阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法
何勇福 皮小林 潘芳芳 南昌大学共青学院
[摘 要]因为阶跃信号不满足傅里叶变换所需的条件---信号绝对可积， 故不 能直接利用傅里叶变换的定义式来求阶跃信号的频谱密度函数， 本文从多个方面 给出求解其傅氏变换的方法。 [关键词]阶跃信号；频谱函数；傅里叶变换；拉普拉斯变换 我们在用傅里叶变换公式计算一个信号的频谱密度函数时， 要求该信号的积 分必须存在，这就意味着信号要满足绝对可积这个条件。对于单位阶跃信号来 说很显然不满足绝对可积，所以我们只能采用别的方法求其频谱函数，通常，用 取极限的方法是比较多的， 下面就结合信号与系统相关知识进一步研究其频谱函 数的多种求解。 一、按定义求解
F [e (t )] = ò e - jwt dt = ò cos( wt )dt - j ò sin( wt )dt
0 0 0
¥
¥
¥
= =
1 1 sin( wt ) ¥ cos( wt ) ¥ 0 0 w jw
lim ê ë
t ®¥
é cos( wt ) ù 1 é sin( wt ) ù é sin( wt ) ù - sin ê - lim ê ú+ ú w ú w û t ®0 ë û t ®¥ ë jw û jw
上式中第一项即 pd ( w) ，中间两项都等于零，最后一项是
1 jw
1 ，所以可 jw
得阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) + 二、利用求极限的方法
这是一种在很多教材上都采用了的一种方法。 将 e (t ) 看作单边指数信号衰减 信号 e - at e (t ) 当 a ® 0 时的极限，对于单边指数衰减信号的傅里叶变换容易求出：
F [e -at e (t )] = 1 a w = 2 -j 2 2 a + jw a + w a + w2 1 ，但实部满足以下关系： jw
当我们取 a ® 0 时容易求出虚部的极限为

由此可以看出，这正是冲激信号 d（t） ，然后求得定积分的值 p 即为此冲激 信号的强度，所以可以得到阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) +
1 jw
三、利用符号函数求解
ì+ 1, f (t ) = sgn( t) = í î- 1,
t > 0 t < 0
处理方法如下，作一个双边函数
f1 ( t ) = sgn ( t ) e
-a t
，求 F1 (w )，
求极限得到 F (w ) .(a ® 0)
F1 (w ) = ò - ea t e- jw t dt + ò e -a t e- jw t dt =
0 -¥ 0
¥
-1 1 - j 2w + = 2 a - jw a + jw a + w 2
F (w ) = lim F1 (w ) = lim
a ®0 a ®0
- j 2w 2 = 2 2 jw a +w
又
e (t ) =
1 1 + sgn (t ) 2 2
1 jw
故 e (t ) « pd (w ) +
四、由冲激信号与阶跃信号的关系及傅里叶变换积分定理也可求得
e (t ) = ò d (t )dt
-¥
t
F ( w) = F [d (t )] = 1
F [e (t )] =
F ( w) 1 + pF (0)d ( w) = + pd ( w) jw jw
这一方法结合傅里叶变换的性质，计算出了阶跃信号的频谱函数，而且 也很简便。 五、通过计算 1/ ω反变换的方法 此方法采用广义积分计算 1/ω的反变换,得到了阶跃信号的傅立叶变换。计

算过程如下：
六、利用阶跃信号的拉普拉斯变换求其傅里叶变换 因为 L[e (t )] =
1 ， 而且阶跃信号的收敛边界为以虚轴为界的右半平面， 在 s=0 s
处有极点，因此，要由像函数导出傅里叶变换可将 s = jw 代入，并补足 pd ( w) 即 可，于是可得：
F [e (t )] = 1 s
s = jw
+pd ( w) =
1 + pd ( w) jw
最后我们也可以借助矩形脉冲的傅里叶变换， 再令矩形脉冲宽度趋于无穷大 来求得。其中会用到 lim
t ®¥
t sa ( wt ) = d ( w) p

t sa ( wt ) p t p
w
-
p t
p t
π π t -, ¯,曲线下的面积 减小。 t t
t ® ¥, 能量压缩到 w = 0，面积仍为
由此可得强度为 七、小结
π t
t 的抽样函数取极限后为一冲激函数。 p
对于单位阶跃信号这一类不满足绝对可积条件的信号的傅里叶变换求法， 本 人认为还是应用跟教材联系比较紧密的方法进行求解， 本文给出了对阶跃信号频 谱密度函数的多种求解方法， 主要考虑对于这一类多种求解问题的研究有利于我 们揭示事物的本质，提高从多种角度观察同一事件的能力。

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 何勇福， 皮小林， 潘芳芳 南昌大学共青学院 科学时代 KEXUE SHIDAI 2012(11)
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