人教备战中考数学相似(大题培优)及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．

（1）问题发现：

如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为________；

（2）深入探究：

如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN= ，试求EF的长．【答案】（1）NC∥AB

（2）解：∠ABC=∠ACN，理由如下：

∵ =1且∠ABC=∠AMN，

∴△ABC～△AMN

∴，

∵AB=BC，

∴∠BAC= （180°﹣∠ABC），

∵AM=MN

∴∠MAN= （180°﹣∠AMN），

∵∠ABC=∠AMN，

∴∠BAC=∠MAN，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴∠ABC=∠ACN

（3）解：如图3，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，AMEF为正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM=∠CAN，

∵，

∴，

∴△ABM～△ACN

∴，

∴ =cos45°= ，

∴，

∴BM=2，

∴CM=BC﹣BM=8，

在Rt△AMC，

AM= ，

∴EF=AM=2 ．

【解析】【解答】解：（1）NC∥AB，理由如下：

∵△ABC与△MN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM与△ACN中，

，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠B=∠ACN=60°，

∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，

∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，

∴CN∥AB；

【分析】（1）由题意用边角边易得△ABM≌△ACN，则可得∠B=∠ACN=60°，所以

∠BCN+∠B=∠BCA+∠ACN+∠B=180°，根据平行线的判定即可求解；

（2）由题意易得△ABC～△AMN，可得比例式，由三角形内角和定理易得∠BAM=∠CAN，根据相似三角形的判定可得△ABM～△ACN，由相似三角形的性质即可求解；

（3）要求EF的值，只须求得CM的值，然后解直角三角形AMC即可求解。连接AB，AN，由正方形的性质和相似三角形的判定易得△ABM～△ACN，可得比例式

，可求得BM的值，而CM=BC﹣BM，解直角三角形AMC即可求得AM的值，即为EF的值。

2．正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

（1）如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；

（2）如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B 出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.

①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；

②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.

∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°.

∵∠NDA＋∠ANH＝90°，

∴∠NAH＝∠NDA，

∴△ABF≌△MAN，

∴AF＝MN.

（2）解：①∵四边形ABCD为正方形，

∴AD∥BF，

∴∠ADE＝∠FBE.

∵∠AED＝∠BEF，

∴△EBF∽△EDA，

∴＝ .

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝DC＝CB＝6cm，

∴BD＝6 cm.

∵点E从点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts，

∴BE＝ tcm，DE＝(6 － t)cm，

∴＝，

∴y＝ .

②∵四边形ABCD为正方形，

∴∠MAN＝∠FBA＝90°.

∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°.

∵∠NMA＋∠ANH＝90°，

∴∠NAH＝∠NMA.

∴△ABF∽△MAN，

∴＝ .

∵BN＝2AN，AB＝6cm，

∴AN＝2cm.

∴＝，

∴t＝2，

∴BF＝＝3(cm)．

又∵BN＝4cm，

∴FN＝＝5(cm)．

【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.再根据同角的余角相等得出∠NAH＝∠NDA，进而证出△ABF≌△MAN即可解答，

（2）根据正方形的性质得出两角相等证出△EBF∽△EDA，得出BD的长度，利用△EBF∽△EDA得出比例式，得出y和t之间的函数解析式，

据正方形的性质得出两角相等证出△ABF∽△MAN，得出比例式，进而解答.

3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.