二次根式与勾股定理
二次根式于勾股定理结合类型
二次根式于勾股定理结合类型
二次根式和勾股定理是高中数学中常见的两个概念，它们之间没有直接的结合类型。
但是在解决一些具体的几何问题时，可能会涉及到同时使用二次根式和勾股定理。
二次根式是指形如√a的数，其中a为正实数。
二次根式在几何中常用于表示长方形或正方形的边长、三角形的边长和高度等。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边长度的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，若AB为直角边，AC和BC为其它两边，则有：AB² = AC² + BC²。
结合二次根式与勾股定理的应用通常是通过勾股定理解决直角三角形问题时，其中出现的边长或高度可能包含二次根式，需要对其进行计算。
举例来说，假设在一个直角三角形ABC中，AC = 2√3，BC = √6，求AB的长度。
根据勾股定理，有AB² = AC² + BC²，代入数值得到AB² = (2√3)² + (√6)² = 12 + 6 = 18，因此AB = √18 =
3√2。
在这个例子中，二次根式和勾股定理结合使用，通过勾股定理得到了AB的长度。
二次根式与勾股定理
图5
例 7 如图 6，在 △ABC 中， AB AC 2 ， BC 边上有 100 个不同的点 P1，P2，…，P100 ，
记 mi APi 2 BPi PiC(i 1,2,，100），求 m1 m2 … m100 的值．
A
B Pi D
C
图6
学高为师、身正为范！
专注个性化教育
二次根式
学高为师、身正为范！
专注个性化教育
5、勾股定理及其逆定理的应用（重点）
①用于求线段的长；②用于求角的度数；③用于求面积；④用于判定三角
C
形的形状；⑤用于证明两线段垂直；⑥用于证明几条线段间的等量关系；
⑦用于求值 B
6、“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图
DA
形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角
例 5 如图 4，正方形 ABCD中， AE BE，AF 1 AD ，求证： CE EF ． 4
AF
D
E
B
C
图4
用于证明几条线段间的等量关系 例 6 如图 5，在△ABC 中， BAC 90，AB AC ， D 是 BC 上的点． 求证： BD2 CD2 2AD2 ．
A
用于求值
B
E
D
C
60
2
D
1 30
B
C
E
图3
用于判定三角形的形状
例 4 若 三 角 形 的 三 条 边 a，b，c 满 足 关 系 式 a4 b2c2 a2c2 b4 0 ， 则 此 三 角 形 形 状
是
．
学高为师、身正为范！
变式：若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。
二次根式,勾股定理,四边形,一次函数.doc
二次根式，勾股定理，四边形，一次函数知识点：二次根式1、二次根式二次根式必须满足：含有二次根号，被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
第十七章勾股定理知识点：直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余，2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，4、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，知识点：直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
知识点：锐角三角函数的概念1、在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，2、锐角三角函数的概念------锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数，3、各锐角三角函数之间的关系:（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)，（2）倒数关系tanAtan(90°—A)=14、锐角三角函数的增减性:当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），知识点：解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
小学数学教学备课教案二次根式与勾股定理的应用与证明
小学数学教学备课教案二次根式与勾股定理的应用与证明一、二次根式的引入与概念在小学数学教学中，二次根式是一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。
在本次备课教案中，我们将重点讨论二次根式的应用与证明。
首先，我们需要引入二次根式的概念。
二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。
它表示的是满足b^2=a的非负实数b。
例如，√9=3，√16=4。
在小学数学教学中，我们通常以一些生动有趣的例子来引入二次根式的概念，使学生能够更好地理解。
二、二次根式的应用（段落内容自行发挥）三、勾股定理的引入与概念经过引入二次根式的概念后，我们将进一步引入勾股定理的概念及其应用。
勾股定理是三角形中最为重要的定理之一，它能够帮助我们求解各种与三角形有关的问题。
勾股定理的概念是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边上的各自长度的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，如果AB是直角边，AC和BC是两条其他的边，那么有AB^2=AC^2+BC^2。
这个定理在数学中应用广泛，并且有着许多的证明方法。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明是数学中的一个重要环节。
通过证明勾股定理，我们可以帮助学生理解和掌握这个定理的本质，并且培养他们的证明能力。
在小学数学教学中，我们可以通过几何证明、代数证明等不同的方法来证明勾股定理。
例如，几何证明可以利用平行线、相似三角形等几何性质来证明；代数证明可以利用二次根式的概念、代数运算等方法来证明。
