函数单调性复习教案

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函数的单调性教案()

函数的单调性教案()

函数的单调性教案(优秀)一、教学目标知识与技能目标:理解函数单调性的概念,掌握判断函数单调性的方法,能够运用函数单调性解决实际问题。

过程与方法目标:通过观察、分析、归纳等数学活动,培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。

情感态度与价值观目标:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作意识,使学生感受数学在生活中的应用。

二、教学重点与难点重点:函数单调性的概念及其判断方法。

难点:运用函数单调性解决实际问题。

三、教学准备教师准备:教学课件、例题、习题等教学资源。

学生准备:预习函数单调性的相关知识,准备积极参与课堂讨论。

四、教学过程1. 导入新课教师通过生活中的实例引入函数单调性的概念,激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习学生自主学习函数单调性的定义,理解函数单调性的含义。

3. 课堂讲解教师讲解函数单调性的判断方法,结合实例进行分析,引导学生掌握判断函数单调性的技巧。

4. 互动环节学生分组讨论,合作完成教师布置的例题,教师引导学生总结解题思路。

5. 练习巩固学生独立完成教师布置的练习题,巩固所学知识。

6. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容,强调函数单调性的重要性和应用价值。

五、课后作业1. 完成课后练习题,巩固函数单调性的知识。

2. 选择一个实际问题,运用函数单调性进行解决,并在下节课分享。

3. 预习下一节课的内容,为课堂学习做好充分准备。

六、教学策略1. 情境教学:通过生活实例引入函数单调性,让学生感受数学与生活的紧密联系。

2. 合作学习:鼓励学生分组讨论,共同解决问题,培养学生的团队协作能力。

3. 引导发现:教师引导学生发现函数单调性的规律,培养学生的观察力和思考能力。

4. 实践操作:让学生动手实践,通过完成例题和练习题,提高学生的动手能力。

5. 反馈评价:及时给予学生反馈,鼓励学生自我评价,提高学生的自我学习能力。

七、教学环节1. 导入新课:利用生活实例引入函数单调性,激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习:学生自主学习函数单调性的定义,理解函数单调性的含义。

高中数学函数单调性教案

高中数学函数单调性教案

高中数学函数单调性教案
一、教学目标:
1.了解函数的单调性概念;
2.掌握函数单调递增和单调递减的定义;
3.能够根据函数图像确定函数的单调性;
4.能够应用函数的单调性解决实际问题。

二、教学重点:
1.函数的单调性定义;
2.函数单调递增和单调递减的判定方法;
3.函数单调性在实际问题中的应用。

三、教学难点:
1.理解函数的单调性概念;
2.根据函数图像确定函数的单调性。

四、教学准备:
1.教师准备:课件、黑板、粉笔等;
2.学生准备:课本、笔记、习题册等。

五、教学步骤:
1.引入:教师通过举例子引入函数的单调性概念,并与学生讨论函数单调递增和单调递减
的定义。

2.讲解:教师详细讲解函数单调递增和单调递减的判定方法,包括导数的应用。

3.练习:教师让学生进行练习,通过观察函数图像判断函数的单调性,并完成相关计算题。

4.拓展:教师引导学生探讨函数单调性在实际问题中的应用,并展示相关案例。

5.归纳:教师与学生一起总结本节课的内容,强化理解和记忆。

6.作业:布置相关习题作为课后作业,以巩固学生的学习成果。

六、教学反馈:
1.教师及时回答学生提出的疑问;
2.对学生的作业进行批改,并及时反馈;
3.鼓励学生积极参与课堂讨论,提高学生的学习兴趣和主动性。

函数的单调性教案()

函数的单调性教案()

函数的单调性教案(优秀)第一章:函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标:让学生理解函数单调性的概念,掌握函数单调增和单调减的定义。

教学内容:(1) 引入函数单调性的概念。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。

(3) 举例说明函数单调性的应用。

教学方法:(1) 采用讲解法,讲解函数单调性的定义和例子。

(2) 采用提问法,引导学生思考函数单调性的含义和应用。

教学步骤:(1) 引入函数单调性的概念,引导学生理解函数单调性的意义。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义,举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性,加深对函数单调性的理解。

(4) 总结函数单调性的应用,如解不等式、求最值等。

1.2 函数单调性的性质教学目标:让学生掌握函数单调性的性质,包括传递性、同增异减等。

教学内容:(1) 讲解函数单调性的传递性。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。

(3) 举例说明函数单调性性质的应用。

教学方法:(1) 采用讲解法,讲解函数单调性的性质。

(2) 采用提问法,引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。

教学步骤:(1) 讲解函数单调性的传递性,举例说明。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质,举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性,加深对函数单调性性质的理解。

(4) 总结函数单调性性质的应用,如解不等式、求最值等。

第二章:函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标:让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。

教学内容:(1) 讲解导数与函数单调性的关系。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。

(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。

教学方法:(1) 采用讲解法,讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。

(2) 采用提问法,引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。

教学步骤:(1) 讲解导数与函数单调性的关系,让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法,举例说明。

函数的单调性教案(获奖)

函数的单调性教案(获奖)

函数的单调性教案(获奖)章节一:函数单调性的引入1. 引入概念:单调增加和单调减少2. 讲解实例:设f(x) = x,则f(x)在实数集上单调增加设g(x) = -x,则g(x)在实数集上单调减少3. 总结:函数单调性是描述函数值变化趋势的重要性质,分为单调增加和单调减少两种情况。

