数字图像ch14-小波变换(第3-5讲).
数字图像处理小波变换
（5）音频和视频水印的解决方案还不完 善，大多数的视频水印算法实际上是将其图 像水印的结果直接应用于视频领域中，而没 有考虑视频应用中大数据量以及近乎实时的 特性。
（6）现有水印算法在原理上有许多雷同 之处，但目前国内外的工作尚未能对这些有 内在联系的不同算法的共性问题进行高度提 炼和深入的理论研究，因而缺乏对数字水印 作进一步研究具有指导意义的理论结果。
7.2.1 数字水印技术需要解决的问题
（1）设计对水印系统进行公正的比较和 评价方法，在这方面已有部分学者进行一些 初步的研究，但缺乏普遍性和原理性，水印 系统的脆弱之处在于无法进行全面测试与衡 量。
（2）从现实的角度看，水印系统必然要 在算法的鲁棒性、水印的嵌入信息量以及不 可觉察性之间达到一个平衡，这涉及鲁棒性 算法的原理性设计、水印的构造模型、水印 能量和容量的理论估计、水印嵌入算法和检 测算法的理论研究等方面。
wavenames lwt lwt2
lwtcoef lwtcoef2
ilwt ilwt2 laurmat laurpoly
函数意义 向提升方案中添加原始或双重提升步骤 显示提升方案 提升方案信息 计算并画出双正交“尺度和小波”函数 将四联滤波器变换为提升方案 在四联滤波器上应用基本提升方案 将提升方案变换为四联滤波器 提升小波的提升方案 提供小波的劳伦多项式 提供用于LWT的小波名 一维提升小波变换 二维提升小波变换 提取或重构一维LWT小波系数 提取或重构二维LWT小波系数 一维提升小波反变换 二维提升小波反变换 劳伦矩阵类LM的构造器 劳伦多项式类LM的构造器
7.2.2 一种基于小波变换的数字水印方法
（2）第二步，对图像作小波变换，对变 换后得到的小波系数，选出一个起始位置在、 大小为的系数矩阵。
小波变换课件
消失矩性质
消失矩定义：小波变换在高频部分具有快速衰减的特性
消失矩性质与信号处理：在信号处理中，消失矩性质使得小波变换能够有效地提取信号的 高频成分
消失矩与多分辨率分析：消失矩性质是实现多分辨率分析的关键，能够同时获得信号在不 同尺度上的信息
消失矩的应用：在图像处理、语音识别、信号去噪等领域，消失矩性质都有着广泛的应用
图像去噪：小波变换能够将噪声与 图像信号进行分离，从而去除噪声
语音处理
小波变换在语音 信号处理中的应 用
小波变换在语音 识别和合成中的 应用
小波变换在语音 增强和去噪中的 应用
小波变换在语音 编码和压缩中的 应用
其他应用领域
信号处理 图像处理 语音处理 模式识别
小波变换的优缺点分析
小波变换的优点
用的特征信息
图像处理：小波变换在图像 处理中也有广泛的应用，如
图像压缩、去噪、增强等
图像处理
图像压缩：小波变换能够去除图像 中的冗余信息，实现高效的图像压 缩
图像融合：将多个图像的小波系数 进行融合，可以得到一个新的、包 含多个图像信息的图像
添加标题
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图像增强：通过调整小波系数，可 以突出图像的某些特征，提高图像 的视觉效果
多维小波变换算法：介绍多维小波变换的基本原理和算法实现，包括多维小波变换 的定义、性质、算法流程等。
多维小波变换在图像处理中的应用：介绍多维小波变换在图像处理中的应用，包括 图像压缩、图像去噪、图像增强等。
多维小波变换的优缺点：介绍多维小波变换的优缺点，包括优点如多尺度分析、方 向性、时频局部化等，以及缺点如计算量大、需要选择合适的小波基等。
数学表达式：对于任意实数a，如果f(t)的小波变换为Wf(s,a)，则f(t-a)的小波变换仍为 Wf(s,a)
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
图像处理中的小波变换算法及应用
图像处理中的小波变换算法及应用随着计算机技术的不断进步和发展，图像处理技术也得到了极大地提升和拓展。
小波变换作为一种新颖、实用的信号分析方法，已经广泛地应用于各种领域，特别是在图像处理领域中更是如此。
