数字信号处理胡广书第6章_滤波器组(完整版).
现代信号处理--清华胡广书讲义-第6章滤波器组基础
150第6章 滤波器组基础6.1 滤波器组的基本概念一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图6.1.1所示。
图6.1.1 滤波器组示意图，（a ）分析滤波器组，（b ）综合滤波器组。
假定滤波器)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（a ）所示，)(n x 通过这些滤波器后，得到的)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -将是)(n x 的一个个子带信号，它们的频谱相互之间没有交叠。
若)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（b ）所示，那么，)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -的频谱相互之间将有少许的混迭。
由于)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的作用是将)(n x 作子带分解，因此我们称它们为分析滤波器组。
将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。
例如，若图6.1.1中的2=M ，那么，在图6.1.2中，)(0z H 的频率特性将分别占据2~0π和ππ~2两个频段，前者对应低频段，后者对应高频段。
这样得到的)(0n x 将是)(n x 的低频成份，而)(1n x 将是其高频)(0n x )(1n x )(1n x M -)(n x(ˆ0x (ˆ1x)(ˆ1n xM -)(ˆn x151成份。
我们可依据实际工作的需要对)(0n x 和)(1n x 作出不同的处理。
例如，若我们希望对)(n x 编码，设)(n x 的抽样频率为20KHz ，若每个数据点用16bit ，那么每秒钟需要的码图6.1.2 分析滤波器组的频率响应，（a ）无混迭，（b ）稍有混迭流为320Kbit 。
若)(n x 是一低频信号，也即)(n x 的有效成份（或有用成份）大都集中在)(0n x 内，)(1n x 内含有很少的信号能量。
这样，我们可对)(0n x 仍用16bit ，对)(1n x 则用8bit ，甚至是4bit ，由于)(0n x 和)(1n x 的带宽分别比)(n x 减少了一倍，所以，)(0n x 和)(1n x 的抽样频率可降低一倍。
《数字信号处理导论_第6章》
每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器.
对数字滤波器, 从实现方法上, 有IIR滤波器和
FIR滤波器之分, 转移函数分别为: FIR DF:
直接设计
IIR DF:
利用模拟滤 波器设计
3. 滤波器的技术要求
低通：
：通带允许的最大衰减；
：阻带内应达到的最小衰减
单位 (dB)
若幅度下降到 0.707, 则幅平方下降 0.5 （半 功率点）：
k 1,2,..., N
5）滤波器的设计步骤:
确定技术指标： p p s s
注： p c
根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：
2 10
1
0.1 p
1
1 ch 100.1 s 1 N 1 s ch c
k 1, 2,..., N
c cr 1 rad / s
为归一化系统的系统函数 H an ( s) 去归一化，得 H ( s ) H ( s ) a an
cr s H an cr s s c c
4）滤波器的设计步骤：
确定技术指标： p p s s
由H a ( s)
s 0
H a ( j)
0
，得K0 4
4( s 2 25) 4s 2 100 H a (s) 2 ( s 7)( s 6) s 13s 42
2、Butterworth 低通逼近
幅度平方函数： H a ( j)
2
1 1 c
• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 • 极点间的角度间隔为 / N rad • 极点不落在虚轴上 • N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点
数字信号处理第六章 习题答案
394784.18 Ha ( s) = 2 s + 888.58s + 394784.18
经双线性变换得数字滤波器的系统函数：
H ( z ) = Ha ( s) s= 2⋅1−z
=
−1
−1
T 1+z−1
T = 1/ fs = 1/103 (s)
394784.18
−1 3 1− z 3 1− z 2 ×10 ⋅ 1+ z−1 + 888.58× 2 ×10 ⋅ 1+ z−1 + 394784.18
解：由图可得
2 5 ω+ 3 π 5 2 jω H ( e ) = − ω + 3 π 0
2π π − ≤ω ≤ − 3 3 2π π ≤ω ≤ 3 3
[ −π ,π ]的其他ω
（1）冲激响应不变法 因为ω 大于折叠频率 π 时 H e jω 为零， 故用此法无失真。
各极点满足下式
1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12，4 ，3 ，
则 k = 1,2时，所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 3 2 =− −j 2 2
2
