概率论(计算)习题
概率论习题
第一章 习题一．选择题1 设A B ⊂，则下面正确的等式是 。
A )(1)(A P AB P -=； B )()()(A P B P A B P -=-；C )()|(B P A B P =；D )()|(A P B A P = 2 设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ）A P （A ）≥P （A |B ） B P （A ）≤P （A |B ）C P （A ）≥P （A+B ）D P （A ）≤P （AB ）3.在下列四个条件中，能使)()()(B P A P B A P -=-一定成立是（ ） A 、B A ⊂ B 、A 、B 独立 C 、A 、B 互不相容 D 、A B ⊂4.设在每次试验中，事件A 发生的概率为)10(<<p p ，p q -=1，则在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率是（ ）A 、n pB 、n qC 、n p -1D 、n q -15.设C B A ,,三个事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是（ ） A 、A 与BC 独立 B 、AB 与C A 独立 C 、AB 与BC 独立 D 、B A 与C A 独立6 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 . A rn rr n p p C ----)1(11； B rn r r n p p C --)1(；C 1111)1(+-----r n r r n p pC ；D r n r p p --)1(.二．填空题1 设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P .2 随机事件Ａ和B 相互独立， 且P （A ）=0.６, P(Ａ－ＡB)=0.3, 则P(B)=______P(A ∪Ｂ)=_________3 设 样 本 空 间 U = {1， 2， 10 }， A ={2， 3， 4， }， B={3， 4， 5， } ，C={5， 6， 7}， 则 ()C B A 表 示 的 集 合 =______________________4 设C B A ,,为三个事件，则“C B A ,,中至少有一个发生”可表示为5 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为 . 6设,A B 为两随机事件，已知8.0)(,)(3.07.0)(=⋃+==B A P B P A P ，则(|)P A A B =三 计算题1 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B 两两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.2 甲、乙.丙三人同时对一架飞机进行射击，设甲.乙.丙三人击中飞机的概率分别为0. 4,0.5 和0.7，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3,飞机被两人同时击中而被击落的概率为0.6,飞机被三人击中而被击落的概率为0.9，求飞机被击落的概率.3 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.4 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.5 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品概率为0.03，第二台出现废品的概率是0.02；加工出来的零件放在一起。
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
概率运算练习题及答案
概率运算练习题及答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性。
在概率论中，我们经常需要进行概率的计算。
以下是一些概率运算的练习题，以及相应的答案，供学习者参考和练习。
# 练习题1一个袋子里有3个红球和2个蓝球。
随机从袋子中取出一个球，然后放回，再次取出一个球。
求以下事件的概率：A) 第一次取出的是红球。
B) 第二次取出的是红球。
C) 两次取出的都是红球。
# 答案1A) 第一次取出红球的概率是3/5，因为袋子里有5个球，其中3个是红球。
B) 由于取出的球会放回，所以第二次取出红球的概率也是3/5。
C) 两次取出都是红球的概率是第一次取出红球的概率乘以第二次取出红球的概率，即 (3/5) * (3/5) = 9/25。
# 练习题2一个骰子有6个面，每个面上的数字分别是1, 2, 3, 4, 5, 6。
投掷两次骰子，求以下事件的概率：A) 第一次投掷得到的数字大于3。
B) 第二次投掷得到的数字小于4。
C) 两次投掷得到的数字之和为7。
# 答案2A) 第一次投掷得到大于3的数字的概率是3/6，因为1, 2, 3的数字小于4，而骰子有6个面。
B) 第二次投掷得到小于4的数字的概率也是3/6，因为1, 2, 3的数字小于4。
C) 两次投掷得到的数字之和为7的组合有：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)。
每一对组合出现的概率是1/36（因为每个数字出现的概率是1/6，且投掷两次是独立的）。
所以，两次投掷和为7的概率是6 * (1/36) = 1/6。
# 练习题3一个班级有30个学生，其中15个男生和15个女生。
随机选择5个学生组成一个小组。
求以下事件的概率：A) 小组中至少有3个男生。
B) 小组中恰好有3个男生。
# 答案3A) 至少有3个男生的小组可以是3个男生和2个女生，4个男生和1个女生，或者5个男生。
我们可以使用组合数学来计算这些概率。
- 3个男生和2个女生的组合数是 C(15,3) * C(15,2)。
概率论习题全部
概率论习题全部概率论习题全部1习题⼀习题⼀1. ⽤集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：（1）掷两枚均匀骰⼦，观察朝上⾯的点数，事件A表⽰“点数之和为7”；（2）记录某电话总机⼀分钟内接到的呼唤次数，事件A表⽰“⼀分钟内呼唤次数不超过3次”；（3）从⼀批灯泡中随机抽取⼀只，测试它的寿命，事件A表⽰“寿命在2 000到2 500⼩时之间”.2. 投掷三枚⼤⼩相同的均匀硬币，观察它们出现的⾯.（1）试写出该试验的样本空间；（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={⾄少出现⼀个正⾯}，B={出现⼀正、⼆反}，C={出现不多于⼀个正⾯}；（3）如记A={第i枚硬币出现正⾯}（i=1，2，i3），试⽤123A A A表⽰事件A，B，C.,,3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码⼩习题⼀ 2 于5}，问下列运算表⽰什么事件：（1）A B ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B C ；（7）A C -. 4. 在区间上任取⼀数，记112A x x ??=<≤，1342B x x ??=≤≤，求下列事件的表达式：（1）A B ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B .5. ⽤事件A ，B ，C 的运算关系式表⽰下列事件：（1）A 出现，B ，C 都不出现；（2）A ，B 都出现，C 不出现；（3）所有三个事件都出现；（4）三个事件中⾄少有⼀个出现；（5）三个事件都不出现；（6）不多于⼀个事件出现；（7）不多于⼆个事件出现；（8）三个事件中⾄少有⼆个出现.6. ⼀批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表⽰事件“第次抽到废品”，试⽤的运算表⽰下列各个事件：（1）第⼀次、第⼆次中⾄少有⼀次抽到废品；（2）只有第⼀次抽到废品；（3）三次都抽到废品；]2,0[i A i iA习题⼀3 （4）⾄少有⼀次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品.7. 接连进⾏三次射击，设={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试⽤表⽰下述事件：（1）A ={前两次⾄少有⼀次击中⽬标}；（2）B ={三次射击恰好命中两次}；（3）C ={三次射击⾄少命中两次}；（4）D ={三次射击都未命中}.8. 盒中放有a 个⽩球b 个⿊球，从中有放回地抽取r 次（每次抽⼀个，记录其颜⾊，然后放回盒中，再进⾏下⼀次抽取）.记={第i 次抽到⽩球}（i ＝1，2，…，r ），试⽤{}表⽰下述事件：（1）A ={⾸个⽩球出现在第k 次}；（2）B ={抽到的r 个球同⾊}，其中1k r ≤≤.*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成⽴：（1）ABC =A ；（2）A B C A =.iA 321,,A A A iA iA习题⼆ 3习题⼆1. 从⼀批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.2. ⼀⼝袋中有5个红球及2个⽩球.从这袋中任取⼀球，看过它的颜⾊后放回袋中，然后，再从这袋中任取⼀球.设每次取球时⼝袋中各个球被取到的可能性相同.求：（1）第⼀次、第⼆次都取到红球的概率；（2）第⼀次取到红球、第⼆次取到⽩球的概率；（3）两次取得的球为红、⽩各⼀的概率；（4）第⼆次取到红球的概率.3. ⼀个⼝袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个⼝袋中取2只球，试求：（1）最⼩号码是3的概率；（2）最⼤号码是3的概率.4. ⼀个盒⼦中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，⼀只是不合格品；（3）⾄少有1只是合格品.4习题⼆5. 从某⼀装配线上⽣产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和⽆缺陷的产品是等可能发⽣的，求⾄少观测到⼀件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.6. 某⼈去银⾏取钱，可是他忘记密码的最后⼀位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选⼀个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.7. 掷两颗骰⼦，求下列事件的概率：（1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.8. 把甲、⼄、丙三名学⽣随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8⼈，试求这三名学⽣住在不同宿舍的概率.9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：（1）事件A={其中恰有⼀位精通英语}；（2）事件B={其中恰有两位精通英语}；（3）事件C={其中有⼈精通英语}.10. 甲袋中有3只⽩球，7只红球，15只⿊球，⼄袋中有10只⽩球，6只红球，9只⿊球，习题⼆ 5 现从两个袋中各取⼀球，求两球颜⾊相同的概率.11. 有⼀轮盘游戏，是在⼀个划分为10等份弧长的圆轮上旋转⼀个球，这些弧上依次标着0～9⼗个数字.球停⽌在那段弧对应的数字就是⼀轮游戏的结果.数字按下⾯的⽅式涂⾊：0看作⾮奇⾮偶涂为绿⾊，奇数涂为红⾊，偶数涂为⿊⾊.