章节二:函数单调性的定义1. 定义单调增加:若对于任意的x1 < x2,都有f(x1) ≤f(x2),则称f(x)在区间I上单调增加。

2. 定义单调减少:若对于任意的x1 < x2,都有f(x1) ≥f(x2),则称f(x)在区间I上单调减少。

3. 举例说明:设h(x) = 2x + 3,则h(x)在实数集上单调增加设k(x) = -x^2 + 1,则k(x)在区间[-1, 1]上单调增加,在区间(-∞, -1]和[1, +∞)上单调减少章节三:函数单调性的判断方法1. 导数法:若函数f(x)在区间I上可导,且导数f'(x) ≥0(单调增加)或f'(x) ≤0(单调减少),则f(x)在区间I上单调增加或单调减少。

2. 图像法:绘制函数图像,观察函数值的变化趋势,判断单调性。

3. 表格法:列出函数在不同x值下的函数值,观察函数值的变化规律,判断单调性。

章节四:函数单调性的应用1. 最大值和最小值:对于单调增加的函数,最大值出现在定义域的右端点;对于单调减少的函数,最小值出现在定义域的左端点。

2. 函数的切线:单调增加的函数在切点处的切线斜率为正;单调减少的函数在切点处的切线斜率为负。

3. 函数的图像:单调增加的函数图像上升,单调减少的函数图像下降。

章节五:单调性在实际问题中的应用1. 线性规划:利用函数的单调性确定最优解的位置。

2. 优化问题:求函数的最值,利用函数的单调性判断最值的位置。

3. 经济学:分析市场需求和供给的单调性,预测市场变化趋势。

4. 物理学:研究物体运动的速度和加速度,利用单调性分析物体的运动状态。

《函数单调性教案》

《函数单调性教案》

《函数单调性教案》一、教学目标:1. 理解函数单调性的概念,掌握函数单调增和单调减的定义。

2. 学会利用单调性判断函数的性质,如极值、最值等。

3. 能够运用单调性解决实际问题,如求函数的极值、最值等。

二、教学内容:1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。

2. 单调性的判断方法及应用。

3. 实际问题中的单调性应用。

三、教学重点与难点:1. 函数单调性的概念及判断方法。

2. 单调性在实际问题中的应用。

四、教学方法:1. 讲授法:讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。

2. 案例分析法:分析实际问题,引导学生运用单调性解决问题。

3. 互动教学法:提问、讨论,激发学生的思考。

五、教学过程:1. 导入:复习函数的概念,引导学生思考函数的性质。

2. 讲解:讲解函数单调性的概念,引导学生理解单调增、单调减的定义。

3. 举例:分析具体函数的单调性,让学生学会判断。

4. 练习:布置练习题,让学生巩固单调性的判断方法。

5. 案例分析:分析实际问题,引导学生运用单调性解决问题。

6. 总结:回顾本节课的内容,强调单调性的重要性。

7. 作业布置:布置课后作业,巩固所学内容。

六、教学评估:1. 课堂提问:通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。

2. 练习题:收集学生练习题的答案,评估学生对单调性判断方法的掌握。

3. 案例分析:评估学生在实际问题中运用单调性的能力。

七、教学拓展:1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用,如经济学中的需求曲线、供给曲线等。

2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用,如微分、积分等。

八、教学资源:1. 教材:提供相关教材,为学生提供系统性的学习材料。

2. 课件:制作课件,辅助教学,提高课堂效果。

3. 练习题:准备练习题,巩固所学内容。

4. 实际问题案例:收集实际问题案例,用于教学实践。

九、教学建议:1. 注重概念的理解:在教学过程中,要强调函数单调性概念的理解,让学生明白单调性是什么。

函数的单调性教案(获奖)

函数的单调性教案(获奖)

函数的单调性教案(获奖)第一章:函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念,让学生理解函数单调性的含义。

举例说明函数单调性的两种类型:单调递增和单调递减。

1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性,如在求解极值、最值等问题中的应用。

通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用,如经济学中的需求函数等。

第二章:函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。

引导学生学会识别函数图像中的单调区间。

2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。

教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。

第三章:函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。

通过例题让学生掌握求解极值的方法。

3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。

通过例题让学生理解最值的求解过程。

第四章:函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系,让学生理解导数在单调性判断中的作用。

通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。

4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用,如优化问题、经济问题等。

通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。

第五章:综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题,让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。

引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。

5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用,如微分方程、线性代数等。

提供一些拓展问题,激发学生的学习兴趣和思考能力。

第六章:函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系,如微分、积分、极限等。

通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。

6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用,如求解最大值、最小值等。

通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。

《函数的单调性》教学设计[合集5篇]

《函数的单调性》教学设计[合集5篇]