（ ） 激 应 变 求 2 冲 响 不 法 H(z) 40 136 1 −32(s − ) 3 + 3 2 Ha (s)= = (s + 2)(s + 8) s+2 s +8 40 136 T T 3 3 H ( z) = + 1− e−2T z−1 1− e−8T z−1 （ ） 线 变 法 H(z) 3 双 性 换 求 2 1− z−1 s= , −1 T 1+ z 2 1− z−1 1 −32( − ) −1 T 1+ z 2 Ha (s)= 2 1− z−1 2 1− z−1 ( + 2)( + 8) −1 −1 T 1+ z T 1+ z
数字信号处理-Hilbert变换滤波器
南华大学电气工程学院《数字信号处理课程设计》任务书设计题目： Hilbert变换滤波器的实现专业：学生姓名: 学号:起迄日期: 2012年12月28日—2013年1月14日指导教师:南华大学课程设计《数字信号处理课程设计》任务书1．课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 1.设计内容：根据自己在班里的学号0207（最后两位）查表一得到一个四位数1301，由该四位数索引表二确定待设计数字滤波器的类型：Hilbert变换滤波器；滤波器设计方法：等波纹FIR。
2. 滤波器的设计指标：δ≤ 0.05 ；（1）通带波纹1（2）阻带波纹2δ≤ 0.05 ；（3）过渡带宽度= 0.014π rad ；（4）滚降 =5.6 dB ；其中，错误!未找到引用源。
为学号的最后两位，故i=7d3. 滤波器的初始设计通过手工计算完成；4. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；5. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；6. 以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；7. 课程设计结束时提交设计说明书。
基于FPGA的新一代太阳能热水器水位水温智能测控仪设计2．对课程设计成果的要求〔包括图表（或实物）等硬件要求〕：滤波器的初始设计通过手工计算完成；在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；课程设计结束时提交设计说明书。
3．主要参考文献：[1]高息全丁美玉.《数字信号处理》[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008.8[2]陈怀琛.《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》[M].北京：电子工业出版社，2004.12[3]张德丰.《详解MATLAB数字信号处理》[M].北京：电子工业出版社，2010.6[4]飞思科技产品研发中心.《MATLAB7辅助信号处理技术与应用》[M].北京：电子工业出版社，2005.3[5]胡广书.《数字信号处理—理论、算法与实现》北京：清华大学出版社，2006 4．课程设计工作进度计划：序号起迄日期工作内容接到题目，搜集资料1 2012.12.28-2013.12.31整理资料，构思设计方案2 2013.1.1-2013.1.2手工计算进行滤波器的初步设计3 2013.1.3-2013.1.5完善初步设计，学习Matlab软件操作4 2013.1.6-2013.1.7通过Matlab软件分析设计内容，逐步落实课题目标5 2013.1.8-2013.1.10上交课程设计，并做细节修改并完成设计6 2013.1.11-2013.1.14主指导教师日期：年月日南华大学课程设计摘要本设计介绍了FIR滤波器的设计思想与步骤，通过建立滤波器模型利用MATLAB软件进行仿真，在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构和参数的字长对其性能指标的影响。
数字信号处理_刘顺兰 第6章 完整版习题解答
其系统的频率响应为
H (e j )
n
h(n)e j n e j n
n 0 j n
2
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
H (e )
j
n
h(n)e
2 n 0
e
j j
e j , c c , H d (e ) 0 , c , c
j
则
hd (n)
1 H d (e j )e jn d 2 1 c j jn e e d 2 c sin[ c (n )] (n )
n 0
2
j n
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
或
H (e j ) e j n 1 e j e j 2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos )
1 0 n 6 ； 0 其它n
1 0 n 3 ； 0 其它n
（1） 分别判断是否为线性相位 FIR 滤波器？如是，请问是哪一类线性相位滤波器？ （2） 如果是线性相位滤波器，写出它们的相位函数，群延迟。 解：(a) h( n) ( n) ( n 3) 则
H ( z ) 1 z 3 H (e ) 1 e
4
（2）
(1)
n 0
5
n
h( n) 0
j / 4
。
（3）在 z 0.7e （4）
处 H ( z ) 等于零。 。
5
H (e
数字信号处理ppt第六章
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的 极点 归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点 位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)； （3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