通过多种证明方法的引入，可以让学生在不同的思维方式中灵活运用，提高他们的数学思维能力。
五、二次根式与勾股定理的应用与证明实例在教学中，我们可以选取一些实际问题来应用和证明二次根式与勾股定理。
例如，可以选择一道题目：“甲乘以2的二次根式等于乙，乙的平方加上5等于丙，求丙的值。
”让学生运用二次根式和勾股定理的知识来解答这道问题，并进行证明过程的讲解。
通过这样的实例训练，可以帮助学生将二次根式与勾股定理应用于实际问题中，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
二次根式及勾股定理的知识点总结
二次根式的知识点知识点一：二次根式的概念形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，√(x－1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即√a≥0(a≥0)。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a＋√b=0，则a=0,b=0；若√a＋|b|=0，则a=0,b=0；若√a＋b2=0，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（√a）的性质(√a)2=a(a≥0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2.知识点五：二次根式的性质√a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简√a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即√a2=|a|=a (a≥0)；若a是负数，则等于a的相反数-a,即√a2=|a|=－a (a﹤0)；2、√a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，√a2一定有意义；3、化简√a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。
新人教版八年级下册二次根式及勾股定理测试题
二次根式与勾股定理测试题一、选择题1. 若为二次根式, 则m 的取值为 （ ）A. m ≤3B. m ＜3C. m ≥3D. m ＞32. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个3．当有意义时, a 的取值范围（ ）A ．a ≥2 B ．a ＞2 C ．a ≠2 D ．a ≠－24. 下列计算正确的是 （ ） ①69494=-⋅-=--))((；②69494=⋅=--))((； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 5．对于二次根式, 以下说法不正确的是 （ ） A. 它是一个正数 B. 是一个无理数C. 是最简二次根式 D. 它的最小值是3 6. 把分母有理化后得（ ）A. B. C. D. 7．下列二次根式中, 最简二次根式是（ ）A ． B ． C ． D ． 8. 化简二次根式得（ ）A. B. C. D. 309.下列几组数中, 不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A.1.5, 2, 2.5 B.3, 4, 5 C.5, 12, 13 D.20, 30, 4010、如图, 在Rt△ABC中, ∠B＝90°, BC＝15, AC＝17, 以AB为直径作半圆, 则此半圆的面积为（）. A. 16π B. 12π C. 10π D. 8π11.已知直角三角形两边的长为3和4, 则此三角形的周长为（）．A. 12B. 7＋C. 12或7＋D. 以上都不对12.如图, 梯子AB靠在墙上, 梯子的底端A到墙根O的距离为2m, 梯子的顶端B到地面的距离为7m, 现将梯子的底端A向外移动到A′, 使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m. 同时梯子的顶端B下降至B′, 则BB′（）. A. 小于1m B. 大于1m C. 等于1m D. 小于或等于1m 13.将一根24cm的筷子, 置于底面直径为15cm, 高8cm的圆柱形水杯中, 如图所示, 设筷子露在杯子外面的长度为hcm, 则h的取值范围是（）．A. h≤17cmB. h≥8cmC. 15cm≤h≤16cmD. 7cm≤h≤16cm14. 、如图, , 且, , , 则线段AE的长为（）；A. B、 C、 D、（第14题）15.如图, 一块直角三角形的纸片, 两直角边AC=6㎝, BC=8㎝, 现将直角边AC沿直线AD折叠, 使它落在斜边AB上, 且与AE重合, 则CD等于（）；A.2㎝B.3㎝C.4㎝D.5㎝16、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）...A 、6cm2 B 、8cm2C 、10cm2D 、12cm2二、填空题1. 当x___________时, 在实数范围内有意义. 当x 时,式子有意义2. 比较大小: ______;3. ____________；__________.4. 当a=时, 则______;5. 若成立, 则x 满足___________. 6、如图, 矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图, △ABC 中, AC ＝6, AB ＝BC ＝5, 则BC 边上的高AD ＝______. 7.已知: , 则 。
初二数学二次根式与勾股定理
初二数学二次根式与勾股定理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初二数学二次根式与勾股定理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初二数学二次根式与勾股定理的全部内容。
二次根式【知识要点】1. 二次根式的有关概念（1）二次根式：形如 （ a ≥0 )的式子叫做二次根式。
（2）最简二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 练习:化简：（1)= ；（2)= ;（3)= ；(4）= .（5) 下列的根式中，属最简二次根式的是（A B 。
D 。
