北大随机过程随机游动讲义

随机游动1．随机游动模型设有一个质点在x 轴上作随机游动，在t=0时在x 轴的原点，在t=1,2,3,…时沿x 轴正方向或反方向移动一个单位距离，沿正方向移动一个单位距离的概率为p ，沿反方向移动一个单位距离的概率为q=1-p 。

质点随机游动构成一个离散时间、离散状态的随机过程。

记质点在第n 步时的状态为L ,2,1,0,=n n η，¾ 样本空间：{……-3,-2,-1,0,1,2,3……} ¾ 初始态：00=η¾ 一步转移概率：经过一步从状态i 转移到状态j 的概率1110ij p j i p q p j i otherwise =+⎧⎪==−=−⎨⎪⎩2．随机游动模型的分析¾ 经过n 步以后的位置特征 ¾ 经过n 步返回原点的概率 ¾ 经过n 步第一次返回原点的概率 ¾ 第一次返回原点所需的平均时间 ¾ 迟早返回原点的概率 ¾ 多次返回原点的概率 ¾ 经过n 步达到+1的概率 ¾ 第1次通过最大值2.1 经过n 步以后的位置特征：概率分布、统计特征质点在第n 步时的状态为L ,2,1,0,=n n η，？ 经过时间n ，质点距离原点的距离为m 的概率P{n η=m}n η是一个随机变量，它的可能取值是：{}n n n n n ,1,,1,,0,1,,2,1,−−−−−L L若质点移动n 步后到达m n =η 的位置，则所有的移动中，正方向移动2mn +步，反方向移动2mn −步，因此： 一维概率分布：{}222m n m n n q p m n n m P −+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+==η， m=-n,-n+2,-n+4,……,n-2,n ；n m ≤均值：∑==nk k n 1ξη；其中k ξ为每一步的移动，{}{},n ,,q,k ξP p,ξP k k L 2111==−==={}{}{}q p 1)(*11*1E −=−=+==k k k ξP ξP ξ{}{})(n 11q p E E E nk k n k k n −==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==ξξη，[]∑∑∑∑∑∑=======⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=n k n l l k n k n l l k n k nl l k nE E E E 1111112}{ξξξξξξη考虑到l k ≠，[][][]()2q p E E E l k l k −=⋅=ξξξξ；l k =，[]()11122=+=⋅−+⋅=q p q p E l k ξξ∴ [][][]n ))(1n (n 21kl 112+−−=+=∑∑∑=≠==q p E E E n k n l nk k k l k ξξξξη方差：()[]{}()(){}n n n n n E E E E E ηηηηηη⋅−+=−2222＝()()[]22n n E E ηη−＝()22n n E ημη−npqq)n(p n q)(p n n q))(p n(n 412222=−−=−−+−−=相关函数：若n<m, []⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⋅∑∑==ml l n k k m n E E 11ξξηη⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n k m l l k E 11ξξ()∑∑===nk ml l k E 11ξξ()()∑∑∑==≠=+=nk k kn k mk l l l kE E 111ξξξξn q p nk m kl l +−=∑∑=≠=112)( n q p m n +−−=2))(1(若n>m, []m q p n m E m n +−−=⋅2))(1(ηη[][][]22)()(1,min q p nm q p m n E m n −⋅+−−=⋅ηη总结：概率分布：{}222m n m n n q p m n n m P −+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+==η ， m=-n,-n+2,-n+4,……,n-2,n ；n m ≤均值：{}()n E n p q η=− 方差：(){}24n n E E npq ηη−=⎡⎤⎣⎦相关函数：[][]2min ,4()n m E n m pq nm p q ηη⋅=⋅+⋅−2.2 经过n 步返回原点的概率根据一维分布的分析可知，第n 步返回原点的概率为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==为偶数，为奇数n q p n n n P nn n 222,0}0{η只有经过偶数步才能返回原点，经过奇数步返回原点的概率为0。