数字信号处理第六章
1）幅度函数特点：
H a ( j)
2
1 1 c
2
2N
0
c
H a ( j) 1 H a ( j) 1/ 2 1 3dB 3dB不变性
2
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小
3、逼近情况
1）
s平面虚轴
2）
z平面单位圆
s平面
左半平面
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
右半平面
虚轴
例7.4
已知模拟滤波器的传输函数为
1 H a ( s) 2 2s 3s 1
采用双线性变换法将其转换为数字滤波 器的系统函数，设T=2s 解 将s代入Ha(s)可得
H ( z ) H a ( s ) s 2 1 z 1 ,T 2
i 1,2,..., m
例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双 线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器 转换成数字滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传 输函数Ha(s)为 1
H a ( s)
s
,
RC
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函 数H1(z)为
低通
0 高通
0 带通 0
带阻
0
全通 0
通带
阻带 过渡带 平滑过渡
三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常 数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。 四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用因果稳定LSI的系统函数去逼近这一性 能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
数字信号处理 第六章
第六章数字滤波器结构6、1:级联得实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');[z,p,k] = tf2zp(num,den);sos = zp2sos(z,p,k)Q6、1使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)画出级联实现得框图。
H1(z)就是一个线性相位传输函数吗?答:运行结果:sos = zp2sos(z,p,k)Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]Denominator coefficient vector = [1]sos =2、0000 6、0000 4、0000 1、0000 0 01、0000 1、00002、0000 1、0000 0 01、0000 1、0000 0、5000 1、0000 0 0级联框图:H1(z)不就是一个线性相位传输函数,因为系数不对称。
Q6、2使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)画出级联实现得框图。
H2(z)就是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)得一级联实现。
显示新得级联结构得框图。
Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]Denominator coefficient vector = [1]sos =6、0000 15、0000 6、0000 1、0000 0 01、00002、00003、0000 1、0000 0 01、0000 0、6667 0、3333 1、0000 0 0级联框图:H2(z)就是一个线性相位传输函数。
数字信号处理(刘顺兰)(第二版)全书章 (6)
cos
m
1 2
因此
H
(
)
N /2 n1
b(n)
c os
n
1 2
（6-17）
第6章 有限长单位脉冲响应
式中:
b(n) 2h N n 2
n=1,2, 3, …, N/2 （6-18）
按ω照 =π式呈（奇6-对17称），，因当此ωH=(ππ时)=，0，c即osH(z)n在 12z=e jπ0=-，1
N 2
1
n
（6-4）
我们可以看到，上式的Σ以内全部是标量，如果我们将频率响应 用相位函数θ(ω)及幅度函数H(ω)表示
H (e j ) H ( )e j ( )
（6-5）
第6章 有限长单位脉冲响应
那么有：
H
(
)
N 1
h(n)
n0
c
os
N 2
1
n
() N 1
2
（6-6） （6-7）
式(6-6)的幅度函数H(ω)是标量函数，可以包括正值、负值和零， 而且是ω的偶对称函数和周期函数; 而|H(ejω)|取值大于等于零, 两者在某些ω值上相位相差π。式(6-7)的相位函数θ(ω)具有严 格的线性相位，如图6-1所示。
其系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
将m=N-1-n代入
N 1
N 1
H (z) h(m)z(N 1m) z(N 1) h(m)zm
m0
m0
第6章 有限长单位脉冲响应
即
H (z) z(N 1)H (z1)
（6-2）
上式改写成
H (z) 1 [H (z) z(N 1)H (z1)] 2
数字信号处理-答案第六章
其中 s k c e
1 2 k 1 j[ ] 2 2N
K 0由s 0 0时H a ( s ) 1来确定。
