圆锥曲线公式大全

圆锥曲线知识考点

一、直线与方程

1、倾斜角与斜率：1

21

2180＜α≤0(tan x x y y --==）

α

2、直线方程：

⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点)

,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121

y y x x ≠≠：

121

121

y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率B

A

k -=，y 轴截距为B C -）

(6)k 不存在⇔a x b a x o

=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α

3、直线之间的关系：

222111:,:b x k y l b x k y l +=+=

⑴

平行：{

⇔

⇔≠=2121212

1//b b k k k k l l 且都不存在

，

2

1

2121C C B B A A ≠=

⑵

垂直：{

⇔⇔

⊥-=⇔-==2

121211

1.0

21k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A

⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：

0=++n Ay Bx

⑸定点(交点)系方程：过两条直线

:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：

0)(2

2

2

1

1

1

=+++++C y B x A C y B x A λ

反之直线0)(2

2

2

1

1

1

=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实

数R ，则直线一定过定点),(0

y

x ，即

:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0

y x

4、距离公式： （1）两点间距离公式：

两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=

（2）点到直线距离公式:

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2

2

00B

A C

By Ax d +++=

（3）两平行线间的距离公式：

1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2

2

21B

A C C d +-=

二、圆与方程 1、圆的方程：

⑴标准方程：()()2

2

2

r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .

⑵一般方程：02

2=++++F Ey Dx y x (042

2

>-+F E D

)

其中圆心为(,)2

2

D E -

-

，半径为22142

r D E F =

+-.

2、直线与圆的位置关系 点

),(0

y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：

2

2

2

22

2

2

2

2

)()()(r

b y a x r b y a x r

b y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内

直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .

切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆2

22r y x =+上⇔200r y y x x =+

圆2

22)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--

（2）当点),(00y x P 在圆2

2

2

r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r

求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】 ④弦长公式：222||d r AB -=2

212121()4k x x x x =+--

3、两圆位置关系：21O O d =

⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线

三、圆锥曲线与方程

1．椭圆 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210x y a b a b +=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 第一定义

到两定点21F F 、

的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）

第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即

(01)MF

e e d

=<< 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A

()1,0b B -、()2,0b B