（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.若最简二次根式与是同类二次根式，则m = 。
2.； ⑵ （≥0） ⑶； ⑷ （）; ⑸ （） 3. 分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化。
练习：化简:；1. 中，字母a的取值范围是__________．2.________．3. 当时，在实数范围内有意义．4. 的倒数是 ；的绝对值是 ．5.的有理化因式是，的有理化因式是 ．6.7.当时，化简的结果是_________．8.化成最简二次根式，结果是___________．9. ，则___________．a 121824482)9(+x 3m 2()=2a a =2a =ab 0,0≥≥b a=b a0,0>≥b a =⨯⨯=333131()()()=-+-⨯=+1212121121x 12x <<1x -+(a b -ab =10.,且＜，化简：。
二次根式勾股定理知识点复习优秀版
二次根式勾股定理知识点复习优秀版第十六章：二次根式一、二次根式的意义及性质：题组1：（二次根式的识别：式子a （0a ≥），叫做二次根式）1．下列各式中，是二次根式的有_________________________。
（填序号） ①7； ②9； ③2a ； ④22x +； ⑤3-； ⑥()25-；⑦221x --； ⑧221n +； ⑨21x +； ⑩39； 题组2：（二次根式有意义的条件a （0a ≥））1．当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）32x -______；（2）121x -______；（3）421xx -+_________；（4）23x +_______；（5）a -______。
（6）；（745++x x2．已知225y x x --，则2x y -的值是_______________。
题组3：0a ） 1．若|2|30x y +-3x y-的值是_________；题组4：（二次根式的性质：2(0)a a a =≥，2||a a =）1．计算：23=_____；(232=_______；(20.2-=______；223⎛ ⎝=_______；2．在实数范围内因式分解：（1）22x -=_______________；（2）49x -=________________。
320.3；223⎛⎫- ⎪⎝⎭210-()23.14π-。
4．若()21221x x --，则x 的取值范围是____________。
题组5：（最简二次根式和同类二次根式）1．在根式①22b a + ②5x ③xy x -2④ abc 27中，最简二次根式是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 2．下列二次根式中，可以合并的是 （ ） A ．23a a a 和B ．232a a 和C ．aa a a 132和 D ．2423a a 和 二、二次根式的运算：题组6：a b ab （0a ≥，0b ≥）a abb ⇔0a ≥，0b >）） 1. 12；242331538a b ； 21820758151354273-．1240.568- 4、1486274÷．(3513224a a a -()233223327.先化简，再求值：11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ．第十七章：勾股定理一、知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
勾股定理及二次根式综合复习（含答案）
勾股定理及⼆次根式综合复习（含答案）勾股定理及⼆次根式复习⼀、知识梳理：（⼀）勾股定理：1、勾股定理定义：如果直⾓三⾓形的两直⾓边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅勾：直⾓三⾓形较短的直⾓边股：直⾓三⾓形较长的直⾓边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三⾓形的三边长a ，b ，c 有下⾯关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
2. 勾股数：满⾜a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15；5,12,13 3. 判断直⾓三⾓形：如果三⾓形的三边长a 、b 、c 满⾜a 2+b 2=c 2 ，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
（经典直⾓三⾓形：勾三、股四、弦五）其他⽅法：（1）有⼀个⾓为90°的三⾓形是直⾓三⾓形；（2）有两个⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形。
⽤它判断三⾓形是否为直⾓三⾓形的⼀般步骤是：（1）确定最⼤边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直⾓的三⾓形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三⾓形为钝⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三⾓形为锐⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）4.注意：（1）直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半（2）在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半。
（3）在直⾓三⾓形中，如果⼀条直⾓边等于斜边的⼀半，那么这条直⾓边所对的⾓等于30°。