此题利用幅度平方函数求出其左半平面极点而求得系统函数，
注意 c 3 (不是归一化滤波器）。
解:
幅度平方函数为：
| H ( j) | 2 1 1 ( / c ) 4
设系统抽样频率为 f s 500Hz ，要求从这一低通模拟滤波器 设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
分析：
阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样，
g (n) g a (t ) t nT ga (nT ) ,
由模拟系统函数 Ha ( s ) 变换成数字系统函数的关系式为：
n 0
T 1 1 aT jbT 1 aT jbT 1 2 1 e e z 1 e e z
1 e aT z 1 c o bT s T 1 2e aT z 1 c o bT s e 2aT z 2
(2) 先引用拉氏变换的结论 Lt n 可得：
在上式中代入 j s 可得： 1 H a ( s) H a ( s) s 1 ( )2 N j c 而 H a ( s ) H a ( s ) 在左半平面的极点即为 H a ( s ) 的极点， 因而
H a (s) K0
N
，
k
(s s
k 1
) ， k 1,2,.... N
利用以下 z 变换关系：
Z x(n) X ( z )
Z e naT x(n) X (e aT z )
Z ( s i n a T )u ( n )
数字信号处理第六章 习题及参考答案
第六章 习题及参考答案一、习题1、已知一个由下列差分方程表示的系统，x(n)、y(n)分别表示该系统的输入、输出信号：)1(21)()2(61)1(65)(-+=-+--n x n x n y n y n y （1）画出该系统的直接型结构； （2）画出该系统的级联型结构； （3）画出该系统的并联型结构。
2、已知某系统的系统函数为：)6.09.01)(5.01()9.21)(1()(211211------++-+-+=z z z z z z z H 请画出该系统的级联型结构。
3、已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为)(8.0)(5n R n h n =， （1）求该滤波器的系统函数； （2）画出该滤波器的直接型结构。
4、已知滤波器的系统函数为：3213218.09.09.018.04.16.01)(-------+-+--=zz z z z z z H 请画出该滤波器的直接型结构。
5、已知滤波器的系统函数为：)8.027.11)(5.01()44.11)(1(3)(211211------+--+--=z z z z z z z H 请画出该滤波器的级联型结构和并联型结构。
6、已知某因果系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)-25-3求该系统的系统函数和单位脉冲响应。
7、已知某系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)求该系统的系统函数和极点。
8、已知IIR 滤波器的系统函数为：4.035.04.046.16.14)(2323++++--=z z z z z z z H （1）画出级联型网络结构，要求利用MATLAB 分解H(z); （2）用MATLAB 验证所求的级联型结构是否正确。
9、已知IIR 滤波器的系统函数为：3213214.035.04.016.141.158.12.5)(-------++-++=zz z z z z z H （1）画出该系统的并联型网络结构，要求用MATLAB 分解； （2）用MATLAB 验证（1）中所求的并联型结构是否正确。
数字信号处理课后答案第6章
A2 s1
比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程：
A1A1s2A2
1 A2 s1
a
解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以
Ha
(s)
s
1/ 2 (a
jb)
s
1/ 2 (a
jb)
套用教材（6.3.4）式， 得到
H (z)
2
Ak
k 1 1 es k T z 1
1/ 2 1 e(a jb)T z 1
2． 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减αp=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减αs=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实 际的Ha(s)。
解: （1） 确定滤波器技术指标。 αp=0.2 dB, Ωp=2πfp=6π×103 rad/s αs=50 dB, Ωs=2πfs=24π×103 rad/s
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
sp
s p
2π 12103 2π 6103
2
将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得
N lg17.794 4.15 lg 2
所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到 简化）。
数字信号处理胡广书第6章_滤波器组(完整版)
j
2
2
j ( )
频带
H1 ( e ) H 0 ( e
)
图6.2.2 两通道滤波器组 (a)系统框图；(b)镜像对称的幅频特性
6.2.3 第M(Mth)带滤波器