本文将介绍小波变换算法的基本概念、原理和应用。
一、小波变换算法的基本概念小波变换（Wavelet Transform）是一种基于时间-频率分析的数学工具，起源于哈尔小波，它可以将时间和频率分隔开来，可以生成比傅里叶变换更加精细的图像，更加精确地反映了信号的时间和频率信息。
小波分析的关键是选用不同的小波基函数（Wavelet Function）。
小波基函数是一个数学函数，通过不同的小波基函数的组合可以快速地对信号进行分解和重构。
小波基函数通常有多种不同的类型，如海涅小波、Daubechies小波、Symmlet小波等，每个类型又包含了不同的级别，即小波基函数的阶数，用于调整小波分析的分辨率和精度。
二、小波变换算法的原理小波变换算法包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）两种类型。
离散小波变换是对离散信号进行分析的，而连续小波变换则是用于连续信号分析。
在这里，我们主要介绍离散小波变换算法。
离散小波变换将原始信号分解成一组小波基函数的线性组合，每个小波基函数对应一个不同的频率，这样可以对信号进行不同尺度的分析。
小波分解的过程可以采用多层分解的方式，每一层分解后得到的是一个低频分量和一个高频分量，然后将低频分量再进行分解，直到分解到指定的层数为止。
连续小波变换通过将信号与窗口函数进行卷积得到小波系数，进而得到频谱。
它的计算方式与傅里叶变换类似，但连续小波变换可以同时提供时间和频率信息，更加适合于非平稳信号的分析。
三、小波变换算法的应用小波变换算法在图像处理中的应用非常广泛，例如：1. 压缩。
小波变换可以将信号分解为不同的频率分量，可以通过选择保留重要的分量来达到压缩的效果。
小波变换的压缩效果比傅里叶变换更加优秀，同时也可以将信号进行逐步近似，得到不同精度的压缩结果。
小波变换课件
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29
3. 离散小波变换(续)
• 使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子 和时间关系如图所示。
• 图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶 变换(short time Fourier transform，STFT)得到的时 间-频率关系图
• 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得 到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。
轻的地球物理学家Jean Morlet提出了小波变换 WT(wavelet transform)的概念。 • 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
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13
• Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construct any given signal.
• 小波变换的主要算法由法国的科学家Stephane Mallat 提出 • S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分 辨率分析(multiresolution analysis)的概念, 从空间上 形象地说明了小波的多分辨率的特性
• 提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做 Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波 基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在 经典傅立叶分析中的地位。