事件A ={结果为奇数}，事件B ={结果为涂⿊⾊的数}.求以下事件的概率：（1）)(A P ；（2）)(B P ；（3）()P A B ；（4）)(AB P .12. 设⼀质点⼀定落在xOy 平⾯内由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的三⾓形内，⽽落在这三⾓形内各点处的可能性相等，即落在这三⾓形内任何区域上的可能性与这区域的⾯积成正⽐，计算这质点落在直线x =的左边的概率. 13. 甲、⼄两艘轮船都要在某个泊位停靠6h ，假定它们在⼀昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中⾄少有⼀艘在停靠泊位时必须等待的概率.14. 已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：（1）)(),(B P A P ；（2）()P A B ；（3）)(AB P ；（4）)(),(B A P A B P ；（5）)(B A P .316习题⼆15. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，()P A B=0.8，试求：P（A-B）与P （B-A）.*16. 盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进⾏第⼆次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率.习题三 5习题三1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .2. ⼀批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取⼀个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.3. 某⼈有⼀笔资⾦，他投⼊基⾦的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.（1）已知他已投⼊基⾦，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投⼊基⾦的概率是多少？4. 罐中有m 个⽩球，n 个⿊球，从中随机抽取⼀个，若不是⽩球则放回盒中，再随机抽取下⼀个；若是⽩球，则不放回，直接进⾏第⼆次抽取，求第⼆次取得⿊球的概率.5. ⼀个⾷品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:习题三6如果收到⼀个消费者的投诉，已知投诉发⽣在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.6. 给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下⾯四个等式：)()(A P B A P =；)()(A P B A P =；)()(B P A B P =；)()(B P A B P =.7. 已知甲袋中装有6只红球，4只⽩球，⼄袋中装有8只红球，6只⽩球.求下列事件的概率：（1）随机地取⼀只袋，再从该袋中随机地取⼀只球，该球是红球；（2）合并两只⼝袋，从中随机地取1只球，该球是红球.8. 设某⼀⼯⼚有A ，B ，C 三间车间，它们⽣产同⼀种螺钉，每个车间的产量，分别占该⼚⽣产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分⽐分别为5％、4％、2％.如果从全⼚总产品中抽取⼀件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A ，B ，C ⽣产的概率.9. 某次⼤型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100⼈服⽤了违禁药品.在使⽤者中，假定有90⼈的药物检查呈阳性，⽽在未使⽤者中也有5⼈检验结果显⽰阳性.如果⼀个运习题三 7 动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使⽤违禁药品的概率.10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到⼲扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，⽽是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.*11. 甲袋中有4个⽩球6个⿊球，⼄袋中有4个⽩球2个⿊球.先从甲袋中任取2球投⼊⼄袋，然后再从⼄袋中任取2球，求从⼄袋中取到的2个都是⿊球的概率.12. 设事件B A ,相互独⽴.证明：B A ,相互独⽴，B A ,相互独⽴. 13. 设事件A 与B 相互独⽴，且p A P =)(，q B P =)(.求下列事件的概率：(),(),().P A B P A B P A B14. 已知事件A 与B 相互独⽴，且91)(=B A P ，)()(B A P B A P =.求：)(),(B P A P .15. 三个⼈独⽴破译⼀密码，他们能独⽴译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译习题三8 出的概率.16. 设六个相同的元件，如下图所⽰那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独⽴的.*17. （配对问题）房间中有n 个编号为1~n的座位.今有n 个⼈（每⼈持有编号为1~n 的票）随机⼊座，求⾄少有⼀⼈持有的票的编号与座位号⼀致的概率.（提⽰：使⽤概率的性质5的推⼴，即对任意n 个事件12,,,n A A A ，有1121111111()()(1)()(1)().)k k n n k k i j k i j n k k n i i n i i i n P A P A P A A P A A P A A =≤<≤=--≤<<<≤??=-+ +-++-∑∑∑ *18. （波利亚（Pólya ）罐⼦模型）罐中有a 个⽩球，b 个⿊球，每次从罐中随机抽取⼀球，观察其颜⾊后，连同附加的c 个同⾊球⼀起放回罐中，再进⾏下⼀次抽取.试⽤数学归纳法证明：第k 次取得⽩球的概率为a a b+（1k ≥为整数）.（提习题三 9 ⽰：记{}k A k 第次取得⽩球，使⽤全概率公式1111()=()()+()()k k k P A P A P A A P A P A A 及归纳假设.）19. 甲⼄两⼈各⾃独⽴地投掷⼀枚均匀硬币n 次，试求：两⼈掷出的正⾯次数相等的概率.20. 假设⼀部机器在⼀天内发⽣故障的概率为0.2，机器发⽣故障时全天停⽌⼯作.若⼀周五个⼯作⽇⾥每天是否发⽣故障相互独⽴，试求⼀周五个⼯作⽇⾥发⽣3次故障的概率.21. 灯泡耐⽤时间在1 000 h 以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使⽤1 000 h 以后最多只有⼀个坏了的概率.22. 某宾馆⼤楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运⾏的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运⾏的概率；（2）在此时刻恰好有⼀半电梯在运⾏的概率；（3）在此时刻⾄少有1台电梯在运⾏的概率.23. 设在三次独⽴试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同.若已知A ⾄少出现⼀次的概率等于2719，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .10习题三*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个⼥孩的概率分别为a及b.今已知双胞胎中⼀个是男孩，求另⼀个也是男孩的概率.25. 两射⼿轮流打靶，谁先进⾏第⼀次射击是等可能的.假设他们第⼀次的命中率分别为0.4及0.5，⽽以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击⾸次中靶，求是第⼀名射⼿⾸先进⾏第⼀次射击的概率.26. 袋中有2n-1个⽩球和2n个⿊球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同⾊的，求同为⿊⾊的概率.*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落⼊编号1~4的四个盒⼦，（1）求恰有两空盒的概率；（2）已知恰有两空盒，求有球的盒⼦的最⼩编号为2的概率.习题四 8习题四1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由.（1）15ii p =(0,1,2,3,4,5)i =；（2）6)5(2i p i -=(0,1,2,3)i =；（3）251+=i p i (1,2,3,4,5)i =.2. 试确定常数C ，使i C i X P 2)(== (0,1,2,3,4)i =成为某个随机变量X 的分布律，并求：（1）(2)P X >；（2）1522P X ??<<；（3）(3)F （其中F （·）为X 的分布函数）.3. ⼀⼝袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这⼝袋中任取⼀球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数.4. ⼀袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X 表⽰取出的3个球中最⼤号码，写出X 的分布律和分布函数.5. 在相同条件下独⽴地进⾏5次射击，每次射击时击中⽬标的概率为0.6，求击中⽬标的9习题四次数X的分布律.6. 从⼀批含有10件正品及3件次品的产品中⼀件⼀件地抽取产品.设每次抽取时，所⾯对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为⽌所需次数X的分布律：（1）每次取出的产品⽴即放回这批产品中再取下⼀件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出⼀件产品后总以⼀件正品放回这批产品中.7. 设随机变量X),6(==XP，XP(=)1B，已知)5~p(求p与)2P的值.(=X8. ⼀张试卷印有⼗道题⽬，每个题⽬都为四个选项的选择题，四个选项中只有⼀项是正确的.假设某位学⽣在做每道题时都是随机地选择，求该位学⽣未能答对⼀道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.9．市120接听中⼼在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，⽽与时间间隔的起点⽆关（时间以⼩时计算）：习题四10 求：（1）某天中午12点⾄下午3点没有收到紧急呼救的概率；（2）某天中午12点⾄下午5点⾄少收到1次紧急呼救的概率.10．某商店出售某种物品，根据以往的经验，每⽉销售量X服从参数4=λ的泊松分布.问在⽉初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满⾜顾客的需要？11. 有⼀汽车站有⼤量汽车通过，每辆汽车在⼀天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.12. 设鸡下蛋数X服从参数为λ的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y为观察到的鸡蛋数，即Y的分布与给定>0X的条件下X的分布相同，今求Y 的分布律.（提⽰：()(0),1,2,.