函数的对称性和周期性

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。

3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

1、 )(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对

称。

4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对

称。

5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点

(,)a b 对称。

6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2b a x +=

对称。 二、单个函数的对称性

性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2

a b x +=对称。

证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2

a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==

故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。

由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2

a b x +=

对称。 （注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2

c ）对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点 （2

a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-

即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。

由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知

函数()y f x =的图象关于点（

2a b +，2c ）对称。（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。）

性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2

b a x -=对称。 证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2

b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。 由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=

故点（1b a x --，y 1）在函数()y f b x =-上。

由点11(,)x y 是函数()y f a x =+图象上任一点

因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2

b a x -=

对称。 三、周期性

1、一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期

2.若T 是周期，则(0,)kT k k Z ≠∈也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数()f x C =；

3、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。

证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--=

∴函数()y f x =的一个周期为2A 。

4、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)()

f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：1(2)()()()

f x A f x A A f x f x A +=++==+。 5、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()f x A f x +=-

，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：1(2)()()()

f x A f x A A f x f x A +=++=-=+。 6、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()21()A f x f x f x ++

=-或1()()21()A f x f x f x -+=+则函数()y f x =的一个周期为2A 。

证明：先看第一个关系式

31()32(2)()3221()2A f x A A f x A f x A f x ++

+=++=-+ 1()11()1()2()1()1()121()

f x A A f x A f x A f x A A f x A f x A f x A ++++++-+===-+++-++--+ (2)()f x A f x A +=-+