考虑经过2n 步返回原点的概率，记作：nn n n q p n n P u ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===2}0{22η2.3 第一次返回原点的概率第2n 步第一次返回原点的事件记作：}0,0,0,0{2n 12n 212=≠……≠≠=−ηηηη，n B第2n 步第一次返回原点的概率记作：}0,0,0,0{}{2n 12n 2122=≠……≠≠==−ηηηη，P B P v n n第2n 步返回原点的概率与第2n 步第一次返回原点的概率的关系是：222222222221nn n n n k n k k u v v u v u v u −−−==+++=∑L利用矩生成函数求概率分布及数字特征对于n u 2与n v 2，注意到000,1v u ==可以得到下列的矩生成函数，22222211122220()1111()()nnnn k n k n n k m k m k m k U z u zv u z u z v z U z V z ∞∞−===∞∞===+=+=+=+∑∑∑∑∑对于经过２ｎ步返回原点的概率n u 2，()()()()()()()()()()()()()()22!!!22242212331!!211/23/21/212!!!1/24nn nnnnnn n u pq n n n n n n pq n n n n pq n n pq n =−⋅−−⋅=−−−−−−=−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠L L Ln u 2的矩生成函数为()()22200201/2()41/24n nnn n n nn U z u zpq z n pqz n ∞∞==∞=−⎛⎞==−⎜⎟⎝⎠−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠=∑∑∑)(11)(z U z V −= 2411)(pqz z V −−=()()()()()()()()()()()()()()()12111/21411/21/23/21/214!23253142!22!422!(1)!211221n n n n nn n nn n nv pq n n pq n n n pq n n pq n n n pq n n −−−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠−−−−−=−−⋅=−=−−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠L L2.4 迟早返回原点的概率第2n 步第一次返回原点的事件记作：}0,0,0,0{2n 12n 212=≠……≠≠=−ηηηη，n B第2n 步第一次返回原点的概率记作：}0,0,0,0{}{2n 12n 2122=≠……≠≠==−ηηηη，P B P v n n随机游动迟早返回原点的概率,()0(1)11111n n n n P P B v V p qp q p qp q ∞∞=======−−⎧−−<≠=⎨=⎩∑∑随机游动第一次返回原点花费的平均时间，14z n pqp q p q p q μ∞====⎧≠⎪−=⎨⎪∞=⎩随机游动的恒等式考虑到()U z =()1V z =−可以得到(()221()1414()V z pqzpqz U z−==−=−也就是说，2222222244n n nn n nv u pquv pqu u−−−=−=−对于对称的随机游动1/2p q==，就有22222222426n n n n n nu v u v v v+++++=+=+++L2.5 多次返回原点的概率“在2n次试验中，第r次返回原点”，相应的概率记作，()2rnv。

利用递推公式有()(1)2222nr rn k n kkv v v−−==⋅∑相应的生成函数是()()2()2()2222000(1)()()()()r r n r k r mn k mn k nr rV z v z v z v zV z V z V z∞∞∞===−====∑∑∑考虑到()1V z=经过推导，可以得到恒等式(()()(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)2(2)(1)(2)(2)2(2)()()()1()()()()1()()()14()()()()4() r r rr rr rr r rr r r rV z V z V z V zV z zV z V zV z z pqz V zV z z V z pqz V z−−−−−−−−−−−−−=====+−=+−=(1)(2)2(2)(1)(2)2(2)(1)2(2)()()14()()()()4()2()4()r r rr r rr rV z V z pqz V zV z V z V z pqz V zV z pqz V z−−−−−−−−+−−=+−=−由此得到递推公式()(1)(2)222224r r r n n n v v pqv −−−=−初值(1)2n v 已经可以计算出，由此得到“在2n 次试验中，第r 次返回原点”的概率为()()2222nr r nn r r vpq n n r −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠2.6 第n 步第1次达到+1的事件以及相应的概率事件}1,0,,0,0{121=≤≤≤−n n ηηηηL 表示第1次达到+1，第1次穿过+1的事件。

相应的概率记作：}1,0,,0,0{121=≤≤≤=Φ−n n n P ηηηηL其中初始条件是00φ=，1p φ=。

考虑“1n >第1次达到+1”的事件，q P =−=}1{1η存在一个整数k n <，1,2,2k n =−L ，使得0=k η，在以后的n-k 步，第1次达到+1。

1121121}1,0,,0,0{}0,0,,0,1{−−−Φ==≤≤===<<−=k k k k k P P ηηηηηηηηL L第n 步第1次达到+1的事件，可以分解为互斥的事件，第n 步第1次达到+1的概率为这些互斥事件的概率的和()1223211n n n n q n φφφφφφφ−−−=+++>L第n 步第1次达到+1的概率的矩生成函数是，11121112()()n nnn k n k n n k mkm k m k z z pz q z pz qz zzpz qz z φφφφφ∞∞−−−===∞∞==Φ==+=+=+Φ∑∑∑∑∑()z Φ=2()()qz z V z Φ=考虑到，()2221n v pq n n =⎜⎟−⎝⎠因此有，()()122121/214220n nn n n v pq n q qφφ−−−⎛⎞==⎜⎟⎝⎠= 进一步有11(1)/1n n n n z p qp q p qφφ∞=∞=Φ===<⎧=⎨>⎩∑∑计算第1次穿过+1 的平均时间是()()1(1)11(1)1221//V z z q p q q p q p q p q p q q p q p φ⎛⎞′=′Φ==−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠−>⎧⎪=∞=⎨⎪−>⎩2.7 第1次通过最大值给定一个期望的最大值r ，()r n Φ表示“在第n 步第一次通过r ”的概率。