数学分析12.3一般项级数

第十二章 数项级数

2 一般项级数

一、交错级数

概念：若级数各项符号正负相间，即

u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.

定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞

=+1n n 1n u (-1)满足：

(1)数列{u n }单调递减；(2)∞

n lim +→u n =0，则该级数收敛.

证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知

0

m lim +→S 2m-1=∞

m lim +→S 2m =S.

∴数列{S n }收敛，即该交错级数收敛.

推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|R n |≤u n+1.

二、绝对收敛级数及其性质

概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛， 则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为

条件收敛级数.

定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.

证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！

例1：证明：级数∑!

n a n

收敛.

证：∵n

1n ∞n u u lim

++→=1n a

lim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛.

性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞

=1n k(n)u 也是级数∑∞

=1

n n

u 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞

=1

n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +….

定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数.

证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和.

∵级数∑n v 是∑n u 的重排，∴对每一个v k 都等于某一k

i u (1≤k ≤m).

记n=max{i 1,i 2,…i m }, 则对任何m ，都存在n ，使T m ≤S n .

由∞

n lim +→S n =S 知，对任何正整数m 有T m ≤S, 即∑n v 收敛，其和T ≤S.

又级数∑n u 也是∑n v 的重排，∴S ≤T ，推得T=S.

若∑n u 为一般级数且绝对收敛，即正项级数∑n u 收敛，同理可推得 级数∑n v 收敛，∴级数∑n v 收敛. 令p n =

2

u u n

n +，q n =

2

u u n

n -；

则当u n ≥0时，p n =u n ，q n =u n ；当u n <0时，p n =0，q n =-u n ≥0. 从而有 0≤p n ≤|u n |，0≤q n ≤|u n |，p n +q n =|u n |，p n -q n =u n . 又∑n u 收敛， ∴∑n p ,∑n q 都是正项的收敛级数，且S=∑n u =∑n p -∑n q .

同理得：∑n v =∑'n p -∑'n q ，其中∑'n p ,∑'n q 分别是∑n p ,∑n q 的重排. ∴∑n v =∑'n p -∑'n q =∑n p -∑n q =S. 得证!

性质2：级数的乘积：由a ∑n u =∑n au 可推得

有限项和与级数的乘积：(a 1+a 2+…+a m )∑∞

=1

n n u =∑∑∞

==1n n m

1

k k u a .

继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数∑n u =A, ∑n

v

=B.

将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：

这些乘积u i v j按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：

或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：

定理12.14：(柯西定理) 设绝对收敛级数∑n u=A, ∑n v=B，则由它们中每一项所有可能的乘积u i v j按任意顺序排列所得到的级数∑n w绝对收敛，且其和等于AB.

证：设级数∑n w,∑n u,∑n v的部分和分别为：

S n =|w 1|+|w 2|+…+|w n |,A m =|u 1|+|u 2|+…+|u m |,B m =|v 1|+|v 2|+…+|v m |. 其中w k =k

k

j i v u (k=1,2,…,n)，m=max{i 1,j 1,i 2,j 2,…,i n ,j n }，则必有S n ≤A m B m .

∵绝对收敛级数∑n u 与∑n v 的部分和数列{A m }和{B m }都有界， ∴{S n }有界，从而级数∑n w 绝对收敛. 利用绝对收敛级数的可重排性， 将绝对收敛级数∑n w 按正方形顺序重排如下： u 1v 1+(u 1v 2+u 2v 2+u 2v 1)+(u 1v 3+u 2v 3+u 3v 3+u 3v 2+u 3v 1)+…， 把每一括号作一项，得新级数：p 1+p 2+p 3+…+p m +…收敛， 且与∑n w 和数相同，其部分和P m =A m B m . 即有∞

m lim +→P m =∞

m lim +→A m B m =∞

m lim +→A m ∞

m lim +→B m =AB. 得证！

例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)r n +…(|r|<1)绝对收敛，并求其和.

证：等比级数∑∞

=0n n r =1+r+r 2+…+r n +…=

r

-11

(|r|<1)，绝对收敛. 将(∑∞

=0

n n r )2的所有可能的项按对角线顺序相加得：

1+(r+r)+(r 2+r 2+ r 2)+…+(r n +…+r n )+… (括号内共有n+1个r n ) =1+2r+…+(n+1)r n +…=2r)-(11. ∴所求级数绝对收敛，其和为2

r)-(11

.

二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi ,v i (i=1,2,…,n)为两组实数， 若令T k =v 1+v 2+…+v k (k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：

∑=n

1

i i

i v

ε=(ε1-ε2)T 1+(ε2-ε3)T 2+…+(εn-1-εn )T n-1+εn T n .