北大随机过程随机游动讲义

随机游动
1．随机游动模型
设有一个质点在x 轴上作随机游动，在t=0时在x 轴的原点，在t=1,2,3,…时沿x 轴正方向或反方向移动一个单位距离，沿正方向移动一个单位距离的概率为p ，沿反方向移动一个单位距离的概率为q=1-p 。

质点随机游动构成一个离散时间、离散状态的随机过程。

记质点在第n 步时的状态为L ,2,1,0,=n n η，
¾ 样本空间：{……-3,-2,-1,0,1,2,3……} ¾ 初始态：00=η
¾ 一步转移概率：经过一步从状态i 转移到状态j 的概率
1110ij p j i p q p j i otherwise =+⎧⎪
==−=−⎨⎪⎩
2．随机游动模型的分析
¾ 经过n 步以后的位置特征 ¾ 经过n 步返回原点的概率 ¾ 经过n 步第一次返回原点的概率 ¾ 第一次返回原点所需的平均时间 ¾ 迟早返回原点的概率 ¾ 多次返回原点的概率 ¾ 经过n 步达到+1的概率 ¾ 第1次通过最大值
2.1 经过n 步以后的位置特征：概率分布、统计特征
质点在第n 步时的状态为L ,2,1,0,=n n η，
？ 经过时间n ，质点距离原点的距离为m 的概率P{n η=m}
n η是一个随机变量，它的可能取值是：{}n n n n n ,1,,1,,0,1,,2,1,−−−−−L L
若质点移动n 步后到达m n =η 的位置，则所有的移动中，正方向移动2
m
n +步，反方向移动
2
m
n −步，因此： 一维概率分布：
{}222m n m n n q p m n n m P −+⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛+==η， m=-n,-n+2,-n+4,……,n-2,n ；n m ≤
均值：
∑==n
k k n 1ξη；其中k ξ为每一步的移动，
{}{},n ,,q,k ξP p,ξP k k L 2111==−===
{}{}{}q p 1)(*11*1E −=−=+==k k k ξP ξP ξ
{}{})(n 1
1q p E E E n
k k n k k n −==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==ξξη，
[]∑∑∑∑∑∑=======⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅=n k n l l k n k n l l k n k n
l l k n
E E E E 1111112
}{ξξξξξξη
考虑到
l k ≠，[][][]()2
q p E E E l k l k −=⋅=ξξξξ；
l k =，[]()1112
2=+=⋅−+⋅=q p q p E l k ξξ
∴ []
[][]n ))(1n (n 21k
l 1
1
2
+−−=+=∑∑∑=≠==q p E E E n k n l n
k k k l k ξξξξη
方差：
()[]{}()(){}
n n n n n E E E E E ηηηηηη⋅−+=−22
22
＝()
()[]2
2
n n E E ηη−
＝()
2
2
n n E ημη−
npq
q)n(p n q)(p n n q))(p n(n 412222=−−=−−+−−=
相关函数：
若n<m, []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅=⋅∑∑==m
l l n k k m n E E 11ξξηη
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=∑∑==n k m l l k E 11ξξ
()∑∑===n
k m
l l k E 11ξξ
()()∑∑∑==≠=+
=
n
k k k
n k m
k l l l k
E E 1
11
ξξ
ξξ
n q p n
k m k
l l +−=∑∑=≠=11
2)( n q p m n +−−=2))(1(
若n>m, []m q p n m E m n +−−=⋅2
))(1(ηη
[][][]
22)()(1,min q p nm q p m n E m n −⋅+−−=⋅ηη
总结：
概率分布：
{}222m n m n n q p m n n m P −+⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛+==η ， m=-n,-n+2,-n+4,……,n-2,n ；n m ≤
均值：{}()n E n p q η=− 方差：(){
}2
4n n E E npq ηη−=⎡⎤⎣⎦
相关函数：[][]2
min ,4()n m E n m pq nm p q ηη⋅=⋅+⋅−
2.2 经过n 步返回原点的概率
根据一维分布的分析可知，第n 步返回原点的概率为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛==为偶数，为奇数n q p n n n P n
n n 2
22,0}0{η
只有经过偶数步才能返回原点，经过奇数步返回原点的概率为0。

