12.1(1)函数解析
沪科版八年级数学上册 12.1《函数表示法：解析式法》随堂练习(word版)
沪科版八年级数学上册12.1《函数表示法：解析式法》随堂练习（word版）2018—2019学年度八年级《函数表示法：解析式法》随堂练习一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.函数中自变量x的取值范围是A. B. 且C. D. 且2.半径是R的圆的周长，下列说法正确的是A. C、、R是变量B. C是变量，2、、R是常量C. R是变量，2、、C是常量D. C、R是变量，2、是常量3.在函数中，自变量x的取值范围是A. B. C. 且 D. 且4.下列对函数的认识正确的是A. 若y是x的函数，那么x也是y的函数B. 两个变量之间的函数关系一定能用数学式子表达C. 若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x值与它对应D. 一个人的身高也可以看作他年龄的函数5.一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间分间的函数表达式为A. B. C. D.6.以等腰三角形底角的度数单位：度为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为A. B.C. D.7.如果用总长为120m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为，周长为，一边长为，那么S，C，a中是变量的是A. S和CB. S和aC. C和aD. S，C，a1 / 108.平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个9.远通工程队承建一条长30km的乡村公路，预计工期为120天，若每天修建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度与施工时间天之间的关系式为A. B. C. D.10.如果每盒笔有18支，售价12元，用元表示笔的售价，x表示笔的支数，那么y与x之间的关系式应该是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.一根长为20cm的蜡烛，每分钟燃烧2cm，蜡烛剩余长度厘米与燃烧时间分之间的关系式为______ 不必写出自变量的取值范围12.将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为______ ．13.红星中学食堂有存煤100吨，每天用去2吨，x天后还剩下煤y吨，则吨随天变化的函数解析式为______．14.为节约用水，某市居民生活用水按级收费，具体收费标准如下表：设某户居民家的月用水量为x吨，应付水费为y元，则y关于x的函数表达式为______．三、计算题（本大题共6小题，共58.0分）15.某市电力公司采用分段计费的方法计算电费每月用电不超过100度时，按每度元计算费用，每月用电超过100度时，超过部分按每度元计算．沪科版八年级数学上册12.1《函数表示法：解析式法》随堂练习（word版）设每月用电x度时，应交电费y元，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；小王家一月份用了125度电，应交电费多少元？小王家三月份交纳电费45元6角，求小王家三月份用了多少度电？16.小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按20元小时计算，设小明得哥哥这个月的工作时间为小时，应得报酬为元，请填写下表，然后回答下面问题你能用含t的代数式表示m的值吗？在上述问题中，那些是常量？那么是变量？17.地壳的厚度约为8到40km，在地表以下不太深的地方，温度可按计算，其中x是深度，t是地球表面温度，y是所达深度的温度．在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？如果地表温度为，计算当x为5km时地壳的温度．3 / 1018.先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量．用20cm的铁丝所围的长方形的长xcm与面积的关系；直角三角形中一个锐角与另一个锐角之间的关系；等腰三角形的顶角为x度，试用x表示底角y的度数；一个铜球在的体积为1 ，加热后温度每增加，体积增加，时球的体积为．19.已知等腰三角形周长为24cm，若底边长为，一腰长为，写出y与x的函数关系式求自变量x的取值范围画出这个函数的图象．20.如图，在一个边长为10cm的正方形的四个角上，都剪去大小相同的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．在这个变化中，自变量、因变量各是什么？若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式；并求出当时，阴影部分的面积y．沪科版八年级数学上册12.1《函数表示法：解析式法》随堂练习（word版）答案和解析【答案】1. B2. D3. C4. D5. C6. A7. B8. C9. A10. C11.12.13.14.15. 解：由题意得，当时，；当时，；则y关于x的函数关系式；由代入，可得元．答：小王家一月份用了125度电，应交电费72元；设小王家三月份用了x度电，由题意得，解得．答：小王家三月份用了80度电．16. 100；200；300；400；20t17. 解：自变量是地表以下的深度x，因变量是所达深度的温度y；解：当，时，；所以此时地壳的温度是．18. 解：，即；其中10是常量，x与S是变量；是常量，、是变量，即其中，90，是常量，x、y是变量；5 / 10其中1000的常量，tV是变量．19. 解：等腰三角形的周长为24cm，若底边长为ycm，一腰长为xcm．，，，，，，，自变量x的取值范围为：，函数关系式为，图象如下：20. 解：在这个变化中，自变量是小正方形的边长、因变量是阴影部分的面积；与x之间的关系式为，当时，阴影部分的面积．【解析】1. 解：根据题意得：，解得：且．故选B．根据被开方数为非负数和分母不分0列不等式计算．本题考查了函数自变量的取值范围，要注意几点：被开方数为非负数；分母不分0；中．2. 解：在半径是R的圆的周长中，C、R是变量，2、是常量，故选：D．根据变量和常量的概念解答即可．本题考查的是变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．沪科版八年级数学上册12.1《函数表示法：解析式法》随堂练习（word版）3. 解：由题意得，且，解得且．故选C．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4. 解：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D正确；故选：D．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．本题主要考查了函数的定义函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x 的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．5. 【分析】根据一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，可以得到蓄水池中的水量与注水时间分间的函数表达式，本题得以解决本题考查函数关系式，解题的关键是明确题意，找出题目中的数量关系，列出相应的函数关系式．【解答】解：一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间分间的函数表达式是：，故选C．6. 解：根据三角形内角和定理得，变形得：，，且x为底角度数．故选：A．根据三角形内角和定理得，然后变形就可以求出y与x的函数解析式．本题考查了函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式．7. 解：，周长为，一边长为，那么S，a是变量，故选：B．根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．主要考查了函数的定义函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．8. 解：将函数表达式变形，得，，，．，y都是整数，，也是整数．7 / 10或或或或或．解得：或或或或或．函数图象上的整点为：，，，，，共6个．故选C．把所给函数解析式化为整式，进而整理为两数积的形式，根据整点的定义判断积的可能的形式，找到整点的个数即可．考查函数图象上整点的求法：把所给函数解析式整理为两数积的形式，判断可能的整数解．9. 解：由题意，得每天修，，故选：A．根据总工程量减去已修的工程量，可得答案．本题考查了函数关系式，利用总工程量减去已修的工程量是解题关键．10. 解：每支笔的价格元支，．故选：C．先求得每支笔的价格，然后依据总售价单价支数列出关系式即可．本题主要考查的是列函数关系式，掌握题目中的数量关系是解题的关键．11. 解：由题意得：，故答案为：．根据题意可得燃烧的长度为2tcm，根据题意可得等量关系：蜡烛剩余长度原长度燃烧的长度，根据等量关系再列出函数关系式即可．此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．12. 解：由题意得：，故答案为：．白纸粘合后的总长度张白纸的长个粘合部分的宽，把相关数值代入即可求解．本题考查了函数关系式，解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系，注意x张白纸之间有个粘合．13. 解：由题意得，，则吨随天变化的函数解析式为，故答案为：．