电路分析原理第十章 傅里叶分析
circ函数的傅里叶
circ函数的傅里叶circ函数是一种常见的周期性函数，它在信号处理、电路分析、图像处理等领域有着重要的应用。
在傅里叶分析中，circ函数的傅里叶级数展开可以描述该函数在频域上的特性。
本文将探讨circ函数的傅里叶级数展开及其相关应用。
我们来介绍一下circ函数。
circ函数，又称周期矩形波函数，是一种以周期为T的矩形波形函数。
它在一个周期内的取值为1，其余部分为0。
circ函数可以用数学表达式表示为：circ(t) = {1, 0 <= t < T0, T <= t < 2T}其中，t为自变量，T为周期。
接下来，我们将circ函数进行傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是将一个周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
对于circ函数，其傅里叶级数展开可以表示为：circ(t) = (4/pi) * [sin(πt/T) + (1/3)sin(3πt/T) + (1/5)sin(5πt/T) + ...]傅里叶级数展开的系数表示了各个频率成分的权重，从而揭示了原始函数在频域上的特性。
在circ函数的傅里叶级数展开中，每个正弦函数对应一个频率，而系数表示了该频率成分的权重。
circ函数的傅里叶级数展开在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在音频信号处理中，可以通过计算音频信号的傅里叶级数展开系数，提取音频的频谱信息，从而实现音频的频域分析和滤波处理。
在电路分析中，可以利用circ函数的傅里叶级数展开，分析电路中各个频率成分的响应，从而帮助设计和优化电路。
在图像处理中，可以利用circ函数的傅里叶级数展开，实现图像的频域滤波和增强，改善图像的质量和清晰度。
除了傅里叶级数展开，circ函数还有其他的傅里叶变换形式。
例如，circ函数的傅里叶变换是一个经典的冲激函数，它在频域上呈现为一个平坦的频谱，表示所有频率成分均存在。
这种特性使得circ函数在信号处理中有着重要的作用，可以用来描述信号的频域特性。
电路分析原理第十章-傅里叶分析全文编辑修改
(2) 奇函数 定义 设有函数f(t)，如果满足f(t)=-f(-t)(10-8) 则称f(t)为奇函数(odd function)， 以f(o)(t)表示。 奇函数的波形是关于原点对称的。正弦函数sinωt是奇函数， 其波形如图10-3b所示。
图10-3 偶函数与奇函数的波形 a) 偶函数cosωt b) 奇函数sinωt
第三节 周期电流、电压的最大值、有效值与平均值
一、非正弦电流、电压的最大值 ∗二、三角函数组的正交性质 三、有效值 四、平均值
一、 非正弦电流、电压的最大值
图10-9 非正弦周期电流、电压的最大值 a) 电流最大值含义 b) 电压最大值含义
∗二、三角函数组的正交性质
∗二、三角函数组的正交性质
1.有内阻抗、 △接正弦对称三相电源的一种等效电路
(4) 两个电流源激励、△接电源置零 两个电流源激励、 △接 电源置零、将△接阻抗ZS变成Y接阻抗ZS′后的电路如图10-18d所 示［图中给线电流及电流源的端电压加上标(2)］， 图中有 (5) 线电流及电流源端电压叠加
图10-4 关于横轴对称的波形
3. bk计算
1.波形特点 2.傅氏级数 3. ak、
四、 关于横轴对称的波形
1.波形特点
前半个周期的波形后移半个周期，与后半个周期的波形关于横 轴对称(在图10-4中，给出了一个横轴对称的波形)，数学表达 式为
f(t)=-f t+T/2
(10-17)
2.傅氏级数
一、 瞬时功率 二、 平均功率 三、 功率测量
第四节 非正弦稳态电路的功率
图10-11 非正弦稳态单口网络
一、瞬时功率
二、平均功率
1) 非正弦稳态电路中的平均功率， 等于各次谐波电压、 电 流单独形成的平均功率之代数和。 2) 不同频率的电压与电流不形成平均功率。
全波整流的傅里叶级数
全波整流的傅里叶级数1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度进行阐述：全波整流是一种常用的电子电路，用于将输入信号转换为具有单一方向的输出信号。
它广泛应用于电力电子、通信、控制系统等领域。
全波整流的基本原理是利用二极管的导通特性，将输入信号的负半周进行反向偏置，使其变为正半周，从而得到一个具有相同频率但幅值为正的输出信号。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它是由法国数学家傅里叶提出的，被广泛应用于信号处理、电路分析、物理学等领域。
傅里叶级数的概念是基于周期函数的周期性和任意函数的可展开性来进行构建的。