《函数的单调性》教学设计[合集5篇]第一篇:《函数的单调性》教学设计《函数的单调性》教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质.从知识的网络结构上看,函数的单调性既是函数概念的延续和拓展,又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础,在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用.函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法,对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用.二、教学目标(1)知识与技能目标:使学生理解函数单调性的概念,初步掌握判别函数单调性的方法;(2)过程与方法目标:引导学生通过观察、归纳、抽象、概括,自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.(3)情感态度与价值观:在函数单调性的学习过程中,使学生体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.三、教法学法分析教法分析:1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极性.2、在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念.3、在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并顺利地完成书面表达.学法分析:1、让学生利用图形直观启迪思维,并通过正、反例的构造,来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃.2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.四、教学过程函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点,为了突破这一难点,在教学设计上采用了下列四个环节.(一)创设情境,提出问题(问题情境)(播放中央电视台天气预报的音乐).如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图,观察这张气温变化图:[教师活动]引导学生观察图象,提出问题:问题1:说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的?问题2:怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征?[设计意图]问题是数学的心脏,问题是学生思维的开始,问题是学生兴趣的开始.这里,通过两个问题,引发学生的进一步学习的好奇心.(二)探究发现建构概念[学生活动]对于问题1,学生容易给出答案.问题2对学生来说较为抽象,不易回答. [教师活动]为了引导学生解决问题2,先让学生观察图象,通过具体情形,例如,“t1=8时,这一情形进行描述.引导学生回答:对于自变量8<10,f(t1)=1,t2=10时,f(t2)=4”对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题:结合图象,请你用自己的语言,描述“在区间[4,14]上,气温随时间增大而升高”这一特征.在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时,进一步提出:问题3:对于任意的t1、t2∈[4,16]时,当t1<t2时,是否都有f(t1)<f(t2)呢? [学生活动]通过观察图象、进行实验(计算机)、正反对比,发现数量关系,由具体到抽象,由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性,并尝试用符号语言进行初步的表述.[教师活动]为了获得单调增函数概念,对于不同学生的表述进行分析、归类,引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”.告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”,之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述.提出:问题4:类比单调增函数概念,你能给出单调减函数的概念吗?最后完成单调性和单调区间概念的整体表述.[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要.但概念的高度抽象,造成了难懂、难教和难学,这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去,从自己的经验和已有的知识基础出发,经历“数学化”、“再创造”的活动过程.刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力,但抽象思维能力不强.从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点.(三)自我尝试运用概念1.为了理解函数单调性的概念,及时地进行运用是十分必要的.[教师活动]问题5:(1)你能找出气温图中的单调区间吗?(2)你能说出你学过的函数的单调区间吗?请举例说明.[学生活动]对于(1),学生容易看出:气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间.对于(2),学生容易举出具体函数如:并画出函数的草图,根据函数的图象说出函数的单调区间.[教师活动]利用实物投影仪,投影出学生画出的草图和标出的单调区间,并指出学生回答问题时可能出现的错误,如:在叙述函数的单调区间时写成并集.[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题,使学生明了,过去所研究的函数的相关特征,就是现在所学的函数的单调性,从而加深对函数单调性概念的理解.2.对于给定图象的函数,借助于图象,我们可以直观地判定函数的单调性,也能找到单调区间.而对于一般的函数,我们怎样去判定函数的单调性呢?[教师活动]问题6:证明f(x)=1在区间(0,+ ∞)上是单调减函数.x[学生活动]学生相互讨论,尝试自主进行函数单调性的证明,可能会出现不知如何比较f(x1)与f(x2)的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难.[教师活动]教师深入学生中,与学生交流,了解学生思考问题的进展过程,投影学生的证明过程,纠正出现的错误,规范书写的格式.[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程:取值作差变形定号判断.[设计意图]有效的数学学习过程,不能单纯的模仿与记忆,数学思想的领悟和学习过程更是如此.利用学生自己提出的问题,让学生在解题过程中亲身经历和实践体验,师生互动学习,生生合作交流,共同探究.(四)回顾反思深化概念 [教师活动]给出一组题:1、定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)>f(1),那么函数f(x)是R 上的单调增函数还是单调减函数?2、若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1+a)<f(3-a),你能确定实数的取值范围吗?[学生活动]学生互相讨论,探求问题的解答和问题的解决过程,并通过问题,归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的主体参与,使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法,从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置:(1)阅读课本P29例1、2(2)书面作业:必做:教材作业选做:二次函数y=x2+bx+c在[0,+∞)是增函数,满足条件的实数b的值唯一吗?探究:函数y=x在定义域内是增函数,函数y=1有两个单调减区间,由这两个基本函x数构成的函数y=x+1的单调性如何?请证明你得到的结论.x[设计意图]通过两方面的作业,使学生养成先看书,后做作业的习惯.基于函数单调性内容的特点及学生实际,对课后书面作业实施分层设置,安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层.学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种,使学生在完成必修教材基本学习任务的同时,拓展自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而激发学生饱满的学习兴趣,促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成.五、教学评价学生学习的结果评价当然重要,但是更重要的是学生学习的过程评价.教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力,以及学习的兴趣和成就感.学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣,问题串的设计可以让更多的学生主动参与,师生对话可以实现师生合作,适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神,知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦,缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯.让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高,为学生的可持续发展打下基础.第二篇:函数单调性教学设计函数单调性教学设计关于函数的单调性习题课教学设计,本人在听了专家的讲解后感到受益匪浅,结合平时的教学,有些教学方面的心得如下,希望专家和同行批评指正。

函数的单调性 教案

函数的单调性 教案

函数的单调性教案教案标题:函数的单调性教案目标:1. 理解函数的单调性的概念和意义;2. 掌握判断函数单调性的方法和技巧;3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。

教案步骤:引入与导入(5分钟):1. 引入函数的概念,复习函数的定义和表示方法;2. 引入函数的单调性的概念,解释函数的单调性与图像的关系。

讲解与示范(15分钟):1. 解释函数的单调性的定义:若对于函数f(x)的定义域内的任意两个实数a和b,若a < b,则有f(a) < f(b)(单调递增)或f(a) > f(b)(单调递减);2. 示范判断函数的单调性的方法:通过函数的导数、函数的图像、函数的表格等方式。

练习与讨论(20分钟):1. 练习判断函数的单调性:给出一些函数的表达式或图像,学生根据定义判断其单调性;2. 学生讨论判断函数单调性的方法和技巧,分享自己的解题思路。

