热传导问题的有限元法

dz
f x0 x
0
0
泛函I=I[y(x)]在y=y 0 (x)处取极值的必要条件是 δI=0，即
I
Iy0 x
y
0
0
上式的含义是：异于y0 (x)的y都使I偏离最大值
点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也
不是”的状态。
可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必
要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值
这些话的意思是：y是连续区间[x1, x2]中一段曲 线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种 变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高 阶导数的变化等。
下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极 值的条件。
设有泛函
I
yx
x2 x1
F
x,
yx,
y'
xdx
其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线） 在积分区间[x1, x2]的端点x1, x2处的值是已知的， 即
二 泛函的极值
函数z = f (x)有极值问题。如果 dz 0 dx
表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向 左也不是，向右也不是，此时，z取极值。
泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函数ｙ称为
泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定 性。
当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复
杂的多。
三 变分法 函数取极值的条件：dz 0 ，d 称为微分。
dx
泛函取极值的条件： I
四 变分
x
0
，
称为变分。
函数微分
dz f x x f 'xdx，为任意小的正数
0
可以用来研究函数z在x处的变化。
类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的 变分
I Iyx y
来观察。I—泛函，ε—任意小的正数。
五 泛函取极值的条件 函数在x0处取极值的条件：
（5）根据变分基本定理，在δy满足一般性条件 时，即可得出： δI = 0 或I取极值的条件 （）=0
对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；
2）微分法。
两种方法的求解基本思路：
（1）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化 方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它 含有若干待定系数，即每一项前的系数。
y
y '
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y'
y'dx
x2 x1
y
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
y
y'
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y '
y'dx
x2 x1
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y'dx
令ε = 0，则（y成为使I取极值的点）
I Iyx y
0
x2 x1
6 热传导问题的有限元法
本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化 为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问 题的解。
6-1 问题的提出
前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理， 建立了有限元的求解格式。
但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分 原理分析，求泛函的极值。
比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常 遇到的问题。
点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变
化方式要简单一些而已。
六 变分法预备定理
设函数F(x)在[x1, x2]连续，对于δy(x)，如果有
x2 Fxydx 0 x1
则 Fx 0,x1, x2 。 δy(x)是y的变分。
δy(x)的条件：一阶或若干阶可微，在x1, x2处为 零；
| δy |< ε 或 | δy |及| δy’ |< ε，等。
七 变分原理
变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其 边界条件等价的原理。
即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使 泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对 应的微分方程及其边界条件。
0
上面的过程可以总结为
（1）写出泛函表达式 I Fdx ；
（2）设使泛函取得极值的自变函数为y，那么，
异于y的自变函数可写成y+ε δy，它的高阶项为 y’+ε δy’；
（3）使泛函取极值的条件
I 0 0
（4）展开上式，将其中的δy设法从变分中分离 出来。这个过程要用到分步积分。最后形成
I 0 ydx
对于均质物体内温度不随时间变化的情况，温度
分布函数T=T(x,y,z)应满足拉普拉斯方程：
2T x 2
2T y 2
2T z 2
0
再加上用得最多（一般）的边界条件
T n
T
T0
— 热传导系数（与温度梯度有关）；
— 对流换热系数（与温度有关）；
T0 — 外界介质温度； — 物体边界。
F y
y
F y'
y'dx
上式右端中，因为
x2 F y' dx x2 F d y
x1 y'
x1 y'
F y'
y
x2 x1
x2 x1
yd
F y'
x2 x1
d dx
F y'
ydx
带入前式
I
x2 x1
F
y
d dx
F y'
ydx
0
由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件
F y
d dx
F y'
下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元 格式。
6-2 泛函与变分的基本概念
函数：z = f (x)，x变，z变。
泛函：平面上两点A、B之间的距离I
xB
I
1 dy 2 dx
xA
dx
y变，I变。I是y的泛函—函数的函数。
y
y yx
BxB , yB
O
AxA ,函数值因另外一个或几个函数确定，这个 函数称为泛函。
上式称为定解问题。
除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限 大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此 要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可 选的方法。
有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分 原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假 设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试 探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变 量，以使泛函取极值。
将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统 达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极 值的条件），可以求出多项式前的各系数，这 样即可求出对原问题的近似解。
（2）微分法 假设场变量的值y，写出空间某点y 的变化率，y的解与边界条件有关。
积分法和微分法的联系
微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数 性态的要求稍高。
yx1 y1, yx2 y2
认为函数 Fx, yx, y'x 三阶可微。
根据变分的定义，要使泛函取极值，则
I Iyx y 0
0
其中，y使I取极值，y+ε δy是一个微小的变化。
I
I yx
y
x2 x1
F x,
y
y,
y'
y'dx
x2 x1
y
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y