对于）P Y k P X k X k===>=13. 袋中有n把钥匙，其中只有⼀把能把门打开，每次抽取⼀把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求⾸次打开门时试⽤钥匙次数的分布律.习题四11 14. 袋中有a 个⽩球、b 个⿊球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到⽩球停⽌抽取，X 为抽取次数，求()P X n ≥.15. 据统计，某⾼校在2010年上海世博会上的学⽣志愿者有6 000名，其中⼥⽣3 500名.现从中随机抽取100名学⽣前往各世博地铁站作引导员，求这些学⽣中⼥⽣数X 的分布律.16. 设随机变量X 的密度函数为2,()0,x f x ?=??0,x A <<其他,试求：（1）常数A ;（2）)5.00(<17．设随机变量X 的密度函数为()e x f x A -=()x -∞<<+∞，求：（1）系数A ；（2）)10(<（3）X 的分布函数. 18．证明：函数22e ,0,()0,0,xc x x f x c x -??≥=??可作为⼀个密度函数.19. 经常往来于某两地的⽕车晚点的时间X（单位：min ）是⼀个连续型随机变量，其密度函数为23(25),55,()5000,x x f x ?--<X 为负值表⽰⽕车早到了.求⽕车⾄少晚点2min 的概率.习题四 1220. 设随机变量X 的分布函数为0()1(1)e x F x x -?=?-+?,0,,0,x x ≤>求X 的密度函数，并计算)1(≤X P 和)2(>X P .21. 设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，求⽅程012=++Xt t 有实根的概率.22. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，证明：对于0,0,1a b a b ≥≥+≤，()P a X b b a ≤≤=-，并解释这个结果.23. 设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X （单位：min ）是⼀随机变量，它服从51=λ的指数分布，其密度函数为51e ()50x f x -??=,0,,x >其它.某顾客在窗⼝等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）设某顾客某天去银⾏，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客⼀个⽉要去银⾏五次，求他五次中⾄多有⼀次未等到服务⽽离开的概率.24. 以X 表⽰某商店从早晨开始营业起直到第⼀个顾客到达的等待时间（单位：min ），X 的分布函数是0.21e ,0,()0,x x F x -?->=??其他.求：（1）X 的密度函数；（2）P （⾄多等待。
概率论练习题
1. 袋中有8红 3白球,从中任取2球,至少有一白球概率为_______2. A.B 为独立事件,且P(AUB )=0.6, P(A)=0.4,则P(B)=_______________3. 若X~P(λ),则P(X)=____________4. 若X~N(2,σμ),则密度f(X)=_____________5.已知事件A 、B 互不相容，且P(AUB)=0.8,P(A)=0.5,则P(B)= ,P(A-B)= .6. 设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===，则()P AB = .7. 设随机事件A, B 及其和事件AUB 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 则)(B A P = ______.8．假设P （A ）=0.4，P （A ∪B ）=0.7，若A ，B 互不相容，则P （B ）= ，若A ，B 相互独立，则P （B ）= ．9.若事件A 和B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(AUB)= ________．10.设事件A 、B 满足P(A)=0.3，P(B)=0.8，P(AB)=0.2，则P(AUB)=________，)(B A P =________.12．设A ，B 两事件满足P （A ）=0.8， P （B ）=0.6，P （B|A ）=0.5，则P （A ∪B ）= ．13.一射击运动员独立的向同一目标射击n 次，设每次命中的概率为p,则他恰好命中k 次的概率为 .14. 相互独立的,且有相同分布的n 个变量i X 的最小值min F (z)=________________15．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E （X ²）＝________.16．若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= .17.设二维随机变量),(ηξ~N(0,1,1,4,0.5)，则ξ~ 分布，D()ηξ+= ．18．设()3D X =，31Y X =+，则XY ρ= . 19.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,20,),(y x cxy y x f ， 则=c ____ ，=≤)1(X P ______.20．若随机变量ξ服从U(0,5)，则x 2+ξx+1=0有实根的概率为______．21． 某射手每次射击的命中率为p ，现连续射击n 次，则恰好射中k 次的概率为________．23．设随机变量ξ与η相互独立, D(ξ) = 2, D(η) = 4, D(2ξ－η) = _______．24. 已知随机变量X ～N (－3, 1), Y ～N (2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y, 则Z 的数学期望EZ= , 且Z ～ ．25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N (0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______．26.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为________.27.切比雪夫不等式表示为28. 棣美弗---拉普拉斯定理表明当n →∞时,n X ~B(n, p), 则_____________29.数理统计中的常用分布有三个,分别为___________ _____________ ____________1.设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(B A )=0.8, 则________A. A,B 独立B. A,B 互斥C. A,B 互逆D. A B ⊃2.设X~N(1,1),概率密度为f(x), 则______________A.5.0)0()0(=≥=≤X P X PB.),(),()(+∞-∞∈-=x x f x fC.5.0)1()1(=≥=≤X P X PD. ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F3.事件A ，B 为两个任意事件，则（ ）成立．ａ． （AUB ）－B=A ， ｂ． （AUB ）－B ⊂A ，ｃ． (A-B)UB=A ， ｄ． (A-B)UB ⊂A ．4．对于任意二事件,A B ，同时出现的概率()0P AB =，则（ ）a.,A B 不相容（相斥）b.AB 是不可能事件c.AB 未必是不可能事件d.()0,()0P A P B ==或5．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）．a. 2)1(p -b.21p -c.)1(3p -d.以上都不对6.已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且4.0)(=A P ，则=)(B P （ ）．a.0.4，b.0.5，c.0.6，d.0.77.设随机变量X 的概率密度为||)(x cex f -=，则c ＝（ ）． a.－21 b.0 c.21 d.18．（ ）不是某个随机变量的概率密度函数．ａ．⎩⎨⎧≤>=-0x00 x 2)(2x e x f ， ｂ．⎩⎨⎧<<=其它0101)(x x f ｃ．⎩⎨⎧<<=其它 01x 0x )(x f ，ｄ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它020sin )(πx x x f 9．设随机变量ξ，η有：E ξη=E ξE η，则（ ）．ａ． D （ξη）=D ξD η， ｂ． D （ξ+η）=D ξ+D η，ｃ． ξ与η独立， ｄ． ξ与η不独立．10． 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为（ ）. a.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； b.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f ； c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； d.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f11．对于任意两个随机变量,X Y ，若()E XY EX EY =⋅，则（ ）a.()D XY DX DY =⋅b.()D X Y DX DY +=+c.,X Y 独立d.,X Y 不独立12．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则（ ）.a.2/1)0(=≤+Y X P ；b.2/1)1(=≤+Y X P ；c.2/1)0(=≤-Y X P ；d.2/1)1(=≤-Y X P .13.设ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-949231201，则P(ξ<2|ξ≠0)= . a. 31 b. 73 c. 95 d. 1 14.设二维随机变量(,)X Y 服从G ：122≤+y x 上的均匀分布，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .a. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,),(G y x y x f πb. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,/1),(G y x y x f π c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f d. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f 15．设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D （ ）.（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.16．设随机变量()2~,N ξμσ，则当σ增大时，概率{}P ξμσ-<=（ ）.． a ．保持不变 b ．单调减少 c ．单调增加 d ． 增减不定17．设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X ,则Z = min(X, Y)的分布函数是（ ）．a ．)(z F Z = )(z F Xb ．)(z F Z = )(z F Yc ．)