热传导问题的有限元法

下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元 格式。
6-2 泛函与变分的基本概念
函数：z = f (x)，x变，z变。
泛函：平面上两点A、B之间的距离I
xB
I
1 dy 2 dx
xA
dx
y变，I变。I是y的泛函—函数的函数。
y
y yx
BxB , yB
O
AxA , y A
x
一 泛函
定义：函数值因另外一个或几个函数确定，这个 函数称为泛函。
y
y '
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y'
y'dx
x2 x1
y
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
y
y'
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y '
y'dx
x2 x1
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y'dx
令ε = 0，则（y成为使I取极值的点）
I Iyx y
0
x2 x1
F y
y
F y'
y'dx
上式右端中，因为
x2 F y' dx x2 F d y
x1 y'
x1 y'
F y'
y
x2 x1
x2 x1
yd
F y'
x2 x1
d dx
F y'
ydx
带入前式
I
x2 x1
F
y
d dx
F y'
ydx
0
由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件
F y
d dx
F y'
6 热传导问题的有限元法
本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化 为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问 题的解。
6-1 问题的提出
前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理， 建立了有限元的求解格式。
但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分 原理分析，求泛函的极值。
比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常 遇到的问题。
（5）根据变分基本定理，在δy满足一般性条件 时，即可得出： δI = 0 或I取极值的条件 （）=0
对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；
2）微分法。
两种方法的求解基本思路：
（1）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化 方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它 含有若干待定系数，即每一项前的系数。
dz
f x0 x
0
0
泛函I=I[y(x)]在y=y 0 (x)处取极值的必要条件是 δI=0，即
I
Iy0 x
y
0
0
上式的含义是：异于y0 (x)的y都使I偏离最大值
点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也
不是”的状态。
可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必
要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值
yx1 y1, yx2 y2
认为函数 Fx, yx, y'x 三阶可微。
根据变分的定义，要使泛函取极值，则
I Iyx y 0
0
其中，y使I取极值，y+ε δy是一个微小的变化。
I
I yx
y
x2 x1
F x,
y
y,
y'
y'dx
x2 x1
y
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统 达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极 值的条件），可以求出多项式前的各系数，这 样即可求出对原问题的近似解。
（2）微分法 假设场变量的值y，写出空间某点y 的变化率，y的解与边界条件有关。
积分法和微分法的联系
微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数 性态的要求稍高。
点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变
化方式要简单一些而已。
六 变分法预备定理
设函数F(x)在[x1, x2]连续，对于δy(x)，如果有
x2 Fxydx 0 x1
则 Fx 0,x1, x2 。 δy(x)是y的变分。
δy(x)的条件：一阶或若干阶可微，在x1, x2处为 零；
| δy |< ε 或 | δy |及| δy’ |< ε，等。
dx
泛函取极值的条件： I
四 变分
x
0
，
称为变分。
函数微分
dz f x x f 'xdx，为任意小的正数
0
可以用来研究函数z在x处的变化。
类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的 变分
I Iyx y
来观察。I—泛函，ε—任意小的正数。
五 泛函取极值的条件 函数在x0处取极值的条件：
二 泛函的极值
函数z = f (x)有极值问题。如果 dz 0 dx
表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向 左也不是，向右也不是，此时，z取极值。
泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函数ｙ称为
泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定 性。
当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复
杂的多。
三 变分法 函数取极值的条件：dz 0 ，d 称为微分。
对于均质物体内温度不随时间变化的情况，温度
分布函数T=T(x,y,z)应满足拉普拉斯方程：
2T x 2
2T y 2
2T z 2
0
再加上用得最多（一般）的边界条件
T n
T
T0
— 热传导系数（与温度梯度有关）；
— 对流换热系数（与温度有关）；
T0 — 外界介质温度； — 物体边界。
七 变分原理
变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其 边界条件等价的原理。
即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使 泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对 应的微分方程及其边界条件。
上百度文库称为定解问题。
除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限 大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此 要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可 选的方法。
有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分 原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假 设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试 探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变 量，以使泛函取极值。
这些话的意思是：y是连续区间[x1, x2]中一段曲 线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种 变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高 阶导数的变化等。
下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极 值的条件。
设有泛函
I
yx
x2 x1
F
x,
yx,
y'
xdx
其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线） 在积分区间[x1, x2]的端点x1, x2处的值是已知的， 即
0
上面的过程可以总结为
（1）写出泛函表达式 I Fdx ；
（2）设使泛函取得极值的自变函数为y，那么，
异于y的自变函数可写成y+ε δy，它的高阶项为 y’+ε δy’；
（3）使泛函取极值的条件
I 0 0
（4）展开上式，将其中的δy设法从变分中分离 出来。这个过程要用到分步积分。最后形成
I 0 ydx