线性代数期末考试试题

线性代数B 期末试题

一、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分)

1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。 （ ）

2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。 （ ）

3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 ( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。 ( )

5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。 （ ）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+

3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。则

1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1

()3A E +

4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。

（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；

（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；

（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）

（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0

（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

1．01

21

0n n -

。

2．A 为3阶矩阵，且满足

=

A 3,则

1

-A =______，

*3A =

。

3．向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，

4120α⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。

4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，

11234η⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2344

44ηη⎛⎫ ⎪ ⎪

+= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭，则方程组Ax b =的通解为 。

5．设

23111503A a -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=2，则a = 。 四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

1．已知A+B=AB ，且

121342122A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦，求矩阵B 。 2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)αβ=--=--，而

T

A αβ=，求n A 。

3.已知方程组1123211232

123x x ax x x x x ax x a ⎧

++=-⎪⎪

-+=-⎨⎪

⎪-++=⎩有无穷多解，求a 以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

3231212

3222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=

5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B =0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E -A |=0。（1）

求矩阵A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E |。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结

论。

2．设A 为m n ⨯矩阵，且的秩()R A 为n ，判断T

A A 是否为正定阵？证明你的结论。

线性代数试题 (二)

一、 填空（每题2分，共20分） 1. N (n12…(n-1))= 。

2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= 。

3. 关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 ，结论是 。

4. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 ，设A *为A 的伴随矩阵，则A -1= 。

5. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4I=0,则A -1= 。

6. ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321= ， ()

43214321⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛= 。

7. 设向量组321,,ααα线性相关，则向量组332211,,,,,βαβαβα一定线性 。 8. 设A 三阶矩阵，若

A

=3，则

1

-A = ,

*

A = 。

9. n 阶可逆矩阵A 的列向量组为n ααα ,,21，则r(n ααα ,,21)= 。 10.非齐次线性方程组A n m ⨯X=b 有解的充要条件是 。 二、单项选择题（10分，每题2分）

1．12

2

1

--k k 0≠的充要条件是（ ）。

（a ） k 1≠（b ） k 3≠（c ） k 3,1≠-≠k 且（d ）k 3,1≠-≠k 或 2. A,B,C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ） (a) AB=BA (b) AB=0,则A=0或B=0

(c) （A+B ）（A-B ）=A 2-B 2 d) AC=BC 且C 可逆,则A=B 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）

(a) A ,

0≠(b) 1-A 0≠(c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关

4. 设矩阵A =(a ij )n m ⨯，AX=0仅有零解的充要条件是（ ） (a)A 的行向量组线性无关 (b)A 的行向量组线性相关 (c)A 的列向量组线性无关 (d)A 的列向量组线性相关

5. 向量组 s ααα ,,21的秩为r,则下述说法不正确的是（ ） (a) s ααα ,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关

(b) s ααα ,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s ααα ,,21可互相线性表示

(c) s ααα ,,21中r 个向量的部分组皆线性无关 (d) s ααα ,,21中r+1个向量的部分组皆线性相关

三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分） 1．5级排列41253是一个奇排列。（ ）

2．A 为任意的m n ⨯矩阵, 则A T A, AA T 都是对称矩阵。（ ）

3．s ααα ,,21线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（ ）