沪科版八年级数学上册12.1《函数表示法：解析式法》随堂练习（word版）根据题意即可得到结论．本题考查了函数的关系，正确的理解题意是解题的关键．14. 解：当时，，故答案为：．月用水量为x吨时，应付水费分两段计算：不超过17吨的部分以及超过17吨不超过31吨的部分．本题主要考查了函数关系式，函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．15. 根据“阶梯电价”方法计算电价，可得分段函数；将代入，可得结论；根据交纳的电费可知用电量少于100度，所以设用电x度，则，解方程即可．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数，确定函数解析式是关键．解：填写表格如下：根据表格中数据得：；在上述问题中，20是常量，m，t是变量．故答案为：100；200；300；400；20t根据题意填写表格，确定出关系式即可；找出常量与变量，写出即可．此题考查了函数关系式，常量与变量，弄清题意是解本题的关键．17. 因为温度可按计算，其中x是深度，t是地球表面温度，y是所达深度的温度，所以自变量是x，因变量是y．令，，代入函数解析式，即可求解．本题只需利用函数的概念即可解决问题．18. 由长方形的面积公式长宽来写函数关系式；由“直角三角形的两个锐角互余”来写函数关系式；由“等腰三角形的性质和三角形内角和是”来写函数关系式；时球的体积的体积增加的体积．本题考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系．19. 根据三角形周长公式可写出y与x的函数关系式，用三角形三边关系表示出x的取值范围，根据函数关系式即可画出函数图象．本题主要考查函数关系式及函数自变量的取值范围，属于基础题，主要掌握等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．20. 根据常量与变量的定义即可求解；用正方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可得出y与x之间的关系式，再9 / 10代值计算即可得解．本题考查了函数关系式，常量与变量，函数求值，是基础题，熟练掌握长方形面积公式是解题的关键．。
八年级数学上册第12章一次函数12.1函数第2课时函数的表示方法_列表法和解析法教案
第2课时函数的表示方法——列表法和解析法◇教学目标◇【知识与技能】1.学会求函数自变量的取值范围;2.理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值;3.会求具体问题中的函数表达式.【过程与方法】1.经历列表法和解析法表示函数的过程;2.在具体的问题情境中,求函数自变量的取值范围.【情感、态度与价值观】学生在探索中增强数学建模意识.让学生思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】在具体的问题情境中,求函数自变量的取值范围.【教学难点】建立一个实际问题的数学模型.◇教学过程◇一、情境导入上节课,我们学习了一个重要的概念——函数,那么如何表示两个变量之间的函数关系?二、合作探究典例1求下列函数中自变量的取值范围:(1)y=3x-1;(2)y=2x2+7;(3)y=;(4)y=;(5)y=.[解析](1)x的取值范围是任意实数.(2)x的取值范围是任意实数.(3)x的取值范围是x≠-2.(4)x的取值范围是x≥2.(5)x的取值范围是-x+5≥0且x-2>0,即2<x≤5.【归纳总结】函数自变量的取值范围必须满足下列条件:(1)使分母不为零;(2)使二次根式中被开方式非负;(3)使实际问题有意义.变式训练当x=3时,分别求出上面5个函数的值.[解析](1)函数值为8(2)函数值为25.(3)函数值为.(4)函数值为1.(5)函数值为.典例2 波音747型飞机油箱中有汽油1000 L,每飞行200 km 耗油40 L .(1)完成下表:飞机飞行距离x/km 0 200 400 600 800 1000油箱剩余油量y/L(2)它最多能飞行多长的距离?(3)写出y 与x 的函数表达式.[解析] (1)表中数据依次填:1000,960,920,880,840,800.(2)它最多能飞行5000 km 的距离.(3)y=1000-x.典例3 炎热的夏季,蚊子总令我们讨厌,为了防止它们的叮咬,不少同学点上了蚊香.如图所示,一盘长105 cm 的蚊香,张建同学点燃后观察发现每小时缩短10 cm .(1)写出蚊香点燃后的长度y (cm)与点燃时间t (h)之间的函数表达式.(2)这盘蚊香最多可以燃烧多长时间?[解析] (1)y=105-10x.(2)由105-10x=0,解得x=10.5.即这盘蚊香最多可以燃烧10.5小时.三、板书设计函数的表示方法——列表法和解析法1.列表法与解析法.2.求函数中自变量的取值范围:(1)使分母不为零;(2)使二次根式中被开方式非负;(3)使实际问题有意义.◇教学反思◇教学设计中,始终把对知识的学习与师生的共同活动、交流相结合,把对知识的理解放置在具体情景中,采用了多种形式的学习活动,给学生提供足够的、自主的空间和活动机会.。
12.1 函数 教案-2024-2025学年沪科版八年级数学上册
《 12.1 函数》教学设计教学内容分析本节课是在学习了函数的表示方法的基础上学习的，让学生学会观察、分析函数图象信息，并能利用获取的信息解决实际问题，感受数形结合的数学思想，能在利用函数图象解决实际问题的过程中，获得自主观察、分析的能力，提高读图能力。
学习者分析学生已经学习了函数的表示法，对从图象中获得信息有一定的基础，有观察，分析，读图的能力，本节课的学习还是比较轻松的。
教学目标 1.能从函数图象中获取与函数有关的信息,解决函数中的问题；2.能通过函数间变量的关系,理解图象中的点或线段代表的实际意义；3.体会数形结合思想,提高解决问题的能力.教学重点学会观察、分析函数图象信息.教学难点利用从图象中获取的信息解决实际问题.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T随时间t的变化而变化的情况.图象中包括了很多信息，比如一天中的最低温度与最高温度，你还能从中得到哪些信息？比如，温度呈下降趋势的时间段，温度呈上升趋势的时间段.本节课，我们一起来学习怎样从图象中获取信息. 学生活动1：学生动脑回忆思考，并积极回答.活动意图说明：引导学生观察图象，从图象中获得信息，调动学生学习的积极性，并通过提问激发学生的好奇心和求知欲,引出新课.环节二：从函数图象中获取信息教师活动2：思考1 如图是记录某人在24ｈ内的体温变化情况的图象．图中纵轴上0～35一段省略了.（1）图中有哪两个变化的量？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2）在这天中此人的最高体温与最低体温各是多少？分别是在什么时刻达到的？（3）21:00时此人的体温是多少？（4）这天体温达到36.2℃时是在什么时刻？（5）此人体温在哪几段时间上升？在哪几段时间下降？在哪几段时间变化最小？解：（1）时间t与温度T，其中t是自变量，T 是因变量（2）最高温度为36.7℃，在18:00达到，最低温度为35.9℃，在4:00达到.（3）36.3℃学生活动2：学生观察图象，思考回答.（4）6:00或23:00.（5）体温上升的时间段：4:00~7:00、8:00~9:00、10:00~11:00、12:00~14:00、15:00~16:00、17:00~18:00.体温下降的时间段：2:00~4:00、7:00~8:00、9:00~10:00、11:00~12:00、14:00~15:00、16:00~17:00、18:00~24:00 .体温变化最小的时间段：0:00~2:00、9:00~11:00.函数关系用图象表示，直观、形象，容易从中了解函数的一些变化情况.横轴表示自变量，纵轴是因变量.最高点表示因变量的最大值，最低点表示因变量的最小值.水平线部分表示函数在相应区间内函数值不变.不同区间表示的函数意义不同.思考2 一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输学生小组交流思考后，回答问题.［左图］，只行驶一个来回，中间经过丙港，右图是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化曲线.（１）观察曲线回答下列问题：①从甲港（Ｏ）出发到达丙港（Ａ），需用多长时间？②由丙港（Ａ）到达乙港（Ｃ），需用多长时间？③图中ＣＤ段表示什么情况，船在乙港停留多长时间？返回时，多长时间到达丙港（Ｂ）？④从丙港（Ｂ）返回到出发点甲港（Ｅ），用多长时间？（２）你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快，还是轮船返回的平均速度快呢？（３）如果轮船往返的机器速度是一样的，那么从甲港到乙港是顺水还是逆水？解：（1）①从甲港(O)出发到达丙港(A)用去1 h；②从丙港(A)出发到达乙港(C)用去2 h；③图中CD段表示船在乙港停留1 h，返回时4 h到达丙港(B)；④从丙港(B)返回到甲港(E)用了2 h.（2）轮船往返行驶的路程一样，用的时间越少则平均速度越快.（3）若轮船往返的机器速度一样，那么顺水时速度快，逆水时速度慢.如何从图象中获得有用信息：1.明确“两轴”的含义通常横轴表示自变量，纵轴表示函数值．通过图象可明确自变量、函数值以及它们的取值范围．2.明确图象上的点的意义学生在教师的引导下总结.过一点分别向横轴和纵轴作垂线，两个垂足分别所表示的数就是自变量与函数值的一对对应值．3.弄清上升线、下降线和水平线上升(下降)线表示函数值随自变量的增大而增大(减小)，水平线表示随自变量的变化函数值不变．活动意图说明：通过熟悉的例子，让学生认识函数图象的实际意义，并通过观察从函数图象中获取需要的信息，培养学生自主观察、分析的能力，提高读图能力.