两平面的平行的判定和性质

典型例题一例1：已知正方体ABCD - A1B1C1D1. 求证：平面

AB1D111平面C1BD . 证明：T ABCD - A1B1C1D1

为正方体,

••• D1A//C1B ,

又C1B 平面C1BD , 故D1A// 平面

C1BD .

同理D1B1 //平面C1BD .

又D1A D1B1 D1 ,

•••平面AB1D1// 平面C1BD .

说明：上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离.

典型例题二

例2:如图，已知// , A a, A

求证：a .

证明：过直线a作一平面，设

b .

•/ //

••• a1 // b

又a//

• a//b

在同一个平面内过同一点A有两条直线a,a1与直线b平行• a与a1重合，即a

说明：本题也可以用反证法进行证明.

典型例题三

例3:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一

个也相交.

已知：如图，// ,1 A.

求证：I与相交.

证明：在上取一点B，过I和B作平面，由于与a有公共点

A , 与有公共点

B .

•••与、都相交.

设a, b .

•/ //

• a//b

又I、a、b都在平面内，且I和a交于A .

T I与b相交.

所以I与相交.

典型例题四

例4:已知平面// , AB , CD 为夹在a ,间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点.

求证：EF〃, EF // .

证明：连接AF并延长交于G .

••• AG CD F

• AG , CD确定平面，且

DG .

•/// ，所以AC//DG ,

ACF GDF ,

又AFC DFG , CF DF ,

••• △ ACF ◎△ DFG •

••• AF FG •

又AE BE ,

• EF//BG, BG •

故EF // •

同理EF //

说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理.

典型例题六

例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A1、B1、G、D1，且A、B i、C i、D i互不重合，也无三点共线. 求证：四边形A i B i C i D i是平行四边形.

证明：T AA , DD i

•- AA // DD i

不妨设AA和DD i确定平面 . 同理BB i和

CC i确定平面

又AA i // BB i，且BB i

• AA //

同理AD //

又AA i AD A

//

A D i,

B i

C i

同理 AB 〃C i D i •

•••四边形 ABQ i D i 是平行四边形.

典型例题七

m//1，所以m ，又T m , • // •选项

D 也是错误的，满足条件的

可能与 相交.

答案：C

说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致.

本例这样的选择题是常见题目， 要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、 公理的

准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况.

典型例题八

例8 设平面 平面，平面 平面，且、 分别与 相交于a 、b , a//b .求 证：平面 //平面 . 分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 上找到两条相交直线，或作出相交直线，

它们分别与

平行（如图）•

例7设直线I 、m ，平面

F 列条件能得出

〃的是（ ）•

A •

I

,m ，且 I //

, m//

C . I ,m

，且 1 // m

分析： 选项A 是错误的，因为当 I //m

时,

B • I , m ，且 I // m D • I // , m// ，且 I // m

与可能相交•选项 B 是错误的，理由

同A .选项C 是正确的，因为|

证明：在平面内作直线PQ 直线a，在平面内作直线MN 直线b •

•••平面平面，

••• PQ 平面，MN 平面，

••• PQ//MN •

又•/ a// p, PQ a Q , MN b N ,

•平面//平面•

说明：如果在、内分别作PQ , MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ、MN在、内，如果直接在、内作a、b的垂线，就可推出PQ// MN •

由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行” •其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中

非常重要.

典型例题九

⑴求证：MN //

⑵求MN的长.

,取AD的中点P ,只要证明MN所在的平面PMN //

此证明PM // , PN //即可.（2）要求MN之长，在CMA中，CM、CN的长度易知,

关键在于证明MN CD，从而由勾股定理可以求解.

证明：（1）连结AD，设P是AD的中点，分别连结PM、PN • •/ M 是AB 的中点，• PM //BD •

PM //

例9如图所示，平面//平面，点A、C，点B、D ,AB a 是

的公垂线，CD是斜线•若AC BD b, CD c, M、N分别是AB和CD的中点, 分析：（1）要证MN //

又BD