(z F Z = min{)(),(z F z F Y X }d ．)(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ]21．设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y, V = X + Y, 则U 和V 必然( ).a ．不独立b ． 独立c ．相关系数不为零d ．相关系数为零．22．设X 与Y 的相关系数0=ρ，则（ ）．a ．X 与Y 相互独立b ．X 与Y 不一定相关c ．X 与Y 必不相关d ．X 与Y 必相关23．在假设检验中，0H 为原假设，则所谓犯第二类错误指的是（ ）．ａ．0H 为真时，接受0H ｂ．0H 不真时，接受0Hｃ．0H 不真时，拒绝0H ｄ．0H 为真时，拒绝0H24.设n X X X ......,21是总体X~N(0,1)的样本, X ,S 分别为样本均值和样本标准差,则有________ A.X n ~ N(0,1) B. X ~N(0,1) C.)(~212n Xn i i χ∑= D.)1(~-n t S X四、计算题1.一袋中有4白，2红球，从袋取球两次，每次一只，（1）放回（2）不放回，就这两种情况求：1）取到两只都是白球的概率2）取到两只中至少有一白球的概率2.变量x 在[]π,0上服从均匀分布，求：x Y sin =的概率密度3.变量X ～()λe ，求;E ()x ,()x D4. 变量()k X 2~χ,求: ()()x D x E , 5.变量()y x ,的联合概率密度为()()⎩⎨⎧>>=+-其它，,00y 0,2,2x e y x f y x 6.变量()1,0~N X 求：函数Y=X 2的概率密度7.从总体X 中抽取样本x 1，x 2，x 3证明：1）三个统计量6323211x x x ++=μ ，4423212x x x ++=μ ，3333213x x x ++=μ 都是总体均值的无偏估计量2）问哪个估计量更有效8. 变量()y x ,在R ：x y x ≤≤≤≤0,10上服从均匀分布求：1）()()()()y D x D y E x E ,,,2）()y x Cov , ()y x R ,9.总体(),~λP X ()未知参数0>λ取样本值x 1x 2........x n 求：λ的最大似然估计值10．在所有两位数10-99中任取一数，求这数能被2或3整除的概率11.变量()y x ,的联合概率密度为()()23,0,0,0,x y Ae x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它 求：1）联合分布函数？2）在R ：0,0,236x y x y >>+<内概率12.变量()2~2χX 其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,212x x e f x x x 求: ()()x D x E ,13、设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,)(其它x x x x x f 试求ξ的分布函数，数学期望E ξ和方差D ξ． 14、设随机变量ξ的概率密度函数为+∞<<∞-=-x Ae x f x ,)(.求:(1)常数A ，(2) ξ的分布函数，(3) ξ落在区间]1,1[-内的概率15、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ．试求ξE ，ξD ．16、设二维随机变数),(ηξ有密度函数)25)(16(),(222y x A y x p ++=π， 求常数A 及),(ηξ的分布函数。
概率论习题试题集
第一章随机事件与概率一、填空题1.已知随机事件 A 的概率P( A)0.5 ，事件 B 的概率P( B)0.6 ，条件概率P(B A)0.8 ，则P(A B)__________ ____ 。
2. 设 A，B为随机事件，已知P( A)，，B)，则P(AB)____________。
0.3 P(B)0.4 P( A3.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6 和，现目标被击中，则它是甲命中的概率为 ___________ 。
4.某射手在 3 次射击中起码命中一次的概率为0.875 ，则该射手在一次射击中命中的概率为___________ 。
5.设随机事件 A在每次试验中出现的概率为1,则在 3次独立试验中 A 起码发生一次的概率为3___________ .6.袋中有黑白两种球 , 已知从袋中任取一个球是黑球的概率为1, 现从袋中不放回地挨次取球, 则第 k 4次获得白球的概率为___________ 。
7.三台机器互相独立运行，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率挨次为，，，则这三台机器中起码有一台发生故障的概率是___________ 。
8.电路由元件 A 与两个并联的元件 B， C 串连而成，若 A， B，C 破坏与否互相独立，且它们破坏的概率挨次为，，0.1 ，则电路断路的概率是___________ 。
9. 甲乙两个投篮，命中率分别为，，每人投 3 次，则甲比乙进球数多的概率是___________ 。
10. 3 人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是1115，，，则此密码被译出的概率是34________。
二、选择题1. 关于任意两个事件 A， B，有P( A B) 为（）（A）P( A)P( B)（B）P(A)P(B)P(AB)（C）P( A)P(AB)（D）P(A)P(B)P(AB)2. 设 A， B 为两个互斥事件，且P( A)0, P(B)0 ，则以下正确的选项是（）（A）P(A B)P(A)（B）P(B A)0（C ） P( AB) P( A)P( B) （D ） P(B A) 03. 其人独立地投了 3 次篮球， 每次投中的概率为 0.3 ，则其最可能失败 （没投中） 的次数为 （）（A ） 2 （B ）2 或 3 （C ） 3（D ）14. 袋中有 5 个球（ 3 个新， 2 个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）（A ）3（B ）354（C ）2（D ）34105. n 张奖券中含有 m 张有奖的， k 个人购置，每人一张，此中起码有一个人中奖的概率是（ ）（A ）m（B ）1C n k m C n mC n kC m 1C n k m 1k C m r（C ）（ D ）1C n kC n kr 三、计算题( 随机事件、随机事件的关系与运祘 )1.指出下边式子中事件之间的关系：⑴AB A ；⑵ABC A ； ⑶A B A 。
概率论习题
一、填空题1、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ发生，Ｂ、Ｃ都不发生可表示为（ ）2、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ都发生，Ｃ不发生可表示为（ ）3、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ都发生可表示为（ ）4、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个发生可表示为（ ）5、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ都不发生可表示为（ ）6、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ）7、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有两个发生可表示为（ ）8、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ至少有两个发生可表示为（ ）9、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ不多于一个发生可表示为（ ） 10、Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ至少有一个发生，而Ｃ不发生可表示为 13、()p Ω=（ ） 14、()p Φ=（ ）15、()p Ω=（ ） 16、()p Φ=（ ）21、()p A B +=（ ） 22、()()p A P A +=（ ） 23、(|)p B A =（ ） 24、(|)p A B =（ ）28.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，问一次就能打开保险箱的概率（ ） 33.已知X 是随机变量,且X ～()4,0U 则()12P x <<= 。
34.已知 X 是连续型随机变量，则{}0P X == 。
42.已知X ～()22.0,3N ，则)(x F 为其密函数,则=)3(F ,45.已知X 是连续随机变量,且X ～()25.0,9N ,则5.09-X ～ 。
50. 若随机变量X ～()2,2σN ,且()3.042=<<X P 则 ()=<0X P 。
51. 若随机变量n X X X X ,,,,321 相互独立,服从同一分布,且()()0,2>==σμi i X D X E ,令∑==ni i X n X 11,则()=X E 。
52. 若随机变量n X X X X ,,,,321 相互独立,服从同一分布,且()()0,2>==σμi i X D X E ,令∑==ni i X n X 11,则()=X D 。
高等数学(概率论)习题及解答
高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。
1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。
2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。
现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。
求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。
2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。
根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。
以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。
概率论习题
第二章随机变量与概率分布一、单项选择题1．设随机变量?的密度函数p(x)=,则常数A=()A、1/4B、1/2C、1D、22．设随机变量?的分布列为P{?=k}=，k=1,2,…，则常数C= ()A、1/4B、1/2C、1D、23．设?~N(?,?2)，且概率密度p(x)=e，则正确的为()A、?=,?=2B、?=2,?=3C、?=2,?=D、?=,?=4．设随机变量?的密度函数p(x)=，则A= ()A、1B、1/2C、1/4D、25．设离散型随机变量X的分布列为其分布函数为F(x),则F(3/2)=()A、、0.3 C、、6．设随机变量?的分布列为,则常数?= ()A、1/8B、1/4C、1/3D、1/27．在相同条件下，相互独立地进行5次射击，每次射击时命中目标的概率为，则击中目标的次数?的概率分布为()A、二项分布B(5,B、普阿松分布P(2)C、均匀分布U,3)D、正态分布N(3,52)8．某射手对目标独立地进行射击，直到击中目标为止，设每次击中的概率为2/3，则击中目标前的射击次数X的概率分布为()A、P{X=k}=C()k()n–k,k=0,1,2,…,nB、P{X=k}=e–1,?>0,k=0,1,2,…,nC、P{X=k}=()()k k=0,1,2,…D、P{X=k}=()()k-1k=0,1,2,…9．设随机变量?的密度函数为p(x)，且p(-x)=p(x)，F(x)是?的分布函数，则对任意的实数a,有()A、F(-a)=1-B、F(-a)=-C、F(-a)=F(a)D、F(-a)=2F(a)-110．设随机变量?的密度函数为p(x)=，则P{?<}等于()A、、、D、二、填空题11．设随机变量?的分布函数为F(x)=,则F(?/4)=。
