部编新人教版高一数学必修一基本初等函数解析.doc
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基本初等函数
一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若
a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作
)0(>±a a n
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n
n =；
3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n
(ΛN *
；2）)0(10
≠=a a ；
n 个 3）∈=-p a
a p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s
r s
r
,0(>=⋅+、∈s Q ）；
2）r a a
a s
r s
r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；
3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r
r
r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
3
）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N
a =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n
a (log log R ）
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
1）1log log =⋅a b b a ；2）b m
n
b a n a m log log =。 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称
③函数值的变化特征：
10<a
①100<<>y x 时 ， ②10==y x 时 ， ③10> ①10>>y x 时 ， ②10==y x 时 ， ③100<< （2）对数函数： ①定义：函数)1 ,0 ( log≠ > =a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为) ,0(+∞；2）函数的值域为R； 3）当1 0< > a时函数为增函数； 4）对数函数x y a log =与指数函数)1 ,0 (≠ > =a a a y x且互为反函数 ②函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以y轴为渐近线（当1 0< > a时，图象向下无限接近y轴）； 4）对于相同的)1 ,0 (≠ >a a a且，函数x y x y a a1 log log= =与的图象关于x轴对称。 ③函数值的变化特征： （3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点 2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数 3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）当a>0时过（0，0） 4）幂函数一定不经过第四象限 1 0< > a ① 1< >y x时 ， ② 1= =y x时 ， ③ 1 0> < x时 . ① 1> >y x时 ， ② 1= =y x时 ， ③ 1 0< < x时 .