直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)

2 2 2
k
(1＋ 2)[(y1＋y2) －4y1y2].
1
2
k
2 2 x y 1.直线y=kx-k+1与椭圆 1 的位置关系为( A 9 4
)
(A) 相交
(B) 相切
(C) 相离
(D) 不确定
2. 已知双曲线方程 x2-y2=1，过 P(0 ， 1)点的直线 l与双曲线 只有一个公共点，则l的条数为( A ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
2
b x0 y1－y2 y1＋y2 b 两式相减可得 · ＝－ 2，即 kAB＝－a2y0 . x1－x2 x1＋x2 a x2 y2 b 2 x0 类似的可得圆锥曲线为双曲线 2－ 2＝1 时，有 kAB＝ 2 . a b a y0
2
2
2px0
2 圆锥曲线为抛物线 y ＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线 条数是( D )
(A)0
y x
(B)1
(C)2
(D)3
y
0
x
0
(2009· 福建)已知双曲线
x2
12
－ ＝1 的右焦点为 F， 若过点 F 的直线 4
y2
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围 (
3 3 3 3 )A．(－ ， ) B．(－ 3， 3)C.－ ， [－ 3， 3] D． 3 3 3 3
2
• 规律总结：探索性试题常见的题型有两类： 一是给出问题对象的一些特殊关系，要求解 题者探索出一般规律，并能论证所得规律的 正确性，通常要求对已知关系进行观察、比 较、分析，然后概括出一般规律．
•二是只给出条件，要求解题者论证在此条件下会不会出 •现某个结论． •这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在” •“是否存在”等语句表述． •解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在假设， •然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证， •若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾， •则否定了存在性．
一知识与方法
直线与圆的位置关系: 1)相离 2)相切 3)相交
2）相切
几 何 角 度
直线与圆锥曲线的位置关系:
1）相离
没有交点
3）相交
有一个交点
有一个交点
有两个交点
x2 y 2 直线l绕着点(0，3)旋转过程中，与椭圆 1 4 3
的交点情况如何？L的斜率变化情况如何？
y
l
3
-2 L2相切 L3相交
若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意 一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、kPN 时， 求证：kPM·kPN 是与点 P 位置无关的定值．
2
2
x2 y2 解析：设点 M(m，n)是椭圆 2＋ 2＝1①上的任一点， a b m2 n2 N(－m，－n)是 M 关于原点的中心对称点，则 2＋ 2＝1.② a b
2
a＋1 2 (2)当 a≠0 时，消去 x，得 y －y－1＝0. a a＋1 ①若 ＝0，即 a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0， a
x＝－1， 方程组恰有一组解 y＝－1.
②若
Fra Baidu bibliotek
a＋1 ≠0，即 a≠－1，令Δ＝0， a
4(a＋1) 4 得 1＋ ＝0，可解得 a＝－ ，这时直线与曲线相切，只有一个公共点． a 5 4 综上所述知，当 a 为 0，－1，－ 时， 5 直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
故 kPM·kPN 与 P 的位置无关．
(1)对归纳型问题，要通过观察、比较、分析、抽 象、概括、猜测来完成； (2)对存在性问题，从适合条件的结论存在入手， 找出一个正确结论即可．
已知椭圆 C 的两焦点 F1(－2 2，0)、F2(2 2，0)． (1)当直线 l 过 F1 且与椭圆 C 交于 M、N 两点，且△MF2N 的周长 为 12 时，求 C 的方程； (2)在满足(1)的条件下，是否存在直线 m 过 P(0,2)点与椭圆 C 交于 A、B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点． 若存在，求直线 m 的方程；若不存在，说明理由．