5. 勾股定理的作⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边；（2）已知直⾓三⾓形的⼀边，求另两边的关系；（3）⽤于证明线段平⽅关系的问题；（4）利⽤勾股定理，作出长为n 的线段. （⼆）⼆次根式：1.⼆次根式的概念：形如a （a≥0）的式⼦叫做⼆次根式（⼆次根式中，被开⽅数⼀定是⾮负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）2.最简⼆次根式：同时满⾜：①被开⽅数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开⽅数中不含能开得尽⽅的因数或因式．这样的⼆次根式叫做最简⼆次根式． 3. 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式后，如果被开⽅数相同，这⼏个⼆次根式就叫同类⼆次根式． 4．⼆次根式的性质：①a a ≥≥00（）②()a a a 20=≥（）③a aa aaa a200==>=-<||（）（）（）④ab a b a b=?≥≥（，）00⑤babaa b=>≥（，）005．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有⼆次根式的代数式相乘，?若它们的积不含⼆次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.⼆次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开⽅数中有的因式能够开得尽⽅，那么，就可以⽤它的算术根代替⽽移到根号外⾯；如果被开⽅数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外⾯，反之也可以将根号外⾯的正因式平⽅后移到根号⾥⾯．（2）⼆次根式的加减法：先把⼆次根式化成最简⼆次根式再合并同类⼆次根式．（3）⼆次根式的乘除法：⼆次根式相乘（除），将被开⽅数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开⽅数并将运算结果化为最简⼆次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适⽤于⼆次根式的运算．7.使分母不带根号（分母有理化）常⽤⽅法：①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。
初中八年级下册数学知识点
初中八年级下册数学知识点
1. 勾股定理：勾股定理是一个基本的几何定理，用于描述直角三角形中三条边的关系。
在八年级下册，学生将学习如何使用勾股定理解决实际问题。
2. 二次根式：二次根式是数学中的一种表达式，表示一个数的平方根。
学生需要掌握二次根式的性质、运算规则以及与实数的关系。
3. 一元二次方程：一元二次方程是包含一个未知数的二次方程。
学生需要掌握一元二次方程的解法、应用以及与现实生活的关系。
4. 平面直角坐标系：平面直角坐标系是一个基本的数学工具，用于描述平面上的点的位置。
学生需要掌握如何使用坐标系表示点的位置，以及如何通过坐标系解决实际问题。
5. 一次函数与反比例函数：一次函数和反比例函数是两种基本的函数形式。
学生需要掌握它们的性质、图像以及在实际生活中的应用。
6. 数据的收集与整理：学生需要掌握如何收集和整理数据，以及如何使用图表来表示数据。
这将帮助他们更好地理解和分析现实生活中的问题。
以上是初中八年级下册数学的主要知识点。
在学习过程中，学生需要注重理解和应用，通过大量的练习来巩固所学知识。
八年级数学下册期中专题复习学案(二次根式,勾股定理,平行四边形)(有答案)【精品】
《第十六章二次根式》专题复习知识结构图重难点 1 二次根式有意义的条件例1．若式子m＋1＋(m－2)0有意义，则实数m的取值范围是( ) A．m＞－2 B．m＞－2且m≠1C．m≥－1 D．m≥－1且m≠2【方法指导】1．使得式子x4－x有意义的x的取值范围是( )A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜42.要使式子x＋3x－1＋(x－2)0有意义，则x的取值范围为．3．使代数式1x＋3＋4－3x有意义的整数x有．重难点2 二次根式的非负性例2. 若a－1＋b2－4b＋4＝0，则ab的值等于( )A．－2 B．0 C．1 D．2【方法指导】这类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0，从而构造方程求未知数的值，通常利用的非负数有：(1)||x≥0； (2)x2≥0； (3)x≥0.针对练习：4．若a ＋b ＋5＋|2a －b ＋1|＝0，则(b －a )2 020＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－52 020 D ．52 0205．已知y ＝x －4＋4－x ＋2，则 xy的值为 ．6．已知|a －5|＋b ＋3＝0，那么点P (a ，b )在第 象限． 7.已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：()()b a b a ---++22123.重难点3 二次根式的运算例3．计算：()22331312-+⨯-【方法指导】二次根式的运算中，多项式乘法法则、除法法则以及乘法公式仍然适用． 针对练习： 8．计算： （1）4821319125+- （2）()()2222336-++- （3）()()362546322÷++-重难点 4 与二次根式有关的化简求值例4. 先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--y x x y xy x xy x x y 1122222，其中32,32-=+=y x .将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算． 针对练习：9．先化简，再求值：12212122++-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---a a a a a a aa ，其中2=a .重难点 5 与二次根式有关的规律探究例5．先阅读，再解答：由()()()()235353522=-=-⋅+可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可能不含有二次根式．在进行二次根式计算时，可以利用这种运算规律化去分母中的根号，例如：()()23232323231-=-+-=+，根据以上运算请完成下列问题：(1)2019-2017(填“＞”或“＜”)； (2)利用你发现的规律计算下面式子的值：()12019201820191341231121+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++++．针对练习：10.观察下列各式：514513,413412,312311=+=+=+,…，请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的代数式表示出来： ．《第十七章 勾股定理》专题复习。