通过归纳明确如何从图象中获取有用的信息，培养学生的归纳概括能力.板书设计课题：12.1.4函数如何从图象中获得有用信息：（1）明确“两轴”的含义（2）明确图象上的点的意义（3）弄清上升线、下降线和水平线课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.甲、乙两人进行慢跑练习，慢跑路程y（米）与所用时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ D ）A.前2分钟，乙的平均速度比甲快B.5分钟两人都跑了500米C.甲跑完800米的平均速度为100米/分D.甲乙两人8分钟各跑了800米2.某天早晨7:00,小明从家骑自行车去上学,途中因自行车发生故障,就地修车耽误了一段时间,修好车后继续骑行,7:30赶到了学校.如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程.结合图象,判断下列结论正确的是( A )A.小明修车花了15 minB.小明家距离学校1 100 mC.小明修好车后花了30 min到达学校D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是3 m/s3.小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系.已知小明购物用时30min,返回速度是去商场的速度的1.2倍,则a的值为( D )A.46B.48C.50D.524.汽车在行驶过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.观察图象回答:(1)汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？(2)汽车在哪些时间段匀速行驶？时速分别是多少？(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么？(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.解:(1)24分钟，最高时速是90千米/时.(2)2~6分钟匀速行驶，时速为30千米/时，18~22分钟匀速行驶，时速为90千米/时.(3)汽车停下了.(4)汽车从0~2分钟加速，从2~6分钟匀速行驶，6~8分钟减速行驶，8~10停下了，10~18分又加速行驶，18~22分匀速行驶，22~24减速到停止.选做题：5. 向一个容器内均匀地注入水，液面升高的高度y与注水时间x满足如图所示的图象，则符合图象条件的容器为(A)6.如图,四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系,请按图象顺序将下面四种情景与之对应,正确的排序为__③②④①__ . (填序号)①一辆汽车在公路.上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系);②向锥形瓶(上小下大)中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系);③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系);④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系).【综合拓展类作业】7.小红帮弟弟荡秋千(如图①),秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示.结合图象回答:(1)当t=0.7时,h的值是多少?并说明它的实际意义;(2)将秋千向后拉到最高点然后松开,秋千向前摆动,再向后返回到最高点,这叫做一个周期,秋千摆第二个周期需要多少时间?解:(1)由函数图象可知,当t=0. 7时,h=0. 5,它的实际意义是秋千摆动0.7 s时,离地面的高度是0.5 m;(2)从图象看,第一个周期用时2.8 s,后一个周期.用时5.4-2.8=2.6(s),故秋千摆第二个周期需要2.6 s.课堂总结如何从图象中获得有用信息：（1）明确“两轴”的含义（2）明确图象上的点的意义（3）弄清上升线、下降线和水平线作业设计【知识技能类作业】必做题：1.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（B ）2.如图所示的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是（D ）A.4:00气温最低B.6:00气温为24 CC.14:00气温最高D.气温是30 C的时刻为16:003.如图是某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数图象,汽车在前9min内的平均速度是80 km/h,汽车在中途停了7 min.选做题：4．如图所示的函数图象反映如下过程：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家.其中x表示时间，y表示小徐离家的距离，读图可知菜地离小徐家的距离为（ A ）A. 1.1千米B. 2千米C. 15千米D. 37千米5．甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离开出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系如图所示.根据图中提供的信息，有下列说法:(1)他们都行驶了18千米；(2)甲在途中停留了0.5小时；(3)乙比甲晚出发了0.5小时；(4)甲乙两人同时到达目的地.其中符合图象描述的说法有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个【综合拓展类作业】6.如图是小明从学校到家里行进的路程s(m)与时间t(min)的函数图象.观察图象,从中得到如下信息:①学校离小明家1000m;②小明用了20min到家;③小明前10min走了路程的一-半;④小明后10min比前10min走得快.其中,正确的有①②④ .(填序号)教学反思在这个信息充斥的时代,我们身边有很多信息载体,本节课带领学生去读信息，获取、分析图象上的信息，让学生去想问题和答案,调动学生的积极性,锻炼学生的分析能力和语言表达能力.。
沪科版八年级上12.1函数(1)课件沪科版八年级上12.1函数(1)课件
函数
S=60t
常量
变量 自变量 因变量
60 80
t x
s y
Y=80x
定义：
一般地，设在( 一个变化过程 )中 有两个变量( x ) 与( y ) ，如果对于x
在它允许取值范围内的( 每一个值 )，y都
有( 唯一确定 )的值与它对应，那么 自变量 ，y是x的_______ 函数 。 就说x是_________
常量：4π
2.写出下列问题中变量间的关系式，并 指出式中的常量与变量，自变量与因 变量：购买单价是2.5元的圆珠笔，总 金额y元与圆珠笔数n支的关系.
解： 关系式是 Y=2.5n 常量： 2.5 变量：Y, n
n 因变量：
自变量： Y
拓展：
汽车在行驶过程中，由于惯性 的作用刹车后仍将滑行一段距离才 能停住，刹车距离是分析事故原因 的一个重要因素。
2013年•蚌埠•嘉年华
问题一：
柯南自驾游蚌埠嘉年华，汽车速度为60千 米/时，当时间t为1小时，路程s为多少千米 ？当时间t为2小时和3小时时候呢？
路程（S）、速度（v）、时间（t）之间存 在关系：
s=vt
请用公式表示此问题中路程（S）与时间（t） 之间存在的关系。
s 60t
沪科版八年级《数学》(上)
12.1函数
问题二：
嘉年华的门票是80元/人，每天的 日人流量为x人,门票总收入额为y元 。
请问： （1）嘉年华的每天门票收入是多少呢？
（2）如果人数是10人，则需要多少门票费用 ？当人数为30人,40人呢？ （3）你可以列出日门票收入与日人 流量之间的关系式吗？
y 80 x
问题三：
（1）这个问题中，涉及哪几个量？ （2）给出这月中的某一天，如第3天，第8天 ，能找到这一天的最高温度是多少吗？ 你是怎么找到的?找到的值是唯一确定的吗？
12.1函数(教学设计)
2014年数学优质课评比教学设计沪科版初中数学八年级上册课题： 12.1 函数（第一课时）滁州六中高在为2014.9.1212.1函数（第一课时）环节教学内容师生行为设计意图问题探究，形成新知问题3：下图是我市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线。
变量y随着t的变化而变化。
当给定变量t的一个值时,就可以相应地得到变量y的一个唯一确定的值。
教师课件出示问题3引导学生思考：1、这个问题中，有哪几个变量？2、给出这天中的某一时刻，如4.5h、20h，能找到这一时刻的负荷y（×103兆瓦）是多少吗？找到的值是唯一确定的吗？3、这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？请同学们根据以上几个问题总结出变量y与变量t的关系。
通过这个问题再次强调自变量与因变量的确定方法，同时说明用图像也可表明两变量的关系，为下节课做铺垫，更说明了因变量的值唯一确定的思想。
归纳总结深化理解归纳总结：1、每个变化过程中都有两个变量。
2、其中一个变量（自变量）变化时，另一个变量（因变量）也随着变化。
3、当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应。
函数概念：一般地, 设在一个变化过程中有两个变量x，y, 如果对于x在它允许取值范围内的每一个值, y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量，y是x的函数。
教师出示PPT课件，提出问题：你能根据下面的问题总结出这三个变化过程的共同特点吗？1、每个变化过程中都有几个变量？2、其中一个变量发生变化时，另一个变量也随着变化吗？3、当一个变量确定时，另一个变量的值唯一确定吗？师生共同小结函数概念，找出概念中的关键词。