考虑经过2n 步返回原点的概率，记作：
n
n n n q p n n P u ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛===2}0{22η
2.3 第一次返回原点的概率
第2n 步第一次返回原点的事件记作：
}0,0,0,0{2n 12n 212=≠……≠≠=−ηηηη，n B
第2n 步第一次返回原点的概率记作：
}0,0,0,0{}{2n 12n 2122=≠……≠≠==−ηηηη，P B P v n n
第2n 步返回原点的概率与第2n 步第一次返回原点的概率的关系是：
222222222221
n
n n n n k n k k u v v u v u v u −−−==+++=∑L
利用矩生成函数求概率分布及数字特征
对于n u 2与n v 2，注意到000,1v u ==可以得到下列的矩生成函数，
222222111
22220
()1111()()
n
n
n
n k n k n n k m k m k m k U z u z
v u z u z v z U z V z ∞
∞−===∞
∞
===+=+=+=+∑∑∑∑∑
对于经过２ｎ步返回原点的概率n u 2，
()()
()()()()()
()()()()()()
()22!
!!22242212331
!
!
211/23/21/212!!!1/24n
n n
n
n
n
n
n n u pq n n n n n n pq n n n n pq n n pq n =
−⋅−−⋅=−−−−−−=
−⎛⎞=−⎜⎟
⎝⎠
L L L
n u 2的矩生成函数为
()(
)22200201/2()41/24n n
n
n n n n
n U z u z
pq z n pqz n ∞
∞
==∞=−⎛⎞==−⎜⎟⎝⎠
−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠=
∑∑∑
)
(11)(z U z V −
= 2411)(pqz z V −−=
()
()()()()()()()
()
()()()
()()()1
21
11/21411/21/23/21/214!
23253142!
22!422!(1)!211221n n n n n
n n n
n n n
v pq n n pq n n n pq n n pq n n n pq n n −−−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠
−−−−−=
−−⋅=−=−−⎛⎞=
⎜⎟−⎝⎠
L L
2.4 迟早返回原点的概率
第2n 步第一次返回原点的事件记作：
}0,0,0,0{2n 12n 212=≠……≠≠=−ηηηη，n B
第2n 步第一次返回原点的概率记作：
}0,0,0,0{}{2n 12n 2122=≠……≠≠==−ηηηη，P B P v n n
随机游动迟早返回原点的概率,
(
)0
(1)
11111n n n n P P B v V p q
p q p q
p q ∞∞
=======−−⎧−−<≠=⎨
=⎩
∑∑
随机游动第一次返回原点花费的平均时间，
1
4z n pq
p q p q p q μ∞
====⎧≠⎪−=⎨⎪∞=⎩
随机游动的恒等式
考虑到
()U z =
()1V z =−
可以得到
(
()
2
2
1()14
14()
V z pqz
pqz U z
−==−
=−
也就是说，
2222
2222
4
4
n n n
n n n
v u pqu
v pqu u
−
−
−=−
=−
对于对称的随机游动1/2
p q
==，就有
22222222426
n n n n n n
u v u v v v
+++++
=+=+++L
2.5 多次返回原点的概率
“在2n次试验中，第r次返回原点”，相应的概率记作，()
2
r
n
v。

利用递推公式有
()(1)
2222
n
r r
n k n k
k
v v v−
−
=
=⋅
∑
相应的生成函数是
()()2()2()2
222
000
(1)
()
()()()
r r n r k r m
n k m
n k n
r r
V z v z v z v z
V z V z V z
∞∞∞
===
−
==
==
∑∑∑
考虑到
()1
V z=
经过推导，可以得到恒等式
(
(
)
()(1)(1)
(1)(1)
(1)(2)
(1)(2)2(2)
(1)(2)(2)2(2)
()()()1()
()()
()1()
()()14()
()()()4() r r r
r r
r r
r r r
r r r r
V z V z V z V z
V z z
V z V z
V z z pqz V z
V z z V z pqz V z
−−
−−
−−
−−−
−−−−
==
=
=
=+−
=+−
=(1)(2)2(2)
(1)(2)2(2)
(1)2(2)
()()14()
()()()4()
2()4()
r r r
r r r
r r
V z V z pqz V z
V z V z V z pqz V z
V z pqz V z
−−−
−−−
−−
+−−
=+−
=−
由此得到递推公式
()(1)(2)222224r r r n n n v v pqv −−−=−
初值(1)
2n v 已经可以计算出，由此得到“在2n 次试验中，第r 次返回原点”的概率为
()()2222n
r r n
n r r v
pq n n r −⎛⎞=⎜⎟
−⎝⎠
2.6 第n 步第1次达到+1的事件以及相应的概率
事件}1,0,,0,0{121=≤≤≤−n n ηηηηL 表示第1次达到+1，第1次穿过+1的事件。

相应的概率记作：
}1,0,,0,0{121=≤≤≤=Φ−n n n P ηηηηL
其中初始条件是00φ=，1p φ=。

考虑“1n >第1次达到+1”的事件，
q P =−=}1{1η
存在一个整数k n <，1,2,2k n =−L ，使得0=k η，在以后的n-k 步，第1次达到+1。

1
121121}1,0,,0,0{}0,0,,0,1{−−−Φ==≤≤===<<−=k k k k k P P ηηηηηηηηL L
第n 步第1次达到+1的事件，可以分解为互斥的事件，第n 步第1次达到+1的概率为这些互斥事件的概率的和
()
1223211n n n n q n φφφφφφφ−−−=+++>L
第n 步第1次达到+1的概率的矩生成函数是，
1
11
21
1
1
2()()
n n
n
n k n k n n k m
k
m k m k z z pz q z pz qz z
z
pz qz z φφφφφ∞
∞
−−−===∞
∞
==Φ==+=+=+Φ∑∑∑∑∑
()z Φ=
2()()qz z V z Φ=
考虑到，
()2221n v pq n n =
⎜⎟
−⎝⎠
因此有，
()()1
22121/214220
n n
n n n v pq n q q
φφ−−−⎛⎞==⎜⎟⎝⎠
= 进一步有
1
1
(1)/1
n n n n z p q
p q p q
φφ∞
=∞
=Φ===
<⎧=⎨
>⎩∑∑
计算第1次穿过+1 的平均时间是
()
()1(1)
11(1)1221//V z z q p q q p q p q p q p q q p q p φ⎛⎞′=′Φ==−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
−>⎧⎪
=∞
=⎨⎪−>⎩
2.7 第1次通过最大值
给定一个期望的最大值r ，()
r n Φ表示“在第n 步第一次通过r ”的概率。

定义第1次通过最大值r 的矩生成函数，
()
()1
()()r r r r n n z z z φ∞
=Φ==Φ∑
进一步可以得到
()()()()2()r
r r r V z q z z =Φ
由此得到
()()()222r
r r n n v q φ=
或
()()()/2()/2/2r m r m r m
m r p
q m r m φ
+−⎛
⎞=⎜⎟+⎝⎠
如果1/2p q ==，有
()()2/2r n
n n r n φ−=⎜⎟+⎝⎠。