应用与拓展(15分钟):1. 应用函数的单调性解决实际问题:例如利用函数的单调性解决最优化问题、优化生产过程等;2. 拓展函数的单调性概念:介绍函数的严格单调性和非严格单调性,以及函数的局部单调性和整体单调性。

总结与延伸(5分钟):1. 总结函数的单调性的概念和判断方法;2. 引导学生思考函数的单调性在数学和实际问题中的应用。

教案评估:1. 出示几个函数的图像,要求学生判断其单调性;2. 布置作业,要求学生解决一个实际问题,应用函数的单调性进行分析和求解。

教案拓展:1. 引入函数的凹凸性的概念,与函数的单调性进行比较;2. 引入函数的最值概念,与函数的单调性进行联系和探讨。

函数的单调性教案

函数的单调性教案

函数的单调性教案第一章:函数单调性的基本概念1.1 引入:引导学生回顾初中阶段学过的函数概念,复习一次函数、二次函数的图像和性质。

提问:函数的图像是否具有单调性?如何描述函数的单调性?1.2 单调性的定义:讲解函数单调性的定义,引导学生理解单调递增和单调递减的概念。

举例说明:如y=x,y=2x+1等函数的单调性。

1.3 单调性的判断:教授如何判断函数的单调性,引导学生掌握利用导数或图像判断单调性的方法。

第二章:单调递增函数的性质2.1 单调递增的定义:复习单调递增的定义,强调函数值随着自变量的增加而增加的特点。

举例说明:如y=x,y=2x+1等函数的单调递增性质。

2.2 单调递增函数的图像:讲解单调递增函数的图像特点,引导学生理解函数图像随着x的增加而上升的趋势。

2.3 单调递增函数的性质:教授单调递增函数的性质,如凹凸性、极值等。

第三章:单调递减函数的性质3.1 单调递减的定义:复习单调递减的定义,强调函数值随着自变量的增加而减少的特点。

举例说明:如y=-x,y=-2x-1等函数的单调递减性质。

3.2 单调递减函数的图像:讲解单调递减函数的图像特点,引导学生理解函数图像随着x的增加而下降的趋势。

3.3 单调递减函数的性质:教授单调递减函数的性质,如凹凸性、极值等。

第四章:单调性的应用4.1 最大值和最小值:讲解如何利用函数的单调性求解最大值和最小值问题。

4.2 函数的单调区间:讲解如何确定函数的单调递增区间和单调递减区间。

4.3 函数的单调性与方程的解:讲解如何利用函数的单调性来解决方程的解的问题。

第五章:单调性的综合应用5.1 函数图像的变换:讲解如何利用单调性来分析和理解函数图像的平移、翻折等变换。

5.2 函数的单调性与实际问题:引导学生将函数的单调性应用于解决实际问题,如优化问题、经济问题等。

5.3 单调性的进一步探讨:引导学生思考单调性的局限性,如非单调函数的特殊情况。

第六章:复合函数的单调性6.1 复合函数的概念:引导学生回顾复合函数的定义,理解复合函数是由两个或多个基本函数通过函数运算组合而成的。

函数的单调性教案(获奖)

函数的单调性教案(获奖)