请学生说一说：问题1、问题2、问题3 中，什么量是自变量，什么量是函数?由于学生首次接触函数概念，因此在学习中重在让学生感受概念。
通过大量的具体实例，让学生充分认识事物的变化过程，并探索在这个过程中两个变量之间的相互关系，提升认识，形成函数概念。
常微分方程初值问题
常微分方程初值问题12.1引言在数学模型中经常出现的常微分方程在科学的许多分支中同样出现，例如工程和经济学。
不幸的是却很少出现这些方程可得到表示在封闭的形式的解的情况，所以通常采用数值方法来寻找近似解。
如今，这通常可以非常方便的达到高精度和在解析解和数值逼近之间可靠的误差界。
在本节我们将关注一阶微分方程（12.1）形式关于实值函数y的实变量x的结构和数值分析方法，其中和f是一个给定的实值函数的两个变量。
为了从解曲线的无限族选择一个特定的积分构成（12.1）的通解，微分方程将与初始条件一起考虑：给定两个实数和，我们寻求一个（12.1）的解决方案，对于有（12.2）微分方程（12.1）与初始条件（12.2）被称为一个初值问题。
如果你认为任何（12.1），（12.2）形式的初始值问题具有一个唯一解，看看以下例子。
例12.1考虑微分方程，初始条件，其中α是一个固定的实数，α∈（0，1）。
这是一个关于上述想法的简单验证，对于任何非负实数C，是初值问题在区间[ 0，∞）上的一个解。
因此解的存在性是肯定的，但解不一定唯一；事实上，初始值问题的解有一个无限族，当参数。
我们注意到，在与α∈（0，1）相反的情况下，当α≥1，初值问题，具有唯一解y（x）≡0。
例12.1表明函数f必须遵循相对于它的第二个参数的一定的增长性条件，以保证（12.1），（12.2）有唯一解。
精确的保证初始值问题（12.1），（12.2）假设f解的存在惟一基于下面的定理。
定理12.1（Picard theorem）假定实值函数是连续的矩形区域D定义；当时；且f 满足Lipschitz条件：存在L＞0则。
进一步假设。
（12.3）然后，存在一个唯一函数，使得和其中；此外，。
证明我们定义一个函数序列为（12.4）。
因为f在D上连续，所以显然每个函数在上是连续的。
此外，由于因此，通过减法我们得到（12.5）。
我们现在进行推导，并且假设对于一些n的正值成立，（12.6）。
八年级数学沪科版上册【能力培优】专题训练：12.1 函数(含答案)
第12章 一次函数12.1 函数专题一 函数图象信息题1.下列各图中，是函数图象的是（ ）．2.在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程 S （米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象分别为线段OA.和折线OBCD . 下列说法正确的是( ).A..小莹的速度随时间的增大而增大B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大C.在起跑后 180 秒时，两人相遇D.在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面3.如图所示的是某市2013年6月某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题．（1）这天的最高气温是 ℃；（2）这天共有 个小时的气温在31℃以上； （3）这天在 （时间）范围内温度在上升； （4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？专题二 函数中的阅读理解题4.在密码学中，直接可以看到内容的为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将英文26个字母A.，b ，c ，…，z （不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）.当明码对应的序号x 为奇数时，密码对应的序号y ＝12x ；当明码对应的序号x 为偶数时，密码对应的序号y ＝x+13.按上述规定，将明码“love ”译成密码是（ ）.A..gA.wqB.shxcC.sdriD.love 5.阅读下面材料，再回答问题：一般地，如果函数x =f （x ）对于自变量取值范围的的任意x ，都有f （-x ）=-f （x ），•那么y =f （x ）就叫做奇函数；如果y =f （x ）对于自变量取值范围内的任意x ，都有f （-x ）=•f （x ），那么y =f （x ）就叫做偶函数．例如：f （x ）=x 3+x ，当x 取任意实数时，f （-x ）=（-x ）3+（-x ）=-x 3-x =-（x 3+x ），即f （-x ）=•-f （x ），因此f （x ）=x 3+x 为奇偶数．又如f （x ）=│x │，当x 取任意实数时，f （-x ）=│-x │=│x │=f （x ），即f （-x ）=f （x ），因此f （x ）=│x │是偶函数． 问题（1）：下列函数中：①y =x 4；②y =x 2+1；③y =31x ；④y y =x +1x． 奇函数有_________，偶函数有________（只填序号）．问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数．专题三 函数中的规律探究题6.观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中小黑点的个数为y .(2)用函数解析式来表示y 与n 之间的关系.【知识要点】1.在一个变化过程中有两个变量x 、y ,如果对于x 在它允许取值范围内的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数.2.函数的表示方法一般有三种:(1)解析式法;(2)列表法;(3)图象法.3.在函数解析式中,用自变量的值带入求得的值叫做函数值.函数自变量的取值由所给函数解析式确定,要保证函数解析式有意义.【温馨提示】1.常量与变量是相对于一个变化过程而言,变化过程不同,它们可能发生变化,要能具体问题具体分析,防止因知识迁移发生错误.2.函数的三种表示方法之间是可以相互转化的,在具体的问题中,应选择合理的函数表示方法.【方法技巧】1.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,判断一个关系式是不是函数关系,关键是看自变量取一个值后,是不是只有唯一值与其对应.2.自变量的取值范围主要考虑:(1)分母中有自变量时,应使分母不能为零;(2)当含有开偶次方的式子时,要保证被开方数非负;(3)自变量的取值要使实际问题有意义.参考答案:1.B 提示:紧扣函数的概念，抓住函数概念中的自变量与函数之间的一一对应关系，结合图象知A.、C 、D 中都存在一个x 值对应了两个y 的值，故都不是函数．故选B2.D 提示:由于OA.是一条线段，说明小莹跑步时是匀速的，速度为800÷180=409（米/秒），而OBCD 是折线，说明小梅跑步的速度是变化的，其平均速度为800÷220=4011（米/秒），从而可知选项A.、B 都是错误的；在起跑180秒后，小莹到达了终点，而小梅还在途中，故选项C 错误；从图象上可以看出起跑后50秒时，小梅跑的路程要比小莹跑的路程多，所以小梅在小莹的前面,故D 正确.3.（1）37 （2）9（即从12时到21时） （3）3～15时 （4）23～26℃均可（答案不唯一）.4.B 提示:依题意，当明码为“love ”时，有l →12，是偶数，即密码对应的序号y ＝2x +13＝122+13＝19，所以对应的密码为s ；同理，o →15，是奇数，即密码对应的序号y ＝12x +＝1512+＝8，所以对应的密码为h ；v →22，是偶数，即密码对应的序号y ＝2x +13＝222+13＝24，所以对应的密码为x ；e →5，是奇数，即密码对应的序号y ＝12x +＝512+＝3，所以对应的密码为c .所以将明码“love ”译成密码是“shxc ”.故应选B.5.（1）③⑤，①② （2）奇函数y =1x，偶函数y =x 2. （答案不唯一）. 6．(1) 13 21 31 (2) y =n 2－ n +1.。
沪科版八年级数学上册第12章12.1函数(第1课时)上课课件
问题1 如图，用热气球探测高空气象。
当t=0min， h为1800m
当t=1min， h为1830m
当t=2min， h为1860m
当t=3min， h为1890m
设热气球从海拔1800m处的某地升空，它上升后到达的海 拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
时间t/min 海拔高度h/m
函数
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y， 如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有 唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x
的函数。 若当x=a时，y=b，则称b叫当自变量取值为a时的函 数值
函数定义包含以下几个内容： 1、在一个变化过程中； 2、有且只有两个变量；
3、当自变量在允许取值的范围内每取定一个值，（因 变量）都有唯一的确定值和它对应。因变量就是自变量 的函数
在问题2、问题3中，常量与变量分别是 什么？哪些量是自变量？哪些量是因变量？
在上面三个问题中，每个变化过程都只涉及两个变量，两 个变量之间有一种对应关系，当给定其中一个变量（这个量叫 自变量）的值，根据此对应关系就唯一确定了另一个变量（这 个量叫因变量）的值。
此时因变量是自变量的函数
例如：问题1中，从热气球开始上升起 t＝1时，h＝1830； t＝3时，h＝1890 ; t＝6时，h＝1980.