通过将输入信号分解为多个频率不同的正弦和余弦函数，可以更好地理解和分析信号的特性。
本文将重点介绍全波整流的基本原理和傅里叶级数的概念及其在全波整流中的应用。
首先介绍全波整流的基本原理，包括二极管的导通与截止、输入信号的变换过程等。
然后详细阐述傅里叶级数的定义和构造方法，并探讨在全波整流中如何利用傅里叶级数进行信号分析和处理。
最后，总结全波整流的优势和应用场景，以及傅里叶级数在全波整流中的作用和意义。
通过本文的学习，读者将能够全面了解全波整流的基本原理和傅里叶级数的概念及其应用。
同时，对于电子电路设计和信号处理方面的研究和应用也将有更深入的认识。
接下来，我们将逐一介绍全波整流的基本原理和傅里叶级数的概念及其应用，希望读者能够对相关领域有一定的了解和启发。
1.2文章结构1.2 文章结构本篇文章将分为三个部分来探讨全波整流的傅里叶级数。
第一部分是引言部分。
该部分将概述全波整流和傅里叶级数的基本概念和原理，同时介绍文章的结构和目的。
第二部分是正文部分。
首先，我们将详细介绍全波整流的基本原理，包括其实现方法和工作原理。
然后，我们将介绍傅里叶级数的概念和应用，并分析其在全波整流中的作用和意义。
通过理论分析和实例说明，我们将展示全波整流和傅里叶级数之间的关系与相互影响。
第三部分是结论部分。
multisim电路分析方法
在Variables in Circuit栏中列出的是电路中可 用于分析的节点和变量。点击 Variables in circuit 窗口中的下箭头按钮，可以给出变量类型选择表。 在变量类型选择表中： 点击Voltage and current选择电压和电流变量。
点击Voltage选择电压变量。 点击 Current选择电流变量。 点击Device／Model Parameters 选择元件／ 模型参数变量。 点击All variables选择电路中的全部变量。
其中Output variables、 Miscellaneous Options 和Summary 3个选项与直流工作点分析的设置 一样，下面仅介绍Analysis Parameters选项， Analysis Parameters对话框如图1.6.8所示。
图1.6.8 Analysis Parameters对话框
图 1.6.5 Miscellaneous Options对话框
如果选择Use this custom analysis，可以用 来选择用户所设定的分析选项。可供选取设定的 项目已出现在下面的栏中，其中大部分项目应该 采用默认值，如果想要改变其中某一个分析选项 参数，则在选取该项后，再选中下面的Use this option选项。选中Use this option选项将在其右边
2. Parameters区 在Parameters区可以对时间间隔和步长等参数 进行设置。
Start time窗口：设置开始分析的时间。 End time窗口：设置结束分析的时间。
点击Maximum time step settings，可以设 置分析的最大时间步长。其中：
（1）设置单位时间内的采样点数 点击Minimum number of time points，可以 设置单位时间内的采样点数。
傅里叶级数和傅里叶变换
第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数） （9.1.1） 的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。
通常这个周期命名为函数系的周期。
所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。
如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。
例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。
方波的傅里叶分解与合成
课 题 方波的傅立叶分解与合成教 学 目 的 1、用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。
2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。
3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。
重 难 点 1、了解串联谐振电路的基本特性及在选频电路中的应用； 了解方波的傅立叶合成的物理意义。
2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义。
教 学 方 法 讲授与实验演示相结合。
学 时 3学时。
