概率论(计算)习题

概率论计算：

1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)

45

2897108)1|2()1()21(=⨯==A A P A P A A P

(2)

45

191102)1|2()1()2,1(=⨯==A A P A P A A P

(3)

45

169810292108)1|2()1()1|2()1()

21()21(=⨯⨯⨯=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4)

5

19110292108)1|2()1()1|2()1()

2(=⨯⨯⨯=+=A A P A P A A P A P A P

2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？

解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式

0125

.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()

2()1|()1()(=⨯+⨯+⨯=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式

24

.00125

.002.015.0)

()

1|()1()|1(=⨯==

A P

B A P B P A B P

3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12131025=

=C C P ; （2）

20

1

31024==C C P

4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型

5336

1224==

C C C P

5．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨

⎧≤>-=0

,

00,

3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）

解：（1）由1)(=∞

-+∞⎰dx x f 有33

3303301==-+∞

=-+∞-⎰⎰k k x

d x

e k dx x ke 所以（2）

7408

.0331

.0)1.0(=-+∞=>⎰

dx x

e x P

6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一

时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？

解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1）

0729.039.021.025

)2(===C X P （2）

9995

.051.055

9.041.045[1)]

5()4([1)

3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P

（3）

40951

.059.001.0051)

0(1)1(=-==-=≥C X P X P

7．设随机变量X 的概率密度为,,0,

40,8

)(⎪⎩

⎪⎨⎧<<=其它

x x x f

求)31(≤

2

183)31(==≤<⎰dx

x x P

8．由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。 解：由题意，所以为

0456.0)]2(1[2)]06

.012

.0()06.012.0(

[1)12.005.1012.005.10(1=Φ-=-Φ-Φ-=+<<--x P

9．设X~N （3，22）求：（1）)

3(),2|(|),

104(),52(>>≤<-≤

5328

.0)5.0()1()232()235(

)52(-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤

.0)5.3()5.3()

2

3

4()2310()

104(=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-x P

6977.0)]

2

3

2()232([1)

22(1)2|(|1)2|(|=--Φ--Φ-=≤≤--=≤-=>x P x P x P

5

.0)0(1)3(=Φ-=>X P

（2）由P>c=P(x ≤c)，即

3,02

3

21)23()23

()23(

1==-=

-Φ-Φ=-Φ-c c c c c 所以

求Y=X 的分布律。

解：Y=X 2的全部取值为0，1，4，9且P （Y=0）=P （X=0）=5

1， P （Y=1）=P （X=-1）+P （X=1）=30

715161=

+， P （Y=4）=P （X=-2）

=5

1， P （Y=9）=P （X=3）=3011故Y 的分布律为 11．设二维随机变量（x ，y ）具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>>+-=其它

,

00

,0,)2(2)(y x y x e

x f （1）求分布函数F （x ，y ）；

（2）求概率P （Y ≤X ） 解：（1）