说一说：问题1、问题2、问题3中，什 么量是自变量，什么量是什么量的函数?
问题1中，热气球上升高度h是自变量时间t的函数； 问题2中用电负荷y是自变量时间t的函数；问题3中刹车距 离s是自变量车速v的函数。
为什么？
注意：(1)在一个变化过程中；(2)有两个变量(字母x与y只是 代号)；(3)对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应。
12.1函数(第4课时)
2.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5 厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡 烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t 之间的函数关系的是（ ）.
3.王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬 山．有一天，小强让爷爷 先上，然后追赶爷爷．图中两条线段 分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分） 的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题：
学习目标
初步学会观察函数图象的基本方法； 能够从函数图象中获取相关信息。 通过学习从函数图象中获取相关信息 的方法，体验数形结合思想在数学研 究中的作用。
自学提纲
1、观察下列两个图象，是函数关系吗？ y(生物电流) X(时间) X的每一个给定的值，y都有唯一确定的值对应. 2、例题解析 例1：下面图象反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家。其 中x表示时间，y 表示小明离他家的距离。 （1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？ （2）小明给菜地浇水用了多少时间？ （3）菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？ （4）小明给玉米地锄草用了多少时间？ （5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家用了多少时间？ 从玉米地走回家的平均速度是多少？ 3、补充练习（另行补充）。
例1：下面图象反映的过程是：小明从家去菜地浇水， 又去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y 表 示小明离他家的距离。
（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？ （2）小明给菜地浇水用了多少时间？ （3）菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？ （4）小明给玉米地锄草用了多少时间？ （5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家用了多少时间？ 从玉米地走回家的平均速度是多少？
观察下列两个图象，是函数关系吗？
12.1 函数(课件)沪科版数学八年级上册
感悟新知
知2－练
解：(1)y不是x的函数，因为x每取一个值时，y有两个对应 值，不满足唯一确定. (2)y是x的函数，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应. (3)y不是x的函数，例如当x＝1时，y有两个对应值，不满足 唯一确定. (4)y是x的函数，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应.
感悟新知
感悟新知
2. 判断一个关系是否是函数关系的方法
知2－讲
一看是否在一个变化过程中；
二看是否存在两个变量；
三看对于自变量每取一个确定的值，因变量是否都有
唯一确定的值与其对应.
以上三者(简称“三要素”)缺一不可.
感悟新知
知2－练
例 2 判断下列各式中y是否是x的函数，并说明理由. (1)y＝±x；(2)y＝x3；(3)2x2＋y2＝10；(4)y＝|x|. 解题秘方：紧扣函数的定义进行解答.
知4－练
感悟新知
例 5 已知函数y＝13－4x.
知4－练
(1)当x＝3 时，对应的函数值是多少？
(2)当x为何值时，函数值为2 ？
解题秘方：紧扣“求函数值及自变量值的方法”求解.
解：(1)当x＝3 时，y＝13－4×3＝1.
(2)当y＝2时，2＝13－4x，解得x＝141.
感悟新知
知4－练
5-1. 如图是输入一个x的值，计算函数y的值的程序框图.
知2－练
2-1. [月考·合肥蜀山区]下列关于变量x和y的关系式：x－y ＝0，y2＝x，|y|＝2x ，y2＝x2，y＝3－x，y＝2x2－1，
y＝3x，其中y是x的函数的个数为( B )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
感悟新知
知识点 3 函数关系的表示方法
沪科版数学八年级上册同步教学课件 第2课时 函数的表示方法
（4）当x=3时，y x 3 0.
【归纳一】函数关系式中自变量的取值范围
一般主要考虑以下四种情况： ⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任
意实数； ⑵函数关系式为分式形式：分母≠0； ⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0； ⑷函数关系式含0指数：底数≠0．
例3 一个游泳池内有水300 m3，现打开排水 管以每小时25 m3的排出量排水.
函数的图象
函数的表示方 法——图象法
从函数的图象 中获取信息
画函数图象
5.一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min ，2min， 4min，6min时，测得小船与码头的距离分别为200m， 150m，100m，50m.
（1）小船与码头的距离是时间的函数吗？ 是
（2）如果是，写出函数的解析式，并画出函数图象.
函数解析式为： s = 200-25t . 船速度为（200-150）
•由函数表达式画图象的一般步骤： •1.列表:分析函数自变量的取值范围，取自变量的 一些值（间隔相同），算出y的对应值； •2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标系内描出相应 的点； •3.连线:分析函数图象的发展趋势（是直线还是曲 线，有限还是无限）按照自变量由小到大的顺序,用 平滑的曲线连接所描的各点,即得图象. •注意：描出的点越多，图象就越精确.
用数学式子表 示函数关系的 方法
用图象来表示两个 变量间的函数关系 的方法
实例 优点
问题1
问题3
具体反映了函 准确地反映了 数随自变量的 函数随自变量 数值对应关系 的数量关系
问题2
直观地反映了函数 随自变量的变化而 变化的规律
☆自变量的取值范围及求函数值
典例精析
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
初中数学八年级上册《12.1 函数》PPT课件 (1)
(2)描点：表示与的对应的点有无数个，但是 实际上我们只能描出其中有限个点，同时想 象出其他点的位置．
（3）连线：用平滑的曲线去连接画出的点．
函数图象 的定义
一般地，对 于一个函数，如 果把自变量与函 数的每对对应值 分别作为点的横、 纵坐标，那么坐 标平面内由这些 点组成的图形，
（2）
问题：1、你能写出正方形的边长x与面积S的 函数关系式，并确定自变量x的取值范围吗？
S=x2 自变量x的取值范围是x＞0
2、能利用坐标系中画图的方法来表示S
与x的关系吗？ 提示:自变量x的一个确定值与它对应的函
数值S,就确定一个点(x,S)
如何在坐标系中表示S=x2？
(1) 列表:
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
下面的图象反映的过程是:小明从家里出发去菜 地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时 间,y表示小明离他家的距离.
y/千米
2
1.1
0 15 25 37 55
80
根据图象回答下列问题:
时间x/分钟
1、菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？ 从纵坐标看:菜地离小明家1.1千米.
从横坐标看:小明走到菜地用了15分钟.