一．前言任何一个周期性函数都可以用傅立叶级数来表示，这种用傅立叶级数展开并进行分析的方法在数学、物理、工程技术等领域都有广泛的应用。
例如要消除某些电器、仪器或机械的噪声，就要分析这些噪声的主要频谱，从而找出消除噪声方法；又如要得到某种特殊的周期性电信号，可以利用傅立叶级数合成，将一系列正弦波形合成所需的电信号等。
本实验利用串联谐振电路，对方波电信号进行频谱分析，测量基频和各阶倍频信号的振幅以及它们之间的相位关系。
然后将此过程逆转，利用加法器将一组频率倍增而振幅和相位均可调节的正弦信号合成方波信号。
要求通过实验加深理解傅立叶分解和合成的物理意义，了解串联谐振电路的某些基本特性及在选频电路中的应用。
二.实验仪器FD-FLY-I 傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱。
三.实验原理任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，、 即：f (t)= 12a 0 +∑∞=+1)sin cos (n n nt n b t n aωω其中：T 为周期，ω为角频率。
ω =2πT；第一项为直流分量。
图1 方波所谓周期性函数的傅立叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有n 阶谐波的迭加。
如图所示的方波可以写成：f(t)={）（01)20(≤≤--≤≤t Th T t h此方波为奇函数，它没有常数项。
数学上可以证明此方波可表示为：f(t)= 4h π (sint ωt+13 sin3ωt+15 sin5ωt+17 sin7ωt ……)=4hπ()[]t n n n ω12sin 1211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞= （a ）方波傅立叶分解的选频电路：实验线路图如图所示。
傅里叶级数发展史
傅里叶级数发展史傅里叶级数是数学中的一个重要概念，它是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在18世纪初提出的。
傅里叶级数可以将任意周期函数表示为无穷级数的形式，由此可以将复杂的函数问题转化为求解简单的级数展开问题。
在数学、物理、工程等领域，傅里叶级数被广泛应用于信号处理、图像处理、电路分析等方面。
傅里叶级数的发展历史可以追溯到17世纪，当时的数学家们就对周期函数的展开表示进行了研究。
然而，直到傅里叶的出现，这个问题才得到了较为完整的解决。
傅里叶于1807年发表了一篇名为《随机蒸馏理论和热传导率的引理总论》的论文，这篇论文中首次提出了傅里叶级数的概念和一些基本性质。
他通过对热传导方程的研究，发现周期函数可以用一个无穷级数表示，而这个级数的系数可以由函数在一个周期内的积分确定。
这一发现为傅里叶级数的应用奠定了基础。
傅里叶的工作引起了当时一些数学家的兴趣，他们开始深入研究傅里叶级数的性质和应用。
法国数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉都对傅里叶级数做出了重要的贡献。
拉普拉斯在傅里叶级数的收敛性和连续性方面进行了深入研究，而欧拉则对傅里叶级数的一些特殊情况进行了探讨。
20世纪初，傅里叶级数得到了进一步的发展和应用。
法国数学家和物理学家约瑟夫·尔尼斯·尼古拉·傅里叶对傅里叶级数的定性性质进行了研究，并给出了详细的分类。
他的工作对傅里叶级数的理论发展和实际应用产生了深远的影响。
随着计算机技术的发展，傅里叶级数的计算和应用变得更加便捷。
现在，我们可以使用各种数值方法和快速傅里叶变换算法来计算复杂函数的傅里叶级数展开。
傅里叶级数的应用也得到了广泛的扩展，不仅在数学和物理领域，还在信号处理、图像压缩、音频处理等许多领域起到了重要作用。
总的来说，傅里叶级数的发展史是数学和物理领域一段重要的历史。
它的提出和发展为我们解决复杂函数问题提供了一个强大的工具，也为其他学科的研究和应用提供了理论基础。
傅里叶分析教程(完整版)整理版.doc
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06· 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
第10章-频率响应--多频正弦稳态电路
§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形
傅立叶分析_图文
脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析一、实验简介任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。
傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号（谐波）的叠加。
利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。
也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。
二、实验目的1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。
2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义三、实验仪器脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器四、实验原理1、周期信号傅里叶分析的数学基础任意一个周期为T 的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数： 00010000000001()(cos sin )21()()1()cos()()1()sin()()n n n n n f t a a n t b n t a f t d t a f t n t d t b f t n t d t ππππππωωωωπωωωπωωωπ∞=---=++===∑⎰⎰⎰ 其中0ω为角频率，称为基频，0a 为常数，n a 和n b 称为第n 次谐波的幅值。
任何周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。
对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为:(0t<)2() (-t 0)2h f t h ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：0100041()()sin(21)21411(sin sin 3sin 5)35n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞==--=+++∑ 同理：对于如图2所示的三角波，函数表达式为：4t (-t <)44()232(1) (t )44h T T f t t T T h T π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：1202100022281()(1)()sin(21)21811(sin sin 3sin 5)35n n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞-==---=-++∑图1 方波 图2 三角波从以上各式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加波的贡献就越小，当小至一定程度时(谐波振幅小于基波振幅的5%)，则高次的谐波就可以忽略而变成有限次数谐波的叠加，这对设计仪器电路是很有意义的。
电路原理(II)教案
电路原理(II)学分：2学时：30 (其中：讲课学时：30 实验学时：0 上机学时：0)先修课程：高等数学、物理、电路原理(I)适用专业：电气信息类专业教材：《电路(新形态)》，朱孝勇、傅海军，机械工业出版社，2020年课程网站：国家精品资源共享课网站：江苏大学“电路原理”课程网络资源一、课程目标“电路原理”课程是一门研究电路理论、电路分析方法的基础课程，属于电类及相关专业共同的一门主要的技术基础课。
“电路原理(II)”是“电路原理(I)”的后续课程，通过本课程学习，使学生完整的掌握电路理论的基本知识、基本分析计算方法和基本实验技能，为学习后继相关课程准备必要的电路理论知识，为从事工程技术工作及科学研究打下坚实的电路理论基础。
课程的具体目标如下：(一) 知识方面“电路原理(II)”主要包含非正弦周期电路的计算、动态电路的复频域分析、网络函数、电路方程的矩阵形式、状态方程和二端口网络参数及其计算。
通过“电路原理(I)”以及高等数学和物理等相关课程的相关学习，掌握非正弦电流电路的分析计算，能够利用复频域分析法求解电路，计算网络函数以及相关分析，能够列写电路方程的三种矩阵形式以及状态方程，二端口网络参数及其等效电路的计算，包含：1.1熟练掌握非正弦周期电流电路的概念以及电压、电流有效值和功率的计算；1.2熟练掌握电阻元件、电感元件、电容元件、耦合电感元件的复频域形式；1.3理解并熟练掌握网络函数的极点、零点以及极、零点图的绘制；1.4 理解并掌握三种矩阵的写法以及相应的矩阵方程的形式；1.5 理解并掌握状态变量与状态方程的概念以及方程的列写方法；1.6 理解二端口的概念，掌握二端口网络参数的计算方法；1.7 掌握二端口网络参数与两种等效电路的等效方法。
