同余的性质与应用

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同余的性质及应用

1 引言

数论的一些基础容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的.

在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一.

我国古代子算经里已经提出了同余式11(mod )xb m ,22(mod )xb m ,…, (mod )k k xb m 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家九韶在他的《数学九章》中提出了同余式1(mod )i i x M m ≡, 1,2,...,i k =, i m 是k 个两两互质的正整数，

12...k m m m m =,i i m m M =的一般解法.

同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，2an bn c ++形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题.

数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性

质的一些简单应用，通过本文的阐述，希望可以为对数论有兴趣的读者，增加学习数论知识的兴趣，并能为他们攻破那些经典的数论难题开展数论课题课题提供一些帮助.

2 同余的概念

给定一个正整数m，把它叫做模，如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说对模m同余，记作(mod)

≡,如果余数不同，就说对模m不同余.

a b m

由定义得出同余三条性质：

（1）(mod)

≡；

a a m

（2）(mod)

≡；

b a m

a b m

≡,则(mod)

（3）(mod)

a c m

≡.

≡,则(mod)

b c m

≡,(mod)

a b m

定义也可描述为:整数a,b对模m同余的充分必要条件是m a b-,即a b mt

=+,t是整数.

3 同余的八条基本性质

由同余的定义和整数的性质得出[1]：

（1）若(mod)

≡,则(mod)

a c

b d m

+≡+

c d m

≡,(mod)

a b m

若(mod)

≡-

a c

b m

a b c m

+≡, 则(mod)

（2）若(mod)

ac bd m

≡

≡, 则(mod)

a b m

≡,(mod)

c d m

特别地,若(mod)

≡

ak bk m

≡,则(mod)

a b m

（3）若11......(mod )k k A B m ∂∂∂∂≡, (mod )i i x y m ≡, 0,1,...,i n =

则1111...1...1......(mod )k k k k k k A x x B y y m ∂∂∂∂∂∂∂∂≡∑∑

（4）若1a a d =, 1b b d =, (,)1d m =, (mod )a b m ≡,则11(mod )a b m ≡

（5）若(mod )a b m ≡,0k >, 则(mod )ak bk m ≡；

若(mod )a b m ≡, d 是a ,b 及m 任一正公因数,则(mod )a b m d d d

≡ （6）若(mod )i a b m ≡,1,2,...,i k =,则12(mod[,,...,])k a b m m m ≡

其中12[,,...,]k m m m 是12,,...,k m m m , k 个数最小公倍数

（7）若(mod )a b m ≡, d m ,0d >,则(mod )a b d ≡

（8）(mod )a b m ≡, (,)(,)a m b m =,若d 能整除m 及a ,b 两数之一,则d 必整除a ,b 另一个.

4 同余性质在算术里的应用

4.1 检查因数的一些方法

例1 一整数能被3(9)整除的充要条件是它的十进位数码的和能被3(9)整除. 证:按照通常方法,把任意整数a 写成十进位数形式,即

1101010...n n n n a a a a --=+++, 010i a ≤<.

因101(mod3)≡, 所以由同余基本性质,即3a 当且仅当3

i a ∑； 同法可得9a 当且仅当9i

a ∑，0,1,...,i n =. 例2 设正整数11010001000...n n n n a a a a --=+++，01000i a ≤<，则7（或11或13）整除a 的充要条件是7（或11或13）整除0213(...)(...)(1)i i a a a a a ++-++=-∑，0,1,...,i n =.