12．?~N(1,?2)且P{1???3}=，则P{??-1}=。
13．设随机变量?的密度函数为p(x)=，-∞<x<+∞，则常数c=。
概率计算练习题
概率计算练习题一、基础练习题1. 某班级共有50名学生，其中35人会弹钢琴，25人会拉小提琴，15人既会弹钢琴也会拉小提琴。
现从该班级中随机选择一名学生，求该学生既不会弹钢琴也不会拉小提琴的概率。
2. 有一批产品，其中20%是次品。
从中随机抽取3个产品，求恰好有一个是次品的概率。
3. 一批产品中有30%的次品。
从中随机抽取5个产品，求至少有一个是次品的概率。
4. 一批产品中40%的产品是甲品质，30%是乙品质，30%是丙品质。
甲品质产品被使用后有4%的概率出现故障，乙品质产品故障的概率为7%，丙品质产品故障的概率为15%。
现从该批产品中随机选择一件，求其出现故障的概率。
5. 一批产品中有20%的次品。
从中抽取10个产品，求抽出的产品中次品数大于等于2的概率。
二、进阶练习题1. 某班级共有80名学生，其中40人学习钢琴，30人学习小提琴，20人学习吉他。
已知学习钢琴和学习小提琴的学生共有15人，学习小提琴和学习吉他的学生共有10人，学习钢琴和学习吉他的学生共有5人，共有3人同时学习钢琴、小提琴和吉他。
现从该班级中随机选择一名学生，求该学生学习吉他的概率。
2. 一批产品中有30%的次品，已知次品中有20%是甲类次品，60%是乙类次品，20%是丙类次品。
从该批产品中随机抽取一件，若抽到的是次品，请依次求此产品为甲类次品、乙类次品、丙类次品的概率。
3. 一家快餐店的产品销售情况统计如下：25%的顾客购买汉堡，30%的顾客购买薯条，40%的顾客购买汽水。
已知购买汉堡和薯条的顾客占总顾客数的20%，购买薯条和汽水的顾客占总顾客数的15%，购买汉堡和汽水的顾客占总顾客数的10%，同时购买汉堡、薯条和汽水的顾客占总顾客数的5%。
现在从该快餐店中随机选择一位顾客，求该顾客购买汽水的概率。
4. 一篮子中有红、蓝、绿三种颜色的球，比例为5:4:1。
从篮子中随机抽取5个球，求抽取的球中至少有两个是红球的概率。
5. 某城市每天发生车辆事故的概率为0.03。
概率论习题与答案
概率论习题 一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、 已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|).P B A B ⋃=6、 掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B =9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。
那么(|)P C AB = 。
12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,求此人是男性的概率 。
13、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
14、把C B A ⋃⋃表示为互不相容事件的和是 。
15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。
二、选择题1、下面四个结论成立的是（ ）.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（ ）...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ ）1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ ）.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=∈==5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ）.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ）.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（ ）.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.758、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375.D 0.509、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（ ）.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ ）.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃= .D ()1P A B ⋃=11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则（ ）．.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立.D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（ ）．.A )()(B P A P - .B )()()(AB P B P A P +- .C )()(AB P A P -.D )()()(B A P A P A P -+13、设A 、B 是两事件，且P （A ）=0.6,P(B)=0.7则P （AB ）取到最大值时是（ ）.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D 0.4214、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
(完整版)概率论高等数学习题解答
1(A )三、解答题1•一颗骰子抛两次，以 X表示两次中所得的最小点数(1) 试求X 的分布律； (2)写出X 的分布函数.解：(1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有C 2 6-1 (这里C 2指任选某次点 数为1, 6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C ； 6多1 1算了一次)或C 2 5 1种，故P X 1 C 26-1C25 1耳，其他结果类似36 3636可得•0, X1P{X 1} ,1X 2P{X 1} P{X 2} ,2X3F(x)P{X 1} P{X 2} P{X 3}， 3 x 4P{X 1} P{X 2} P{X3}P{X 4}, 4 x 5 P{X1} P{X2} P{X 3} P{X4} P{X5}, 5 x 61 ,x 622 •某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各 5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出 5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖,以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律.解:注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然P X 99k3.设随机变量 X 的分布律为P{X k} a ,k 0,1,2, k!k解：因为 a ae 1，所以a e k 0 k!4.设随机变量X 的分布律为X -1 2 3 p1/41/21/4(1)求X 的分布函数;1 3 512627，3 翌,4 3635,5 36x 2 x 3x 4 x 5x 6 62 1 C ；0 1260为常数，试求常数 a .3⑵求P{X 丄}，P{- X 5}，P{2 x 3}.2 2 2解:40, x -1布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率. (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率. 解：(1) X ~ P 0.5t P 1.5 P X 0 e 1.5. (2) 0.5t2.50, x -1P{X 1}， 1 x2(1) F (x)P{X 1} P{X 2}1, x 3⑵P 1XX1 124P 2 X 3 P X 2X 3 5.设随机变量X 的分布律为 P{X k}(1) P{X =偶数｝(2) P{ X 5}(3) P{ X=3的倍数｝2 x 33 ， ,2x341, x 33 51 P — X P X2 —222P X2 3 P X 3.4扌,k 1,2, 求：解：(1) P X 偶数丄1丄 22 221 lim i1(2) P X 51 P X 4115 1 16 16⑶P X 3的倍数23236.某公安局在长度为i123ilim123t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分2.5丄，1x2 45 7.某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概6解：设射击的次数为 X ，由题意知X ~ B 400,0.2i k k 400 kP X 2 1 P X 11 C 4000.02 0.98k 0查表泊松分布函数表得:P{X 2} 1 0.28 0.99728.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信(1)系数a ;(2) X 落在区间(0,[)内的概率.号•现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数,则指示灯发出信号的概率 X ~ B 5,0.3 p P X 3 1 P X 3 1 (C 00.3°0.75 C 50.310.74 C ；0.320.73) 1 0.8369 0.1631. 9.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X (以分钟计) 在窗口等待服务，若超过 务而离开窗口的次数.写出 服从参数为 5 10分钟，他就离开.他一个月要到银行 5次，以 Y 的分布律，并求P{Y 1}.指数分布•某顾客 Y 表示他未等到服 x 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则F(x) 1 e T , P X 10 Y~ B5, e 2 , 1 F(10) e 2 ,则 P{Y k} C5 (e 2)k (1 e 2)5k,k 0,1, 5 P{Y 1} 1- P{Y 0} 1 (1 e 2)5 0.5167 a cosx. 10.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)0,|x|~2，试求:|x |2解：(1)由归一性知：1 f (x)dx2a cosxdx 2a ，所以 a2由于上面二项分布的概率计算比较麻烦, 所以而且X 近似服P{X 2}18k ek 0k!7⑵-11.2.P{0 X —} ； cosxdx sin x |(424 .0,x011 . 