因式分解高级篇十字相乘

特点： 二次项系数为1
三、十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)= ( ac ) x ( ad+bc ) x bd
2
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这 四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项 系数，那么因式分解就成功了。
知识结构
提公因式法 公式法
十字相乘法
因式分解 常用方法
分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 ……
一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式， 然后用原多项式除以公因式，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。 提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m)
2）4(x+y)+4(x–3y)
四、分组分解法
要发现式中隐含的条件，通 过交换项的位置，添、去括号等 一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd) = b (a + d ) – c (a + d ) = ( a + d ) (b – c )
例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
二、公式法
只需发现多项式的特点，再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公 式，可以逆用进行因式分解。
常用公式 1、(a+b)(a–b)=a2–b2 （平方差公式）
2、(a±b)2=a2±2ab+b2 （完全平方公式）
3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) （立方和公式） 及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) （立方差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导
三、十字相乘法①
前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）
例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)
这个公式简单的说，
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
因为它还 怎么结果 与刚才不 可以继续 一样呢？ 因式分解 = (x+1)(x4+2x2+1–x2)
= (x+1)[(x2+1)2–x2]
= (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
五*、拆项添项法 拆项添项法对数学能力有着更高的
配方法 (拆项添项法) 分组分解法
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
完全平方公式 平方差公式
六*、待定系数法 试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于
(2x–3y+a)(x+3y+b) 2 x2 3xy 9 y2 (2b a) x (3a 3b) y ab 通过比较两式同类项的系数可得： a 2b 14 3a 3b 3 a 4 解得： b 5 ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
就是把常数项拆成两个数的乘积，
而这两个数的和刚好等于一次项系数
例2：因式分解x2–7x+10 可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5)
十字相乘法①随堂练习：
1）a2–6a+5 2）a2–5a+6
3）x2–(2m+1)x+m2+m–2
(ax+b)(cx+d)= ( ac ) x ( ad+bc ) x bd
2
6
2 3
x2
+7x+2
1
a c
b
d
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2) 4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
1 3 2 +6 5 15==11 17 5 2 2 5
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
要求，需要观察到多项式中应拆哪一项
使得接下来可以继续因式分解，要对结果 有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。
最好能根据现有多项式内的项猜测可 能需要使用的公式，有时要根据形式猜测 可能的系数。
因式分解 x4 + 4
解：原式 = x4 + 4x2 + 4
都是平方项 猜测使用完全平方公式 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+2x+2)(x2–2x+2) 拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4
2）(m2–1)(n2–1)+4mn
完全平方公式
平方差公式
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项 法，将多项式配成完全平方式，再 用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。 解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
5
–2
4
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
2）7a2–19a–6
3）2(x2+y2)+5xy
解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)
= (x3+1)(x2+x+1)
= (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)
分组分解法随堂练习：
1）xy–xz–y2+2yz–z2
2）a2–b2–c2–2Baidu Nhomakorabeac–2a+1
立方和公式
*五、拆项、添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
2课时
四、分组分解法
要发现式中隐含的条件，通 过交换项的位置，添、去括号等 一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd) 还有别 的解法 吗？ = a (b – c ) + d (b – c ) = (a + d ) (b – c )