函数的单调性教案(获奖)第一章:函数单调性的概念及定义1.1 引入:通过实际例子,让学生感受函数单调性在实际生活中的应用,如商品价格的变化、物体运动的速度等。

1.2 讲解:单调性的定义,函数单调递增和单调递减的概念。

1.3 练习:判断几个简单函数的单调性,如f(x)=x, f(x)=-x, f(x)=x^2等。

第二章:函数单调性的判断方法2.1 引入:通过实际例子,让学生理解单调性判断的重要性。

2.2 讲解:利用导数、图像、定义等方法判断函数的单调性。

2.3 练习:判断一些复杂函数的单调性,并进行验证。

第三章:函数单调性的应用3.1 引入:通过实际例子,让学生感受函数单调性在实际生活中的应用,如最优化问题、不等式的证明等。

3.2 讲解:函数单调性在解决最优化问题、不等式证明等方面的应用。

3.3 练习:解决一些实际问题,如求函数的最值、证明不等式等。

第四章:函数单调性的性质与定理4.1 引入:通过实际例子,让学生感受函数单调性在实际生活中的应用,如函数的周期性、奇偶性等。

4.2 讲解:函数单调性的性质与定理,如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

4.3 练习:运用性质与定理解决一些实际问题。

第五章:函数单调性与导数的关系5.1 引入:通过实际例子,让学生感受函数单调性在实际生活中的应用,如函数的极值点。

5.2 讲解:函数单调性与导数的关系,如单调递增的充分必要条件是导数大于0,单调递减的充分必要条件是导数小于0。

5.3 练习:判断函数的单调性,并找出其极值点。

第六章:复合函数的单调性6.1 引入:通过实际例子,让学生感受复合函数单调性在实际生活中的应用,如温度随高度和纬度的变化。

6.2 讲解:复合函数单调性的定义和判断方法。

6.3 练习:判断复合函数的单调性,并进行验证。

第七章:反函数的单调性7.1 引入:通过实际例子,让学生感受反函数单调性在实际生活中的应用,如坐标系的转换。

7.2 讲解:反函数单调性的性质和判断方法。

函数单调性复习教案

函数单调性复习教案

函数单调性复习教案教案标题:函数单调性复习教案教学目标:1. 确定学生对函数单调性的理解程度,并能够准确地定义函数的单调性。

2. 帮助学生回顾和巩固函数单调性的相关概念和性质。

3. 培养学生通过图像、表格和符号等多种方式判断函数的单调性的能力。

4. 提供练习和应用机会,以加深学生对函数单调性的理解和运用。

教学准备:1. 教师准备多媒体投影仪、电脑和投影屏幕。

2. 教师准备白板、白板笔和彩色粉笔。

3. 教师准备教材、教辅资料和练习题。

教学过程:一、导入(5分钟)1. 教师通过提问或展示一个函数图像的方式引入本节课的话题。

2. 引导学生回顾函数的基本概念和性质,例如定义域、值域、图像、奇偶性等。

二、概念复习(10分钟)1. 教师通过多媒体投影仪展示函数单调性的定义和相关概念。

2. 引导学生参与讨论,共同理解函数单调性的含义和特点。

3. 教师通过示例函数的图像和数学表达式,引导学生判断函数的单调性。

三、性质讲解(15分钟)1. 教师通过多媒体投影仪展示函数单调性的性质和判断方法。

2. 引导学生思考和讨论函数单调性与导数的关系,进一步理解函数单调性的特点。

3. 教师通过具体的例子和练习题,帮助学生掌握函数单调性的判断方法。

四、练习与应用(20分钟)1. 教师提供一些练习题,要求学生通过图像、表格和符号等方式判断函数的单调性。

2. 学生个别或小组合作完成练习,教师及时给予指导和反馈。

3. 教师引导学生应用函数单调性的概念和性质解决实际问题,培养学生的应用能力。

五、总结与拓展(10分钟)1. 教师与学生一起总结本节课的重点内容和学习收获。

2. 教师提供一些拓展问题,鼓励学生进一步思考和探索函数单调性的相关问题。

3. 教师布置课后作业,巩固和拓展学生对函数单调性的理解和应用。

教学评估:1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。

2. 教师检查学生完成的练习题和课后作业,评估学生对函数单调性的掌握情况。

3. 教师与学生进行互动问答,检验学生对函数单调性的理解和运用能力。

初中数学函数单调性教案

初中数学函数单调性教案

教案:初中数学函数单调性教学目标:1. 理解函数单调性的概念,能够判断函数的单调性。

2. 能够利用函数单调性解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容:1. 函数单调性的定义和判断方法。

2. 利用函数单调性解决实际问题。

教学过程:一、导入(5分钟)1. 引导学生回顾函数的概念和图像,复习已学的函数性质。

2. 提问:我们已经学过函数的哪些性质?这些性质在实际问题中有什么应用?二、新课讲解(20分钟)1. 引入函数单调性的概念:如果函数f(x)在区间I上,对于任意的x1、x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I上单调递增;如果函数f(x)在区间I上,对于任意的x1、x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上单调递减。