八年二次根式、勾股定理综合复习经典知识讲解
学习过程一、知识点复习讲解1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）==a a25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222a b c+=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明0 （勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形， 化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用cba HG F EDCBAbacbac cabcab a bc cbaE D CBA①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角 边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C二、例题精析与课堂运用 第一部分：二次根式【例题】【历年考点例析】 考点1、无理数知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。
二次根式与勾股定理综合辅导(精)
1第一部分 勾股定理题型拓展练习一、利用勾股定理求边长1、在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
2、在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
3、在Rt △ABC ，∠C=90°，c=25，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
4、平面直角坐标系中点)4,3(-P 到原点的距离为 个单位长度。
5、平面内点)5,1(-M 到点)7,6(N 的距离（即线段MN 的长）为 。
6、已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
二、利用勾股定理求面积(一)多边形中如果有90度，直接连直角三角形7、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，∠A ＝60°，∠ADC ＝150°，∠ABC ＝90°，求四边形ABCD 的面积。
8、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠ A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，求四边形ABCD 的面积。
（二）已知三角形的三边求面积9、等腰三角形10、非等腰三角形（做不出来？换一边作高试试） （三）已知三角形两边及夹角求面积 11、 如图，AB=AC=10,A ∠=o 150,求ABC ∆的面积。
（四）已知两角及一边 12、 如图，AC=10,,A B ∠=∠=o o 4530求ABC ∆的面积。
三、图形折叠问题13、如下左图，矩形ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，抓痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为14、如上右图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为 ，△DEB 的面积为 。
15、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．求此时AD 的长．16、如图，已知P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数。
2023苏州中考数学考点
2023苏州中考数学考点苏州中考数学考点二次根式、勾股定理、四边形、一次函数和数据的分析。
(1)二次根式(2)勾股定理：解直角三角形，解直角三角形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考察题型为选择题，填空题，应用题为主，分值一般8-12分，难易度为难。
【考察内容】①常见锐角的三角函数值的计算②根据图形计算距离，高度，角度的应用题③根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题。
(3)四边形：初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。
【考察内容】①多边形的内角和，外角和等问题②图形的镶嵌问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。
(4)一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。
中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。
甚至有存在探究题目出现。
【考察内容】①会画一次函数的图像，并掌握其性质。
②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。
(5)数据的分析二次函数、一元二次方程、旋转、圆和概率初步。
(1)二次函数：二次函数的图像和性质是中考数学命题的热点，难点。
试题难度一般为难。
常见选择，填空题分值为3-5分，综合题分值为10-12分。
【考察内容】①能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
②能用数形结合，归纳等熟悉思想，根据二次函数的表达式(图像)确定二次的开口方向，对称轴和顶点的坐标，并获得更多信息。
③综合运用方程，几何图形，函数等知识点解决问题。
(2)一元二次方程：中考分值约为3-5分，题型主要以选择，填空为主，极少出现简答，难易度为易。
【考察内容】①方程及方程解的概念②根据题意列一元一次方程③解一元一次方程。
(3)旋转：图形的平移，旋转是中考题的新题型，热点题型，在试题比重，逐年上升。
人教版 八年级数学下册二次根式、勾股定理 综合测试卷 (含答案解析)
（2）当﹣4＜x＜1时，化简 ﹣2 ．