where:
a = scale variable －缩放因子
k = time shift
－时间平移
h* = wavelet function －小波函数
用y = scaled (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet
(数字图像处理)第十章小波变换的图像处理
边缘检测与特征提取
80%
边缘检测原理
利用小波变换对图像进行多尺度 分解，通过检测小波系数中的突 变点实现边缘检测。
100%
特征提取
小波变换能够提供图像的多尺度 、多方向信息，因此可以用于提 取图像中的纹理、形状等特征。
80%
应用领域
边缘检测和特征提取在目标识别 、图像分割、场景理解等领域具 有广泛应用。
Meyer小波
Meyer小波是一种具有无穷光滑性和正交性的小 波基函数，其频率响应接近理想滤波器。Meyer 小波适用于对信号进行高精度的分解和重构，如 音频信号处理、图像处理等。
02
图像处理中的小波变换应用
图像压缩与编码
小波变换压缩原理
利用小波变换对图像进行多尺度分解，得到不同频率的子 带图像，通过对子带图像进行量化和编码实现压缩。
多分辨率分析实现
多分辨率分析可以通过构建一系列嵌套的子空间来实现，每个子空间对应一个 特定的尺度。通过在不同尺度下对信号或图像进行投影和重构，可以得到信号 或图像在不同尺度下的分量表示。
常见小波基函数介绍
Haar小波
Haar小波是最简单的小波基函数之一，具有紧 支撑性和正交性。它的波形类似于方波，适用于 对信号进行粗略的分解和重构。
不同噪声水平下算法性能分析
针对不同噪声水平（如高斯噪声、椒盐噪声等），分析并 比较各种去噪算法的性能表现。
算法实时性与计算复杂度评估
评估各种去噪算法的实时性和计算复杂度，为实际应用提 供参考依据。
05
小波变换在边缘检测中的应用
基于小波变换的边缘检测算法
小波基选择
选择适合图像处理的小波基，如 Haar小波、Daubechies小波等，用 于实现小波变换。
数字图像处理中的小波变换
数字图像处理中的小波变换数字图像处理是一门处理和分析数字图像的学科，可以应用于许多领域，如医学影像、遥感图像以及计算机视觉等。
在图像处理的过程中，小波变换是一种重要的技术，具有较好的时频局部特性，能够有效地揭示图像内容的细节和模式。
本文将介绍数字图像处理中的小波变换原理以及其应用。
一、小波变换原理小波变换是一种多尺度分析方法，通过不同尺度的小波函数对信号进行分解与重构。
它具有时频局部性的特点，能够捕捉到信号的瞬时特征和频率特征，并能够精确地表示信号的时域和频域信息。
小波变换的计算过程可以分为两个步骤：分解和重构。
在分解过程中，根据小波变换的特性，将原始图像分解成一系列的低频分量和高频细节；在重构过程中，利用分解得到的低频分量和高频细节重构出与原始图像相同的图像。
二、小波变换的应用1. 图像压缩与编码小波变换在图像压缩和编码中有着广泛的应用。
通过对图像进行小波分解，可以将图像信号分解成高频和低频分量，其中低频分量包含图像的主要信息，而高频分量则包含图像的细节信息。
通过对高频分量进行量化和编码，可以实现对图像的高效压缩，并保持较好的视觉质量。
2. 图像增强与去噪小波变换可以通过分解图像和重构图像的方式实现图像的增强和去噪。
在小波分解时，图像的高频细节部分可以提供图像的纹理和边缘特征，通过调整高频部分的权重系数，可以对图像进行增强处理。
同时，利用小波变换的多尺度分析特性，可以将图像的噪声分解到不同的尺度中，从而实现对图像的去噪效果。
3. 图像特征提取与分析小波变换可以提供图像的时频局部特性，对于图像的特征提取和分析有着重要的作用。
通过对图像的小波分解，可以获取到不同尺度的小波系数，其中较大的系数对应于图像的明显特征，如纹理、边缘和斑点等。
通过对小波系数的分析和处理，可以实现对图像的特征提取和分类，为图像识别和目标检测等任务提供有效的手段。