画函数图象的一般分为哪几步？
1、列表 2、描点 3、连线
例1 画出函数y=x+0.5的图象
解： ①列表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x+0.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
试一试
y
你能从所 画的图象 中获取哪 些信息？
②描点： 3 ③连线： 2
12.1函数(第3课时)
①列表：
-3 -2 -1
0 1 2 3
x
y=x+0.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
y
②描点：
3 2
函数解析式画图,一般 ③连线： 1 按照列表、描点、连线 的步骤进行，表中给出 2 -2 -1 o -3 1 的实数对越多，相应地 -1 在坐标系中描出的点越 -2 多，图象越精确
例1 . 画出函数y=x+0.5的图象 如何由函数解析式画函数图象呢? 步骤 1.列表:取自变量的一些值，算出y的对 应值 2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标系 内描出相应的(x,y) 3.连线:按照自变量由小到大的顺序,用 平滑的曲线连接所描的各点,即得图象
例1 . 画出函数y=x+0.5的图象
练习： 画出下列函数的图象 （1）y=-x+1 （2）y=2x+4 6 （3） y x （4） y x
2
6 例2. 画出函数 y 的图象。 x
… 1 6 y … 6 x x 2 3
3
6 … 2 1.5 1.2 1 … 4 5
从函数图象可以 看出，曲线从左 向右下降，即当 x由小变大时，y 的值随之减小。
… …
(2)描点：在坐标平面内描出（0,0）、（10,0.4）、 (20,1.6)、(30,3.5)、(40,6.3)等点。 （3）连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平 v2 滑曲线连接，就的到了 s 的图象。如图：
256
0 10
20 30
40
课堂小结
函数关系的方法有三种： 1、解析法——用数学式子表示函数的关系。 2、列表法——通过列表给出函数 与自变量 的对应关系。 3、图象法——把自变量作为点的横坐标， 对应的函数值作为点的纵坐标，在直角坐 标系内描出对应的点，所有这些点的集合， 叫做这个函数的图象。用图象来表示函数 与自变量对应关系。
沪科初中数学八年级上册《12.1 函数》精品教案 (1)
12.1 函数第1课时函数(一)教学目标【知识与技能】1.掌握常量、变量的概念.2.能辨别一个关系中的常量和变量、自变量和因变量.3.能识别一个关系式是不是函数.【过程与方法】1.经历观察、分析、思考、总结的过程,发展观察推理能力和清晰地表达自己观点的能力.2.感知变量对数学问题的描述、研究的作用.3.理解一个简单的实际应用问题的数学表达方式,使学生将实际问题和数学相联系.【情感、态度与价值观】1.通过让学生共同思考实际生活中的例子让学生参与到教学活动中来,培养学生的集体意识.2.让学生自己思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.3.让学生感受数学与生活息息相关.4.通过变量、常量概念的引入,让学生意识到数学是在不断发展的,意识到事物是不断发展变化的.重点难点【重点】理解常量、变量的概念,判断一个数量关系是否是函数.【难点】理解函数的概念.教学过程一、创设情境,导入新知师:你还记得汽车在匀速行驶时,路程和速度、时间之间的关系吗?生:记得,路程=速度×时间.师:好.我们现在来看这样一个问题.教师多媒体出示(问题1):汽车以50千米/时的速度匀速行驶,它行驶的路程用s表示,时间用t表示,根据刚才那个公式,你能得到s和t的什么数量关系?生:s=50t.师:对.这里面有哪些量?生:路程、速度和时间.师:这道题中,速度是具体的一个量,是多少呢?生:50.师:对.这里面有三个量:路程、50和时间.二、合作探究,获取新知教师多媒体出示(问题2):时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …海拔高度1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …h/m同学们看这个图和相应的表格,上面反映的有几个量?学生思考后回答:两个.师:哪两个?生甲:时间.生乙:气球上升到达的海拔高度.师:同学们回答得很好!你们再观察一下,热气球在这个上升过程中,平均每分钟上升了多少米?生:30米.师:你能计算出当t=3min和t=6min时热气球到达的海拔高度吗?生:能,3分钟时为1 890米,6分钟时为1 980米.师:很好.教师多媒体出示(问题3):师:在这个问题中,有哪几个量?生:两个,时间和负荷.师:你能说出这一天中任意一个时刻的负荷是多少吗?如果能的话,4.5h时和20h时的负荷分别是多少?学生测量后回答:能.4.5h时是10×103兆瓦,20h时是17×103兆瓦.师:用科学记数法怎样表示?生:4.5h时是1.0×104兆瓦,20h时是1.7×104兆瓦.师:同学们回答得很好!你们是怎么找到对应的数据的呢?生:根据时间对应的负荷得到的.师:很好!这一天的用电高峰和用电低谷时的负荷分别是多少?它们各是在什么时刻达到的?学生测量后回答:用电高峰时的负荷是1.8×104兆瓦,在13.5h时达到;用电低谷时的负荷是1.0×104兆瓦,在4.5h时达到.师:我们再来看这样一个例子.教师多媒体出示(问题4):汽车在行驶过程中由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住.某型号的汽车在路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式:s=这个式子中涉及了哪几个量?生甲:刹车距离、车速.生乙:256.师:当车速为60km/h时的刹车距离是多少呢?结果保留一位小数.学生计算后回答:14.1km.师:在第一个问题中,速度一直是50千米/时,我们把不变的50称为常量;变化的s和t称为变量,其中t是自变量,s是随着时间t的变化而变化的,s是因变量.下面我们看看其他三个问题中,哪些是常量,哪些是自变量,哪些是因变量?生甲:第二个问题中,30是常量,时间是自变量,海拔高度是因变量.生乙:第三个问题中,没有常量,时间是自变量,负荷是因变量.生丙:第四个问题中,256是常量,车速是自变量,刹车距离是因变量.师:很好!自变量和因变量之间有没有对应的关系呢?生:有.师:由前面的探究,我们能得出自变量和因变量在数量上有怎样的对应关系?生:自变量取一个值,根据它们之间的关系,因变量就有相应的一个值.师:很好!教师板书并口述定义:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许的取值范围内的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就称x是自变量,y是x函数.师:在这个定义中,我们要注意“唯一确定”这四个字,“唯一”要求只有一个,“确定”要求它们的关系是确定的,不能是未明确的、模糊的.根据函数的定义,你能说出以上四个问题中哪一个量是哪一个量的函数吗?生甲;问题1中行驶路程s是行驶时间t的函数.生乙:问题2中热气球到达的海拔高度h是时间t的函数.生丙:问题3中负荷y是时间t的函数.生丁:问题4中刹车距离s是车速v的函数.师:大家回答得很好!三、练习新知师:我们现在来看这样一个例子.教师多媒体出示并口述:下列等式中,y是x的函数的有.①x+y=0;②y=;③y=x2;④x=y2;⑤y=|x|;⑥ x=|y|;⑦y=;⑧y2=4x.学生思考后回答,然后集体订正.y是x的函数的有①②③⑤⑦.四、课堂小结师:你今天学习了哪些新知识?有什么收获?生:学习了常量、变量、自变量、因变量、函数.教师补充完善.教学反思课程改革的关键是教师观念的改变,重视学生的主体作用,强调让学生经历学习的过程,让学生真正成为学习的主人.教师不应该仅仅是课程的实施者,而且应该成为课程的创造者和开发者.通过让学生回顾小学学过的一个公式,引入本节课,同时带领学生更深入地认识两个量之间的关系,并引入常量、变量、自变量、因变量等概念.而函数是两个变量之间的关系,它们之间是怎样的一种关系呢?对自变量取的一个值,因变量有唯一确定的值与之对应.这点要向学生讲清楚,学生理解了就能判断一个变量是不是另一个变量的函数.第2课时函数(二)教学目标【知识与技能】1.会用列表法表示函数.2.会将一个简单的实际应用问题抽象成函数.3.会求函数自变量的取值范围.4.给定自变量,能求出函数值.【过程与方法】1.经历用列表法和解析法表示函数的过程.2.通过将一个简单的实际应用问题抽象成数学问题使学生将理论和实际相联系.【情感、态度与价值观】1.通过让学生选用合适的方法表示两个变量之间的关系,让学生发挥主观能动性,独立思考.2.让学生参与到教学活动中来,激发学生的参与感和集体意识.3.让学生观察、描述发现的问题,培养学生表述自己思想和归纳概括、收集信息的能力.4.让学生思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.