将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相， E0 (恒为一常数，即 zM ) 也即
M 1 k 0
| H k (e ) | c
j 2
M 1 k 0
c为常数 （6.2.17）
则称H0(z), ... ,HM-1(z)是功率互补的。该式又可表示成
H k ( z) H k ( z) c
H ( z ) H * ( z 1 )
~
（6.2.18）
式中 （6.2.19） 表示将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z ，若H(z)系数是实 ~ 的，则 1
• 1. 混迭失真：分析滤波器组和综合滤波器 组的频带不能完全分开及 抽样频率不满足：f s 2Mfc • 2 .幅度及相位失真： 滤波器组的频带在 通带内不“平”，而其相频特性不具有线 性相位所致； • 3. 编码,量化，传输所产生的误差。此误 差来源于信号编码或处理算法，它和滤波 器组无关。
第6章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念 6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器 6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器 6.3 半带滤波器设计 6.4 多抽样率系统的应用简介
6.1 滤波器组的基本概念
和常数倍。显然，这样严格互补的滤波器对于信号的准确重 建是非常有用的。 由定理6.2.1，Mth滤波器一定是scf。hbf是Mth滤波器的特例， 因此，hbf也是scf。然而，scf并不一定是Mth滤波器或hbf。
数字信号处理 程佩青第六章ppt课件
H ( e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后
各频率成分的衰减情况
( j )为相频特性：反映各频率成分通过滤波器
后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
▪ 通带： c
▪ 阻带： st
▪ 过渡带： c st
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo 单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po
mi moM pi poN
则：
a rg H (K ej) 2 2(N M ) 2m i 2p i
▪ 因果稳定系统 z r, r1 n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
a rg H (K ej) 2 2m i 2p i 2(N M )
2 m i 2 ( N M ) 0
相位超前系统
1）全部零点在单位圆内： m iM ,m o0
arg[]2N
为最大相位超前系统
2）全部零点在单位圆外： m i0,m oM
H *(ej)H (ej)ej(ej)
H(ej) H*(ej)
e2
j(ej)
(ej)21jlnH H*((eejj))
1 2j
H(z) lnH(z1)zej
H ( e j )
▪ 群延迟响应 相位对角频率的导数的负值
(ej)d(ej) d
dH(z) 1 Rez dz H(z)zej
若滤波器通带内 ( e j ) = 常数， 则为线性相位滤波器
一、数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器的分类
《数字信号处理教程》(第三版)第六章
Ha(s)的表示式为 H a ( s )
(s s )
k 0 k
N 1
N c
设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s1 c s2 c e s3 c e s4 c s5 c e
2 j 3
2 j 3 1 j 3
1 j 3
3、数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假 设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H(e
j
) H(e
j
)e
j ( )
幅频特性|H(ej)|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。 相频特性()： 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。
, k 0,1, , N 1
1 H a ( p) b0 b1 p bN 1 p N 1 p N
(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。
H a ( s ) H a ( p) p
s
c
例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带 截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。 解： (1) 确定阶数N：
2
1 p 1 c
2N
p 20lg H a (e
j p
) p 10lg H a (e
2N
பைடு நூலகம்
j p
2
)
p 1 c
10
p 10
将=s代入幅度平方函数中:
H a ( j s )
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6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器
