(完整版)排列组合二项式定理新课

20.1.1 排列的概念

【教学目标】

1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法；

2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。

3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。

【教学重难点】

教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用

教学难点：排列数公式的推导

【教学课时】

二课时

【教学过程】

合作探究一：排列的定义

我们看下面的问题

（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里

（2）从10名学生中选2名学生做正副班长；

（3）从10名学生中选2名学生干部；

上述问题中哪个是排列问题？为什么？

概念形成

1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素

2、排列：从n个不同元素中，任取m（m n

≤）个元素（这里的被取元素各不相同）

按照一定的顺序

．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

．．．．。

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

合作探究二排列数的定义及公式

3、排列数：从n个不同元素中，任取m（m n

≤）个元素的所有排列的个数叫做从n

个元素中取出m元素的排列数，用符号m

n

A表示

议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？

4、排列数公式推导

探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m

A n 呢？ )1()2)(1(+-⋯--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数；

（2）,,m n N m n *

∈≤ 即学即练:

1.计算 (1）410A ；(2）25A ；(3)3355A A ÷

2.已知101095m A =⨯⨯⨯，那么m =

3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)

(79)k k k k ----用排列数符号表示为( )

A ．5079k k A --

B ．2979k A -

C ．3079k A -

D ．3050k A - 答案：1、5040、20、20；2、6；3、C

典型例题

例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。

解：略

点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。 变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的

排列。

5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中，m =n

全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）.

即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）4

4A （3）)!1(-⋅n n

想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，25A 和3355A A ÷有怎样的关系？那么，这个结果有没有一般性呢？

排列数公式的另一种形式：

)!(!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .

想一想：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？

例2．求证：m n m n m n A mA A 11+-=+．

解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。

解：左边=

右边）！

）！！）（（！）！（！==+-+=+-⋅++=+-⋅+-+m

1n A 1()!1(1(n!m n 1m -n )!1m n n m m n n m n n m n 点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。

思考：你能用计数原理直接解释例2中的等式吗？（提示：可就所取的m 个元素分类，分含某个元素a 和不含元素a 两类）

变式训练：已知89557=-n

n n A A A ，求n 的值。（n =15） 归纳总结：1、顺序是排列的特征；2、两个排列数公式的用途：乘积形式多用于计算，阶乘形式多用于化简或证明。

【当堂检测】

1．若!3!

n x =，则x = （ ） ()A 3n A ()B 3n n A -()C 3n A ()D 33n A -

2．若532m m A A =，则m 的值为 （ ）

()A 5()B 3()C 6()D 7

3． 已知256n A =，那么n =；

4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？

答案：1、B ；2、A ；3、8；4、1680。

【课外作业】

见《同步练习》

20.1.2 排列应用题

【教学目标】

1.进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算；

2.能用所学的排列知识和具体方法正确解决简单的实际问题。

3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。

【教学重难点】

教学重点：排列应用题常用的方法：直接法（包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法），间接法

教学难点：排列数公式的理解与运用

【教学过程】

情境设计

从1~9这九个数字中选出三个组成一个三位数，则这样的三位数的个数是多少？

新知教学

排列数公式的应用：

例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？

解：略

变式训练：

(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？

(2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？

例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

解：见书本16页例3

例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解：见书本19页例4

点评：解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是：优先安置受限制的元素，

然后再考虑一般对象的安置问题’，常用方法如下：