三、小波变换的发展与应用前景随着数字图像处理技术的不断发展，小波变换在图像处理中的应用也得到了广泛的推广和应用。
小波分析系列讲座5
小波分析系列讲座5以图像来说明建立空间特征基和小波变换的关系设有一幅图像，从不同分辨率考察。
若我们离很远来看，可能会把每64个点看作一个点，若记此时构成的描述空间为V0.若走进一些，把16个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V1若再走进一些，把4个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V2若再走进一些，把1个点看作一个点，记此时构成的描述空间为V3则可知凡是Vi空间内可以描述的图像，Vi+1空间内皆可描述,并且描述的更细致故Vi包含于Vi+1空间记Vi+1=Vi+Wi ,即Vi和Wi构成Vi+1空间。
（若Vi⊥Wi ，则Wi为Vi的正交补空间，实际应用中不要求一定正交。
）( ⊥ 正交) 则Vi+1=Vi+Wi=Vi-1+Wi-1+Wi=……记Pi为图像在Vi空间的描述则Di= Pi+1 - Pi 就表示了图像在这两个描述空间的细节差异，因为Vi+1=Vi+Wi，故Di为图像在Wi空间上的描述。
即Wi空间表述了细节差异。
如果Wi⊥Wj, 并且在Wj空间中能找到一组正交标准基，其基本函数必是高（带）通的，就称其为小波函数。
Wi⊥Wj正交，即为不同分辨率下的细节差异不相关，从而消除冗余。
那么例子中V3=W2+W1+W0+V0相应得到 P3=D2+D1+d0+P0即最清晰分辨率下的图像可以有不同分辨率下的细节差异和最高分辨率下的图像合成而得由概率特性知细节差异在大范围内是一个较小的值。
如果用上节所引入的频域概念来看，低频信息就是P0,高频为Di,这里的低频和高频就和傅里叶有稍微不同。
而从分析中，我们自然而然的知道随着频率的不同，其数值对应的空间窗口大小也不同了。
正好满足上节所说。
呵呵，剩下的分析任务就是如何构造Wi。
3-5 示波器实验讲义
§3-5 示波器的使用阴极射线示波器是一种用途较为广泛的电子仪器，它可以把原来肉眼看不见的电压变化变换成可见的图像，以供人们分析研究。
示波器可用来测量电压的大小和一切可转换为电压的电学量(如电流、电功率、阻抗等)和非电学量(如位移、速度、压力、频率、温度、磁场、光强等)。
在无线电制造工业和电子测量技术等领域，它是不可缺少的测试设备。
一、实验目的1. 了解示波器的基本结构，熟悉示波器的调节和使用。
2. 学习用示波器观察电压波形及测量信号的电压和周期。
3. 通过观察李萨如图形，学会用示波器测量频率的方法。
二、实验仪器示波器(GOS-620双轨迹示波器)、函数信号发生器、波形整流仪。
函数信号发生器的作用是产生各种波形、频率的电信号。
整流波形仪的功能是将50Hz 的照明电变成脉动直流电以及稳恒直流电。
这些仪器的面板图请参见本实验的附录部分。
三、实验原理示波器动态显示物理量随时间变化的思路是将这些物理量转换成随时间变化的电压，加在电极板上，极板间形成相应的变化的电场，使进入这个变化电场的电子运动情况相应的随时间变化，最后把电子运动的轨迹用荧光屏显示出来。
以GOS-620双轨迹示波器为例介绍示波器的基本结构和显示波形的原理。
GOS-620双轨迹示波器的基本结构原理如图1所示。
电子示波器主要由四大部分组成：阴极射线示波器系统；扫描、触发系统；放大系统；电源系统。
下面主要介绍与示波器显示波形原理相关的几个部分。
1. 示波管的内部结构。
图1 示波器原理示波管内部结构如图2所示。
阴极被加热发射出大量电子，经过各个电极的聚焦、加速后高速轰击荧光屏，发生荧光。
在靠近阴极处设置控制栅极，调节其电位(相对阴极为负电位)来控制电子束流的强度，使荧光“辉度”改变。
在电子束路径两旁设置两对平行板电极，改变加在其上的电压，可控制电子束的运动。
2. 电偏转系统。
在示波管内，有两对平行板电极，垂直方向的一对平行板电极称为水平(或x )偏转板，简称为横偏板。
【图文】图像小波变换.