(二) 能力与素质方面2.1能够对非正弦周期电流电路的计算并进行建模仿真验证；2.2能够利用复频域分析法对动态电路进行分析计算，利用零极点图定性绘制幅频特性与相频特性；2.3 能够对复杂的电路列写电路方程的三种矩阵形式；2.4 能够对复杂的电路列写状态方程；2.5 能够对二端口电路求取其网络参数；2.6 能够利用二端口网络参数对复杂电路进行计算。
《电路分析基础》第4版第十章.ppt
U 2 / U1
解：先画出相量模型，如图(b)所示。
10-3 正弦稳态网络函数
外加电压源 U1 ，列出节点方程：
解得
2 R
j2C
U
C
U1 R
jCU 2
0
jCU C
1 R
jC
U
2
gmU
C
U2 U1
Rgm jCR 2 R2 2C2 j4CR
网络函数的定义和分类
动态电路在频率为ω的单一正弦激励 下，正弦稳态响应(输出)相量与激励 (输入)相量之比，称为正弦稳态的网 络函数，记为H(jω)，即
H ( j)
响应相量 激励相量
相量可以为振幅或有效值相量，激励是独立电压源或独立 电流源，响应是感兴趣的某个电压或电流。
10-3 正弦稳态网络函数
P125 例10-5 如图所示，求解流过电时域表达式后，再相加进行求解。
10-4 正弦稳态的叠加
10-3 正弦稳态网络函数
P119 例10-3 RC低通电路 求图中所示RC电路的电压转移函
数 Hu U2 /U1 ，并绘出幅频特性曲线和相频特性曲线。若输
入电压 u1 2.5 2 cos(500t 30o )V ，试求输出电压u2，
已知τ=RC=10-3s。
R
解：Hu
U 2 U1
3
5
2）激励为多个不同频率的正弦波
动态电路的频率特性在电子和通信工程中得到了广 泛应用，常用来实现滤波、选频、移相等功能。
10-2 再论阻抗和导纳
阻抗和导纳
单口网络在正弦稳态时的响应特性可由其输入阻抗或导 纳来描述。
傅里叶分析教程(完整版)
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傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
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傅里叶变换及系统的频域分析
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
T
2 T
2
f
(t) sin ntdt
4 T
T
2 f (t) sin ntdt
0
2
an T
T
2 T
f (t) cos ntdt
0
2
f (t) bn sin nt n1
奇函数的傅立叶级数中只含有正弦项，不含 有直流项和余弦项。如锯齿波。
沿时间轴移半个周期；
反转；
f (t) 2 dt
t2 t1
2
Ci i (t) dt
i 1
i 1
t2 t1
Ci
i
(t)
2
dt
意义：信号f(t)的能量等于各个分量的能量 之和，即能量守恒。
任何周期信号在一定条件下，都可以用一个完备正交 函数集展开，展开结果为无穷级数的形式。
如果采用的完备正交函数集是三角函数集或复指数函 数集，展开所得的无穷级数分别被称为三角形式的傅 里叶级数和指数形式的傅里叶级数。
这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
傅立叶变换 拉普拉斯变换 Z变换 攻略
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换。
研究的都是什么?从几方面讨论下。
这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。
傅立叶变换，拉普拉斯变换， Z变换的意义【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶在计算机中的应用
傅里叶在计算机中的应用
傅里叶变换在计算机中有多种应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 信号处理：在信号处理中，傅里叶变换被用于将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。
例如，它可以用于音频和图像的压缩、滤波和降噪等应用。
2. 通信系统：在数字通信中，傅里叶变换是关键技术之一，可以用于调制和解调信号、频谱分析和滤波等。
3. 图像处理：傅里叶变换可以将图像转换为频域表示，使得我们可以分析图像的频率特征，例如边缘、纹理等。
这种分析可以用于图像处理中的滤波、降噪、压缩等应用。
4. 数据分析：傅里叶变换可以用于分析时间序列数据的周期性和趋势性，例如股票价格的分析、天气预测等。
