单球面折射成像公式及其应用_张家乐

ｖ ＝８．０ｃｍ 所 成的像点的位置在Ａ 点正上方８．０ｃｍ 处，即
Ｂ 点正上方１６．０ｃｍ 处．
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２０１６年第３期 物理通报 竞赛与物理专题研修
（２）当容器内装满折射 率 为 １．３０ 的 液 体 时，根
据单球面折射成像公式得
ｎ１ ｕ
１ 公式推导 如图１，设其中折射球面的球心为 Ｃ，球面 两 侧
θ（ＰＢ 为近轴光线，θ很小），它以入射角ｉ１ 射到 球 面 上的Ｂ 点，以折射角ｉ２ 折射进入另一介质，并与主光 轴交于 Ｐ′ 点．此时我们可将 Ｐ 和Ｐ′ 分别称之为物
櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆
脱太阳的束缚，脱离 太 阳 系 运 动 到 太 阳 系 之 外 的 宇 矛盾．
宙空间．
真 理 的 探 求 是 一 个 过 程 ，要 坚 持 真 理 ，但 要 看 清
量变引 起 质 变，发 射 速 度 的 改 变 引 起 人 造 天 体 真理成立的条件，任 何 客 观 真 理 都 是 绝 对 性 和 相 对
小 角 度 ，式 （１１）、（１４）、（１５）可 写 为
ｎ１θ ＝ｎ２φ
（１６）
θＣＤ ＝αＢＣ
（１７）
φＣＤ ＝βＣＥ 由 式 （１６）、（１７）可 得
（１８）
（ ） α＋θ＝φ
１＋ＣＤ ＢＣ
ｎ２ ｎ１
＝１．０７φ ＞φ
所 考 虑 的 光 线 是 发 散 的 ，故 所 成 的 像 为 虚 像 ．由
后所成的像点的位置在 Ｃ 点 正 下 方 ２６．２５ｃｍ 处 或
在 Ｂ 点正下方２０．０ｃｍ 处．
２．１．２ 利用单球折射成像公式解答 （１）当容器内未 装 任 何 液 体 时，根 据 单 球 面 折
射成像公式得
ｎ１ ｕ
＋ｎｖ０
＝
ｎ０
－ｎ１ Ｒ
即
解得
１８．５．０６＋
１ ｖ
＝
１－１．５６ －１．７５
图２
２．１．１ 原解答 （１）容 器 底 部 凸 面 两 侧 介 质 的 折 射 率 分 别 是
ｎ１ ＝１．５６和ｎ０ ＝１．０．如图３，由 Ｂ 点发出的经过球 心Ｃ 的光线ＢＡ 经过顶点Ａ 后，方向不变，进入空气 中；由Ｂ 点发出的与ＢＡ 成α 角的另一条光线ＢＤ 在 Ｄ 点折射，设折射角为φ，并与前一条出射光线交于 Ｅ 点，Ｅ 点即Ｂ 点的像点的位置．
图３
由折射定律和几何关系得
ｎ１ｓｉｎθ ＝ｎ０ｓｉｎφ γ ＝α＋θ
（１） （２）
φ ＝γ＋β
（３）
在三角形 ＢＣＤ 和三角形ＣＤＥ 中 ，由正弦定理可得
ＣＤ ｓｉｎα
＝
ＢＣ ｓｉｎθ
（４）
ＣＤ ｓｉｎβ
＝
ＣＥ ｓｉｎφ
（５）
由于只 考 虑 近 轴 光 线 成 像，所 以α，β，θ，φ 都 是 小 角
α
＝
ｈ Ｒ
θ ＝
ｈ ｕ
β
＝
ｈ ｖ
代入上式并整理可得
ｎ１ ｕ
＋ｎｖ２
＝
ｎ２
－ｎ１ Ｒ
上式即 为 单 球 面 折 射 时 的 物 像 距 公 式，式 中 各
物理量的正、负取值有 一 定 的 规 则，这 一 规 则 是：入