《信息隐藏实验教程》教学幻灯片7\+小波与小波变换简述通俗的讲，小波（wavelet）是一种在有限Jr牛農矍，内番歸翘番爲勰穌翳零的特殊波形。
很设存在一个时域函数（P⑴，满足：/ _4（/）0①⑷）（f表示fourier变换）f （p{t）dt =0或52-do) V+R O)小波与小波变换简述则称(p⑴为一个母小波函数(Mother Wavelet Function)o 一个母小波函数有文口下几个特点：1.因为妙(少)=/申0疋叫h而，匚= 0 故而①(0)=匸倾M = 也就是盏，一个母小波函数的直流分量(Direct current components)为0。
换句话说，就是母小波函数具有正负交替的特点, 其均值为0。
2• —个母小波函数是一个带通信号。
小波与小波变换简述3 •母小波函数随I绝对值的变大而最终衰减为0。
即其函数表达式具有紧支集。
下图是典型的小波母函数和小波函数。
V11二维信号的小波分解就可以写为：4 yg〉，) = y) + D'jfg y) + D~f(x, y) + D^f{x, y)其中A为低频分量，D可以看为水平、垂直和对角三个方向上的高频分量。
/ /£图像小波变换这里，我们选用的二维图像信号仍然是lenna.jpg O由于lenna是一个RGB图像, 我们仅对其R层进行实验。
编写函数wavelet2D.m来完成央验。
实验结果如下图所示。
却像小波变换 古图像小波变换古图像小波变换清晰的反映了两重小波分解后的各个频率 段信号重构成的图像。
可以发现，低频图像与 原始图像是非常近似的，而高频部分也可以认 为是冗余的噪声部分。
所以，图像载体下的小 波分解信息隐藏算法一般的都是将信息隐藏于 分解后的低频部分，从而获得高的鲁棒性。
当 然的，将信息隐藏于高频系数中，可以获得很 好的不可见性.不可见性与鲁棒性是信息隐藏是一对矛盾。
解决这一矛盾的方法是“折衷‘‘。
算法性能好坏的重要判定依据，二者可以看成 2尺FPffni •减羅8弋《夸丄宀最后，我但来#一下这些频率＞數的具依内容：lennaR是一个256 x 256的二维信号，对其做1层小波分解，得到C是一个1 X 65536的行 ,记录的是低频、水平高频、垂直高频和高频）四个部分的累数。
小波变换教程
小波变换教程小波变换教程一、序言欢迎来到这个小波变换的入门教程。
小波变换是一个相对较新的概念（大概十年的样子），但是有关于它的文章和书籍却不少。
这其中大部分都是由搞数学的人写给其他搞数学的人看的，不过，仍然有大部分搞数学的家伙不知道其他同行们讨论的是什么（我的一个数学教授就承认过）。
换言之，大多数介绍小波变换的文献对那些小波新手们来说用处不大（仅仅为个人观点）。
当我刚开始学习小波变换的时候，曾经为了弄明白这个神奇的领域到底说的是什么困扰了好多天，因为在这个领域的入门书籍少之又少。
为此我决定为那些小波新手们写这个入门级的教程。
我自己当然也是一个新手，也有很多理论性的细节没有弄清楚。
不过，考虑到其工程应用性，我觉得没有必要弄清楚所有的理论细节。
在这篇教程中，我将试图给出一些小波理论的基本原理。
我不会给出这些原理和相关公式的证明，因为我假定预期的读者在读这个教程时并不需要知道这些。
不过，感兴趣的读者可以直接去索引（所列的书籍）中获取更为深入的信息。
在这篇文档中，我假定你没有任何相关知识背景。
如果你有，请忽略以下的信息，因为都是一些很琐碎的东西。
如果你发现教程中有任何不一致或错误的信息，请联系我。
我将乐于看到关于教程的任何评论。
二、变换什么首先，我们为什么需要（对信号做）变换，到底什么是变换？原始信号中有一些信息是很难获取的，为了获得更多的信息，我们就需要对原始信号进行数学变换。
在接下来的教程中，我将时域内的信号视为原始信号，经过数学变换后的信号视为处理信号。
可用的变换有很多种，其中傅立叶变换可能是最受欢迎的一种。
实际中很多原始信号都是时域内的信号，也就是说不管信号是如何测得的，它总是一个以时间为变量的函数。
换言之，当我们画信号图的时候，横轴代表时间（独立变量），纵轴代表信号幅度（非独立变量）。
当我们画信号的时域图时，我们得到了信号的时幅表示。
对大多数信号处理应用来说，这种表示经常不是最好的表示。
在很多时候，大量特殊的信息是隐藏在信号的频率分量中的。
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1. Gabor变换 由于Fourier变换存在着不能同时进行时间－频率 局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。1946年 D.Gabor提出一种加窗的Fourier变换方法，它在非 平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的 信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似 之处。
(1). Gabor变换的定义
由于 e jt 1 ，因此，频谱 F(ω) 的任一频 率成份的值是由时域过程 f(t) 在 －∞, +∞ 上的贡 献决定的，而过程 f(t) 在任一时刻的状态也是由 F(ω) 在整个频域 －∞, +∞ 的贡献决定的。
该性质可由 δ(t) 函数来理解，即时域上的 一个冲激脉冲在频域中具有无限伸展的均匀频 谱。f(t) 与 F(ω) 间的彼此的整体刻划，不能 反映各自在局部区域上的特征。
解决了Fourier变换不能解决的许多困难 问题。小波变换联系了应用数学、物理 学、计算机科学、信号与信息处理、图 像处理、地震勘探等多个学科。
数学家认为，小波分析是一个新的数学 分支，它是泛函分析、Fourier分析、样
调分析、数值分析的完美结晶；
信号和信息处理专家认为，小波分析是时间－－ 尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号 分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据 压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研 究都取得了有科学意义和应用价值的成果；
在实际过程中,时变信号是常见的，如语音信号、 地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希 望知道信号在突变时刻的频率成份，显然利用 Fourier变换处理这些信号，这些非平稳的突变成份 往往被Fourier变换的积分作用平滑掉了。因此，不 能用于局部分析。在实际应用中，也不乏不同的时 间过程却对应着相同的频谱的例子。
Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到 数学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、 Hardy空间原子分解的深入研究已为小波变换 的诞生作了理论上的准备。
后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。 1986年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正 的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波 基的统一方法－－多尺度分析。
数字图像处理学
第3章 图像处理中的正交变换
（第五讲）
3. 6 小波变换
3.6.1 概述 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速 发展的新领域，经过近20年的探索研究，重要的 数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。 与Fourier 变换、Gabor变换相比小波变换是空间 （时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信 号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对 函数或信号进行多尺度的细化分析，
能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦 到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困 难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法 上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显 微镜”。
小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地 球物理学家J.Morlet于1984年提出的。他在分析地 震波的时频局部特性时,希望使用在高频处时窗变窄, 低频处频窗变窄的自适应变换。但Fourier变换很难 能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数， 将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为 “Morlet小波基”。
有人认为，除了微分方程的求解之外， 原则上能用Fourier分析的地方均可以用 小波分析，有时甚至能得到更好的结果。
与Fourier变换、Gabor变换相比，小波变换是 时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩 平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化， 最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，
从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得 一提的是比利时女数学家I.Daubechies的 “Ten lectures on Wavelet”一书对小波的普 及应用起了重要的推动作用。
1986年S.Jafferd、Y.Meyer与从事信号处理的 S.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统 一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造 的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波 基的一般化方法。S.Mallat还提出了小波变换的快 速分解与重构算法，现在称之为Mallat算法。
从物理意义上理解，一个周期振动信号可看成是 具有简单频率的简谐振动的叠加。Fourier展开 正是这一物理过程的数学描述。即：
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e jt d
2
（3—197） (3—198)
Fourier变换的特点是域变换，它把时域和频 域联系起来，把时域内难以显现的特征在频域 中十分清楚地显现出来。频谱分析的本质就是 对 F(ω) 的加工与处理。基于这一基本原理， 现代谱分析已研究与发展了多种行之有效的高 效、多分辨率的分析算法。
为解决此类问题又产生了所谓双正交小波基理 论。在实际应用中，人们还构造了周期小波和 多元小波等。近年来小波分析已深入到非线性 逼近、统计信号处理等领域。由此可见，小波 理论及应用正在逐步发展与完善。
3.6.2 时－频分析 信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换 方法，以便突出信号中重要特性，简化运算的复杂度。 大家熟知的Fourier变换就是一种刻划函数空间，求解 微分方程，进行数值计算的主要方法和有效的数学工具。 它可把许多常见的微分、积分和卷积运算简化为代数运 算。
在Gabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短 时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗 来实现的。整个时域的覆盖是由参数τ的平移达 到的。
该算法在小波分析中的作用相当于FFT在 Foruier变换中的地位。后来，该方法成功地 88年I.Daubechies首先构造了紧支集光 滑小波。从此，小波分析理论得到了系统化。
虽然小波正交基用途广泛，但也存在着不足。 1）、小波正交基的结构复杂； 2）、具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。 因此，它用作滤波器不可能有线性相位，从而产生 信号重构失真。