5. 电子工程：傅里叶变换在电路分析和设计中也有广泛应用，例如计算电路的频率响应、滤波器的设计等。
6. 数学和物理学：傅里叶变换在数学和物理学中也有广泛的应用，例如计算微积分方程的解、研究量子力学中的波函数等。
此外，傅里叶变换在计算机中的实时处理要求较高的场景中也有应用。
例如，通过采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定量的0作为采样点，使其长度达到需要的点数，这样可以提高频率分辨率。
以上信息仅供参考，如需了解更多关于傅里叶变换在计算机中的应用，建议查阅计算机科学和工程的相关文献或咨询专业人士。
方波的傅里叶分解与合成
方波的傅里叶分解与合成【实验目的】1.用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。
2.将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。
3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。
【实验仪器】FD-FLY-A 型傅里叶分解与合成,示波器，电阻箱，电容箱，电感。
【实验原理】1.数学基础任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：∑∞=++=10)sin cos (21)(n n n t n b t n a a t f ωω其中：T 为周期，ω为角频率。
ω＝Tπ2；第一项20a 为直流分量。
所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。
如图1所示的方法可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-=)02()20()(t TT t h ht f此方波为奇函数，它没有常数项。
数学上可以证明此方波可表示为：)7sin 715sin 513sin 31(sin 4)( ++++=t t t t ht f ωωωωπ=∑∞=--1])12sin[()121(4n t n n hωπ同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为：)434()44()21(24)(T t T Tt T T th t T h t f <≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧-= )7sin 715sin 513sin 31(sin 8)(2222 +-+-=t t t t h t f ωωωωπ=∑∞=----1212)12sin()12(1)1(8n n t n n hωπ2.周期性波形傅里叶分解的选频电路我们用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。
在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。
我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。
本仪器具有1KH ｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。
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2.奇、偶函数的基本性质
2.奇、偶函数的基本性质
二、 1.波形特点
关于纵轴对称的波形
2.傅氏级数
3. ak计算
1.波形特点 将右半平面波形关于纵轴旋转180°， 与左半平面波形重叠
(图10-3a波形是关于纵轴对称的)， 数学表达式由式(10-7)给出。
纵轴对称波形的函数是偶函数。
2.傅氏级数
2.同时对称于原点与横轴的波形
表10-1 几种对称波形的傅氏级数及其系数计算公式
2.同时对称于原点与横轴的波形
图10-7 纵轴对称波形及其频谱图 a) 纵轴对称波形 b) 幅值频谱 c) 初相频谱
2.同时对称于原点与横轴的波形
图10-8 纵、横轴对称波形及其频谱图 a) 纵、横轴对称波形 b) 幅值频谱 c) 初相频谱
3. ak计算
三、 1.波形特点
关于原点对称的波形
2.傅氏级数
3. bk计算
1.波形特点 将右半平面波形关于纵轴旋转180°， 再关于横轴旋转180°，
与左半平面波形重叠(图10-3b波形是关于原点对称的)， 数学
表达式由式(10-8)给出。原点对称波形的函数是奇函数。
2.傅氏级数
要满足式(10-8)给出的f(t)=-f(-t)这个条件， 比较式(10-1)与 式(10-14)， 必须有a0=0 ak=0 由此得原点对称波形的傅氏级数为 f(t)=∑∞k=1bksinkω1t(10-16) 图10-4 关于横轴对称的波形3. bk计算 f(t)为奇函数， f(t)sinkω1t为偶函数， 这样由式(10-3)与 式(10-12)得 bk=4T∫T/20f(t)sinkω1tdt