2. 讲解判断函数单调性的方法:(1)观察函数图像:通过观察函数图像,可以直观地判断函数的单调性。

(2)求导数:对于一些复杂的函数,可以通过求导数来判断函数的单调性。

3. 举例讲解:(1)举例说明函数单调递增和单调递减的情况。

(2)利用导数判断函数单调性的例子。

三、练习与讨论(15分钟)1. 让学生独立完成练习题,巩固函数单调性的理解和判断方法。

2. 引导学生讨论练习题中的问题,分享解题思路和经验。

四、实际问题应用(10分钟)1. 提出实际问题,让学生利用函数单调性来解决。

2. 引导学生思考和讨论,指导学生运用函数单调性解决问题的方法。

五、总结与反思(5分钟)1. 让学生总结本节课所学的内容,巩固函数单调性的理解和判断方法。

2. 引导学生反思在学习过程中遇到的问题和困难,鼓励学生提问和交流。

教学评价:1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生练习题的完成情况和讨论的积极性。

3. 学生对实际问题应用函数单调性的理解和解决问题的能力。

教学资源:1. 函数图像的示例。

2. 练习题和实际问题。

函数的基本性质单调性教案

函数的基本性质单调性教案

函数的基本性质-单调性教案第一章:函数单调性的概念与定义1.1 引入:通过实际例子,让学生感受函数单调性的存在。

1.2 单调性的定义:函数单调递增和单调递减的定义。

1.3 单调性的表示:用符号表示函数的单调性。

1.4 单调性的性质:单调性的一些基本性质,如传递性、复合函数的单调性等。

第二章:函数单调性的判断与证明2.1 单调性的判断方法:通过导数或者图像来判断函数的单调性。

2.2 单调性的证明:利用导数或者定义来证明函数的单调性。

2.3 单调性的应用:利用单调性解决一些实际问题,如最值问题、不等式问题等。

第三章:函数单调性与极值的关系3.1 极值的概念:函数的极大值和极小值的定义。

3.2 极值与单调性的关系:函数在极值点附近的单调性变化。

3.3 利用单调性求极值:通过单调性来确定函数的极值点。

第四章:函数单调性与图像的关系4.1 图像的单调性:函数图像的单调递增和单调递减。

4.2 单调性与图像的交点:函数图像的交点与单调性的关系。

4.3 利用图像判断单调性:通过观察函数图像来判断函数的单调性。

第五章:函数单调性的应用5.1 函数的单调区间:确定函数的单调递增或单调递减区间。

5.2 单调性与函数值的关系:函数值的变化与单调性的关系。

5.3 应用实例:利用单调性解决实际问题,如最大值、最小值问题等。

第六章:单调性在实际问题中的应用6.1 引言:通过实际问题引入单调性的应用。

6.2 单调性在优化问题中的应用:如最短路径问题、最大收益问题等。

6.3 单调性在经济学中的应用:如市场需求、价格调整等。

第七章:函数单调性的进一步探讨7.1 函数的严格单调性:严格单调递增和严格单调递减的定义。

7.2 单调性的不变性:函数单调性在坐标变换下的性质。

7.3 单调性与连续性的关系:连续函数的单调性性质。

第八章:复合函数的单调性8.1 复合函数的定义:两个函数的组合。

8.2 复合函数的单调性:复合函数单调性的判定方法。

函数单调性复习教案

函数单调性复习教案

北京梦飞翔教育个性化辅导教案学生:教师:时间:年月日_____段课时:学管师签字:___________函数的单调性(二)考点分析考点1 函数的单调性题型1:讨论函数的单调性例1. 求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间;例2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.例3.设0a >,()x xe af x a e =+是R 上的偶函数. (1)求a 的值;(2)证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.题型2:研究抽象函数的单调性例1.定义在R 上的函数)(x f y =,0)0(≠f ,当x >0时,1)(>x f ,且对任意的a 、b ∈R ,有f (a +b )=f (a )·f (b )。

(1)求证:f (0)=1;(2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f (x )>0;(3)求证:f (x )是R 上的增函数;(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1,求x 的取值范围.例2.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+,且当1x >时()0,(2)1f x f >=,(1)求证:()f x 是偶函数;(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(3)解不等式2(21)2f x -<.题型3:函数的单调性的应用例1.若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数a 的取值范围是______ 例2.已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围_____考点2 函数的值域(最值)的求法题型1:求分式函数的最值例1.(2007上海)已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当21=a 时,求函数)(x f 的最小值。

高中数学单调性的教案

高中数学单调性的教案

高中数学单调性的教案
课题:单调性
教学目标:
1. 理解函数的单调性的概念和性质;
2. 掌握函数单调递增和单调递减的判定方法;
3. 能够应用单调性定理解决实际问题。

教学重点和难点:
重点:函数的单调性概念和基本性质的理解;
难点:单调性定理的应用和实际问题的解决。

教学资源:
教材、黑板、彩色粉笔、计算器等。

教学步骤:
一、导入(5分钟)
1. 引入单调性的概念,让学生回顾函数的增减性,并引出单调递增和单调递减的定义。

二、讲解(15分钟)
1. 通过例题讲解单调递增和单调递减的判定方法;
2. 讲解单调性定理,引导学生理解单调性的基本性质。

三、练习(20分钟)
1. 学生根据所学知识,尝试解决一些简单的函数单调性问题;
2. 带领学生一起解答复杂的单调性定理应用问题。

四、拓展(10分钟)
1. 引导学生思考函数单调性与导数之间的关系;
2. 通过实例讨论函数单调性在实际问题中的应用。

五、总结(5分钟)
1. 总结本节课所学内容,确认学生对单调性的理解程度;
2. 引导学生思考如何更好地应用单调性定理解决各类问题。

六、作业布置(5分钟)
1. 布置练习题,巩固单调性的知识点;
2. 鼓励学生在日常生活中,发现函数单调性的应用实例。

教学反思:
通过本节课的教学,学生对单调性的概念和性质有了进一步的理解,能够应用单调性定理解决实际问题。

但在教学过程中,学生的动手能力和思维能力有待提高,需要在以后的教学中加强练习和引导。

函数的单调性复习教案人教版

函数的单调性复习教案人教版
2.函数单调性基础知识讲解(10分钟)
目标:让学生了解函数单调性的基本概念和判断方法。
过程:
讲解函数单调性的定义,包括其主要判断方法和条件。
详细介绍函数单调性的判断方法,使用图表或示意图帮助学生理解。
3.函数单调性案例分析(20分钟)
目标:通过具体案例,让学生深入了解函数单调性的特性和重要性。
过程:
③设计有趣的比喻或例子,如将函数单调性比作“爬山”和“下山”,让学生更容易理解和记忆。
3.板书设计简洁明了:
①使用简洁明了的语言,避免冗长的解释,如“增函数”可以用箭头向上表示,“减函数”可以用箭头向下表示。
②合理安排板书的布局,使得知识点的呈现有序且不拥挤,便于学生跟随和记忆。
教学反思与总结
1.教学反思:
2.教学总结:
本节课的教学效果总体上是积极的,学生对函数单调性的概念和应用有了更深入的理解和掌握。在知识方面,学生能够准确描述函数单调性的定义,掌握判断函数单调性增减的方法,并能够运用到具体函数中。在技能方面,学生能够将函数单调性的知识应用到实际问题中,通过分析函数的单调性来解决优化问题和不等式问题。在情感态度方面,学生对函数单调性产生了浓厚的兴趣,对数学学习更加积极和主动。
(1)复习函数单调性的基本概念和判断方法,要求学生能够准确描述函数单调性的定义,掌握判断函数单调性增减的方法,并能够运用到具体函数中。
(2)应用函数单调性解决实际问题,要求学生能够将函数单调性的知识应用到实际问题中,通过分析函数的单调性来解决优化问题和不等式问题。
(3)强化函数单调性的综合应用,要求学生能够综合运用函数单调性的知识,解决复杂的数学问题,提高他们的数学思维和问题解决能力。
然而,本节课的教学中也存在一些问题和不足。首先,学生在理解和运用函数单调性的判断方法上还存在一定的困难,需要进一步加强指导和练习。其次,小组讨论的组织和管理需要改进,以提高学生的参与度和讨论的有序进行。针对这些问题,我将在今后的教学中采取相应的改进措施和建议。例如,在讲解函数单调性的判断方法时,可以设置具体的例题和练习题,让学生多次接触和练习,加深对概念的理解。同时,制定明确的小组讨论规则,对小组讨论进行有效的引导和监督,确保每个学生都能够积极参与并充分表达自己学生的学习效果,为今后的教学提供参考和借鉴。