设连续随机变量X的分布函数为F(x)Ax,0x 11,x1⑶X的概率密度.试求:(1) 解系数(1)A；由⑵X落在区间(0.3, 0.7)内的概率；的连续性可得lim F(x)F(x )在x=1 lim F(x) F(1)，即A=1.x 1(2) 0.3 X 0.7 F(0.7) F(0.3) 0.4.(3) X的概率密度 f (x) F (x)2x,00,12.设随机变量X服从(0, 5)上的均匀分布，求的概率.x的方程4x2 4Xx X 0有实根解：因为X服从(0, 5)上的均匀分布，所以1f(x) 50x5其他2 2方程4x 4Xx X(x 2)( X2(4X) 16X1，所以有实根的概率为0有实根，则32 51dx2510dxX〜N(3, 4)13.设求P{2 X 5}, P{(1) X 10}, P{ X 2}, P{X解: 确定c使得P{X c}设d满足P{X d} 0.9，问d至多为多少？(1)因为X ~ N(3,4)所以P{X c};2 3P{2 X 5} P{〒穿}P{1}(1) (0.5) (1) (0.5) 1 0.8413 0.6915 0.5328P 4 X 108F(2)(2.5)经查表得1 (0)，即2专)故斗214.设随机变量1.29，解：P XF(所以(k)15.设随机变量如何变化的？(3.5)2 0.999810 3 4 3(^)2 2(3.5) 2 (3.5)1 0.99962) 1(0.5)0.1，解：X ~ N(,(0.5)0.3023F(3)，则P X2X2(2.5)0.6977(0)得c 3 ；由概率密度关于即(-d 3)20.42.X服从正态分布2 2 (k)0.95 , p XN(0,1 0.5 0.5.c 3 1F(c)(〒)-，x=3对称也容易看出。
【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案
【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案work Information Technology Company.2020YEAR概率论与数理统计计算题（含答案）计算题1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。
现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。
1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。
3.设随机变量X 的分布函数为1(1), 0() 0, 0x x e x F x x -⎧-+>=⎨≤⎩，试求：（1）密度函数()f x ；（2）(1)P X ≥，(2)P X < 。
4.二维随机变量(,)X Y 只能取下列数组中的值：1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取这些组值的概率分别为1115,,,312612。
求这二维随机变量分布律，并写出关于X和关于Y 的边缘分布律。
5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。
6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。
在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。
如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？7.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x R -=∈，试求：（1）常数A ；（2）(01)P X << 。
8. 设二维随机变量(X ，Y)的分布律为求：(1)(X ，Y)关于X 的边缘分布律；(2)X+Y 的分布律．9． 已知A B ⊂，()0.36P A =，()0.79P B =，求()P A ,()P A B -,()P B A -。
概率论习题及答案
概率论习题及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一．填空题1．已知41)(=A P ,31)(=A B P ,21)(=B A P ,则=)(B A P 31。
2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。
从中任取4件，取出的零件中有2件正品2件次品的概率为73482325=⋅C C C ； 3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X 的概率分布为 ,2,1,5.05.05.0)(1==⋅==-k k X P k k ，X 服从分布)5.0(G 。
4．设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,)(2x x x c x p ，则常数=c 1 ，X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤1,111,0x x x 。
5．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x p X ，则随机变量2X Y =的密度函数=)(y p Y ⎩⎨⎧<< 其它,010,1y 。
6．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P),(),(),(),(c a F d a F c b F d b F +--。
7．设)2,1(~N X ，)4,3(~N Y ，且X 和Y 相互独立，则Y X Z +=2的密度函数=)(z p Z +∞<<-∞--z e z ,62124)5(2π。
8．)5.0,9,4,0,1(~),(N Y X ，则~Y )9,0(N ，=-])[(2Y X E 8 。
9．设),(Y X 的联合概率分布为则X 的概率分布为相关系数=XY ρ32-。
10．设随机变量n X X X ,,21 独立同分布, μ=1EX , 81=DX ,记∑==ni i n X n Y 11，则用切比雪夫不等式估计≥<-)2(μn Y P n21-。
概率论(计算)习题
概率论计算：1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)452897108)1|2()1()21(=⨯==A A P A P A A P(2)45191102)1|2()1()2,1(=⨯==A A P A P A A P(3)45169810292108)1|2()1()1|2()1()21()21(=⨯⨯⨯=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4)519110292108)1|2()1()1|2()1()2(=⨯⨯⨯=+=A A P A P A A P A P A P2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。
（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。
（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。
（1）由全概率公式0125.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()2()1|()1()(=⨯+⨯+⨯=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式24.00125.002.015.0)()1|()1()|1(=⨯==A PB A P B P A B P3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。
解：由等可能概型有： （1）12131025==C C P ; （2）20131024==C C P4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。
概率论习题+答案
P( B) P( A1 B) + P( B) P( A1 B)
0.005 × 0.95 0.005 × 0.95 + 0.995 × 0.005 = 0.087 =
= P（ B A1 A2） = =
P（B）P（ A1 A2 B） + P（B ）P（A1 A2 / B ） P（B）P（ A1 A2 B）
6 解 设 i 门炮击中目标为事件 Ai, i=2~8, 设目 标被击毁为事件 B,
各炮命中概率 p = 0.6, 则
P（B） = P（A2 + A3 + + A8） = P（A2） + P（A3） + + P（A8）
1 0.610.4 7 − C80 0.6 0 0.4 8 = 0.9914 = 1 − P（A1） − P（A0） = 1 − C8
(15) 设两个独立事件A、B都不发生的概率为 1/9，A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生的 概率相等， 则P（A） ＝ 。 设三个相互独立的事件A、 B、 C都不发生的概率为 1/27， 而且P(A)=P(B)=P(C)，则P（A）＝ 。 （16）一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率是 80/81，则该射手 的命中率为 。 (17)设三次独立重复的伯努利试验中事件 A 发生的概率均为 p，若已知 A 至少发生一次的 概率为 19/27，则 p = _______________。 (18)某人射击时，中靶的概率为 3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为 3 的概率为 设每次试验成功的概率为：P（0<P<1） ， 则 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为 6、混合：条件分布 +独立性 (19)甲、乙两个人独立地对同一目标各射击一次，其中命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标 被命中，则它是甲射中的概率是 (20)某厂产品经初步检测后，直接出厂的概率为 0.7, 未能直接出厂的产品经调试后，能出厂 的概率为 0.8，则该工厂的产品合格率为_________，废品率为____________。 二、单项选择题： 1．A、B 为相互独立的事件，P（A）=0.4，P（A + B）=0.7，则 P（B）= 。 （ ）
概率论练习题