射光线从左方射来时，球心在界面的右侧，则Ｒ 取正 值，球心在界面左侧，则 Ｒ 取 负 值；实 物 和 实 像 的 物 距和像距都取正值；虚 物 和 虚 像 的 物 距 和 像 距 都 取
２０１６年第３期 物理通报 竞赛与物理专题研修
单球面折射成像公式及其应用
张家乐 王化银
（淮北市第一中学 安徽 淮北 ２３５０００） （收 稿 日 期 ：２０１５－１０－１７）
摘 要：物理竞赛几何光学球面折射问题的求解，直接利用 单 球 面 折 射 成 像 公 式 ，往 往 能 使 得 求 解 过 程 快 速 而 简洁．
ｎ１ ＝１．５６和ｎ２ ＝１．３０．如图４，由Ｂ 点发出的经过 球心Ｃ 的光线ＢＡ 经过顶点Ａ 后，方向不变，进入液
体 中；由Ｂ 点发出的与ＢＡ 成α 角的另一条光线ＢＤ 在 Ｄ 点折射，设折射角为φ，并与前一条出射光线交 Ｅ 点，Ｅ 点即Ｂ 点发出 的 光 线 第 一 次 折 射 后 所 成 像
点的位置．
负值．
２ 竞赛试题解答
２．１ 题目１ 【例 １】（第 ３２ 届 全 国 中 学 生 物 理 竞 赛 预 赛 第 １６
题 ）如图２所示，一垂直放置的高为１５．０ｃｍ 的圆柱 形中空玻璃容器，其底部玻璃较厚，底部顶点Ａ 点到 容器底平面中心 Ｂ 点的距离为８．０ｃｍ，底部上沿为 一凸起的球冠，球心Ｃ点在Ａ 点正下方，球的半径为 １．７５ｃｍ．已知空 气 和 容 器 玻 璃 的 折 射 率 分 别 是 ｎ０ ＝１．０和ｎ１ ＝１．５６．只考虑近轴光线成像．已知：当 — ５２ —
关键词：几何光学 球面折射 物理竞赛
单球面折射问题在竞赛试 题 中 时 常 出 现，参 考 解 法 中 用 到 的 式 子 较 多 ，且 进 行 了 较 多 的 近 似 处 理 ，
介质的折射率分别为ｎ１ 和ｎ２，且ｎ１ ＜ｎ２．我们把通 过球面顶 点 和 球 心 的 直 线 称 为 此 折 射 球 面 的 主 光
学习物理知识的兴趣；有 助 于 提 高 学 生 分 析 物 理 问
题 的 能 力 ；有 助 于 拓 宽 学 生 解 决 物 理 问 题 的 途 径 ．物
理 与 哲 学 教 学 的 渗 透 整 合 ，落 实 了 教 学 的 三 维 目 标 ；
提高了学生的科学素 养；奠 定 了 学 生 终 身 发 展 的 坚
ｎ０ ｎ１
＝０．８２φ ＜φ
所 考 虑 的 光 线 是 会 聚 的 ，故 所 成 的 像 为 实 像 ．由
式 （２）、（３）、（６）、（７）、（８）可 得
ＣＥ ＝ φＣＤ ＝
１
ＣＤ
β
１－ｎｎ０１ －ＢＣＤＣｎｎ０１
将题给数据代入上式得
ＣＥ ＝ １－１１．５６－８．０１１－．７１５．７５×１１．５６× １．７５ｃｍ ＝９．７５ｃｍ 由 式 （９）和 题 给 数 据 得
实基础．
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点和像点，它们到折射面顶点 Ａ 的 距 离 则 分 别 为 物
距ｕ 和像距ｖ．由于θ很小，由图可见ｉ１ 与ｉ２ 和图中
所示的α 和β 都很小，根据折射定律有
ｓｉｎ ｉ１ ｓｉｎ ｉ２