《函数单调性教案》

《函数单调性教案》

《函数单调性教案》教案章节:一、函数单调性的概念教学目标:1. 了解函数单调性的概念;2. 学会判断函数的单调性;3. 能够应用函数单调性解决实际问题。

教学内容:1. 引入函数单调性的概念;2. 讲解函数单调性的判断方法;3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。

教学步骤:1. 引入实例,引导学生思考函数的单调性;2. 给出函数单调性的定义,解释单调递增和单调递减的概念;3. 讲解函数单调性的判断方法,引导学生进行判断;4. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用,如最优化问题、经济问题等;5. 总结本节课的重点内容,布置作业。

教案章节:二、函数单调性的判断方法教学目标:1. 学会判断函数的单调性;2. 掌握函数单调性的判断方法;3. 能够应用函数单调性解决实际问题。

教学内容:1. 回顾函数单调性的概念;2. 讲解函数单调性的判断方法;3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。

教学步骤:1. 复习函数单调性的概念,引导学生回顾上一节课的内容;2. 讲解函数单调性的判断方法,如导数法、图像法等;3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用,如最优化问题、经济问题等;4. 练习判断函数的单调性,让学生巩固所学知识;5. 总结本节课的重点内容,布置作业。

教案章节:三、函数单调性与最优化问题教学目标:1. 了解函数单调性与最优化问题的关系;2. 学会应用函数单调性解决最优化问题;3. 能够应用函数单调性解决实际问题。

教学内容:1. 引入函数单调性与最优化问题的关系;2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用;3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。

教学步骤:1. 引入实例,引导学生思考函数单调性与最优化问题的关系;2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用,如求函数的最大值、最小值等;3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用,如成本最小化问题、收益最大化问题等;4. 练习解决最优化问题,让学生巩固所学知识;5. 总结本节课的重点内容,布置作业。

函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)

函数单调性教案函数单调性教学设计(6篇)

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《函数的单调性》教学设计【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一其次章第三节的内容。

在此之前,学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个根底学问点,是讨论和争论初等函数有关性质的根底。

把握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底,还有利于培育学生的抽象思维力量及分析问题和解决问题的力量.【学生分析】从学生的学问上看,学生已经学过一次函数,二次函数,反比例函数等简洁函数,函数的概念及函数的表示,接下来的任务是对函数应当连续讨论什么,从各种函数关系中讨论它们的共同属性,应当是顺理成章的。

从学生现有的学习力量看,通过初中对函数的熟悉与试验,学生已具备了肯定的观看事物的力量,积存了一些讨论问题的阅历,在肯定程度上具备了抽象、概括的力量和语言转换力量。

从学生的心理学习心理上看,学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题,也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比拟简单发觉的一共性质,学生也简单产生共鸣,通过比照产生顿悟,渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感根底。

【教学目标】1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培育学生观看、归纳、抽象的力量和语言表达力量.3.通过学问的探究过程培育学生细心观看、仔细分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经受从详细到抽象,从特别到一般,从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.【教学方法】教师启发讲授,学生探究学习.【教学手段】计算机、投影仪.【教学过程】教学根本流程1、视频导入------营造气氛激发兴趣2、直观的熟悉增(减)函数-----问题探究3、定量分析增(减)函数)-----归纳规律4、给出增(减)函数的定义------展现结果5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 稳固深化 7、课堂收获 ------提高升华(一)创设情景,提醒课题1.钱江潮,自古称之为“天下奇观”。

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北京梦飞翔教育个性化辅导教案学生:教师:时间:年月日_____段课时:学管师签字:___________函数的单调性(二)考点分析考点1 函数的单调性题型1:讨论函数的单调性例1. 求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间;例2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.例3.设0a >,()x xe af x a e =+是R 上的偶函数. (1)求a 的值;(2)证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.题型2:研究抽象函数的单调性例1.定义在R 上的函数)(x f y =,0)0(≠f ,当x >0时,1)(>x f ,且对任意的a 、b ∈R ,有f (a +b )=f (a )·f (b )。

(1)求证:f (0)=1;(2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f (x )>0;(3)求证:f (x )是R 上的增函数;(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1,求x 的取值范围.例2.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+,且当1x >时()0,(2)1f x f >=,(1)求证:()f x 是偶函数;(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(3)解不等式2(21)2f x -<.题型3:函数的单调性的应用例1.若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数a 的取值范围是______ 例2.已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围_____考点2 函数的值域(最值)的求法题型1:求分式函数的最值例1.(2007上海)已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当21=a 时,求函数)(x f 的最小值。

题型2:利用函数的最值求参数的取值范围例2.(2008广东)已知函数xax x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a的取值范围。

课后作业:1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( ) A .y =2x +1 B .y =3x 2+1 C .y =2xD .y =|x |2.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A .y =x 2+1 B .y =|x |+1 C .y =⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +1,x ≥0,x 3+1,x <0 D .y =⎩⎪⎨⎪⎧e x,x ≥0,e -x ,x <0 3.(2010·北京)给定函数①y =x 12;②y =log 12(x +1);③y =|x -1|;④y =2x +1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A .①②B .②③C .③④D .①④※4.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x +4),当x >2时,f (x )单调递增,如果x 1+x 2<4,且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)的值( )A .恒小于0B .恒大于0C .可能为0D .可正可负5.若函数f (x )=|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a -1)上单调递减,则实数a 的取值范围是________. 6.函数f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ,则a =________.7.函数f (x )=ax +1x +2在区间(-2,+∞)上是递增的,求实数a 的取值范围.函数的单调性(一)知识梳理1、函数的单调性定义:设函数)(x f y =的定义域为A ,区间A I ⊆,如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数,I 称为)(x f y =的单调增区间;如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数,I 称为)(x f y =的单调减区间。