21.一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？
22.综合题
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
A. B. C. D.
2.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1 B. x＜1 C. x≥1 D. x≤1
3.下列变形中，正确的是（ ）
A.（2 ）2=2×3=6 B.
C. D.
4.下列组合哪个不是勾股数（）
A.30,40,50 B.7,24,25 C.5,12,13 D.1,2,3
【解析】【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件可得x的值，进一步得到y的值，代入 得到它的平方根；
（2）由于﹣4＜x＜1，根据完全平方公式和二次根式的性质得到 ﹣2 =|x+4|﹣2|x﹣1|，再去绝对值化简即可．
21.【答案】解：不对．
理由：如图，依题意可知
AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，
22.【答案】（1）解： ，
，
故 ＜
（2）解： ，
，
故 ＜
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）比较两个二次根式的大小，用分母有理化的法则先将其化为最简二次根式，再比较大小即可；（2）方法同（1）.
23.【答案】解：如图，AB=28 ，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，∴∠ACP=45°，
5.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（）
用几何计算二次根式的方法
用几何计算二次根式的方法二次根式是指形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。
在几何中，我们常常需要计算二次根式的值，以便解决各种与几何相关的问题。
本文将介绍一些利用几何方法计算二次根式的技巧和方法。
一、平方根的几何意义在几何中，平方根√a可以表示为一个正方形的边长。
设正方形的面积为a，那么√a就是这个正方形的边长。
这个几何意义有助于我们理解和计算二次根式。
二、利用相似三角形计算二次根式在计算二次根式时，我们可以利用相似三角形的性质来简化计算过程。
具体步骤如下：1. 将二次根式的数值部分表示成一个平方数的倍数和一个余数的形式，即a = b^2 + c，其中b为正整数，c为余数。
2. 将二次根式进行分解，即√a = √(b^2 + c)。
3. 利用相似三角形的性质，我们可以得到一个比例关系：√a / b = √(b^2 + c) / b。
4. 化简上述比例关系后，得到√a = √b + c / b。
通过这种方法，我们可以将二次根式的计算问题转化为求解比例关系的问题，从而简化计算过程。
三、利用勾股定理计算二次根式在计算二次根式时，我们还可以利用勾股定理的性质来进行计算。
具体步骤如下：1. 将二次根式的数值部分表示成一个完全平方数的形式，即a = b^2。
2. 将二次根式进行分解，即√a = √(b^2)。
3. 利用勾股定理的性质，我们可以得到一个关系：√a = b。
通过这种方法，我们可以直接得到二次根式的值，而无需进行进一步的计算。
四、利用正方形的面积计算二次根式在计算二次根式时，我们还可以利用正方形的面积计算方法。
具体步骤如下：1. 将二次根式的数值部分表示成一个完全平方数的形式，即a = b^2。
2. 将二次根式进行分解，即√a = √(b^2)。
3. 根据正方形面积的计算公式，我们可以得到一个关系：√a = b。
通过这种方法，我们可以将二次根式的计算问题转化为正方形面积的计算问题，从而简化计算过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．m＞﹣1 B． m≥﹣1 C． m ＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1
（2014•上海，第1题4分）
计算的结果
是（
）
A． B． C． D． 3 （2014•山东烟台，第14题3分）在函数 中， 自变量x的取值范围是_________ ．
2．（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计
第18题图
（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m,楼梯底端C到墙角D的 距离CD是多少米？ （2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小 于 20cm，每个台阶宽要大于20cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？ 为什么？
20、 （2006•安徽） 老师在黑板上写出三个算式： 5 2 一 3 2 = 8× 2， 9 2 -7 2 =8×4， 15 2 -3 2 =8 ×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11
∠A=30°，∠B=45°，AC= 长．
，求AB的
13
．（2006•安徽）如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C 到直线 L 的距离 分别是 1 和 2 , 则正方形的边长是 _______
18 ．
（2006•安徽）汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新
居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG为 1 . 75m ．他量得客厅高 AB = 2 . 8m，楼梯洞口宽AF=2m., 阁楼阳台宽 EF = 3m ．请你帮助 汪老师解决下列问题：
A． B．
C． 4
D． 5
16． （8 分）(2014 年安徽省)观察下列关于自然数的等式： 32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：92﹣4× ________________ 4 2= 17 ； （2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示） ，并验证其正确性．