重点难点【重点】用解析法表示函数,求函数自变量的取值范围.【难点】建立一个实际问题的数学模型.教学过程一、创设情境,导入新知师:上节课,我们学习了一个重要的概念——函数,同学们还记得它的内容吗?学生回答.师:大家说得很好,函数是一个重要的数学概念,这节课我们将更深入地研究它.二、合作探究,获取新知教师多媒体出示上节课的问题2:上节课我们在问题2中用表格表示热气球上升到的海拔高度与时间数值之间存在的关系,这种通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.学生熟记.教师多媒体出示上节课的问题4.这是另一种表示函数的方法,是用s和v之间的函数关系式来表示的,这种用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.你从中读出了什么信息?你能把问题2中表格反映的情况用语言叙述一下吗?学生思考后回答:能.热气球的初始海拔高度是1 800米,每分钟上升30米.师:很好!它是匀速上升的吗?生:是.教师多媒体出示上节课中的问题1.你能仿照这个匀速运动的例子写出热气球到达的海拔高度h和时间t之间的关系吗?注意:这里h 是初始高度和上升高度的和,上升高度相当于热气球上升的路程.学生思考后回答:能.h=1 800+30t.师:很好!一般地,我们按自变量的降幂排列,就是写成h=30t+1 800.这说明同样一个问题,它的描述方式可以不止一种,我们可以选用适当的方式来表示,也可以把一种表示方式描述的问题用另一种表示方式来写.教师多媒体出示上节课介绍的函数的定义:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.师:同学们,这里要求在自变量的允许范围内,就是说自变量是有范围的,在哪些情况下自变量不是所有实数都可以取呢?谁能说说我们学习过的式子中哪些式子的取值有限制?生:分母不能为零,开平方时被开方数应该大于等于零.师:对.所以我们在用解析法表示时,要考虑自变量的取值范围.在实际应用中,除了要保证这个式子有意义,还要求它有实际意义.三、练习新知教师多媒体出示:【例1】求下列函数中自变量x的取值范围:(1)y=2x+4; (2)y=-2x2;(3)y=; (4)y=.解:(1)x为全实体实数.(2)x为全实体实数.(3)x≠2.(4)x≥3.【例2】当x=3时,求下列函数的函数值:(1)y=2x+4; (2)y=-2x2;(3)y=; (4)y=.解:(1)当x=3时,y=2x+4=2×3+4=10.(2)当x=3时,y=-2x2=-2×32=-18.(3)当x=3时,y===1.(4)当x=3时,y===0.【例3】一个游泳池内有水300m3,现打开排水管以每小时25m3的排出量排水.(1)写出游泳池内剩余水量Qm3与排水时间th间的函数关系式;(2)写出自变量t的取值范围;(3)开始排水后的第5h末,游泳池中还有多少水?(4)当游泳池中还剩150m3时,已经排水多少小时?解:(1)排水后的剩水量Q是排水时间t的函数,有Q=300-25t=-25t+300.(2)由于池中共有300m3水,每小时排25m3,全部排完只需300÷25=12(h),故自变量t的取值范围是0≤t≤12.(3)当t=5时,代入上式,得Q=-5×25+300=175(m3),即第5h末,池中还有水175m3.(4)当Q=150时,由150=-25t+300,得t=6(h),池中还剩水150m3时,已经排水6小时.四、课堂小结师:今天你学习了什么新的内容?生:学习了函数的两种表示方法、自变量的取值范围、求函数值.教师补充完善.教学反思本节课通过让学生回顾上节课的两个例子,向学生介绍函数的两种表示方法:列表法和解析法.在解析法中强调了不是所有函数的自变量都可以取全体实数,特别是在应用题中,要考虑自变量的取值范围.还学习了已知自变量的一个值求相应的函数值.需要注意的是自变量取值范围的限制主要有分母不能为零和开平方时被开方数不能为负两种情况,有时两种情况会同时出现,这两个条件都要满足.教学设计中,始终把对知识的学习与师生的共同活动、交流相结合,把对知识的理解放置在具体情景中,采用了多种形式的学习活动,给学生提供足够的、自主的空间和活动机会,让学生动手、动脑进行探索.第3课时函数(三)教学目标【知识与技能】1.会用图象法表示函数.2.知道画函数象的步骤,即列表、描点、连线.【过程与方法】经历用图象法表示函数的过程,提高作图能力.【情感、态度与价值观】1.通过将函数用图象表示出来,将数和形结合起来,使本章内容和上一章的内容也结合起来,让学生体会到数形结合思想和上一章知识的关联及数学知识环环相扣的特点.2.将函数用图象表示出来,使函数显得更生动形象,使学生易于接受.重点难点【重点】用图象法表示函数.【难点】理解几个点的连接与函数图象之间的关系.教学过程一、创设情境,导入新知师:我们上一节课学习了函数的两种表示法,你们还记得是什么吗?生:记得,是列表法、解析法.师:对.但有些函数关系很难写出它们的函数关系式,而数据又多,用列表法显得繁琐又不够形象,因此我们用图象来表示.本节课我们就来探究一种表示函数的方法——图象法.二、合作探究,获取新知师:我们用图象法除了可以表示列表法和解析法不能表示的函数关系外,还能表示出它们能表示的、不太复杂的函数关系.比如这样一个解析式y=2x,我们现在用图象把它表示出来.请大家先填写下表.教师多媒体出示:x -3 -2 -1 0 1 2 3 y学生填表.师:我们在上一章讲过,有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,且学习了已知点的坐标以及怎样把它在坐标平面上描出来,现在请大家在方格纸上描出这些点.学生描点.师:请同学们观察这些点,它们是怎样分布的呢?生:大致在一条直线上.师:很好,大家的观察能力很强!我们现在把它们连接起来,用直线还是线段呢?生:直线.师:为什么?学生思考.师:我提示一下,从自变量的取值范围去考虑.生:自变量x的取值范围是全体实数,直线两端是无限延伸的,代表没有表示出来的还有很多点.师:大家非常棒!教师边操作边讲:我现在用一条直线把这些点连接起来.教师板书作图的过程:师:现在我们画出了函数y=2x的图象.大家注意到没有?我们用几步完成了这个过程?生:三步.师:哪三步?同学们能不能把每步用两个字概括一下?生:列表、描点、连线.师:大家说得很好!描出的点越多,图象越精确,但一般我们只选取一部分点.现在我们作的图自变量取值范围是全体实数时,一般在原点左右各选取两三个点,加上原点,用这几个点来画图.三、例题讲解【例1】画出函数s=的图象.(1)列表:因为这里v≥0,我们分别取v=0、10、20、30、40,求出它们对应的s值,列成表格:v/(km·h-1) 0 10 20 30 40 …s/m 0 0.4 1.6 3.5 6.3 …(2)描点:在坐标平面内描出(0,0),(10,0.4),(20,1.6),(30,3.5),(40,6.3)等点.(3)连线:将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接,就得到了s=的图象,如图所示.【例2】已知某弹簧的自然长度为5cm,已知它所挂物体的质量每增加1kg,弹簧就伸长0.25cm,设所挂重物的质量为xkg,弹簧的长度为ycm,允许挂重物不超过10kg,求y关于x的函数表达式,并画出图象.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.教师多媒体出示:y关于x的函数为:y=0.25x+5,0≤x≤10.图象为:四、练习新知如图,下列各曲线中哪些能够表示y是x的函数?你能说出其中的道理吗?学生思考,讨论.生甲:(1)不是.生乙:(1)是.师问生甲:(1)为什么不是函数?生甲:(1)在x>0时没有图象.师:没有图象表示此函数在x>0的范围内没有定义.而y是x的函数要求对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,就是说我们只看它有定义的部分.生甲:哦,那么(1)是函数.师:(2)是函数吗?生:是.师:(3)呢?生:……师:从函数的定义出发考虑.生:不是.师:为什么?生:除了x轴上的两点,自变量取值范围内的其他的每一个x值都有两个y与它对应.师:你回答得很好!(4)呢?这个图象对应的是不是函数?生:不是.师:为什么?生:有一些x值有2个甚至更多个y值与它对应.师:你回答得很好!五、课堂小结师:今天你学习了什么新的内容?生:学习了函数表示法中的图象法、函数图象的画法.师:画函数图象的步骤是什么?生:列表、描点、连线.教学反思本节课通过让学生回顾本章第一节表示函数的另一种方法——图象法,还向学生介绍了这种表示方法的优点,并示范了作函数图象的过程,指出了图象法的三个步骤:列表、描点、连线,让学生掌握了表示函数关系的又一工具.在列表时要考虑到自变量的取值范围,在刻度的选取时要具体问题具体分析,有的起始值较大且变化量小时,前面一部分用折线表示;当x、y只取正值时就不画x轴及y 轴的负半轴.第4课时函数(四)教学目标【知识与技能】能读出函数图象里的信息,会分析图象信息.【过程与方法】1.经历观察函数图象,读出图中信息,提高阅读和提取信息的能力.2.体会和学习数形结合的数学思想.【情感、态度与价值观】1.