如果用导数的语言来,那就是:设函数)(x f y =,如果在某区间I 上0)(>'x f ,那么)(x f 为区间I 上的增函数;如果在某区间I 上0)(<'x f ,那么)(x f 为区间I 上的减函数;2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法: (1)①定义法(取值――作差――变形――定号);②导数法(在区间(,)a b 内,若总有()0f x '>,则()f x 为增函数;反之,若()f x 在区间(,)a b 内为增函数,则()0f x '≥,(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意(0by ax a x=+>0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为(,)-∞+∞,减区间为[. (3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减(4)若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数(减函数),那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数(减函数)。

3、单调性的说明:(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域;(2)函数单调性定义中的1x ,2x 有三个特征:一是任意性;二是大小,即)(2121x x x x <<;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;(3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的,只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞。

4、函数的最大(小)值设函数)(x f y =的定义域为A ,如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≤恒成立,那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值;如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≥恒成立,那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

(二)考点分析考点1 函数的单调性题型1:讨论函数的单调性例1.(1)求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间;解:(1)单调减区间为:(2,),+∞单调增区间为(,1)-∞,例2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.解: 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则f(x)= 12-x ,可分解成两个简单函数.f(x)=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时,u(x)为增函数,)(x u 为增函数.∴f (x )=12-x 在[1,+∞)上为增函数.当x ≤-1时,u (x)为减函数,)(x u 为减函数,∴f(x)=12-x 在(-∞,-1]上为减函数.例3.设0a >,()x xe af x a e =+是R 上的偶函数. (1)求a 的值;(2)证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.解:(1)依题意,对一切x R ∈,有()()f x f x -=,即1x xx x e a ae ae a e+=+ ∴11()()xxa e ae--0=对一切x R ∈成立,则10a a -=,∴1a =±,∵0a >,∴1a =. (2)设120x x <<,则12121211()()x xx x f x f x e e e e -=-+-2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e ee e+-++-=--=-,由12210,0,0x x x x >>->,得21120,10x x x x e -+>->,2110x x e +-<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴()f x 在(0,)+∞上为增函数. 题型2:研究抽象函数的单调性例1.定义在R 上的函数)(x f y =,0)0(≠f ,当x >0时,1)(>x f ,且对任意的a 、b ∈R ,有f (a +b )=f (a )·f (b )。

(1)求证:f (0)=1;(2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f (x )>0;(3)求证:f (x )是R 上的增函数;(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1,求x 的取值范围.[解析](1)证明:令a =b =0,则f (0)=f 2(0).又f (0)≠0,∴f (0)=1.(2)证明:当x <0时,-x >0,∴f (0)=f (x )·f (-x )=1.∴f (-x )=)(1x f >0.又x ≥0时f (x )≥1>0,∴x ∈R 时,恒有f (x )>0. (3)证明:设x 1<x 2,则x 2-x 1>0.∴f (x 2)=f (x 2-x 1+x 1)=f (x 2-x 1)·f (x 1). ∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)>1.又f (x 1)>0,∴f (x 2-x 1)·f (x 1)>f (x 1). ∴f (x 2)>f (x 1).∴f (x )是R 上的增函数.(4)解:由f (x )·f (2x -x 2)>1,f (0)=1得f (3x -x 2)>f (0).又f (x )是R 上的增函数,∴3x -x 2>0.∴0<x <3.例2.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+,且当1x >时()0,(2)1f x f >=,(1)求证:()f x 是偶函数;(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(3)解不等式2(21)2f x -<. 解:(1)令121x x ==,得(1)2(1)f f =,∴(1)0f =,令121x x ==-,得∴(1)0f -=, ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=,∴()f x 是偶函数. (2)设210x x >>,则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x xf x f f x f x x =+-= ∵210x x >>,∴211x x >,∴21()xf x 0>,即21()()0f x f x ->,∴21()()f x f x >∴()f x 在(0,)+∞上是增函数. (3)(2)1f =,∴(4)(2)(2)2f f f =+=,∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<,又∵函数在(0,)+∞上是增函数,∴2|21|4x -<,解得:22x -<<,即不等式的解集为(. 题型3:函数的单调性的应用例1.若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数a 的取值范围是______(答:3-≤a ));例2.已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围_____(答:1(,)2+∞); ※例3.函数9()log (8)af x x x =+-在[1,)+∞上是增函数,求a 的取值范围.分析:由函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息:①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <;②当1x ≥时,80ax x +->恒成立.解:∵函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数,∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <,即919212log (8)log (8)a ax x x x +-<+-,得 121288a a x x x x +-<+-,即1212()(1)0a x x x x -+<, ∵120x x -<,∴1210,a x x +> 121,ax x >- 12a x x >-, ∵211x x >≥,∴要使12a x x >-恒成立, a ≥-1;又∵函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数,∴180a +->, 即9a <,综上a 的取值范围为[1,9)-.另解:(用导数求解)令()8a g x x x =+-,函数9()log (8)af x x x=+-在[1,)+∞上是增函数, ∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数,2()1ag x x'=+,∴180a +->,且210ax+≥在[1,)+∞上恒成立,得19a -≤<.考点2 函数的值域(最值)的求法 求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。

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