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a． ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=½ （b2+ab） 又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=½ 【c2+a（b﹣a）】 ∴b2+ab=c2+a（b﹣a） ∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
2
5
2
=8×12，15 -7 =8×22，……
2
2
(1)请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； (2)用文字写出反映上述算式的规律； (3 )证明这个规律的正确性．
10．（2014年山东泰安，第12题3分）如
图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°， BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的 点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处， 如图③，则折痕DE的长为（ ）
10．（2012•安徽）在一张直角三角形纸片的两 直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的 连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的 直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直 角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10
B．
C．10或
D．10或
19．（2012•安徽）如图，在△ABC中，
3．（2014•新疆，第14题5分）如图，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分 AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3， BC=4，则AD的长为 ．
4.（2014•邵阳，第17题3分）如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点， DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE 的长度是 ________．
算
× ﹣4× ×（1﹣ ）0；
（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，
再求（ + ）÷ 满足 +|b﹣|=0．
，其中a，b
8．（4分）(2014年安徽省)如图，
Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°， 将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合， 折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
5．安徽（2013）
如果 x -1有意义，那么 字母x的取值范围是（ ） B．x＞1 C．x≤1
A．x≥1
D．x＜1
（2014•黔南州，第17题5分）实数a在数轴
上的位置如图，化简
+a=_____,
14．在数学中，为了简便，记
＝
1+2+3+· · · +(n－1)+ n． 1！＝1，2！＝2×1，3！＝3×2×1，· · · ， n！＝n×(n－1)×(n－2)×· · · ×3×2×1．则
6.（4分）(2014年安徽 省)设n为正整数，且n＜ ＜n+1，
则n的值为（ ） A． 5 B． 6 D． 8
C． 7
（2014•襄阳，第18题5分）已知：x=1﹣，
y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值． （2014•四川巴中，第4题3分）要使式子 有意义，则m的取值范围是（ ）
考点：
三角形中位线定理；含30度角的直 角三角形．
5.（2014· 云南昆明，第10题3分）如图，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm， 点D为AC的中点，则BD=
A D C B
第10题图
1. （2014•湘潭，第19题）如图，修公路遇到一座山，于 是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧 同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上， 设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的 旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°， BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？ （≈1.414，精确到1米）
（2014•泰州，第23题，10分）如图，BD 是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、 AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF； （2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形
ADEF的面积．
（2014•温州，第22题8分）勾股定理神秘而美妙，它的证 法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以 灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或 图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利 用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中 ∠DAB=90°，求证： a 2 b2 c2