6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带.1 最大均匀抽取滤波器组
设某一滤波器组有K个分析滤波器H0(z) , ... , HK-1(z) ,这K个滤波器有关系 k H k ( z) H 0 ( zWK ) j j ( 2 K ) k 0,1,, K 1 H ( e ) H e 即 ， k 0 x ( n) 经 则称该滤波器组为均匀滤波器组。 Hk(z)滤波后变成一个个自带信号，因此可以 进一步的抽取以降低其抽样率。如果作M倍 的抽取，并且M=K，那么称该滤波器组为 最大均匀抽取滤波器组（maximally decimated uniform filter bank），称这种情况为临界抽样 （critical subsampling）这是因为M=K是保证 实现准确重建的最大抽取数。
x1 (n)
M
H M 1 ( z)
xM 1 (n)
M
vM 1 (n)
M
uM 1 ( z )
GM 1 ( z)
图6.1.3 M通道滤波器组
H 0 (e jw ), H k (e jw ) H0 (ei ( w2k / M ) )
x ( n )对 x ( n ) 的失真原因： 图6.1.3的系统中， • 1. 混迭失真：分析滤波器组和综合滤波器 组的频带不能完全分开及 抽样频率不满足： f s 2Mfc • 2 .幅度及相位失真： 滤波器组的频带在通 带内不“平”，而其相频特性不具有线性 相位所致； • 3. 编码,量化，传输所产生的误差。此误差 来源于信号编码或处理算法，它和滤波器 组无关。
k 0 k 1
k M 1
2 ( M 1) M
k 0
2
b.有混叠
0
2 M
图6.1.2 分析滤波器组的频率响应
H0 ( z)
x0 (n)
M
v0 (n)
v1 (n)
M M
u0 ( z )
u1 ( z )
G0 ( z ) G1 ( z )
ˆ ( n) x
x ( n)
H1 ( z )
H0
H1
H2
H3
H4
H5
H6
H7
0
8
2 8
3 8
4 8
5 8
6 8
7 8
6.2.2 正交镜像滤波器组 （ Quadrature Mirror Filter Bank, QMFB)
令M=2，由图6.1.3，可得到一个两通道的滤波器 组如图6.2.2（a）所示。两通道分析滤波器的频 域关系有
概念：一个滤波器组是指一组滤波器，它们 有着共同的输入，或有着共同的相加后的 输出,如图6.1.1所示。
x ( n)
H0(z)
x 0 ( n)
x 1 ( n)
ˆ0 ( n) x
ˆ1 (n) x
G0(z) G1(z)
H1(z)
HM-1(z)
x M 1 (n)
ˆM 1 (n) x
GM-1(z)
ˆ ( n) x
在实际工作中，由于要处理的信号一般都是 实信号，因此总希望滤波器组中的所有 2M 个滤波器的系数也都是实的。得到实系数 的M通道均匀滤波器组的一般有两个途径， 一是分别设计H0(z), ... ,HM-1(z);二是利用余弦 调制。和DFT滤波器组类似，余弦调制滤波 器组也是先设计一个低通原型滤波器h(n),然 后令
0
H ( z) c
M 1
l M z E ( z ) l
满足（6.2.4）式的滤波器h(n)称为第M带滤波器 （Mth filter）又称Nyquist(M)滤波器。（6.2.4）式 的含意是，除了在n=0这一点外，h(n)在的整数 倍处恒为零，如图6.2.3所示。
0
n0 其它
c
h( n)
n
图6.2.3 某一th滤波器的单位抽样响应（M=3）
x ( n)
↑L=M
y ( n)
H(z)
图6.2.4 为th滤波器时对插值后的滤波
如果将这样一个滤波器接在一个L 倍插值器后，且L=M， 如图6.2.4所示，那么 M 1 (6.2.5) M l M Y ( z ) H ( z ) X ( z ) c z El ( z ) X ( z M )
| H 0 (e j ) |
| H 0 (e j ) | 0,
j
2
2
j ( )
频带
H1 ( e ) H 0 ( e
)
图6.2.2 两通道滤波器组 (a)系统框图；(b)镜像对称的幅频特性
6.2.3 第M(Mth)带滤波器
将分析滤波器组写成多相形式，如果其第 0相， M E0 ( z ) 也即 恒为一常数，即 (6.2.3) l 1 那么，其单位抽样响应必有 c (6.2.4) h( Mn) e (n)
l 1
该式意味着y(Mn)=cx(n)，这就是说，将x(n)作L=M倍的插 值后，再经一个Mth滤波器，x(n)中所有的值乘以c后变为 y在Mn处的值。若c=1，则y(Mn)=cx(n)，在n的非M整数 倍处，即是插值的结果。
图6.1.1 （a）分析滤波器组， （b）综合滤波器组。
也就是说综合滤波器组G0(z),G1(z),...,GM-1(z) 的作用：去除插值后的镜像；实现真正的 插值；重建原信号
Hk (e j )
k 0
k 1
k M 1
2 ( M 1) M
k 0
a.无混叠
0
2 M
2
Hk (e j )
第6章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念 6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器 6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器 6.3 半带滤波器设计 6.4 多抽样率系统的应用简介
6.1 滤波器组的基本概念
从而可以得到M个分析滤波器H0(z), ... ,HM-1(z)的 幅频特性都是相对w=0为偶对称的，如图所示， M=8。由图可得，H0(z)是低通滤波器，H7(z)是 高通滤波器，而H1(z), ... ,H6(z)是带通滤波器， 并且它们具有相同的带宽，都是 /8 。
Hk (e j )
M 8