二、 关于纵轴对称的波形
一、 1.函数的奇、偶性
函数的奇、偶性及其基本性质
2.奇、偶函数的基本性质
1.函数的奇、偶性 (1) 偶函数
(2) 奇函数
(1) 偶函数 定义 设有函数f(t)， 如果满足
f(t)=f(-t)(10-7)
则称f(t)为偶函数(even function)以f(e)(t)表示。 偶函数的波形是关于纵轴对称的。余弦函数cosωt是大家熟悉的 偶函数， 其波形如图10-3a所示。
电路分析原理（上册）
第十章 第一节
∗第二节
傅里叶分析
周期函数的傅里叶级数与频谱
几种对称波形
周期电流、电压的最大值、有效值与平均值 非正弦稳态电路的功率 频域中的网络函数 非正弦稳态电路的分析 对称三相非正弦稳态电路分析
第三节 第四节 第五节 第六节
∗第七节
第十章
傅里叶分析
1) 电力系统中的电压波形，只是近似于正弦波，严格说来是非
图10-4 关于横轴对称的波形
3. bk计算
四、 1.波形特点
关于横轴对称的波形
2.傅氏级数
3. ak、
1.波形特点 前半个周期的波形后移半个周期，与后半个周期的波形关于横
轴对称(在图10-4中，给出了一个横轴对称的波形)，数学表达
式为 f(t)=-f t+T/2 (10-17)
2.傅氏级数
1) 非正弦周期电流(或电压)的有效值， 等于各次谐波有效值
平方和的算术平方根；
2) 直流分量有效值等于该分量的绝对值； k次谐波有效值是 其振幅的1/， 即Ik=Ikm/， 而与初相无关。
形的傅氏级数则是原点对称与横轴对称波形中之公共部分，
即 f(t)=∑∞k=1bksinkω1t 实是不存在的。 需要指出，上述波形的对称性是与坐标选取有关的。为了简化 傅里叶分析，在选取坐标时总要力求使波形具有对称性。 k=1， 3， 5， …(10-22)
以上分析表明，具有对称性的波形，在傅氏级数中一些谐波确
2.频谱图
图10-2
f(t)=a02+∑∞k=1Akmsin(kω1t+θk)频谱图的定性表示(设a0＞0) a) 幅值频谱 b) 初相频谱 + sin(k t+ )频谱图的定性表示( 0)
三、
傅氏级数的三角函数形式三
∗第二节
几种对称波形
一、 三、 四、 五、
函数的奇、偶性及其基本性质 关于原点对称的波形 关于横轴对称的波形 双重对称波形
二、傅氏级数的三角函数形式二及其频谱图
三、傅氏级数的三角函数形式三
一、
傅氏级数的三角函数形式一及其系数计算公式
1.傅氏级数的三角函数形式一
2.系数计算公式
1.傅氏级数的三角函数形式一
2.系数计算公式
二、
傅氏级数的三角函数形式二及其频谱图
1.傅氏级数的三角函数形式二
2.频谱图
1.傅氏级数的三角函数形式二
(2) 奇函数
定义 设有函数f(t)，如果满足f(t)=-f(-t)(10-8)
则称f(t)为奇函数(odd function)， 以f(o)(t)表示。 奇函数的波形是关于原点对称的。正弦函数sinωt是奇函数， 其波形如图10-3b所示。
图10-3 偶函数与奇函数的波形 a) 偶函数cosωt b) 奇函数sinωt
图10-1 傅氏级数形式一与形式二系数间的关系
2.频谱图 (1) 幅值频谱 在直角坐标系中，横轴表示角频率ω，纵轴表示
谐波振幅，按照比例将各次谐波振幅，以适当长度的直线段分
别垂直地画在相应的频率处，并在每一线段的顶端标明相应的 谐波振幅，这就构成了幅值频谱。 (2) 初相频谱 相。 在初相频谱中，用直线段分别表示各次谐波的初
3. ak、
3. ak、
五、 1.同时对称于纵、
双重对称波形
2.同时对称于原点与横轴的波形
1.同时对称于纵、
图10-5
同时对称于纵、横轴的波形
1.同时对称于纵、横波的波形
图10-6
同时对称于原点与横轴的波形
2.同时对称于原点与横轴的波形 在图10-6中，画出了一个同时对称于原点与横轴的波形。该波
第三节
周期电流、电压的最大值、有效值与平均值
一、非正弦电流、电压的最大值
∗二、三角函数组的正交性质
பைடு நூலகம்
三、有效值 四、平均值
一、
非正弦电流、电压的最大值
图10-9 非正弦周期电流、电压的最大值 a) 电流最大值含义 b) 电压最大值含义
∗二、三角函数组的正交性质
∗二、三角函数组的正交性质
三、
有效值
正弦的；
2) 当电路中有几个不同频率的正弦函数激励时，响应是非正弦 的； 3) 在通信、雷达、计算机等电路中大量应用各种脉冲波形； 4) 在含有非线性元件(例如，铁心、二极管等)的电路中， 在 正弦函数激励下，响应是非正弦的，等等。
第一节
周期函数的傅里叶级数与频谱
一、傅氏级数的三角函数形式一及其系数计算公式