通过让学生读出函数图象的信息,把数和形结合起来,将图象“说出来”,让学生体会到了数形结合思想.2.通过“翻译”图象的过程,让学生体验了坐标系的用途和数学的重要性,提高学生学习的主动性.重点难点【重点】读出图象里的信息【难点】分析函数图象中的信息.教学过程一、创设情境,导入新知师:在上节课中,我们学习了函数图象的画法,你还记得有哪几个步骤吗?生:记得.列表、描点、连线.师:很好!如果给出了函数的图象,我们也要能读出其中的信息.二、合作探究,获取新知教师多媒体出示教材思考题中的图:师:图中有哪两个变量?生:时间和体温.师:哪个是自变量?哪个是因变量?生:时间是自变量,体温是因变量.师:在这一天中此人的最高体温是多少?最低体温是多少?分别是在什么时刻达到的?学生用刻度尺测量后回答.生甲:最高体温是36.8℃,在18h时达到.生乙:最低体温是35.9℃,在4h时达到.教师多媒体课件出示课本上的几个练习题并找学生回答,共同纠正.三、举例探讨,深化理解教师多媒体出示:一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输,只行驶一个来回,中间停靠丙港,下图是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化而变化的曲线.学生观察图象.师:轮船从甲港(O点)出发到达丙港(A点)用了多长时间?生:1个小时.师:从丙港(A点)到达乙港(C点)用了多长时间?生:2个小时.师:你们还能读出其他的信息吗?生甲:轮船在乙港停留了1个小时.生乙:轮船从乙港到丙港用了4个小时.生丙:轮船从丙港到甲港用了2个小时.师:很好!教师多媒体出示:(1)你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快,还是轮船返回时的平均速度快吗?(2)如果轮船往返的速度是一样的,那么从甲港到乙港是顺水还是逆水?师:你是怎样做第一个小题的?生:因为往返轮船行驶的路程相同,所以只要比较去和返回时用的时间长短就行了.师:往返的时间哪个长哪个短呢?生:从甲港到乙港用了3个小时,从乙港到甲港用了6个小时,去时用的时间短,回来时用的时间长.师:很好!由此你能得到什么结论?生:说明去的时候速度快.师:很好!现在请同学们看第二个问题.学生看思考.生:从甲港到乙港是顺水.师:你怎么得到的呢?生:因为由上题知从甲港到乙港时速度更快.四、课堂小结师:今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?学生回答.师:你还有哪些疑问?学生提问,教师解答.最新初中数学精品课件设计最新初中数学精品课件设计 11 教学反思在这个信息充斥的时代,我们身边有很多信息载体,例如文字和图象.本节课我带领学生去读信息,获取、分析图象上的信息.在第一个例题的讲解中,我向学生提出问题,引导他们去看图;在第二个问题中,我在提出两个问题后,让学生自己去说说看到了什么,让学生自己去想问题和答案,调动学生的积极性,锻炼他们的分析能力和语言表达能力.。
八年级数学上册 第12章 一次函数12.1 函数第3课时 函数的表示方法——图象法课件
y
7 6
5
4
3
2
任意一个有序实数对（x , y），与
1
坐标平面内一点M（x , y）成一一对应。 -4 -3 -2 -1
01 -1
2
3
4
x
用表中的x值作为点的横坐标，对应
-2
(duìyìng)的y值作为点的纵坐标，在直角
-3
-4
坐标系中描出各点.
-5
-6
-7
第五页，共二十一页。
y
7 6
5
4
3
2
按自变量由小到大的顺序，把各
1.画出函数y=-2x的图像（先列表，然后(ránhòu)描点、连线）
解（1）列表(liè biǎo):
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 6 4 2 0 -2 -4 -6 …
第十一页，共二十一页。
（2）描点:
y
7 6 5 4
3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2
s/m 7
6
5
4
3
2
1
x
0 10 20 30 40 v/(km·h-1)
第九页，共二十一页。
（3）连线：将以上(yǐshàng)各点按自变量由小到大的
顺序用平滑的曲线连接，就得到了图象。
s/m 7 6 5 4 3 2 1
0 10 20 30 40 v/(km·h-1)
第十页，共二十一页。
练习(liànxí)
第七页，共二十一页。
例4 画出前面(qián mian)问题3中的s函 数v 2
256
的图像.
（1）列表:因为这里v≥0,我们分别取v=0，10，20， 30，40，求出它们对应(duìyìng)的s值，列成表格:
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行驶里程为S千米，行使时间为t小时.
1.请同学们根据题意填写下表：
t 12345
S
60 120 180 240 300
2.在以上这个过程中， 变化的量是 里程S千米与时间t时.
没变化的量是 速度60千米/小时 .
3.试用含t的式子表示S S=60t .
随堂练习
问题1
下图是某地一天内的气温变化图
从图中我们可以看到，随着时间t（时） 的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．
(1)这天的6时、10时和图141时7.1的.1气温分别为多少? (2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?
(3)这一天中,什么时间段的气温在逐渐升高?什么时
间段的气温在逐渐降低?
P23页第1,2题
3.一个三角形的底边长5cm,高h可以 任意伸缩.写出面积S随h变化关系式, 并指出其中的常量与变量.
解：
S=
5 2
h
变量是 s 、h
常量是 5 2
问题3 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍
将滑行一段距离才能停住，刹车距离是分析事故原因的一个 重要因素。
某型号的汽车在平整路面上的刹车距离sm与车速vkm/h 之间有下列经验公式：
说一说：问题1、问题2、问题3中，什 么量是自变量，什么量是函数?
问题1中，热气球上升高度h是自变量时 间t的函数；问题2中用电负荷y是自变量时间 t的函数；问题3中刹车距离s是自变量车速v 的函数。
注意：(1)在一个变化过程中；(2)有两个变量(字母x与y只是 代号)；(3)对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应。
12.1 函 数
学习目标
1. 认识变量、常量 2. 学会用含一个变量的式子
表示另一个变量
大千世界万物皆变
行星在宇宙中的位置随时间而变化;
人体细胞的个数随年龄而变化;
气温随海拔而变化; 一个量往往随着其他量的变化而变 化。 从本章开始，我们将学习刻画两个变 量之间关系的常用模型——函数.
问题1 如图，用热气球探测高空气象。
例如：问题1中，从＝800。
问题2中，t＝4.5时，y＝10000；t＝20时，y＝15 000。 问题3中，v＝40时，s＝6.25；v＝120时， s＝56.25。
一般地，设在一个变化过程中有 两个变量x与y，如果对于x在它允许 取值范围内的每一个值，y都有唯一 确定的值与它对应，那么我们就说x 是自变量，y是x的函数。
像热气球上升高度h的数值是随时间t的数值变化 而变化的，像这样可以取不同数值的量，叫做变量； 热气球上升的速度为50m/min，这个50在过程中始终 保持不变，这样的量叫做常量。h是随着t的变化而变 化的。任给变量t的一个值，就可以相应地得到变量h 的一个确定的值。t是自变量，h是因变量。
提出问题，创设情景
当t=0min， h为500m
当t=1min， h为550m
当t=2min， h为600m
当t=3min， h为650m
设热气球从海拔500m处的某地升空，它上升后到达的海拔 高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
时间t/min
0 1 2 3 4 5 6 7…
海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
(1)在这个问题中，有几个量？
(2)观察上表，热气球在上升的过程中平均每分上升多少米？
(3)你能求出上升后10min时热气球到达的海拔高度吗？
时间t/min
0 1 2 3 4 5 6 7…
海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
在问题1中，热气球在上升的过程中有 哪些量是变化的？哪些量始终保持不变？
v2 s
256
(1)式中涉及哪几个量？ (2)当刹车时车速v 分别是40、80、120km/h时，相应的 滑行距离s分别是多少？
当v＝40时，s＝6.25；当 v＝80时，s＝25； 当 v＝120时，s＝56.25。
在问题2、问题3中，常量与变量分别是 什么？哪些量是自变量？哪些量是因变量？
在上面三个问题中，每个变化过程都只 涉及两个变量，当给定其中一个变量（这个 量叫自变量）的值，相应地就确定了另一个 变量（这个量叫因变量）的值。