学生不易理解．若直 接 利 用 球 面 介 质 对 光 线 折 射 的 轴．设Ｐ 为主光轴上一物点，从Ｐ 发出的光线ＰＡ 正
普通规律 ——— 单球面折射成像公式，则能使得求解 入射到球面上，它将无偏折地进入另一介质，并通过
过程快速而简洁．
球心 Ｃ．从 Ｐ 点发出 的 另 一 光 线 ＰＢ 与 主 光 轴 成 角
受时代 的 局 限，牛 顿 创 立 的 经 典 力 学 的 基 本 概 念 和 基 本 原 理 存 在 着 固 有 的 局 限 性 ，主 要 表 现 在 ：经 典力学定律只适用于 宏 观 低 速 世 界，对 于 可 与 光 速 相比的高速情况和微 观 世 界 的 适 用 问 题，当 时 没 有 涉及也不可能涉及．
＝
ｎ２ ｎ１
λ １时，ｓｉｎλ ≈λ． （１）当容器内未装 任 何 液 体 时，求 从 Ｂ 点 发 出
的光线通过平凸玻璃 柱，在 玻 璃 柱 对 称 轴 上 所 成 的 像 的 位 置 ，并 判 断 像 的 虚 实 ；
（２）当容器内装满折射 率 为 １．３０ 的 液 体 时，求 从Ｂ 点发出的光线通过平凸玻璃柱的上表面折射后 所 成 像 点 的 位 置 ，并 判 断 这 个 像 的 虚 实 ．
（９）
ＢＥ ＝ ＢＡ －ＡＣ ＋ＣＥ ＝ （８．０－１．７５＋９．７５）ｃｍ ＝１６．０ｃｍ （１０） Ｂ 点发 出 的 光 线 通 过 平 凸 玻 璃 柱，在 玻 璃 柱 对
称轴上所成的像点的位置在Ｃ 点正上方９．７５ｃｍ 处
或在 Ｂ 点正上方１６．０ｃｍ 处．
（２）容 器 底 部 凸 面 两 侧 介 质 的 折 射 率 分 别 是
图１
由于ｉ１ 和ｉ２ 都很 小，故 由 近 似 关 系 应 有 ｓｉｎ ｉ１ ＝ｉ１，ｓｉｎ ｉ２ ＝ｉ２，则上式变为
ｎ１ｉ１ ＝ｎ２ｉ２ 又 由图中的几何关系可以看到ｉ１ ＝α＋θ和ｉ２ ＝α－ β，代 入 上 式 便 为
ｎ１ （α＋θ）＝ｎ２ （α－β） 以ｈ 表示图中Ｂ 点到 主 光 轴 的 距 离，Ｒ 表 示 球 面 半 径 ，则 由 小 角 的 近 似 关 系 可 以 得 到
度 ，式 （１）、（４）、（５）可 写 为
ｎ１θ ＝ｎ０φ
（６）
２０１６年第３期 物理通报 竞赛与物理专题研修
θＣＤ ＝αＢＣ φＣＤ ＝βＣＥ 由 式 （６）、（７）可 得
（７） （８）
（ ） α＋θ＝φ
１＋ＣＤ ＢＣ
发射速度越 大，椭 圆 形 轨 道 越 扁；当 发 射 速 度 大 于
万有引 力 理 论 无 法 解 释 水 星 进 动 现 象，这 表 明
ｖ２ 时，人造天 体 将 脱 离 地 球 成 为 太 阳 的 人 造 行 星； 万有引力理论本身遇 到 了 不 可 克 服 的 困 难．只 有 新
当发射速度超过第三宇宙速度ｖ３ 时，人造天体就摆 的引力理论出现，才 可 能 消 除 理 论 和 实 践 观 测 间 的
图４
由折射定律和几何关系可得 ｎ１ｓｉｎθ ＝ｎ２ｓｉｎφ γ ＝α＋θ γ ＝φ＋β
（１１） （１２） （１３）
在三角形 ＢＣＤ 和三角形ＣＤＥ 中 ，由正弦定理
可得
ＣＤ ｓｉｎα
＝
ＢＣ ｓｉｎθ
（１４）
ＣＤ ｓｉｎβ
＝
ＣＥ ｓｉｎφ