I mv 仅在P(t)作用下m的位移由位移计算得 l/2 l/2 物理意义
m P( t ) l/2 l/2
fc ) vv P (( tt )) ) (( P f m dv Iv
2.2.1 单自由度体系运动方程 m 例-3) 试建立图示结构的运动方程。 P(t) h EI 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能 产生水平位移。设质量m位移为u，向 u 右为正。根据达朗泊尔原理和假设的 P(t) m u 阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受 力如图。 h cu 显然，整理 由超静定位移计算可得（如图示意） 3 後结果和例 h -1）相同， 24EI 1 h k= -1 因此，外力下位移为 M1
2 ，仅由弹簧的应变能表达的位能为 例：根据定义，体系的动能为 T (1/ 2)mu V (1/ 2)ku 2 ；该体系的非保守力为阻尼力 f D 和外荷载 p(t ) ，这些力所做功的变分 δu ，将以上各式代入哈密尔顿原理表达式，经相应的变分和整理 为 δwnc p(t )δu cu
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mij—由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力
即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自 由度加速度为零时，所需要的力。
6.1 直接平衡法
对于三层结构，
m1 0 0
忽略柱的质量，
M
0
m2
0
体系的质量矩阵为：
0 0 m3
6.1 直接平衡法
如果柱的质量不能忽略，则{M}的非对角线元素将不恒为
零。柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中 m
为柱的质量线密度。
6.1 直接平衡法
若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可 以建立如下阻尼力向量的计算公式：
f D1 c11 c12
fD
fD2 f DN
c21
cN1
c22 cN 2
c1N u1
c2N
cNN
6.1 直接平衡法
首先复习一下结构力学中的刚度阵法（矩阵位移法） 如果为N层结构，自由度为N，每一楼层有集中质量mi，
外荷载pi，层间刚度ki，各层的水平运动为ui，i=1, …, N。这个层间模型也可以转化成质点—弹簧模型。
6.1 直接平衡法
应用d’Alember原理
fI i fDi fsi pi (t), i 1, 2, N
结构动力学
（2010）
结构动力学
第六章
多自由度体系的运动方程
第六章 多自由度体系的运动方程
以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运动仅需 一个运动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得 到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如二层以 上的框架结构、多跨及大跨梁结构、平面网架结构等 等。
u2
uN
C
u
其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，{ú}为速度 向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物 理意义：
cij—由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力
结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如 与刚度成正比等。
6.1 直接平衡法
外荷载向量可写成 ：
fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：
kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
直接平衡法
在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直 接平衡法的基本概念和实施技术，可能不加证明地给 出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵的表 达式。我们可以直接应用这些矩阵完成远动方程的建 立和分析计算，最主要的是知道这些矩阵中每一个元 素的物理意义。目的是在建立多自由度体系运动方程 后，可以快速地进入对多自由度体系动力反应特点和 分析方法的了解和总的把握。与前面刚讲完的单自由 度体系运动问题分析方法有一个较好的衔接，而不是 花太多的时间讲有关单元矩阵的建立。而单元刚度阵、 质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布 参数系统分析方法中逐步得到学习。
fIi—惯性力； fDi—阻尼力； fsi—弹性恢复力； pi—外力。
fI1
p1(t)
fI
fI 2
p(t
)
p2 (t)
f IN
pN (t)
共有N个方程，上式也可以写成矩阵形式。
fI fD fs p(t)
6.1 直接平衡法
弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一 般表达式为：
p1(t)
p(t
)
p2 (t)
pN (t)
其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。
k1 k2
K
k2
0
k2 k2 k3
k3
0
k3
k3
6.1 直接平衡法
对于惯性力也可以用矩阵的形式表达：
f I1 m11
fI
f I 2 f I 3
m21
mN1
m12 m22
mN2
m13 u1
m2N
mNN
uuN2
M
u
其中{fI}称为惯性力向量，{M}称为质量矩阵，{ü}为加速 度向量。质量矩阵中的系数mij为质量影响系数，简称质 量系数或质量，它的含义是：
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式，
fs1 k11 k12
f
s
fs2 fsN
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
kN1
k22 kN2
{fs}称为弹性恢复力向量， [k]称为刚度矩阵， {u}—称为位移向量。
k1N u1
k2N
k NN
uuN2
K
u
6.1 直接平衡法
对于三层结构， 刚度矩阵为：
第六章 多自由度体系的运动方程
虽然在一些简单的估算中可以采用广义坐标法将一个多
自由度体系化为单自由度问题求得近似解，例如多层 结构抗震设计时采用的简化分析方法—基底剪力法。 对于一个烟囱，也可以采用如下形函数，
(z) 1 cos z
2H
u(t) (z)q(t)
化为一个单自由度问题进行初步分析，其中H为烟囱的 高度，z为位置坐标，而q(t)为广义坐标。如果形函数 取得较好，而外荷载又按某一形式分布，则用等效单