《概率论》练习题一、单项选择题1. A 、B 为两事件，则B A ⋃=（ ）A ．B A ⋃ B ．A ∪BC ．A BD ．A ∩B 2.对任意的事件A 、B ，有（ ）A ．0)(=AB P ，则AB 不可能事件 B ．1)(=⋃B A P ，则B A ⋃为必然事件C ．)()()(B P A P B A P -=-D ．)()()(AB P A P B A P -=⋂ 3.事件A 、B 互不相容，则（ ）A ．1)(=⋃B A P B ．1)(=⋂B A PC ．)()()(B P A P AB P =D ．)(1)(AB P A P -= 4．设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．A 与A 互为对立事件吗 B ．A 与A 互不相容C ．Ω=⋃A A D ．A A = 5.任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为8的概率为（ ）A ．363 B ．364 C ．365 D ．3626.已知A 、B 、C 两两独立，21)()()(===C P B P A P ，51)(=ABC P ，则)(C AB P 等于（ ）A ．401B ．201C ．101D ．417.事件A 、B 互为对立事件等价于（ ）（1）A 、B 互不相容 （2）A 、B 相互独立（3）Ω=⋃B A （4）A 、B 构成对样本空间的一个剖分 、B 为两个事件，则)(B A P -=（ ）A ．)()(B P A P - B ．)()(AB P A P -C ．)()(B P A P -D ．)(A B P - 9.1A 、2A 、3A 为三个事件，则（ ）A ．若321,,A A A 相互独立，则321,,A A A 两两独立；B ．若321,,A A A 两两独立，则321,,A A A 相互独立；C ．若)()()()(321321A P A P A P A A A P =，则321,,A A A 相互独立；D ．若1A 与2A 独立，2A 与3A 独立，则1A 与3A 独立10．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P （ ）A ．B ．0.4C ．D ．11．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（ ） B.0.25 C. 设A 、B 为任意两个事件，则有（ ） A.（A ∪B ）-B=A B.(A-B)∪B=A C.(A ∪B)-B ⊂A D.(A-B)∪B ⊂A 13．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ ） A ．P （AB ）=0B ．P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=P （A ）P （B ）D ．P （B-A ）=P （B ）14．设事件A ，B 相互独立，且P （A ）=31，P （B ）>0，则P （A|B ）=（ ）A ．151 B ．51 C ．154 D ．31 15．设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ） A ．P (AB )=l B ．P (A )=1-P (B ) C ．P (AB )=P (A )P (B ) D ．P (A ∪B )=1 16．设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ） A ．P (AB )=0 B ．P (A -B )=P (A )P (B ) C ．P (A )+P (B )=1 D ．P (A |B )=017．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ） A ． B ．0.25 C ． D ．18．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ）A ．A 1A 2B ．21A AC ．21A AD ．21A A19．某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ ）A ．p 2B ．(1-p )2C ．1-2pD ．p (1-p )20．已知P (A )=，P (B )=，且A ⊂B ，则P (A |B )=（ ） A ．0 B ．0.4 C ． D ．121．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（ ）A ．B ．0.30C ．D ．22．X 的密度为⎩⎨⎧∈=其它,0],0[,2)(A x x x f ，则A=（ ）A ．41 B ．21C ．1D ．2 23．离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为)(x F ,则=)3(F ( )A ． 0B ．3.0C ．8.0D ．124．随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧∈=其它]1,0[)(4x cx x f 则常数c =（ ） A ．51 B ．41C ．4D ．5 25．离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为)(x F ，则=)1(F ( ) A ．4.0 B ．2.0 C ．6.0 D ．126．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(x F ，则=)31(F （ ）A ．e 31 B ．3e C ．11--e D ．1311--e 27．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0,10,)(3其他x ax x f 则常数=a （ ）A ．41 B ．31C ．3D ．4 28．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则{}=-=1XY P （ ） A ．161 B ．163 C ．41 D ．8329．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0 B ．)(x F X C ．)(y F Y D ．130．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（ ）A ．)21,7(NB ．)27,7(NC ．)45,7(ND ．)45,11(N31．设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<.,0;2x 1,x 2;1x 0,x 其它 则P{<X<}的值是（ ）A ．5.0B ．6.0C ．66.0D ．7.032．某人射击三次，其命中率为，则三次中至多击中一次的概率为（ ）A.027.0B.081.0 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为（ ）则F （0,1）=( )A.2.0B.6.0C.7.0设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤+.,0;1y 0,2x 0),y x (k 其它则k=（ ）A.41 B.31 C.21 D.32 35．设随机变量X 在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度f （x ）为（ ） A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0;21,31)(其他x x f B ．⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,3)(其他x x fC ．⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,1)(其他x x fD ． ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=.,0;21,31)(其他x x f36．设随机变量X ~ B ⎪⎭⎫⎝⎛31,3，则P{X ≥1}=（ ）A ．271 B ．278 C ．2719 D ．2726 37则P{XY=2}=（ ）A ．51 B ．103 C ．21 D ．53 38．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0;10,10,4),(其他y x xy y x f则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y （ y ）= （ ）A ．x21B ．2xC ．y 21D ．2y39．设函数f (x )在[a ，b ]上等于sin x ，在此区间外等于零，若f (x )可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间[a ，b ]应为（ ）A ．[0,2π-] B ．[2π,0] C ．]π,0[ D ．[23π,0] 40．设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<其它021210x xx x ，则P <X<=（ ）A ．B ．0.6C ．D ．41．设在三次独立重复试验中，事件A 出现的概率都相等，若已知A 至少出现一次的概率为19／27，则事件A 在一次试验中出现的概率为（ ）A ．61B ．41C ．31 D ．21 42．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为则有（ ）A ．92,91==βαB ．91,92==βαC ．32,31==βαD ．31,32==βα43．设随机变量X 的分布律为X 0 1 2 P则P {X <1}=（ ）A ．0B ．0.2C ．D ．44．下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤>100,0,100,1002x x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,10x x xC ．⎩⎨⎧≤≤-其他,0,20,1x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他,0,232121x ，45.随机变量X 服从二项分布)2.0,10(B ，则（ ） A ．==DX EX 2 B ．==DX EX 6.1 C ．=EX 2，=DX 6.1 D ．=EX 6.1，=DX 246.X 可取无穷多个值Λ,2,1,0，其概率分布为普阿松分布)3(P ，则（ ） A ．DX EX ==3 B ．DX EX ==31 C ．EX =3，DX =31 D ．EX =31，DX =9147.随机向量),(Y X 有25,36==DY DX ,协方差12=XY σ，则)()(=-Y X DA ．1B ．37C ．61D ．8548.设X~B(10, 31), 则=)X (E )X (D （ ）A.31 B.32 D.31049．已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.0;0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为（ ）(X)=2, D(X)=4 (X)=4, D(x)=2 (X)=41,D(X)=21(X)=21, D(X)=4150．设随机变量X 的E （X ）=μ,D(X)=2σ，用切比雪夫不等式估计≥σ≤-)3|)X (E X (|P （ ）A.91 B.31 C.9851则E （XY ）=（ ）A ．91-B ．0C ．91D ．31 52．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（ ）A ．-2B ．0C ．21D ．2 53．设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，P 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0>ε，均有}|{|lim εμ>-∞→p nP nn （ ） A ．=0 B ．=1 C ．> 0 D ．不存在54．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21)，则E(X-Y)=（ ） A ．25-B ．21C ．2D ．5二、填空题1. A 、B 为两事件，8.0)(=⋃B A P ，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=-)(A B P 。