直线与圆锥曲线的位置关系
2.直线与双曲线的位置关系:
x y 设直线与双曲线方程分别为: y=kx+m与 2 2 1 : a b
(1)若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点. (2)若直线与渐近线重合, 则相离即没有交点. y=kx+m (3)若直线与渐近线相交,联立方程组 2 2 2 2 2 2 b x -a y =a b 消去y得: Ax2+Bx+C=0 故①△>0
(2)设直线 m 的方程为 y＝kx＋2(k≠0 且 k 存在)， kx＋2， y＝ 联立方程组x2 2 解得 x2＋9(kx＋2)2＝9， ＋y ＝1， 9 即(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0.
∵直线 m 与椭圆交于 A、B 两点， 3 3 ∴Δ＝(36k) －4×27(1＋9k )＞0，即 9k －3＞0，∴k＞ 或 k＜－ .(*) 3 3
解析：(1)由条件知 c＝2 2，又△MF2N 的周长为 12， ∴12＝|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a.
x2 2 ∴a＝3，b＝1.∴椭圆的方程为 ＋y ＝1. 9
已知椭圆 C 的两焦点 F1(－2 2，0)、F2(2 2，0)． (2)在满足(1)的条件下，是否存在直线 m 过 P(0,2)点与椭圆 C 交于 A、B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点． 若存在，求直线 m 的方程；若不存在，说明理由．
.
x2 y2 1 被点 求椭圆 9 4
Q(2,1)平分的弦 AB
所在的直线方程
.
已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，
1 左焦点为 F ( 3,0) ,右顶点为 D(2,0) ,设点 A 1, 2 （1）求该椭圆的标准方程；
2）若
是椭圆上的动点，求线段PA 中点 的轨迹方程；
三、弦的中点问题
x y 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 2＋ 2＝1 上不同的两点， a b
x ＋y ＝1， a b 且 x1≠x2， x1＋x2≠0， M(x0， y0)为 AB 的中点， 则 2 2 x2 y2 2＋ 2＝1. a b
2 1 2 2 1 2
2
x
直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系: 2 2 x y 设直线与椭圆方程分别为: y=kx+m与 2 2 1: a b y=kx+m 联立方程组 2 2 2 2 2 2 消去y得: Ax2+Bx+C=0 b x +a y =a b 相离 (1)△>0 相交 (2)△=0 相切 (3)△<0
两式相减得 (x1＋x2)(x1－x2)＝－(y1＋y2)(y1－y2)， 2
y 1 － y2 1 x 1 ＋ x2 即 ＝－ · ， x 1 － x2 2 y 1 ＋ y2
1 1 则 k1＝－ ，即有 k1·k2＝－ ， 2k2 2
x y 设 F1、F2 分别为椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点． a b
解析：如图，设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
1 C. 2
1 D．－ 2
x1＋x2 y1＋y2 y1＋y2 则 P1P2 的中点 P( ， )，则 k2＝kOP＝ ， 2 2 x1＋x2
2 x2 2 x2 x 1 2 2 2 又因为 P1，P2 在椭圆 ＋y ＝1 上，所以有 ＋y1＝1， ＋y2 ＝1， 2 2 2 1
3
2
x
L4相切
x2 y 2 直线L绕着点(0，3)旋转过程中，直线L与双曲线 1 4 3
的 交点情况如何？L的斜率变化情况如何？
L4 L3 y L2 3 L1
-2
2
x
直线L绕着点(-1，3)转过程中，直线L与抛物线
的交 点情况如何？L的斜率变化情况如何？
L 3 L2
y 4x
2
y L1
2
2
相交
②△=0
相切
③△<0
相离
直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切; 相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
O
X
若直线与渐近线平行, 则相交且只有一个交点.
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程



yy
y
y
o o
F F
x x
o
F
x
o
F
x
3.直线与抛物线的位置关系: 设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:
(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点. y=kx+m 2+Bx+C=0 (2)若直线与对称轴相交, 由 2 得 : Ax y =2px 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0
x2 y2 3 又由双曲线方程 － ＝1，有双曲线的渐近线方程为 y＝± x， 12 4 3
3 3 ∴有－ ≤k≤ . 3 3
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值． y＝(a＋1)x－1， x＝1， • 分析：先用代数方法即联立方程组解决，再从几何上验 解析： 联立方程组 (1)当 a＝0 时， 此方程组恰有一组解为 y ＝ax. y＝0. 证结论．
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
3.直线与抛物线的位置关系: 设直线与抛物线方程分别为: y=kx+m与y2=2px:
(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点. y=kx+m 2+Bx+C=0 (2)若直线与对称轴相交, 由 2 得 : Ax y =2px 相离 相交 ②△=0 相切 ③△<0 故①△>0
2 2 2
设 A、B 两点的坐标是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 36 27 则 x1＋x2＝－ 2 ，x 1 ·x 2 ＝ 2. 1＋9k 1＋9k 由于以 AB 为直径的圆过原点，∴x1x2＋y1y2＝0， 即 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.
∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0， 27(1＋k ) 72k2 31 即 ，满足(*)式． 2 － 2＋4＝0，解得 k＝± 3 1＋9k 1＋9k ∴满足条件的直线 m 存在，且直线 m 的方程为： 31x－3y＋6＝0 或 31x＋3y－6＝0.
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴， 此时焦点弦也叫通径。
=
3．设直线 Ax＋By＋C＝0 与圆锥曲线 f(x，y)＝0 相交于 A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则弦长
|AB|＝ 1＋k |x1－x2|＝ (1＋k )[(x1＋x2) －4x1x2] ＝ 1＋ 2|y1－y2|＝ 1



所以“直线与抛物线或双曲线有一个 公共点是直线与抛物线或双曲线相切 的必要不充分条件”
把直线方程代入圆锥曲线方程
得到一元一次方程
抛物线， 直线与 对称轴平行 或重合
得到一元二次方程 计算判别式
双曲线， 直线与 渐近线平行
>0
相交
=0
相切
<0
相离
相交1
相交1
2
1
0
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
P
.
M
（3）过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C
求 ABC 面积的最大值。
过点 M(－2,0)的直线 m 与椭圆 ＋y ＝1 交于 P1，P2 两点，线段 P1P2 2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k1≠0)，直线 OP 的斜率为 k2，则
x2
2
k1k2 的值为
(
)
A．2
B．－2
又设 P(x，y)是椭圆上任一点，且 kPM·kPN 存在．
y－n y＋n y － n y ＋ n y 2 － n2 则 kPM＝ ， kPN＝ ，∴kPM·kPN＝ · ＝ 2 2. x－m x＋m x－m x＋m x －m
x2－m2 y2－n2 y2－n2 b2 ①－②，得 2 ＋ 2 ＝0, 2 2＝－ 2， a b x －m a b2 ∴kPM·kPN＝－ 2. a