高考数学(理)二轮复习：专题5 第1讲 空间几何体

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∴AH＝13×2R＝23R， ∴OH＝R－23R＝13R， 由OD2＝OH2＋HD2得：R2＝19R2＋1， ∴R2＝98，∴S球＝4πR2＝92π.
答案
13 (1) 2
9 (2)2π
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[探究提升] 1.解答本题的关键是确定球心的位置，这需要根据 球的对称性及几何体的形状来确定．
专题五 立体几何 第1讲 空间几何体
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[思考1] 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周所得的曲面一 定是圆锥吗？
提示：不一定．绕直角边所在的直线旋转一周所得的几何体 为圆锥，绕斜边所在直线旋转一周所得的几何体是两个圆锥 组成的几何体．
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【典例1】 (2012·江苏)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝ AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为 ________cm3.
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解析 法一 ∵VA-A1B1D1＝13×12×3×3×2＝3(cm3)， VABD-A1B1D1＝12×3×3×2＝9(cm3)， ∴VA-BB1D1D＝VABD-A1B1D1－VA-A1B1D1＝6(cm3)． 法二 连结AC交BD于点O，则AC⊥BD，AC⊥BB1， ∴AC⊥平面BB1D1D， ∴AO即为四棱锥A-BB1D1D的高， ∴VA-BB1D1D＝13×3 2×2×32 2＝6(cm3)． 答案 6
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同理BD＝ 3，故△ABD为正三角形． S△ABD＝12× 3× 3sin 60°＝34 3， 故VS-ABC＝13×4×343＝ 3.
答案 3
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空间几何体的体积
江苏近两年高考，都考查了几何体的体积，意在考查学生 的化归转化思想和计算能力，试题难度不大，一般属A级要 求，稍作转化、运算即可顺利解决．
的厚度，则球的体积为________cm3.
[思路点拨]利用球半径、球心距和截面圆半径构成直角三角形
求出球半径，进而求其体积．
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解析 作出该球轴截面如图所示，依题意
BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x，故AD＝2 ＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故
该球的半径AD＝5，所以V＝43πR3＝5030π.
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[思考2] 比较柱体、锥体、台体的体积公式，它们之间有何联 系？
提示：V＝S·hS上＝S下,V＝13(S上＋ S上·S下＋S下)·hS上＝0,V＝13S·h.
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[思考3] 求不规则几何体的体积主要有哪两种思想方法？ 提示：主要有分割与补形的两种思想方法，将不规则几何体 转化为规则几何体．
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解析 (1)∵AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC， 将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l＝2R. ∴ 32＋42＋122＝2R，R＝123. (2)如图所示，CD是截面圆的直径． ∴12CD2·π＝π，即CD＝2， 设球O的半径为R，由AH∶HB ＝1∶2，
点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝ 12，则球O的半径为________． (2)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平 面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面 积为________． [思路点拨]确定球心的位置，依据几何性质，找等量关系求 半径．
2．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体 中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利 用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．
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【变式训练2】 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两 点，AB＝ 3 ，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为 ________． 解析 如图，过AB作与直径SC垂直的球的截面，交SC于点 D，在Rt△SAC中，SA＝SC·cos 30°＝2 3，AD＝SA·sin 30°＝ 3，
答案
500π 3
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[探究提升] 1.求规则几何体的体积，关键是确定底面和高，要 注意多角度、多方位地观察，选择恰当的底面和高，使计算 简便．
2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则 几何体转化为几个规则几何体，再进一步求解．
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【典例2】 (2013·江苏)如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F 分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F-ADE的体积为V1，三 棱锥A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝ ________.
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解析 设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积 为S，则V1＝13×14S·12h＝214Sh＝214V2，即V1∶V2＝1∶24. 答案 1∶24
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【变式训练1】 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥 的体积为________．
解析 设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为h，由
πrl＝2π， πr2＝π，
得rl＝＝21，.
于是，圆锥的体积为V＝13πr2h＝ 33π.
wk.baidu.com答案
3π 3
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考向二 多面体与球 【例2】 (1)(2013·辽宁改编)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶
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真题感悟
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考向一 空间几何体的体积和表面积
【例1】 (2013·新课标全国Ⅰ改编)如图，
有一个水平放置的透明无盖的正方体容
器，容器高8 cm，将一个球放在容器
口，再向容器内注水，当球面恰好接触
水面时测得水深为6 cm，如果不计容器