圆锥曲线公式大全

圆锥曲线知识考点
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率：1
21
2180＜α≤0(tan x x y y --==）
α
2、直线方程：
⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点)
,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121
y y x x ≠≠：
121
121
y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率B
A
k -=，y 轴截距为B C -）
(6)k 不存在⇔a x b a x o
=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α
3、直线之间的关系：
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=
⑴
平行：{
⇔
⇔≠=2121212
1//b b k k k k l l 且都不存在
，
2
1
2121C C B B A A ≠=
⑵
垂直：{
⇔⇔
⊥-=⇔-==2
121211
1.0
21k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A
⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：
0=++n Ay Bx
⑸定点(交点)系方程：过两条直线
:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：
0)(2
2
2
1
1
1
=+++++C y B x A C y B x A λ
反之直线0)(2
2
2
1
1
1
=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实
数R ，则直线一定过定点),(0
y
x ，即
:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0
y x
4、距离公式： （1）两点间距离公式：
两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=
（2）点到直线距离公式:
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2
2
00B
A C
By Ax d +++=
（3）两平行线间的距离公式：
1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2
2
21B
A C C d +-=
二、圆与方程 1、圆的方程：
⑴标准方程：()()2
2
2
r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .
⑵一般方程：02
2=++++F Ey Dx y x (042
2
>-+F E D
)
其中圆心为(,)2
2
D E -
-
，半径为22142
r D E F =
+-.
2、直线与圆的位置关系 点
),(0
y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
2
2
2
22
2
2
2
2
)()()(r
b y a x r b y a x r
b y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .
切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆2
22r y x =+上⇔200r y y x x =+
圆2
22)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--
（2）当点),(00y x P 在圆2
2
2
r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r
求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】 ④弦长公式：222||d r AB -=2
212121()4k x x x x =+--
3、两圆位置关系：21O O d =
⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线
三、圆锥曲线与方程
1．椭圆 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b +=>> ()22
2210y x a b a b
+=>> 第一定义
到两定点21F F 、
的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即
(01)MF
e e d
=<< 范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A
()1,0b B -、()2,0b B
2．双曲线
轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距
222122()F F c c a b ==- 离心率
222222
2
1(01)c c a b b e e a a a a
-====-<<
准线方程 2a x c
=±
2a y c
=±
焦半径
0,0()M x y
左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-
下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-
焦点三角形面积
12212tan
()
2
MF F S b F MF θ
θ∆==∠0
2
1
s 2
1
y c in PF PF •=••=θ 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： a
b 2
2
焦点的位
置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210,0x y a b a b -=>> ()22
22
10,0y x a b a b -=>> 第一定义
到两定点21F F 、
的距离之差的绝对值等于常数2a ， 即21||||2MF MF a -=（2102||a F F <<）
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即
(1)MF
e e d
=>
【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：
由双曲线求渐进线：x a b
y a x b y a x b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201
由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=22
22222222220b
y a x b y a x a x b y a x b y x a b y
2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y
⇔方程设为λ=-2
2
y x
2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长；
②弦长公式
3.抛物线
图形
） （消　） （消x y y y y k
y y k y x x x x k x x k l ]4))[(1
1(||1
1]4))[(1(1212212212
212212212-++
=-+
=
-++=-+=
五、.直线与圆锥曲线的关系 1、直线与圆锥曲线的关系
如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2
b
2＝1 (a >b >0)的位置关系：
直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y
2
b 2＝1⇔有2组实数解，即Δ>0.
直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y
2
b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，
直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y
2
b
2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）
{
A
B x A
C x C By Ax x -=+=
⇔
=++2121x .x 2
1
0x 的两根方程和
则有2
1
2
2
1
2
1
4)(||x
x x x x x -+=
-
（2）
{
b kx y b
kx y +=+=1122则有下列结论
b x x k y y ++=+)(2
1
2
1
)(2
1
2
1
x x k y y -=-
2
2
1
2
1
2
2
1
)(b
x x k x x k y y +++=
③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：
把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；
020
2y a x b k -=（椭圆） 0
202y a x b k =（双曲线）
3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）
设AB 为过抛物线2
2(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、
，直线AB 的倾斜角为θ，则
⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ
=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为
2
π
；
⑸ 112
.||||FA FB P
+=。