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概率论计算：1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)452897108)1|2()1()21(=⨯==A A P A P A A P(2)45191102)1|2()1()2,1(=⨯==A A P A P A A P(3)45169810292108)1|2()1()1|2()1()21()21(=⨯⨯⨯=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4)519110292108)1|2()1()1|2()1()2(=⨯⨯⨯=+=A A P A P A A P A P A P2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。
（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。
（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。
（1）由全概率公式0125.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()2()1|()1()(=⨯+⨯+⨯=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式24.00125.002.015.0)()1|()1()|1(=⨯==A PB A P B P A B P3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。
解：由等可能概型有： （1）12131025==C C P ; （2）20131024==C C P4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。
解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型53361224==C C C P5．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,00,3)(x x x ke x f 。
（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）解：（1）由1)(=∞-+∞⎰dx x f 有333303301==-+∞=-+∞-⎰⎰k k xd xe k dx x ke 所以（2）7408.0331.0)1.0(=-+∞=>⎰dx xe x P6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1）0729.039.021.025)2(===C X P （2）9995.051.0559.041.045[1)]5()4([1)3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P（3）40951.059.001.0051)0(1)1(=-==-=≥C X P X P7．设随机变量X 的概率密度为,,0,40,8)(⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它x x x f求)31(≤<x P 解：2183)31(==≤<⎰dxx x P8．由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。
求一螺栓为不合格品的概率。
解：由题意，所以为0456.0)]2(1[2)]06.012.0()06.012.0([1)12.005.1012.005.10(1=Φ-=-Φ-Φ-=+<<--x P9．设X~N （3，22）求：（1）)3(),2|(|),104(),52(>>≤<-≤<x P x P x P x P （2） 解：（1）5328.0)5.0()1()232()235()52(-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<x P 9996.0)5.3()5.3()234()2310()104(=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-x P6977.0)]232()232([1)22(1)2|(|1)2|(|=--Φ--Φ-=≤≤--=≤-=>x P x P x P5.0)0(1)3(=Φ-=>X P（2）由P>c=P(x ≤c)，即3,02321)23()23()23(1==-=-Φ-Φ=-Φ-c c c c c 所以求Y=X 的分布律。
解：Y=X 2的全部取值为0，1，4，9且P （Y=0）=P （X=0）=51， P （Y=1）=P （X=-1）+P （X=1）=30715161=+， P （Y=4）=P （X=-2）=51， P （Y=9）=P （X=3）=3011故Y 的分布律为 11．设二维随机变量（x ，y ）具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>>+-=其它,00,0,)2(2)(y x y x ex f （1）求分布函数F （x ，y ）；（2）求概率P （Y ≤X ） 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>>----=⎪⎩⎪⎨⎧>>+-=∞-∞-=⎰⎰⎰⎰其它其它,00,0),1)(21(,00,0)2(200),(),(y x y e x e y x dx y x ex dy ydxdy y x f yx y x F （2）31])2(2[0),()(=+-∞+∞+==≤⎰⎰⎰⎰dy dx y x e y dxdy y x f X Y P求X 及Y 的边缘分布律。
13．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,6),(x y x f ，边缘概率密度)(),(y y f x x f 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∞-+∞=⎰⎰其它其它,010),2(6,010,62),()(x x x x dy x x dyy x f x x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∞-+∞=⎰⎰其它其它,010),(6,010,6),()(y y y y dx y y dx y x f y y f14．设（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求P （X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度)(x x f 解：（1）81,18,8)6(2402),(===--=∞-+∞∞-+∞⎰⎰⎰⎰k k k dy y x k dx dxdyy x f 得由（2）83)6(812301)3,1(=--=<<⎰⎰dy y x dx Y X P（3）⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<--=∞-+∞=⎰⎰其它其它,01026,010,)6(8124),()(x x x dy y x dy y x f x x F求23(),2(),(+X E X E X E 解：2.03.023.004.02)(-=⨯+⨯+⨯-=X E8.23.0223.0204.02)2()2(=⨯+⨯+⨯-=X E 4.135)2(3)523(=+=+X E X E16．设X —b(n,p),求E(X),D(X))1()(...)2()1()()(...)2()1()(,,...,2,1),...,2,1(,0,1,...21:p np n X D X D X D X D npn X E X E X E X E n X X X n i i i X n X X X X -=+++==+++==⎪⎩⎪⎨⎧=+++=于是相互独立且反之次发生第其中设解17．设随机变量X 在(a,b)上服从均匀分布，求E （X ），D （X ）。
解：X 的概率密度为122)(42)(3222)]([)2()(232212)(2)2(221)()(,0,1)(a b b a b ab a x E X E X D bb ab a dx a b x dxx f x X E b a b dxa b x dx x xf X E b x a ab x f -=+-++=-=+=-=∞+∞-=-=-∞+∞-==⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰⎰⎰⎰其它18．设随机变量X 服从分布，其概率密度为22222)]([)2()(02212)2(01)(:).(),(,0,0,00,1)(θθθθθθθθθθθθ=-=-=∞+=-==∞+-=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=⎰⎰X E X E X D dx x e X X E dx xe X X E X D X E x x x e xf 解求常数是其中19．已知X —N （μ，σ2），求E （X ），D （X ）。
22222)]([)2()(2222)(21)(2)(212)2(2)(21)(2)(21)(:222222σμμσμσμσπσμσμπσμμσπσμσμπσ=-+=-=+=∞+∞--+==-=∞+∞--===∞+∞--+=-=∞+∞--=⎰⎰⎰⎰X E X E X D dt t e t t x dxx e xX E dt t e t t x dxx e xX E 设设为解20．在总体N （52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
8293.0)14.1()71.1(05.12.105.18.163.6528.5363.65263.6528.50)8.538.50(:=-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-<-<-=<<X P X P 解21．已知X —t(n)，求证X 2—F(1，n)),1(2/1/2/22.),(2~),1,0(~/)(:n F x F nV U VV U x V U n x V N U nV U X n t X -===-分布定义即知由于是相互独立与且其中必有由证明22．设n X X X ,...2,1为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。
∑∑∏∑∑∏====+=-==-==-===-+=+-==+-=>⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=>>⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=ni i X n n i i x n d L d n X X X nni x L ni c n i X nn i i x c n nd L d n X X X n c n ni i x c L x x x f c c x cx x c x f 12)ln (2ˆ,01ln 212)(ln 1)....21(211)()2(1ln ln ˆ,10ln ln )(ln )1()...21(1)1()()1(:,0,,010,1)()2(,0,0,,0,)1()()1(θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ解得似然方程为似然函数为解得似然方程为似然函数为解为未知参数其中其它为未知参数为已知其中23．设总体为随机变量X ，且E （X ）=a （常数，未知），试说明样本平均值X 是a 的无偏估计量。